高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形教学案 文
三角恒等变换备课教案
三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。
本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。
二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。
2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。
3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。
4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。
5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。
四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。
2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。
五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。
2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。
第2讲 三角恒等变换与解三角形(教案)
第2讲 三角恒等变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1．边和角的计算．2．三角形形状的判断．3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2017·河南省洛阳市统考)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D解析 由三角恒等变换的公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12° .因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为单调递增函数， 所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b ，故选D.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3C.π4D.π6 答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118 C ．－1718D.1718答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)， 可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118， 所以sin 2α＝－1718，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 答案 79解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝79. 热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . 例2 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝(2b －c )cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值．解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ，得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A .∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π3. (2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π3＝103，∴bc ＝40. ∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π3＝49，即b 2＋c 2＝89， 于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负).热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)已知函数f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2.(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域； (2)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b a ＝3，sin (2A ＋C )sin A＝2＋2cos(A ＋C )，求f (B )的值．解 (1)∵f (x )＝23sin x cos x －3sin 2x －cos 2x ＋2 ＝3sin 2x －2sin 2x ＋1 ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈[－1,2]．(2)由题意可得sin [A ＋(A ＋C )]＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )，∴sin A cos(A ＋C )＋cos A sin(A ＋C )＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋C )，化简可得sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理可得c ＝2a .∵b ＝3a ，∴由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－3a 22a ·2a ＝12， ∵0<B <π，∴B ＝π3，∴f (B )＝1. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝⎛⎭⎫π12＝2.(1)求m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝⎛⎭⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC的周长．解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＋ m sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2， 解得m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－ sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝ 3. ∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π3， ∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π3. 又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3， ∴ac ＝4.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4，∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6.真题体验1．(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 答案 75°解析 如图，由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴sin B ＝22. 又c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________. 答案 13解析 由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin α＝13. 3．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75. 方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75. 4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案 152 104解析依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14， 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28， 所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案 52 解析 因为0<A <π，cos A ＝23， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝ 3. 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sin B sin C ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)． 因为0<A <π，所以0<A ≤π3， 所以－π6<3A －π6≤5π6， 所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1， 所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12， 所以函数f (A )的值域为⎝⎛⎦⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c＝3，cos A ＝14，则b 等于( ) A. 2 B. 3C ．2D ．3答案 C解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋12)＝0，解得b＝2(舍负)，故选C.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于()A. 3B.3 3C．－33D．－ 3答案 D解析因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α2的值为( ) A ．－12B.12 C ．－13D.13答案 C解析 由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－2425⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925. 因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－75， 因此sin α＝－35，cos α＝45， tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α ＝－351＋45＝－13，故选C. 4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π答案 C解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2， ∴c ＝2.由cos C ＝223， 得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝213＝6，R ＝3， S ＝π×32＝9π，故选C.