高中数学人教A版选修4-5配套课件：阶段复习课 第四讲 用数学归纳法证明不等式
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲一数学归纳法
第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法学习目标1 •理解并掌握数学归纳法的概念，运用数学归纳法证明等式问题；2.学会运用数学归纳法证明几何问题、证明整除性等问题.数学归纳法课前自主学案1.数学归纳法适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题.2.数学归纳法的步骤是: (1)(归纳奠基)验证当〃=必(必为命题成立的起始自然数)时命题成立：(2)(归纳递推)假设当n=k(k^N+,且&$必)时命题成立，推导1时命题也成圭.(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切MM%的自然数都成立.思考感悟在数学归纳法中的必是什么样的数？提示：弘是适合命题的正整数中的最小值，有时是兀0=1或必=2,有时兀0值也比较大，不一定是从1开始取值.课堂互动讲练考点突破用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明：用N+时，穆++ '''+(2n-l)(2n + l)=2n + V【证明】⑴当〃 =1时，左边=吉，右边= 左边=右边，.••等式成立.(2)假设n = k(k^l)时，等式成立，即有石+亦------- H1_ k（2k-i）（2k-\-r）=2k-\-r则当n=k-\r\时，丄+丄p -------------- ------- + -------- --------1・3 丁3・5丁^（2k- 1）（2氐+1）（2氐+ 1）（2氐+3）k | 1 氐(2 氐+3)+1 ---- + -------------- ---------------2k+r(2k+l)(2k+3) (2&+l)(2k+3) 2/+3&+1 &+1 (2k+l)(2k+3)=2k+3&+12伙+1)+1；.\n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切MWN+等式都成立.【名师点评】运用数学归纳法证明时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是证明的归纳基础，步骤(2)是证明的主体，它反映了无限递推关系.变式训练1 求证:(n + l)(n + 2)・•(n + n)= 2,te 1*3*5 (In—l)(n EN+).证明：⑴当兀=1时，等式左边=2, 等式右边=2X1=2,・•・等式成立.(2)假设兀=k(k G N+)等式成立,即仇+1)仇+2)…仇+Q=2忍1・3・5・・・・(2&—1)成立.那么n=k+l时，(k + 2)(* + 3)…仇+切(2& +1)(2* + 2) = 2(k +1)仇+ 2)仇+3)…仇+肪(2氐 + 1)=2*+1・1・3・5 (2k —1)-[2(^+1)-1]・即〃=&+1时等式也成立.由⑴⑵可知对任何7/ WN+等式均成立.3平面上有兀个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成~Tf(n)=n2—n+2部分.【思路点拨】用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k + l时比n=k时分点增加了多加了几块，本题中第&+1个圆被原来的&弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了个部分，问题就得到了解决.【证明】⑴当兀=1时，一个圆把平面分成两部分，且/⑴=1 —1 + 2 = 2,因此，〃=1时命题成立.(2)假设兀=k(k^l)时，命题成立，即&个圆把平面分成«切=护一&+2部分.如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前&个圆交于2&个点.这个点把这个圆分成％段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分.因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2&部分，即有f(k^l)=f(k)+2k=k2-k+2+2k = (k+^-(lc+1)+2.即当n=k+l时，f(n)=n2—n+2也成立.根据(1)、(2),可知兀个圆把平面分成了弘)=兀+2部分.【名师点评】有关诸如此类问题的论证，关键在于分析清楚兀=比与〃=无+1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起AQ与张+1)之间的递推关系.变式训练2平面内有EN+)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线Z/2 —I—Ji—(― 2把平面分成/(〃)=——个部分.证明：(1)当〃=1时，一条直线把平面分成两部分, 而/(1)=乎+；+2=2,・・・命题成立.