高考数学 4.5数系的扩充与复数的引入配套课件 文 新人教A版
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高考数学(人教)一轮复习配套课件4.5 数系的扩充与复数的引入(共56张PPT)
A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i
(2)(2013·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为
.
(3)(2013·上海高考)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则
m=
.
【解题视点】(1)由复数相等的意义确定a,b的值，由共轭复数的概念确定答 案. (2)先化简复数z,再求复数z的模. (3)由纯虚数的概念求解.
江西T1 安徽T1 北京T4
福建T1 广东T3 辽宁T2
天津T9 重庆T11 上海T3
湖北T11 江苏T2
三年 12年(13考)：新课标全国卷T2 陕西T4
考题
湖南T2 北京T2 江西T1
山东T1 广东T1 江苏T3
安徽T1 浙江T2 辽宁T3
福建T1 天津T1
11年(10考)：江苏T3 陕西T8 湖南T2
【规范解答】(1)选D.因为(a+i)(1+i)=a－1+(a+1)i=bi，所以a－ 1=0,a+1=b，即a=1,b=2，所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共;i2-4i=3-4i，故|z|=5. 答案：5 (3)m2+m－2+(m2－1)i是纯虚数⇒ 答案：-2
【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与
虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数 形式，即a+bi(a,b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.
2.复数 A.1
B=1.(-1 )
C.i
D.-i
【解析】选i D.
(2)(2013·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为
.
(3)(2013·上海高考)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则
m=
.
【解题视点】(1)由复数相等的意义确定a,b的值，由共轭复数的概念确定答 案. (2)先化简复数z,再求复数z的模. (3)由纯虚数的概念求解.
江西T1 安徽T1 北京T4
福建T1 广东T3 辽宁T2
天津T9 重庆T11 上海T3
湖北T11 江苏T2
三年 12年(13考)：新课标全国卷T2 陕西T4
考题
湖南T2 北京T2 江西T1
山东T1 广东T1 江苏T3
安徽T1 浙江T2 辽宁T3
福建T1 天津T1
11年(10考)：江苏T3 陕西T8 湖南T2
【规范解答】(1)选D.因为(a+i)(1+i)=a－1+(a+1)i=bi，所以a－ 1=0,a+1=b，即a=1,b=2，所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共;i2-4i=3-4i，故|z|=5. 答案：5 (3)m2+m－2+(m2－1)i是纯虚数⇒ 答案：-2
【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与
虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数 形式，即a+bi(a,b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.
2.复数 A.1
B=1.(-1 )
C.i
D.-i
【解析】选i D.
数系的扩充和复数的概念 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共19张PPT)
第七章来自人教2019A版必修 第二册
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
回顾数系的扩充过程
①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2,求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ,并且规定：
思考:根据上述几个例子,复数z= a+bi可以是实数吗？ 满足什么条件？
（三）复数的分类
实数 ( b 0 )
复数 Z=a+bi
纯虚数 ( a 0, b 0 )
虚数 ( b 0 ) 非纯虚数
( a 0, b 0 )
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？
复数 集
虚数集 实数 纯虚数集 集
例1: 实数m取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i
是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
解: （1）当 m 1 0 ,即 m 1时,复数z 是实数。
（2）当 m 1 0 ,即 m 1时,复数z 是虚数。
（3）当
m m
1 1
0 0
,即 m
纯虚数。
时1 ,复数z
是
练习:当m为何实数时,复数 z=m2+m-2+(m2-1)i
全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母 C表示 。
（二）复数的代数形式 复数通常用字母 z表示,即
z a bi （a、bR）
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
练习:把下列式子化为 a+bi（a、bR）的形式,并分别指出它 们的实部和虚部。 2 -i = 2+(-1)i ；-2i = 0+(-2)i ；5= 5+0i ；0= 0+0i .