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴cos(β－α)＝－31010， ∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝⎛⎭⎫－255＋⎝⎛⎭⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 31010解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22×⎝⎛⎭⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．答案 21解析 设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213 ⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)．8.(2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，则BC 的长为________．答案 3解析 因为cos ∠BAD ＝－714， 故sin ∠BAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114， 在△ADC 中运用余弦定理，可得cos ∠CAD ＝1＋7－427＝277， 则sin ∠CAD ＝ 1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， 所以sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32， 在△ABC 中运用正弦定理，可得 BC sin ∠BAC ＝7sin ∠CBA ⇒BC ＝32×7×621＝3.9．(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值．解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝b sin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ， 得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3， 从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3∈(0,1]． B 组 能力提高11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A.(3，6]B.(3，5)C.(5，6]D.[5，6] 答案 C解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎨⎧ 0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π2， 可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0B .43或0 C ．－43D.43答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0； 当tan θ2＝2时，tan θ＝－43，故选A. 13．(2017届河南省安阳市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －a ＝c －2c cos C ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________．答案 6解析 由题设可得(a ＋c )(2cos C －1)＝0，由于a ＋c ≠0，所以cos C ＝12⇒C ＝60°，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ，又因为ab ≤(a ＋b )24，当且仅当a ＝b 时取等号，所以(a ＋b )24≤9⇒a ＋b ≤6. 14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积． 解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1. 又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4. (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24. 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74.△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
高三二轮复习(理数) 第二讲 三角恒等变换与解三角形(教案)(Word版,含答案)
第二讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析]三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.1．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2 α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：利用同角三角函数的基本关系式求解．因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2 α＋4sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝1＋4tan αtan 2 α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425.故选A.答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2. 由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－433．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析：先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值． 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2015·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF ＜AB ＜BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2＜AB ＜6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)5．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解析：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B＝sin A 3sin A.故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.三角恒等变换[方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[题组突破]1．若tan α＝－22，且α是第四象限角，则cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝( ) A ．－23B.23C ．－13D.13通解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故sin αcos α＝－22，由sin 2 α＋cos 2 α＝1可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝⎛⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 α＝13＋⎝⎛⎭⎫－33×63＋23＝13，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 α＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α＋tan α＋22tan 2 α＋1＝1232＝13，故选D.答案：D2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85.答案：1或853．(2017·合肥检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解析：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝ 12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32. 所以sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×⎝⎛⎭⎫－3212＝2 3.[误区警示]三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．解三角形[方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .[典例](1)(2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD . ①求AD 的长；②求△ABC 的面积．解析：①在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)， 则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ， 所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53， 则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝x 2＋52－(53)22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π， 所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ， 即x 2＋52－(53)22×x ×5＝－52x .解得x ＝5. 所以AD 的长为5.②由①求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12.所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin ∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.(2)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD ＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)解析：在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2. 在△ABC 中，BC sin 30°＝AB sin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60° ＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒． [类题通法]等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．[演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 答案：C2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B.答案：B3．