(2)假设当n=k(k刃时命题成立，即k条直线把平面分成/(Q= 2「个部分• 则当兀=&+1时，即增加一条直线2,因为任何两条直线不平行，所以2与&条直线都相交，有&个交点；又因为任何三条直线不共点，所以母个交点不同于&条直线的交点，且&个交点也互不相同，如此& 个交点把直线2分成& + 1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了& + 1个平面部分.z +a +^+z a +M Z +為+Z+4+Z41+4+ z+r+d I+4+Q)m +4)J ・・考点三報用数学归纳法证明整除性用数学归纳法证明（工+ 1）" + 1 + （工+2）2”-1（〃WN+）能被严+3兀+3整除.【思路点拨】证明多项式的整除问题，关键是在考点三報用数学归纳法证明整除性（工+1）"+1+（工+2）2"—1 中凑出x2+3x+3.【证明】⑴当兀=1时，(x + l)1+1+(x+2)2X1_1=x2+3x+3 能被工2+3工+3 整除，命题成立.(2)假设当兀=尤仇$1)时，a+iy+i+a+2)2—1能被屮+3兀+3整除，那么 (工 + 1)仇+1)+1+(工+2)2 仇+D—1=(工 + l)(x+1)“+1+(x+2)2, (x+2严—1= (x+l)(x + l)fc+1+(x + l)(x+2)2A:_1—(x+l)-(x +2)2ET + (工 + 2)2(" + 2)2RT= (x + l)[(x + lRi + (x+2)^-i] + (^ + 3x + 3)-(x +2严—1.因为（兀+1）*+1+（工+2严-1和0+3兀+3都能被0+ 3卄3整除，所以上面的式子也能被兀2+3兀+3整除. 这就是说，当〃=尤+1时，（兀+ 1）伙+1）+1 + （工+ 2严+1）—1也能被於+ 3工+ 3整除.根据⑴⑵可知，命题对任何MWN+都成立.【名师点评】 用数学归纳法证明数或式的整除 的方法很多，关键是凑成〃=尤时假设的形式. 变式训练3 求证：d" +1 + (° +1)2" T 能被/ +a + 1整除(neN +)・ 证明：⑴当兀=1 时，a1+1+(«+l)2X1_1=a 2+a+ 1,命题显然成立. 性问题时，常釆取加项、减项的配凑法，而配凑⑵假设当n=k(k^l)时，a k+i + (a + l)2k~1能被0 +° + 1整除，则当n=k+l时，a k+2+(a+l)2k^~l=a9a k^~l+(a+l)2(a+l)2k~l=a\a k+1 + (a + 1)2A:_1] + (a + l)2(a + l)2Ar_1~a(a +=a [a k+l+(a+1)2^-1]+(a2+a+l)(a + l)2k~l, 由归纳假设，以上两项均能被a^+a + 1整除，故当〃=氐+1时，命题也成立.由(1)、(2)可知，对〃GN+命题都成立.误区警示・・+戸+予=1—予(其中底N+).【错证】⑴当n = l时，左边=；，右边=—；=* 等式成立.(2)假设当n=k(kM\)时，等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(1)和⑵可知，等式对任何n e N+都成立.【错因】从形式上看，会认为以上的证明是正确的，过程甚至是完整无缺的，但实际上以上的证明却是错误的.错误的原因在第⑵步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k-\-l时式子;+$+§+••• +2-1丁2"丁2"打的和，而没有利用“归纳假设”，这是在用数学归纳法证题时极易犯的一种错误，要引以为戒，一定要引起同学们的足够重视.【自我校正】(1)当〃=1时，左边=亍右边=1 (2)假设当时，等式成立，就是等式成立.这就是说，当M=k+1时，等式也成立• 根据⑴和⑵可知，等式对任何兀UN+都成立.1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证〃的初始值至关重要，它是递推的基础，但〃的初始值不一定是1,而是兀的取值范围内的最小值.2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时，应分析卩的与卩仇+1）的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发, 如仇+1）中分离出卩⑹再进行局部调整.3.在研究探索性问题时，由特例归纳猜想的结论不一定是真命题，这时需要使用数学归纳法证明, 其一般解题步骤是：归纳一猜想一证明.。
人教A版数学选修4-5备课资源：第四讲-用数学归纳法证明不等式-4.1-
教学建议
1.数学归纳法证明不等式与已学的证明不等式的方法之间的联系
在前面的学习中,已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式,还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中,有大量的关于正整数的不等式,如何证明它们呢?这就需要数学归纳法.
由于与正整数有关的不等式多是以数列和函数为载体,所以数列和函数的相关知识,如数列通项的递推公式、定义、函数的单调性等都应该及时巩固.在证明过程中,我们还会用到作差比较法、等价转化、分析法、反证法、放缩法等作为辅助手段,所以这些方法和技巧我们要熟悉.