复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、引入新课
回顾数系的扩充过程
①分
自
分数 数
然 数
②整
负数 数
有理数
③ 实数 无理数
①10÷3=？ ②3–5 = ？ ③正方形的面积是2,求该正方形的边长a。 ④求方程x2+1=0的解。
现在我们就引入这样一个新数 i ,并且规定：
思考:根据上述几个例子,复数z= a+bi可以是实数吗？ 满足什么条件？
（三）复数的分类
实数 ( b 0 )
复数 Z=a+bi
纯虚数 ( a 0, b 0 )
虚数 ( b 0 ) 非纯虚数
( a 0, b 0 )
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？
复数 集
虚数集 实数 纯虚数集 集
例1: 实数m取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i
是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
解: （1）当 m 1 0 ,即 m 1时,复数z 是实数。
（2）当 m 1 0 ,即 m 1时,复数z 是虚数。
（3）当
m m
1 1
0 0
,即 m
纯虚数。
时1 ,复数z
是
练习:当m为何实数时,复数 z=m2+m-2+(m2-1)i
全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母 C表示 。
（二）复数的代数形式 复数通常用字母 z表示,即
z a bi （a、bR）
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
练习:把下列式子化为 a+bi（a、bR）的形式,并分别指出它 们的实部和虚部。 2 -i = 2+(-1)i ；-2i = 0+(-2)i ；5= 5+0i ；0= 0+0i .
数系的扩充和复数的概念(课件)-人教A版(2019)必修第二册
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力 的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉 斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci2, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的 数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可 名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列 的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循 环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。
实数
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代 肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实 数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯 （1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ） 作出了杰出的贡献。
整数集
有理数集
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1 1
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
实数
பைடு நூலகம்有理数 无理数
7.1复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
09人教A版 必修二
数系的扩充与复数的概念-课件--高一年级数学人教A版必修第二册
的与.
复数的代数形式
通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位。
判断数 2, 1+ 2i, 3i的实部与虚部
复数的分类： 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数集
虚数集
实数集
实数 (b＝0)，
纯虚数集
虚数 (b≠0) 纯虚数a＝0，b≠0 ， 非纯虚数_a_≠__0_,_b_≠__0___
a bi c di a c,b d
a bi 0 a b 0
两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小
例题讲解
例2 已知(2x 1) i y (3 y)i ，其中x, y R ，求 x与 y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
所以 x 5 , y 4
即 m＝2 时，复数 z 是实数．
(2)当
m2－2m≠0，
m≠0，
即
m≠0
且
m≠2
时 ，复复数数z
z是虚数．
(3)当 m2＋mm－是6＝虚0数，即． m＝－3 时，复数 z 是纯虚数． m2－2m≠0，
相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a, b, c, d R，那么
2
四、课堂小结
1.虚数单位i的引入；
复数的代数形式:
2.复数有关概念： 虚数、纯虚数
复数相等
3.复数的分类：
五、当堂检测
1.说出下列复数的实部和虚部：
-2 1 i , 2 i , 2 , 3i , i, 0 .
3
2
2.说出下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚
高中数学 复习课(三)数系的扩充与复数的引入课件 新人教A版选修2-2.pptx
∴ab＝ ＝－ －31， 0.
答案：－3 －10
16
复数的代数运算 (1)复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重 点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除 法运算为主． (2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四 则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具， 将复数问题实数化求解．
复习课(三) 数系的扩充与复数的引入
复数的概念 (1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查 内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小． (2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．
1
[考点精要]
1．复数是实数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0. (2)z∈R⇔z＝ z . (3)z∈R⇔z2≥0. 2．复数是纯虚数的充要条件 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0. (2)z是纯虚数⇔z＋ z ＝0(z≠0)． (3)z是纯虚数⇔z2<0.
9
[考点精要]
1．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是 (a，bi)； (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点 O 为起点 的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 OZ 相等的向量有 无数个． 2．复数的模 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ a2＋b2； (2)从几何意义上理解，复数 z 的模表示复数 z 对应的点 z 和 原点间的距离．
15
3．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上
所对应的点分别为A，B，C.若
―→ OC
＝2
―→ OA
＋
―→ OB
，则a＝
高考数学 第四章 第五节 数系的扩充与复数的引入课件 理 新人教A版
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)方程x2+x+1=0没有解.( ) (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离， 也就是复数对应的向量的模.( )
第五节 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念 (1)定义： 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a叫做_实__部__，b叫做 _虚__部__.
(2)分类：
复 数 的 分 类
满足条件(a,b为实数) a+bi为实数⇔_b_=_0_ a+bi为虚数⇔_b_≠__0_
a+bi为纯虚数⇔
1 2i
则a+b的值为_______.