(2017·海口模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )． (1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )·cos C ＝sin C ·(3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin Bsin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． [典例](1)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21 B.3214C.212D ．321解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， ∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215， ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －C 2－sin B ·sin C ＝2－24.①求角A ；②若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． 解析：①由cos 2B －C 2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos (B －C )2－sin B ·sin C ＝－24， ∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. ②由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)． [类题通法]化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．[演练冲关]1．(2017·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点． (1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A ，试判断△ABC的形状，并说明理由． 答案：(1)ω＝1 (2)等边三角形2．(2017·沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，求S 的最大值．解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin(A ＋π4)＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.3．(2017·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解析：(1)由b 2＋c 2－a 2＝bc ， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMB ＝c 2，①在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMC ＝b 2，②又∠AMB ＝π－∠AMC ，∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， ①＋②得AM 2＝b 2＋c 22－34.又a ＝3，∴b 2＋c 2－3＝bc ≤b 2＋c 22，∴b 2＋c 2≤6，∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，即AM ≤32，∴BC 边上的中线AM 的最大值为32.。
高考数学第一轮复习教案-专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形
sec cos 1
sin 2 cos 2 1 sec2 tan2 1 csc 2 cot 2 1
9、诱导公式：
把 k 的三角函数化为的三角函数，概括为： 2
“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系
公式组一
sinx·cscx=1 tanx= sin x cos x
tan
1
2 tan 2
2
sin
sin
2 sin
cos
2
2
sin sin 2 cos sin
2
2
cos
cos
2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin sin
2
cot( x) cot x cot(2 x) cot x
公式组二 sin(2k x) sin x cos(2k x) cos x tan(2k x) tan x cot(2k x) cot x
公式组六 sin( x) sin x cos( x) cos x tan( x) tan x cot( x) cot x
tan x 2
的周期为 2
（T
T
2
，如图，翻折无效）.
④ y sin(x ) 的对称轴方程是 x k （ k Z ），对称中心（ k ,0 ）； y cos(x ) 的
2
对称轴方程是
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案教案标题：三角恒等变换教案教案概述：本教案针对高中数学课程中的三角函数学习内容，以“三角恒等变换”为主题。
通过引导学生理解三角恒等变换的定义、性质和运用方法，培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
教案目标：1. 了解三角恒等变换的概念和性质；2. 能够正确运用三角恒等变换的方法和技巧进行数学推导和证明；3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
教案重点：1. 三角恒等变换的定义和性质；2. 学生针对具体问题，灵活运用三角恒等变换进行推导和证明。
教案难点：学生对三角恒等变换的抽象性理解以及如何熟练运用于解决问题。
教学准备：1. 教师准备幻灯片、黑板、白板等教学工具；2. 学生准备笔记本、教材等学习工具。
教学过程：步骤一：导入1. 引入数学公式和恒等式的概念，向学生介绍三角恒等变换是一类特殊的恒等变换。
2. 通过具体的示例和问题，引发学生对三角函数之间关系的思考。
步骤二：讲解1. 结合幻灯片或黑板，向学生逐步展示三角恒等变换的基本定义和性质。
2. 通过示例演算和详细讲解，帮助学生理解三角恒等变换的运用方法和技巧。
步骤三：练习1. 发放练习题，让学生运用所学的三角恒等变换方法解决具体问题。
2. 在学生独立完成后，进行试卷讲解，鼓励学生积极参与并解答问题。
步骤四：拓展1. 提出更加复杂的问题，引导学生运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 引导学生思考三角恒等变换的实际应用，例如在工程、物理等领域中的具体运用。
步骤五：总结1. 对三角恒等变换内容进行小结，强调重要概念和方法。
2. 提醒学生在复习中注意三角恒等变换的细节，以及如何灵活运用于解决问题。
教学辅助：1. 幻灯片或黑板白板；2. 教材和练习题。
教学延伸：1. 将三角恒等变换与其他数学知识进行整合，拓展学生的数学思维；2. 引导学生自主探究和发现更多三角恒等变换的性质和应用场景；3. 带领学生进行相关的作业和实践项目，综合运用所学的知识。
三角恒等变换教案(优质课教案)
课题三角恒等变换课型复习授课人余伟1、利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知考情分析识相结合命题2、命题形式多种多样，既有选择题、填空题也有综合性解答题1、通过同类型题目的训练，加深对三角恒等变换中各个公式的理解和记忆，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2、通过三角恒等变换中公式的运用，会进行简单的化简、求值，体会转化教学目标思想在数学中的应用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、通过本节课的学习，使学生体会探究的乐趣，激发学生分析、探求的学习乐趣。
教学重点和差角、倍角公式、辅助角公式的灵活运用教学难点给值求值问题中合理运用和差角公式教学过程知识梳理：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2.二倍角的正弦、余弦、正切公式：3.降幂公式：4.辅助角公式：典例讲评：题型 1三角函数式的化简、求值给角求值”： 一般所给出的角都是非特殊角， 从表面上来看是很难的， 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系， 解题时， 要利用观察得到的关系， 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．【例 1】（ 1）（ 2015 年课标全国Ⅰ） sin 20 cos10cos160 sin 10（ ）3 3 1 1 A.B.C.D.2222sin 110 sin 20 ）（ 2）计算sin 2 的值为（ cos 2 155 1553 3 1 1 A.B.C.D.22 22cos40等于（）（3）化简cos 25 1 sin 40A.1B. 3C. 2D.2（4） sin 50 1 3 tan10【规律方法】三角函 数式的化简要遵循“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2) 二看“函数名称”， 看函数名称之间的差异， 从而确定使用的公式， 常见的有“切化弦”；(3) 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．题型 2 给值求值问题 ( 已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值 )“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．【例 2】（ 1）（教材课后练习）已知sin 303，60150 ，则 cos 5（ 2）已知cos sin 437的值是，则 sin665（3）已知02，且 cos21， sin2，则923cos的值为（ 4）已知、为锐角， cos 153， sin，则 cos 714（ 5）（ 10 月月考）已知cos2，为锐角，则 cos 21084题型 3给值求角问题( 已知某角的三角函数值，求另一角的值)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【典例 3】(1)设、为钝角，且 sin 5， cos310的值为（）5，则10A.3B.5C.7D.5或7 44444（ 2）若sin 2510，，3，则， sin，且，51042的值为（）A.7B.9C.5或9D.5或7444444【规律方法】(1)角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等等；如， 2．(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，，选正、余弦皆可；若角的范围是(0 ，2π) ，选余弦较好；若角的范围为, ，选正弦较好．22(3) 解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．课堂小结本节课复习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，思考：1、如何求解给值求值的问题2、如何求解给值求角的问题3、在化简中哪些技巧值得我们注意。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案三角恒等变换教案一、教学目标：1.能够掌握三角恒等变换的概念和基本性质；2.能够灵活运用三角恒等变换求解简单的三角函数值；3.能够理解三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
二、教学内容：1.三角恒等变换的定义和基本性质；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系；3.使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