数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与正整数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设要证的命题不成立,再推出矛盾,最后否定假设,肯定原命题),分析法也有自己的格式(综合法的逆过程),综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与正整数有关的不等式,其他方法不如数学归纳法简洁,在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.
2.常见的应用数学归纳法的错误
数学归纳法是一种比较常用的不等式的证明方法,但是容易出现很多错误,列举如下:
(1)数学归纳法证明问题的两个步骤是缺一不可的.对于第一步,我们要注意需要验证的n0是命题的初始值,但是不一定是1.
(2)n=k到n=k+1时要证明问题具有传递性,需要注意它们之间并不一定间隔一项,可能是多项.
(3)n=k到n=k+1时,还要注意n=k+1的证明必须要用到n=k时的假设,否则不是数学归纳法.
- 1 -。
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝ －(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．
高二数学,人教A版,选修4-5第4讲, 数学归纳法,课件
所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的基本过程
n＋2 1 － a 1 ．用数学归纳法证明：“1 ＋ a ＋ a2 ＋„＋ an ＋ 1 ＝ 1－a
(a≠1)”在验证 n＝1 时，左端计算所得的项为( A．1 C．1＋a＋a2 B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
)
解析： 左端＝1＋a＋a2＋„＋an＋1 共 n＋2 项，当 n＝1 时 an＋1＝a2 ∴左端＝1＋a＋a2
[ 思路点拨]
要证明的等式左边有 2n 项， 右边有 n 项， f(k)
与 f(k＋1)相比，左边增加二项，右边增加一项，而且左、右两 边的首项不同，因此，由 n＝k 到 n＝k＋1 时要注意项的合并．
[ 解题过程]
1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝1－ ＝ ， 2 2
1 右边＝ ，命题成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即有 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋„＋ － ＝ ＋ ＋„＋ . 2 3 4 2k 2k－1 2k k＋1 k＋2 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－ ＋ － ＋„＋ － ＋ － 2 3 4 2 k 2k－1 2k＋1 2k＋2
数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题. 1.数学归纳法的原理．(重点) 2.数学归纳法的应用； |a|≥0 ； a2 ＋ b2≥______ 2ab ； a ＋
答案： C
1 1 1 2．已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－2＋3－4＋„
1 1 1 1 1 ＋ －n＝2n＋2＋n＋4＋„＋2n 时．若已假设 n＝k(k≥2 为 n－1
高中数学人教A版选修4-5专题探究精讲课件第四讲二《用数学归纳法证明不等式》
当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k(k≥1)时，不等式成立，即 ak≥k＋2. 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a2k－kak＋1＝ak(ak－k)＋ 1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1)
课堂互动讲练
考点突破
用数学归纳法证明一般的不等式
例1 设 n>1(n∈N＋)，求证：n1＋n＋1 1＋…＋n12>1.
【思路点拨】 不等式左边的分母是连续变化的， 共有 n2－n＋1 项，从 n＝2 开始验证．
【证明】 (1)当 n＝2 时，左边＝12＋13＋14＝1132>1.
∴n＝2 时不等式成立．
【思路点拨】 欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出 f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以便于特殊探路— —从n＝1,2,3，…寻找、归纳一般性结论，再用数 学归纳法证明．
【解】 (1)由 y＝ x＋1＋1 得 x＋1＝y－1(y≥1)， 有 x＋1＝(y－1)2， 即 x＝y2－2y，故 g(x)＝x2－2x(x≥1)． (2)∵f(n)＝(a＋b)n－an－bn，g(2n)＝4n－2n＋1， 当 n＝1 时， f(1)＝0，g(2)＝0 有 f(1)＝g(2)． 当 n＝2 时， f(2)＝(a＋b)2－a2－b2＝2ab＝8， g(22)＝42－23＝8，有 f(2)＝g(22)．
与数列有关的不等式的证明
例2
设 数 列 {an} 满 足
an
＋
1
＝
a
2 n
－
nan
＋
1
，
n
＝
1,2,3，….