【思路点拨】
【规范解答】(1)选A. 因为z=1+i，所以 z =1-i， ∴ z2 = z(12 +i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚部为0.
(2)由条件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,
∴|z|= 82 = 1620.
答案:10
(3)∵a+bi=
1.已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
(A)- 3
(B) 3
2
(C)- 2
(D) 2
3
3
【解析】选A.(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i为纯虚
数，故
3＋ 2－
2 3
a a
＝得0，a＝－
0,
.
数系的扩充和复数的概念【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件2
易错警示 在利用复数的有关概念解题时,需要注意一些隐含条件,如本题中a2-1 ≠0这一条件.
对复数扩充过程的理解
在对数字运算的研究过程中,意大利数学家卡当(1501—1576年)遇到一个让他 非常头痛的问题,即将10分成两部分,使两部分的乘积等于40,那么这两部分分别是 多少?
1.列出解决此问题的方程. 提示:设其中一个数是x,则x满足方程x(10-x)=40,即x2-10x+40=0.
所以m2-2提m+示(m2:+复m-数2)i=z-是1或实m2-数2m的+(m充2+要m-2条)i=4件i. 是
(2)当z为虚数时,m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是实数?
分m为别何确值定时两即,个复复数数z=的 实+部(m与2虚+5部m;+6)i(m∈R,i为解虚数得单m位=)是-2虚,数?
提解示析:复(数1)解z当是z析虚∈数R时的,(充m12要)-若2条m件复-1是5=数0,解解z是得得mm实≠=-53数或且mm,则=≠--32.,
判断此方程在实数范围内解的情况. m为何值时,复数z= +(m2+5m+6)i(m∈R,i为虚数单位)是纯虚数?
提 由示0<：i⇒两0×个即i<虚i2数⇒0不<能-1比,这较与大0>小-1.矛盾;由0>所i⇒-i以×0>ai×=(6-i).⇒-i2<0⇒1<0,这与1>0矛盾.
2.判断此方程在实数范围内解的情况. 提示:由判别式Δ=(-10)2-4×40=-60<0知,此方程无实数解. 3.在复数范围内,如何解此方程?
新教材高中数学第七章复数.数系的扩充和复数的概念课件新人教A版必修第二册
【解析】因为 x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
y＋1＝0，
所以
且 x2－1＞2x＋3，
y2－1＝＋ 5 ，
即实数 x，y 的取值范围是
x＜1－ 5 或 x＞1＋ 5 ，y＝－1.
复数中比较大小问题： 1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数(即两个复数的虚部均为 0).
解得 x＝－2. 答案：－2
学情诊断·课堂测评
1．(2021·无锡高一检测)已知 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数的 充要条件是( ) A．a＝0 或 a＝2 B．a＝0 C．a∈R 且 a≠2 且 a≠－3 D．a∈R，且 a≠2
【解析】选 B.因为 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数需满足
a2－2a＝0
，解得 a＝0.
a2＋a－6≠0
2．以 3i－1 的虚部为实部，以－2＋i 的实部为虚部的复数是( ) A．－2＋3i B．－3＋i C．－2i＋3 D．1－3i 【解析】选 C.3i－1 的虚部为 3，－2＋i 的实部为－2，故以 3i－1 的虚部为实部， 以－2＋i 的实部为虚部的复数是 3－2i.
1．本质：复数是数系的扩充，复数集是对实数集的扩展． 2．混淆：复数与实数不一样，两个复数不能比较大小． 3．对复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其中 0 ＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．若 a∈R，i 为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i 为纯虚数”的
新人教A版必修二 数系的扩充与复数的引入 课件(10张)
z2)+z3=z1+(z2+z3).
3.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量OZ1
、
OZ
2
不共线,则复数z1+z2是以
OZ1
、OZ
2
为
两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z1-z2是
OZ1
-
OZ
2
=
Z2 Z1ຫໍສະໝຸດ 所对应的复数.方法技巧
方法 1 复数的概念及几何意义
实数(b 0),
1.复数的分类:a+bi(a,b∈R)虚数(b
0)
纯虚数(a 0), 非纯虚数(a 0).
2.处理有关复数概念的问题时,首先要找准复数的实部与虚部(若复数
为非标准的代数形式,则应通过代数运算化为标准代数形式),然后根据
定义解题.
3.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.