三、教学重难点：1.三角恒等变换的基本性质的理解和运用；2.三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
四、教学方法：1.讲授结合练习，理论与实际相结合；2.举例分析和解题演练。
五、教学过程：第一步：引入新知识（10分钟）向学生简单介绍三角恒等变换的概念，并与他们讨论三角函数的图像、周期、奇偶性。
通过讨论的方法，激发学生的兴趣，引导学生主动思考。
第二步：讲解三角恒等变换的基本性质（15分钟）1.角的关系：讲解正弦、余弦、正切函数之间的关系，以及正角、负角之间的关系。
2.平方关系：讲解正弦、余弦、正切函数的平方和、平方差以及积与商之间的关系。
3.倒数关系：讲解正弦、余弦、正切函数的倒数之间的关系。
第三步：练习应用（20分钟）1.通过示例的方式，向学生展示如何使用三角恒等变换求解简单的三角函数值。
2.组织学生进行练习，让学生分小组进行解题，及时给予指导和反馈。
第四步：总结归纳（10分钟）请学生总结三角恒等变换的基本性质，并与他们讨论三角恒等变换与三角函数的图像、周期、奇偶性之间的关系。
第五步：小结（5分钟）对本节课学习的内容进行小结，并激发学生对三角函数的兴趣，鼓励他们进一步实践和研究。
六、教学反思本节课采用了理论与实际相结合的教学方法，通过讨论、演示和练习，使学生能够深入理解三角恒等变换的基本性质，并能够熟练灵活地应用。
课堂上，我积极引导学生思考和互动，激发了学生的学习兴趣和积极性。
但是，部分学生在练习环节遇到了一些困难，建议将练习题目难易程度适当调整，以使学生在解题过程中能够灵活运用所学知识。
分层教学高中数学优秀教案
分层教学高中数学优秀教案课题：三角恒等变换一、学习目标：1.了解三角函数的基本概念；2.掌握三角函数的基本性质；3.能够运用三角函数进行简单的恒等变换；4.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点：1.三角函数的基本性质；2.三角函数的恒等变换方法；3.恒等变换的应用。
三、教学准备：1.教材；2.黑板、彩色粉笔；3.教学PPT；4.练习题。
四、教学过程：1.导入：通过一个简单的实例引导学生了解三角函数的基本概念，并讨论三角函数的周期性和奇偶性。
2.讲解：详细介绍三角函数的定义和性质，重点讲解正弦函数和余弦函数的恒等变换公式。
3.练习：让学生进行一些基础的恒等变换练习，帮助他们掌握恒等变换的方法。
4.拓展：引导学生探讨不同角度的三角函数之间的关系，并让他们尝试运用恒等变换来证明一些三角函数的等式。
5.应用：通过一些实际问题，让学生运用恒等变换解决具体的数学问题，培养他们的解决问题的能力。
6.总结：对本节课的重点内容进行总结，强调三角函数的恒等变换在解决问题中的重要性。
五、作业布置：1.完成课后练习题；2.尝试解决一些相关的应用题；3.复习已学知识，准备下节课的学习。
六、教学反思：1.学生的反馈：及时了解学生的学习情况，根据反馈进行调整教学方法；2.教学效果：反思本节课的教学效果，总结教学经验，为下节课的教学做准备。
以上是一份针对高中数学分层教学的优秀教案范本，希望能对您的教学工作有所帮助。
如果还有其他问题或需求，欢迎随时与我联系。
祝教学顺利！。
高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形教学案 理
专题 6 三角恒等变换与解三角形【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±co s αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .4．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.5．三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等． 7．解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果. 【题型示例】题型1、三角变换及应用【例1】【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C 正确；α取π3时，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12＜0，D 错．故选C.速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案：C【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案62【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 3【变式探究】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(2)(2014·山西)若锐角α满足2sin α＋23cos α＝3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3的值是( )A ．－37B ．－377C ．37D.377【解析】(1)解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2，故选B.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z .∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________． 解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.答案 1考点2、正、余弦定理的应用【例2】【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
最新2021-2022年高考数学(理)教学案： 三角恒等变换 Word版含解析
第3讲三角恒等变换考纲展示命题探究考点三角函数的化简与求值1两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(Sα＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(Tα＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(T α－β) 2 二倍角公式sin2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α) 3 公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2. (3)降幂公式sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2. (4)其他常用变形sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2. 5 角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3. (2)互余与互补关系例如，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π， ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2. (3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.注意点 先看角，再求值在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”.1．思维辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意α，β都成立．( )(4)存在实数α，使得tan2α＝2tan α.( )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值有关．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2．(1)化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32 (2)1－tan 275°tan75°的值为( )A ．2 3 B.233C ．－2 3D ．－233 答案 (1)A (2)C解析 (1)cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12.故选A.(2)由题意知2tan150°＝－2 3.3．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3， 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重于两角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三角函数的基本关系式变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，常与三角函数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查．命题法 利用基本公式及变形式进行化简和求值典例 (1)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. ①求A 的值；②若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.[解析] (1)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. (2)由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.(3)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32， ∴A ·32＝32，A ＝ 3.②f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)＝32，∴6cos θ＝32，cos θ＝64，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. [答案] (1)D (2)B (3)见解析【解题法】 三角函数的化简与求值方法(1)三角函数式化简遵循的三个原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)三角函数求值的类型及方法①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．②“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．③“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A ．－32 B.32C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C 解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220°＝cos 220°－sin 220°cos25°(cos20°－sin20°)＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34 B ．－14 C.34 D.14答案 B 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 5．sin15°＋sin75°的值是________．答案 62解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62.解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62.6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析 显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12， ∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝21313，sin α＝31313，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268. 