人教版高中数学选修4-5 第四讲 二 用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题， 又与绝对值有关，在证明递推关系时，应 注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
高二数学人教A版选修4-5课件：4.1 数学归纳法
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
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点评
利用数学归纳法证明整除时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”与“减 项”“因式分解”等变形技巧,凑出当n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.
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1.已知
1
a1=2,an+1=
������3���������+���������3,猜想
an
等于(
)
1234
A.������+3 2
B.������+3 3
C.������+3 4
1 2������+1
-
1 2������+2
+
1 ������+1
=������+1 2
+
������+1 3+…+21������
+
1 2������+1
+
1 2������+2
=(������+11)+1 + (������+11)+2+…+(������+11)+������ + (������+1)+1 (������+1),
人教A版高中数学选修4-5课件归纳法证明不等式课件
证明：①当n=1时，左边＝ 等式成立。 ②假设n=k时等式成立，有 那么，当n=k+1时，有
右边＝
即n=k+1时，命题成立。
根据①②可知，对n∈N＋，等式成立。
分析 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明 既然不对，如何改正？
三注意：1、有时n0不一定等于1 2、项Байду номын сангаас不一定只增加一项。
注意:用上假设 递推才真
在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是
2
2.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推 得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立， 那么可推得（） C A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立
3.如下用数学归纳法证明对吗？
（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k(k∈N＋，且k≥n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确
3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
利用 假设
从n=k到n=k+1有什么变化
凑结论 ∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。
如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？
必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。
问题情境三
多米诺骨牌操作实验
数学归纳法
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立
人教版A版高中数学选修4-5配套全册完整课件
C．ab＞a＞ab2
D．ab＞ab2＞a
解析：由－1＜b＜0，可得 b＜b2＜1，
又 a＜0，所以有 ab＞ab2＞a.
答案：D
3．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.ac＞bd B.ac＜bd C.ad＞bc D.ad＜bc 解析：因为 c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 所以 0＜ 1 ＜ 1 ，即 1 ＞ 1 ＞0.
若若abr且且ab0则baab??????????????????ba??????????????????ab2????????????ba????????????ab2
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第一讲 不等式和绝对值不等式
1．1 不等式 1．1.1 不等式的基本性质
[学习目标] 1.理解实数大小与实数运算性质间的关 系． 2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小 和证明简单的不等式(重点、难点)．
5．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2. 解析：因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－x2 －12x－36＝－1＜0， 所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2. 答案：＜
类型 1 用比较法比较大小(自主研析) [典例 1] 已知 x＞1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小． 解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－ (x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－ 1)x－122＋34.
3．用作差法比较两式的大小时，常采用因式分解、 配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形，从而 判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小．
[变式训练] 比较 x2－x 与 x－2 的大小． 解：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0. 所以 x2－x＞x－2.
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例 2]
求证 tan α· 2α＋tan 2α· 3α＋…＋tan(n－ tan tan
tan nα 1)α· nα＝ tan －n(n≥2，n∈N＋)． tan α
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝tan α· 2α， tan tan 2α 2tan α 1 右边＝ －2＝ · －2 tan α 1－tan2α tan α 2 ＝ 2 －2 1－tan α 2tan2α tan α· 2tan α ＝ ＝ 1－tan2α 1－tan2α ＝tan α· 2α，等式成立． tan
人教版高中数学选修4-5第四讲：用数学归纳证明不等式举例(两课时)ppt课件
知识回顾
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当
递推基础
n 取第一个值 （如
n n0 1 或 0 2等）时结论正确；
（2）假设时 nk 1 时结论也正确．
“找准起点，奠基要稳” n k ( k N结论正确，证明 且k n0 )
注 意： 的所有正整数n都成立
“用上假设，递推才真” 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 递推依据
人教版A 数学 选修4-5
高二【16、22】专用
第四讲 用数学归纳法 证明不等式
吴川一中
<高二数学备课组 >
陈智敏
探 究
比较2n与n2的大小
我们怎样证 明呢?
• 归纳猜想：
猜想正确吗?