(2)(2017天津,9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若
a 2
i i
为实数,则a的值为
.
解析 (1)∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,
∴1a∴a1 a<00,,-1.故选B.
(2)因为 a =i (a= i)(2为实i) 数2,a所以1-(a =20)i,解得a=-2. a 2
2 i (2 i)(2 i)
5
5
答案 (1)B (2)-2
方法 2 复数的四则运算解题方法
1.利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用 方法. 2.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进 行,除法则需分母实数化. 3.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度:
3.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量OZ1
、
OZ
2
不共线,则复数z1+z2是以
OZ1
、OZ
2
为
两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z1-z2是
OZ1
-
OZ
2
=
Z2 Z1ຫໍສະໝຸດ 所对应的复数.方法技巧
方法 1 复数的概念及几何意义
实数(b 0),
1.复数的分类:a+bi(a,b∈R)虚数(b
0)
纯虚数(a 0), 非纯虚数(a 0).
2.处理有关复数概念的问题时,首先要找准复数的实部与虚部(若复数
为非标准的代数形式,则应通过代数运算化为标准代数形式),然后根据
定义解题.
3.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.
(2)(2017天津,9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若
a 2
i i
为实数,则a的值为
.
解析 (1)∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,
∴1a∴a1 a<00,,-1.故选B.
(2)因为 a =i (a= i)(2为实i) 数2,a所以1-(a =20)i,解得a=-2. a 2
2 i (2 i)(2 i)
5
5
答案 (1)B (2)-2
方法 2 复数的四则运算解题方法
1.利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用 方法. 2.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进 行,除法则需分母实数化. 3.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度:
高考高考数学总复习 第四章 第5节 数系的扩充与复数的引入课件
[解析] ∵(1－i)(a＋bi)＝a＋b＋i(b－a)， ∴3＋bi＝a＋b＋i(b－a)(a，b∈R)， 因此 a＋b＝3.
[答案] 3
A
16
考向 1 复数的有关概念
【典例 1】 (1)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i(a∈R)是纯虚
数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
()
A．A
B．B
C．C
D．D
图 4-5-2
A
10
[解析] 共轭复数对应的点关于实轴对称．
[答案] B
A
11
3．(2014·江西高考)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)， 则|z|＝( )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
A
12
[解析] ∵z(1＋i)＝2i， ∴z＝12＋i i＝2i（12－i）＝1＋i， ∴|z|＝ 12＋12＝ 2.
[答案] C
A
13
4．(2014·江苏高考)已知复数 z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为________．
A
14
[解析] ∵z＝(5＋2i)2＝21＋20i， ∴z 的实部为 21.
[答案] 21
A
15
5．若 3＋bi＝(1－i)(a＋bi)(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a ＋b＝________．
(1)点 A 所在的象限； (2)向量O→B对应的复数．
A
29
[解] (1)z＝12＋i i＝（12＋i（i）1－（i1）－i）＝1＋i，
所以 z 的共轭复数－z ＝1－i， 所以点 A(1，－1)位于第四象限． (2)又点 A，B 关于原点 O 对称． ∴点 B 的坐标为 B(－1，1)． 因此向量O→B对应的复数为－1＋i.
[答案] 3
A
16
考向 1 复数的有关概念
【典例 1】 (1)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i(a∈R)是纯虚
数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
()
A．A
B．B
C．C
D．D
图 4-5-2
A
10
[解析] 共轭复数对应的点关于实轴对称．
[答案] B
A
11
3．(2014·江西高考)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)， 则|z|＝( )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
A
12
[解析] ∵z(1＋i)＝2i， ∴z＝12＋i i＝2i（12－i）＝1＋i， ∴|z|＝ 12＋12＝ 2.
[答案] C
A
13
4．(2014·江苏高考)已知复数 z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为________．
A
14
[解析] ∵z＝(5＋2i)2＝21＋20i， ∴z 的实部为 21.
[答案] 21
A
15
5．若 3＋bi＝(1－i)(a＋bi)(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a ＋b＝________．
(1)点 A 所在的象限； (2)向量O→B对应的复数．
A
29
[解] (1)z＝12＋i i＝（12＋i（i）1－（i1）－i）＝1＋i，
所以 z 的共轭复数－z ＝1－i， 所以点 A(1，－1)位于第四象限． (2)又点 A，B 关于原点 O 对称． ∴点 B 的坐标为 B(－1，1)． 因此向量O→B对应的复数为－1＋i.