解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一．8．化简tan π12－1tan π12＝________.答案 －2 3解析 原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3.9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角． (1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A ；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．解 (1)证法一：tan A2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A .证法二：1－cos A sin A ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝tan A2.(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B .由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos (180°－A )sin (180°－A )＋1－cos (180°－B )sin (180°－B )＝2sin A ＋2sin B .连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A .则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22(AB ·AD ＋BC ·CD )＝62＋52－32－422(6×5＋3×4)＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC .同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22(AB ·BC ＋AD ·CD )＝62＋32－52－422(6×3＋5×4)＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.[错解][答案]π3或23π[错因分析](1)错解中没有明确α＋β的范围，导致求cos(α＋β)时不能正确判断符号．(2)所求函数值不是sinβ，而是cosβ，导致在(0，π)中角β有两解的错误．[正解] 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3，或2π3<α＋β<π，由π3<α<π2知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12，又因为0<β<π，所以β＝π3.[答案] π3[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2021·衡水二中猜题]若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin2α等于( )A ．－825 B.825 C ．－1725 D.1725答案 C解析 sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝⎛ π4＋α⎭⎫ －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725，故选C.2．[2021·衡水二中一轮检测]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78 B ．－14 C. 14 D. 78答案 A解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡ π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(π6＋α)＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．[2021·冀州中学周测]在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365B.3665C.1665D.3365 答案 C解析 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665.4．[2021·衡水二中月考]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.故选C. 5．[2021·枣强中学周测]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3答案 B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.6.[2021·冀州中学预测]若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2， 而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 7．[2021·枣强中学一轮检测]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即sin 2α＝34，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D. 8．[2021·冀州中学月考]关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )·cos x 的四个结论：p 1：最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z .其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以最大值为2－1，所以p 1错误． 将g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后得到h (x )＝2·sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误． 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确． 由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，所以选B.9.[2021·衡水中学月考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案 513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又∵3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.10．[2021·衡水中学期中]已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．答案 5665解析 将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.11.[2021·武邑中学期中]已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.由题意知f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，所以－32<k ≤32或k ＝－1.12．[2021·衡水中学期末]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求： (1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛2α＋π3⎭⎪⎫＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，注意到α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2， 故2α＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π，4π3， 从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛2α＋π3⎭⎪⎫cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12＋32×32＝12.(2)∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.⎝⎛或者由(1)知2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝⎭⎪⎫ 2 3.能力组13.[2021·冀州中学猜题]设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79 B ．－19 C.19 D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.14．[2021·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为________．答案 ±35解析 ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.15．[2021·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，证明：5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α. 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x ＝cos2x cos π6－sin2x sin π6＋sin2x ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3 ＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.(2)证明：由(1)，知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝sin ⎣⎢⎡ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＋⎦⎥⎤π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22sin2α－22cos2α.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，所以cos α＝1－sin 2α＝55.所以sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.所以tan4α＝2tan2α1－tan 22α＝247. 所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2α＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝722，又122tan4α＝122247＝722，所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α.16.[2021·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α，求cos α－sin α的值．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sinα＋cosα＝42(sinα＋cosα)．5(cosα－sinα)＋2kπ，k∈当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4Z.此时，cosα－sinα＝－ 2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.。