解:当n=1时，2>1, 当n=2时，4=4, 当n=3时，8<9, 当n=4时，16=16, 当n=5时，32>25, 猜想:当n≥5时，2n>n2.
n
n >1＋ 都成立． 2
巩固练习
1．证明不等式： 1 1 1 1＋ ＋ ＋…＋ <2 n(n∈N*)． 2 3 n
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，命题成立，即 1 1 1 1＋ ＋ ＋… ＋ <2 k. 2 3 k 1 1 1 ∵当 n＝k＋1 时，左边＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ 2 3 k 2 kk＋1＋1 1 <2 k＋ ＝ ， k＋1 k＋1 1 k＋1
比较大小
[例 2] nn－1 2 设 Pn＝(1＋x) ，Qn＝1＋nx＋ x ，n∈N＋， 2
n
x∈(－1，＋∞)，试比较 Pn 与 Qn 的大小，并加以证明．
2019高二数学人教A版选修4-5课件：第四讲数学归纳法证明不等式复习
难点突破
例 2 证明不等式212＋312＋…＋n12<1(n≥2，n∈N＋)． 【规范解答】 可先证明212＋312＋…＋n12<1－1n(n≥2)，(*) 对(*)运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，(*)显然成立．
8
难点突破
(2)设 n＝k 时，不等式(*)成立，即212＋312＋…＋k12<1－1k.
28
随堂检测
(2)法一：由题设，gn(x)＝n＋121＋xn. 设 h(x)＝fn(x)－gn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn－n＋121＋xn，x>0. 当 x＝1 时，fn(x)＝gn(x)． 当 x≠1 时，h′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1－nn＋21xn－1. 若 0<x<1，h′(x)>xn－1＋2xn－1＋…＋nxn－1－nn＋ 2 1·xn－1＝nn＋ 2 1xn－1－nn＋ 2 1xn－1＝0.
随堂检测
1．用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋2n1－1＞16247成立，起始值至少取(
)
A．7 【解析】
B．8
C．9
D．10
左边等比数列求和 Sn＝11－－2112n＝2[1－(21)n]＞16247，
即 1－(21)n＞112278，(12)n＜1128.∴(12)n＜(12)7.
＝loga
＋
1＋14…1＋3n1－2.又13logabn＋1＝loga3 3n＋1，
因此要比较 Sn 与13logabn＋1 的大小，可先比较(1＋1)·1＋41…1＋3n1－2与3 3n＋1的大小．
14
难点突破
3 取 n＝1，有(1＋1)＞
由(1)(2)可知对于任意的自然数 n，等式都成立．
第四讲-数学归纳法证明不等式-章末复习课件(人教A选修4-5)
[例 4] 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a1n＋a，
求证：对一切
n∈N＋，有
1 1<an<1－a.
[证明] 用数学归纳法．
(1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a<1－1 a，显然命题成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即
1 1<ak<1－a.
当 n＝k＋1 时，由递推公式，知
≤1＋1 a1＋1＋1 a112＋212＋…＋2n1－1 ＝1＋1 a11＋12＋212＋…＋2n1－1 ＝1＋2 a1·1－21n<1＋2 a1≤1＋2 3＝12. 因此，原不等式成立.
在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比 较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步 骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个 独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而 “命题P(k＋1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用 归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析 一些常用技巧．
ak＋1＝a1k＋a>(1－a)＋a＝1， 同时，ak＋1＝a1k＋a<1＋a＝11－－aa2<1－1 a， 当 n＝k＋1 时，命题也成立．
即
1 1<ak＋1<1－a.
综合(1)、(2)可知，对一切正整数
n，有
1 1<an<1－a.
4．学会借用同一题中已证明过的结论 在从k到k＋1的过程中，若仅仅利用已知条件，有 时还是没有证题思路，这时考查同一题中已证明过的结 论，看是否可借用，这种“借用”思想非常重要．
2．放缩法 涉及关于正整数 n 的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时 也考虑用放缩法． [例 3] 求证：1＋12＋13＋…＋2n1－1>n2(n∈N＋)． [证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝12. 左边>右边，∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 即 1＋12＋13＋…＋2k1－1>k2. 当 n＝k＋1 时，
高中数学人教A版选修4-5配套课件：第四讲《数学归纳法》课件
什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所 有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k ( k N , 且k n0 ) 时命题成立,证明n=k+1 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.