高考数学 第四章 第五节 数系的扩充与复数的引入课件 文 新人教A版
新课标 ·文科数学（安徽专用）
第五节 数系的扩充与复数的引入
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主 落
1．复数的有关概念
体 验
实 ·
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，
· 明
______，则a＋bi为实数， 考 若________，则a＋bi为虚数，若_b_＝__0_________，则a＋ 情
考 情
础
“ab＝0”是“复数a＋bi 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
典
D．既不充分也不必要条件
例 探 究
(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝
2 －1＋i
的四个
课 后 作
· 提
命题：
业
知 能
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
【尝试解答】
(1)若ab＝0，则当a＝1，b＝0时，a＋
b i
高 考 体
落 实 · 固
是实数，不是纯虚数，若a＋bi 是纯虚数，由a＋bi ＝a－bi知a
第五节 数系的扩充与复数的引入
高
自
考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主 落
1．复数的有关概念
体 验
实 ·
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，
· 明
______，则a＋bi为实数， 考 若________，则a＋bi为虚数，若_b_＝__0_________，则a＋ 情
考 情
础
“ab＝0”是“复数a＋bi 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
典
D．既不充分也不必要条件
例 探 究
(2)(2012·课标全国卷)下面是关于复数z＝
2 －1＋i
的四个
课 后 作
· 提
命题：
业
知 能
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主
【尝试解答】
(1)若ab＝0，则当a＝1，b＝0时，a＋
b i
高 考 体
落 实 · 固
是实数，不是纯虚数，若a＋bi 是纯虚数，由a＋bi ＝a－bi知a
高考数学一轮复习 44数系的扩充与复数的引入课件 新人教A版
基础自评
1．设 i 为虚数单位，则复数5－i 6i＝(
)
Hale Waihona Puke A．6＋5iB．6－5i
C．－6＋5i
D．－6－5i
解析 5－i 6i＝－5i－6＝－6－5i，选 D. 答案 D
2．若复数52－－aii＝2＋i(a∈R)，则实数 a 的值为(
)
A．0
B．－1
C．1
D．2
解析 52－－aii＝2＋i⇒5－ai＝(2＋i)(2－i)⇒ai＝0⇒a＝0.
答案 1
题型二 复数的几何意义
【例 2】 (1)(2013·湖北卷)在复平面内，复数 z＝12＋i i(i 为虚
数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)复数 z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数 a 的取
值范围是( )
【答案】 (1)D (2)A
【规律方法】 解决此类问题，一方面要了解复数的几何意 义(如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复 数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式 的四则运算．
A．－1<a<1 B．a>1
C．a>0
D．a<－1 或 a>1
听 课 记 录 (1)z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝1＋i， z ＝1－i， z 对 应的点为(1，－1)位于第四象限，选 D.
(2)∵|z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 5，|z1|<|z2|， ∴ a2＋4< 5，∴a2<1，∴－1<a<1.
答案 A
3．已知复数 z＝1－3＋3ii2，若 z 是 z 的共轭复数，则 z·z ＝(
高中数学人教A版必修第二册数系的扩充与复数的概念优秀课件
i2=-1
实数外存在一个数i,它的平方等于-1
子默数学
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
思考
方程 x2 -1 有一个根x i.
另一个根？ -i
（-i）2 (1)2 i2 1
子默数学
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
复数相等： a,b,c,d R
a+bi与虚数不能比较大小
复数的分类： 复数
（z=a+bi）
(1（) x y） ( y 1)i （2x 3y） (2 y 1)i; (2（) x y 3） (x 2)i 0.