高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程
高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程高中数学备课教案三角恒等变换与解三角方程一、教学目标：1. 掌握三角函数的基本概念和性质。
2. 理解三角恒等变换的概念和原理。
3. 学会利用三角恒等变换解三角方程。
4. 发展学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学准备：1. 教师准备：课件、讲义、教学示例、黑板、粉笔等。
2. 学生准备：教材、练习册、笔、计算器等。
三、教学过程：I. 三角函数的基本概念和性质1. 角度与弧度的转换，介绍角度制与弧度制的基本概念和相互之间的转换关系。
2. 三角函数的定义，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的基本性质。
3. 三角函数的周期性，以及函数图像的特点和性质。
II. 三角恒等变换的概念和原理1. 三角恒等式的定义，讲解不同类型的恒等变换，如基本恒等式、倒数恒等式、和差恒等式等。
2. 推导三角恒等式的过程，使学生理解恒等变换的原理和方法。
3. 演示和练习一些典型的三角恒等变换，让学生熟悉各种变换的应用场景。
III. 解三角方程1. 引导学生分析三角方程的基本形式和解题方法。
2. 通过多个例题，教授解三角方程的一般思路和步骤。
3. 根据学生的实际情况，给予适当的练习，以巩固所学的解题方法。
四、教学总结与展望1. 对本节课所学的内容进行总结，强调重点和难点。
2. 鼓励学生进行课后复习和习题的解答。
3. 展望下节课的内容，做好过渡和铺垫。
五、作业布置1. 课后练习册相关习题。
2. 完成课堂上未完成的练习题。
3. 预习下节课的内容，做好必要的准备。
六、教学反思本节课教学内容设计合理，结合理论和实践相结合，使学生在理解三角函数和恒等变换的基础上，能够熟练应用于解三角方程的过程中。
通过课堂互动和练习，学生对数学知识的掌握有了明显的提高，解题能力得到了加强。
但是教学中也存在一些问题，比如教学时间的安排较紧张，对于部分学生来说可能需要更多的时间来理解和消化所学内容。
下次在讲解过程中，可以更多地引导学生进行讨论和思考，培养他们的自主学习能力。
三角恒等变换教案(完整资料).doc
教学过程一、复习预习二、知识讲解1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T α－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T α＋β)2． 二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3． 半角公式sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.根号前的正负号，由角α2所在象限确定．4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝a b)．三、例题精析考点1 公式应用:化简、求值例1-1化简求值：⑴sin163sin223sin253sin313+=⑵=-001414cos74sinsincos74⑶=+007119sincoscossin161109⑷oo o o o o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋=例1-21.化简：1＋sin θ＋cos θsin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；2.求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．3. 化简：1＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π＜α＜2π)．4.已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103，求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π2练1.在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tanB 的值为( )．A.14B.13C.12D.532．如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )． A ．－a2B.a2C ．－aD ．a3.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2 4.(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( )A ．－53B ．－59 C.59 D.535.(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°等于( )A．－32B．－12C.12D.326. 化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x.考点2 三角函数的给值求值、给值求角例2 1.已知0<β<π2<α<π，且cos⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；2.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．3.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－694.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6【练】 1.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＝－34，则sin 2x ＝__________.2. 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．考点3 三角恒等式的证明【例3】1.求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.2.已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，证明：α＋β＝π4.3.已知sin β＝m sin(2α＋β)(m ≠1)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtanα.考点4 三角变换的简单应用 例41.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 【练】(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.12(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．课程小结课后作业A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.163． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1 4． 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为 ( )A ．－210 B.210 C.3210 D.72105． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4二、填空题6． 若sin(π2＋θ)＝35，则cos 2θ＝________. 7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．8. 3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________. 三、解答题9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，求cos β的值．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4等于 ( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.2552． 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于 ( )A.π12B.π6C.π4D.π33． 设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________． 4． 已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5β－56π课后评价。
高中数学教学备课教案三角恒等变换和解三角形
高中数学教学备课教案三角恒等变换和解三角形高中数学教学备课教案三角恒等变换和解三角形一、引言数学是一门抽象的科学，对于高中数学教学备课教案的设计，对于学生的学习效果起着至关重要的作用。
本文将以三角恒等变换和解三角形为主题，探讨高中数学教学备课教案设计的相关内容。
二、三角恒等变换的基础概念1. 直角三角形的基础知识在教学备课的过程中，首先需要复习直角三角形的基本概念，如斜边、邻边、对边、正弦定理、余弦定理等。
2. 三角恒等变换的定义及相关恒等式通过引导学生回顾三角函数的定义及其各自的特点，帮助他们掌握三角恒等变换的几个重要恒等式，如正弦恒等式、余弦恒等式和正切恒等式。
三、教学备课教案的设计1. 知识目标的明确化在教学备课阶段，教师需要明确本次教学的主要目标，例如学生能够熟练掌握三角恒等变换的定义、掌握基本的恒等式，并能够应用到解决实际问题中。
2. 教学过程的设计为了提高教学效果，我们可以采用以下教学步骤：a. 播放相关视频或动画，引发学生的兴趣，激发他们对三角恒等变换的学习兴趣。
b. 通过教师讲解和示范，帮助学生理解三角恒等变换的意义和应用。
c. 以案例分析的方式，引导学生运用三角恒等变换恒等式解决具体问题。
d. 通过小组合作或课堂讨论的方式，让学生彼此交流，分享解题思路和方法，加深对三角恒等变换的理解和掌握。
3. 思考题的设计在备课过程中，我们可以设计一些思考题，以帮助学生提高解题能力和思维能力。
例如：a. "给定一个直角三角形，如果已知一个角的值和某一边的长度，如何求解其他两边的长度？请详细解答。
b. "如何通过正弦恒等式和余弦恒等式来解决实际问题？请提供一个具体的案例进行说明。
四、课堂实施与评估1. 有效的教学辅助工具在教学实施中，教师可以运用多媒体教学辅助工具，如投影仪、电子白板等，使学生更好地理解三角恒等变换的概念和应用。
2. 学习效果的评估根据教学备课教案的设计目标，我们可以采用以下方式对学生的学习效果进行评估：a. 给学生布置相关练习，检查他们对三角恒等变换的掌握情况。
高中数学教师备课必备系列(三角函数(二)：专题06 简单的三角恒等变换教学设计
专题六简单的三角恒等变换教学设计一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积公式.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.三、教学过程 1、复习公式:()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+ sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-公式变形：←——→←-—→2、例1：试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．【设计意图】:在熟练掌握倍角公式的基础上，理解角的倍、半间的相对性，提高学生的公式变换能力，培养学生运用方程思想、换元思想解决数学问题的能力。