A.2 k -1
B k
C .2k 1
D.2k 1
3.如果命题p( n)对n k成立, 则它对n k 2亦成立, 又若p( n)对n 2成立, 则下列结论正确的是( B ) A.p(n) 对所有正整数n成立 C.p(n) 对所有奇正整数n成立 B.p(n) 对所有偶正整数n成立 D.p(n) 对所有比1大的自然数n成立
例1 证明 : n 3 5n( n N )能够被6整除 .
证明 : (1)当n 1时, n 3 5n 6显然能够被6整除, 命题成立.
( 2)假设当n k ( k 1)时, 命题成立, 即k 3 5k能够被6整除. 当n k 1时,
( k 1)3 5( k 1) k 3 3k 2 3k 1 5k 5 (k 3 5k ) 3k ( k 1) 6
特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
课堂练习:
1.用数学归纳法证明: 1 a a 2 a n 1 (a 1)在验证 n 1时, 左端计算所得的项为 ( C ) C.1 a a 2 D.1 a a 2 a 3 1 1 1 2.用数学归纳法证明: 1 n n( n N , n 1), 2 3 2 1 第二步证明从" k到k 1" , 左端增加的项数是 ( B ) A.1 B.1 a
高二数学人教A版选修4-5教案第四讲数学归纳法证明不等式复习 Word版含解析
第四讲数学归纳法证明不等式复习一、复习目标掌握数学归纳法证明问题的基本思路二、课时安排课时三、复习重难点掌握数学归纳法证明问题的基本思路四、教学过程（一）知识梳理 数学归纳法—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ —数学归纳法原理—数学归纳法应用举例—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—整除问题—几何问题⎪⎪⎪⎪—其他不等式（二）题型、方法归纳归纳递推要用好归纳假设不等式证明中的强化命题从特殊到一般的数学思想方法（三）典例精讲题型一、归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用．在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(＝时命题成立)，推出＝＋时，命题成立．例用数学归纳法证明：对于∈＋，＋＋＋…＋1 (1)n n+＝.【规范解答】()当＝时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．()假设＝时等式成立，即＋＋＋…＋＝，当＝＋时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝，所以当＝＋时，等式也成立．由()()可知对于任意的自然数，等式都成立．[再练一题]．数列的前项的和记为.()求出，，的值；()猜想出的表达式；()用数学归纳法证明你的猜想．【解】()＝，＝，＝.()猜想：＝.()证明：①当＝时＝＝，右边＝.等式成立．②假设当＝时，＝，则当＝＋时，＋＝＋＋＝＋1(1)(2)k k++2(1)(1)(2)kk k+=++＝＝1(1)1kk+++，即当＝＋时，等式成立，。
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由 S1＝ 1 (a1 + 1 )， 即 a1＝ 1 ，
2 a1
a1
又a1>0，所以a1＝1.
1 ＝- 2， 即 a 22 + 2a 2 + 1 ＝2. a2 所以 a 2＝ 2 - 1，a 3 - 1 ＝- 2 2， a3 即 a 32 + 2 2a 3 + 2＝3, a2 -
(2)用数学归纳法证明数或式的整除性问题时，常采取加项、 减项的配凑法，而配凑的方法很多，关键是凑成n＝k时假设 的形式.
【典例3】证明n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除. 【证明】(1)当n=1时,xn+yn=x+y,它能被x+y整除,所以n=1时 命题成立. (2)假设当n=k(k为正奇数,k≥1)时,命题成立,即xk+yk能被 x+y整除.
类型 三
利用数学归纳法证明整除问题
利用数学归纳法证明整除问题的思路与方法
(1)在使用数学归纳法证明整除问题时，一般说来，第一步验
证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂. 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的.其实归纳步骤可以看 作是一个独立的证明问题，归纳假设“p(k)成立”是问题的 条件，而“命题p(k+1)成立”就是所要证明的结论，因此， 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键.
类型 四
数学归纳法与数列的综合应用 运用数学归纳法时的注意事项
(1)对项数要估算正确，特别是寻找n＝k与n＝k+1的关系时， 项数发生什么变化容易被弄错. (2)必须利用归纳假设. (3)关键步骤要清晰明了，“假设n＝k时结论成立，利用此假 设证明n＝k+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步， 也是证明问题最重要的环节，注意证明过程的严谨性、规范
当n=k+2时, xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk-x2·yk =x2(xk+yk)+yk(y2-x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y-x). 由归纳假设知,xk+yk能被x+y整除,(y+x)(y-x)也能被x+y整除. 所以x2(xk+yk)+yk(y+x)(y-x)能被x+y整除. 即xk+2+yk+2也能被x+y整除.故对n=k+2时命题也成立. 由(1)(2)知命题对一切正奇数都成立.
k(k + 2) + 1 (k + 1) 2 ＝ ＝ 4(k + 1)(k + 2) 4(k + 1)(k + 2) k+ 1 k+ 1 ＝ ＝ . 4(k + 2) 4(k + 1 + 1)
所以当n＝k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对于一切n∈N+等式都成立.
类型 二
利用数学归纳法证明不等式
( k 2 + 3k + 2) 2 - ( k + 1 +
k )2
ห้องสมุดไป่ตู้
＝k 2 + k + 1- 2 k(k + 1)＝( k(k + 1) - 1) 2＞0，
从而 k 2 + 3k + 2＞ k + 1 + k.
于是当n＝k+1时，原不等式也成立.
由(1)(2)可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立.
1 1 +? ＜ n，n ? N + . 2 3 n(n + 1) 【证明】(1)当n＝1时，因为 1 ＝ 1 ＜， 1 所以原不等式成 1´ 2 2
【典例2】求证：
1 + 1创2
立. (2)假设n＝k(k≥1，k∈N+)时，原不等式成立，即有
1 1 +? ＜ k， 2 3 k(k + 1) 1 1 1 + +? + 当n＝k+1时， 1创2 2 3 k(k + 1) 1 ＜ k+ . (k + 1)(k + 2) 1 + 1创2
性.
【典例4】已知正项数列{an}满足 Sn＝1 (a n + 1 ).
2 an
(1)求a1，a2，a3并推测an. (2)用数学归纳法证明你的结论. 【解析】(1)由 Sn＝ 1 (a n + 1 ) 知
2 an 当n≥2时，Sn- 1＝ 1 (a n- 1 + 1 ), 2 a n- 1 所以 a n＝ 1 (a n + 1 ) - 1 (a n- 1 + 1 ). 2 an 2 a n- 1 整理得： a n - 1 ＝- (a n- 1 + 1 ), an a n- 1
1 (k + 1)(k + 2)
因此，欲证明当n＝k+1时，原不等式成立，
只需证明
k+
1 ＜ k + 1 成立. (k + 1)(k + 2)
即证明
k + 1-
k＞
从而转化为证明 也就是证明 即
1 . (k + 1)(k + 2) 1 1 ＞ ， 2 k + 1+ k k + 3k + 2
k，
k 2 + 3k + 2＞ k + 1 +
阶段复习课 第四讲
整除问题 【答案速填】①_________ 贝努利不等式 ③_____________
几何问题 ②_________
类型 一
利用数学归纳法证明恒等式 数学归纳法证明恒等式的要点分析
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时， 它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论 成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k+1 时结论也成立.它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成 立.
1 1 1 + + +? 2创4 4 6 6? 8 1 2k(2k k ＝ ， 2) 4(k + 1)
则当n＝k+1时，
1 1 1 + + +? 2创4 4 6 6? 8
＝
1 2k(2k
1 + 2) 2(k + 1) ［2(k + 1) + 2］
k 1 + 4(k + 1) 4(k + 1)(k + 2)
【典例1】用数学归纳法证明：
1 1 1 + + +? 2创4 4 6 6? 8 1 2n(2n 2) ＝ n (n ? N+ ). 4(n + 1)
【证明】(1)当n＝1时，
1 1 ＝ ， 2创 1 (2? 1 2) 8 1 1 右边＝ ＝ ， 4(1 + 1) 8
左边＝
左边＝右边，所以等式成立. (2)假设n＝k(k∈N+)时等式成立，即有
利用数学归纳法证明不等式的关键策略
应用数学归纳法证明不等式的关键是在运用归纳假设时，应
分析p(k)与p(k+1)的差异及联系，利用拆、添、并、放等手 段，从p(k+1)中分离出p(k)，再进行局部调整，也可考虑寻 求二者的结合点，以便顺利过渡，利用归纳假设，经过适当 放缩、恒等变形，得到结论需要的形式.