【师生活动】：教师——出示问题，让学生自主探究，教师重在引导学生分析角的倍、半间的关系。
三角恒等变换与解三角形(教学案)-2019年高考理数二轮复习精品资料+Word版含解析+
和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (2)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．倍角公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α；(4)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【2015高考四川，理12】 .【答案】2【解析】法一、.法二、.法三、.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，，Z k ∈.【解析】，故最小正周期为π，单调递减区间为，Z k ∈.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II),.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，，所以()f x 在区间[,]34p p-12-. 【2015高考重庆，理18】 已知函数（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为22-；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【解析】（1）,因此()f x 的最小正周期为p （2）当2[,]63x ππ∈时，有，从而当时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当时,即时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．【答案】1615-【解析】由题意得：，又,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 .【答案】．【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．【答案】2【解析】因为所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与图象的交点的个数，函数x y 2sin =与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点.1b =6C =π1sin 2B =a =cb a C B A ABC ∆【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【答案】6100 【解析】依题意，，，在ABC ∆中，由，所以，因为600=AB ，由正弦定理可得，即m ，在BCD Rt ∆中，因为，，所以，所以m ．【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，AB ，A 的角平分线AD ,则AC =_______.【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且，则BC 等于________．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为=所以sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得49，7BC =．【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． 【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以2AB AC =．由正弦定理可得．(Ⅱ)因为，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得，．．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =. 【解析】 （1）由及正弦定理得，∴，又由4A π=，即34B C π+=，得，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得，cos C =又∵，∴，由正弦定理得3c =，又∵4A π=，，∴bc =，故3b =.【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得，所以a = 又由正弦定理得.由题设知04B π<<，所以.在ABD ∆中，由正弦定理得.【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量与平行．（I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得而3πA =得，即因为0c >，所以3c =．故C ∆AB 的面积为．解法二：由正弦定理，得，从而，又由a b >，知A B >，所以.故所以C ∆AB 的面积为.1. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足，则cos C 的最小值是 .【考点定位】解三角形,求最值.11．【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角，面积S 满足所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题设得：⇒⇒（1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以24s R =又因为12s ≤≤，所以248R ≤≤所以恒成立，所以故选A.【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.12. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，，则cos A 的值为_______．【答案】14-．【解析】∵代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得．【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论． 13. 【2014大纲高考理第3题】设则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．【解析】故选C ．【考点定位】三角函数基本关系式14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且（1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值.【答案】（1）a =（2）46-. 【解析】（1）因为2A B =，所以，由正、余弦定理得.因为3,1b c ==，所以.由余弦定理得.由于0A π<<，所以.故.【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.15. 【2014高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，，点D 在BC 边上，且2CD =，.（1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长.【答案】（1）1433；（2）7. 【解析】（1）在ADC ∆中，因为，所以， 所以.（2）在ABD ∆中，由正弦定理得，在ABC ∆中由余弦定理得，所以7=AC .【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.（1）若02πα<<，且，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1) 12;(2) π,【解析】 (1)因为0,2πα<<所以cos 2α=.所以(2)因为,所以22T ππ==.由得.所以()f x 的单调递增区间为.【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，x R ∈，且.（1）求A 的值；（2）若，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）A =（2）4. 【解析】（1），所以A =；（2），，，sin 0θ>，则，.【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）4C ；（2）在10时至18时实验室需要降温.（2）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又240<≤t ，因此，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温.【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法. 19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若,,求BC 的长.【答案】(1) (2)3【解析】(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得=7=,所以.(2)因为BAD ∠为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得==再由ABC ∆的正弦定理可得.【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式20. 【2014高考江苏第15题】已知.（1）求sin()4πα+的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．21. 【2014高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）2327. 【解析】（1）由得，，又1cos 3B=，所以ac=6. 由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此.于是=.【考点定位】解三角形、三角恒等变换. 22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【答案】（I ）.（II ）函数()y g x =的单调递增区间为.【解析】（1）由题意知：.因为()y f x =的图象过点(12π和2(,2)3π-， 所以，即，解得.（2）由（1）知：.由题意知：，设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知：2011x +=，所以00x =，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）. 将其代入()y g x =得，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此，由，得，所以，函数()y g x =的单调递增区间为.学+科网【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.23. 【2014高考四川第16题】已知函数.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，，求的值.【答案】（1）；（2）,【解析】（1）；（2）由题设得：，即，.若，则，若，则.【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.24.【2014高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知，（I ）求角C 的大小； （II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3C π=；（2）．【解析】（1）由题意得，，即，，由a b ≠得，A B ≠，又，得，即23A B π+=，所以3C π=；（2）由c =4sin 5A =，得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故，所以ABC ∆的面积为．【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若，求的值.【答案】（1）；（2 【解析】（1）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以因得0k =所以.（2）由（1）得所以.由得所以因此=【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或02．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：基本法：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5， ∵tan α＝2tan π5，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝3tan π5tan π5＝3.故选C. 答案：C3．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )(导学号 55460112) A.6365 B.3365 C.1365 D.6365或3365解析：依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案：A4．函数f (x )＝12sin 2x ＋12tan π3cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：B5．已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________. 解析：基本法：依题意得tan α＝12， 又tan(β－α)＝－13， ∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝β－a ＋tan α1－β－αα＝17.答案：176．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－－1－2＋1＝－55＝－1. 答案：－17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )·sin C ，则A ＝________．解析：根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°. 答案：120°8.如图，山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．解析：如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.∵∠ADC ＝150°，∴∠ADB ＝30°.∴∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD. ∴400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．答案：400139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(2)解：由(1)知c ＝a ＋b 2，[ ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝ 38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.。
三角函数恒等变换教案
三角函数恒等变换教案一、引言三角函数是高中数学中重要的概念之一，在解析几何、解方程、级数等数学领域都有广泛的应用。
三角函数的恒等变换是指一组等式或关系，可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。
掌握三角函数的恒等变换可以帮助学生简化复杂的三角函数表达式，化简解析几何题目等。
本教案将介绍常见的三角函数恒等变换及其应用。
二、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其基本恒等变换包括以下几种：(1) 基本正弦函数恒等变换$$\\sin(\\frac{\\pi}{2} - x) = \\cos(x)$$$$\\sin(\\frac{\\pi}{2} + x) = \\cos(x)$$(2)倍角正弦函数恒等变换$$\\sin(2x) = 2\\sin(x)\\cos(x)$$2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数是与正弦函数相对应的三角函数，其基本恒等变换包括以下几种：(1)基本余弦函数恒等变换$$\\cos(\\frac{\\pi}{2} - x) = \\sin(x)$$$$\\cos(\\frac{\\pi}{2} + x) = -\\sin(x)$$(2)倍角余弦函数恒等变换$$\\cos(2x) = \\cos^2(x) - \\sin^2(x)$$3. 正切函数的基本恒等变换正切函数是另一个重要的三角函数，其基本恒等变换包括以下几种：(1)基本正切函数恒等变换$$\\tan(\\frac{\\pi}{2} - x) = \\cot(x)$$(2)倍角正切函数恒等变换$$\\tan(2x) = \\frac{2\\tan(x)}{1 - \\tan^2(x)}$$三、扩展恒等变换1. 正弦函数的扩展恒等变换正弦函数的扩展恒等变换包括以下几种：(1)半角正弦函数恒等变换$$\\sin(\\frac{x}{2}) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 - \\cos(x)}{2}}$$(2)和差正弦函数恒等变换$$\\sin(x \\pm y) = \\sin(x)\\cos(y) \\pm \\cos(x)\\sin(y)$$2. 余弦函数的扩展恒等变换余弦函数的扩展恒等变换包括以下几种：(1)半角余弦函数恒等变换$$\\cos(\\frac{x}{2}) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 + \\cos(x)}{2}}$$(2)和差余弦函数恒等变换$$\\cos(x \\pm y) = \\cos(x)\\cos(y) \\mp \\sin(x)\\sin(y)$$3. 正切函数的扩展恒等变换正切函数的扩展恒等变换包括以下几种：(1)和差正切函数恒等变换$$\\tan(x \\pm y) = \\frac{\\tan(x) \\pm \\tan(y)}{1 \\mp\\tan(x)\\tan(y)}$$四、应用实例1. 解析几何中的应用实例(1)求等腰三角形的高已知等腰三角形的底边为2，顶角为$$\\frac{\\pi}{4}$$，求等腰三角形的高。
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专题06 三角恒等变换与解三角形【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .4．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.5．三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”， “切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等． 7．解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果. 【题型示例】题型1、三角变换及应用【例1】【2017山东，文7】函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.如图，不妨设在Rt△ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0答案：C【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案62【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3 【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.答案 1考点2、正、余弦定理的应用【例2】【2017课标3，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b c =3，则A =_________.【答案】75°【解析】由题意：sin sin b c B C=，即sin 2sin 32b C Bc === ，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=.【变式探究】【2016高考山东文数】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b cC abab++-+-==（）311842b a a b =+-≥（），当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 【举一反三】 (2015·福建，12)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.答案 7【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________． 解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.答案 1【举一反三】(1)(2014·福建)在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． (2)(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.①求cos∠CAD 的值； ②若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长． 【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理． 【答案】(1)23所以△ABC 的面积S △ABC ＝12·AB ·BC ＝2 3.(2)①如题图，在△ADC 中，由余弦定理，得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD.故由题设知，cos∠CAD ＝7＋1－427＝277.②如题图，设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos∠CAD ＝277，cos∠BAD ＝－714，所以sin∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2772＝217. sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114. 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD ) ＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD s in∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.【变式探究】△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求A B →·A C →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．所以A B →·A C →＝bc cos A ＝156×1213＝144. (2)由(1)知bc ＝156， 又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213 ＝25， 所以a ＝5。