解：根据复数相等的充要条件得：
x
(1)
y
y 2x 3y解 1 2y 1
得
：xy
4 ;
2
(2)xx
y 2
3 0
0解
得
：xy
2 . 1
子默数学
再见
子默数学
实数（b=0） 虚数（b 0）
纯虚数（a=0,b 0）
复数集
虚数集
实数集
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
纯虚数集
子默数学
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
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考向 1 复数的概念
【典例1】(1)(2012·江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位),
z
是z的共轭复数，则
z2
2
z
的虚部为(
)
(A)0
(B)-1
(C)1 (D)-2
3.复数代数形式的四则运算
(1)运算法则:
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则
运算名称
符号表示
语言叙述
加减法
z1±z2=(a+bi)±(c+di) = _(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_
把实部、虚部分别相加减
乘法
z1•z2=(a+bi)(c+di) = _(_a_c_-_b_d_)_+_(_a_d_+_b_c_)_i_
1＋ i
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
【解析】选C. z ＝ 2 － 3 i＝ (2 － 3 i)(1 － i)＝ － 1 － 5 i＝ － 1 － 5 i,
1 ＋ i (1 － i)(1 ＋ i) 2 22
故复数对应的点为 ( 1 , 位5 ，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对 应的点分别为A，B，C，若 O C ＝ xO A ＋ yO B (O为原点)，则 x＋y=_______.
1.已知a∈R，若(1－ai)(3＋2i)为纯虚数，则a的值为( )
( A ) 3 ( B )3 ( C ) 2 ( D )2
2
2
3
3
【解析】选A.(1－ai)(3＋2i)＝(3＋2a)＋(2－3a)i为纯虚
数，故
3＋ 2－
2 3
a a
＝得0，
0,
a＝ － 3 . 2
2.下面是关于复数 z 2 的四个命题：
第五节 数系的扩充与复数的引入
1.复数的有关概念
(1)定义：
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实部是_a_，虚部是_b_.
(2)分类：
满足条件(a,b为实数)
复
a+bi为实数⇔_b_=_0_
数
a+bi为虚数⇔_b_≠__0_
的
分 类
a 0,
a+bi为纯虚数⇔__ _b __0____
3.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )
(A)a＝1，b＝1
(B)a＝－1，b＝1
(C)a＝1，b＝－1
(D)a＝－1，b＝－1
【解析】选C.由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，
根据复数相等得：a＝1，b＝－1.
4.已知i为虚数单位，则复数 z ＝ 2－ 3 i 对应的点位于( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离， 也就是复数对应的向量的模.( ) (6)复数的加减运算类似于多项式的加减运算，乘法运算类似 于多项式的乘法运算，除法运算类似于分母有理化，在乘除运 算中要注意i2=-1.( )
【解析】(1)错误.在实数范围内，方程x2+x+1=0没有实数解； 但在复数范围内，此方程有解，且解为 x 1 故不3i .正确.
1 i
p1:|z|=2；p2:z2=2i； p3:z的共轭复数为-1+i； p4:z的虚部为1. 其中真命题为( )
(A)p2,p3
(B)p1,p2 (C)p2,p4
(D)p3,p4
【解析】选C. z 2 2(1i)1i,
1i 11
∴ |z| 2,zz2的2共i,轭复数为1-i,
z的虚部为1，故C正确.
a c,
(3)复数相等：a+bi=c+di⇔___b__ _d___(a,b,c,d∈R).
a c,
(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔___b___ _d _(a,b,c,d∈R). (5)复数的模： 向量 O Z 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作_|_z_|_或_|_a_+_b_i_|_， 即|z|=|a+bi|= ___a_2___b_2 _(a,b∈R).
【解析】由 O C x O A ＋ y O B ,
得(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)，∴
解得
x y
＝ ＝
故1 ， x＋y＝5.
4,
－ x＋ y＝3，
2
x－
y＝
－2
.
答案：5
6.设z1是复数， z2＝z1－iz1 (其中 z 1 表示z1的共轭复数)， 已知z2的实部是－1，则z2的虚部为_____. 【解析】设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－i(x－yi) ＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，则y－x＝1. 答案：1
2
(2)错误.根据复数的概念，在复数z=a+bi中，虚部应为b.故 不正确. (3)错误.只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小， 其他情况不能比较大小.故不正确.
(4)正确.原点在实轴上，也在虚轴上.故正确. (5)正确.根据复数的几何意义可知此结论正确. (6)正确.根据复数的四则运算的法则，结论正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
按照多项式乘法进行，并 把i2换成-1
运算名称
符号表示
语言叙述
除法
z1abi(abi)(cdi) 把分子、分母分别乘
z2 cdi (cdi)(cdi) =____acc_2__bd_d2___bc_c2___da_d2_i____
以分母的共轭复数， 然后分子、分母进行
(c+di≠0)
乘法运算
(2)复数加法的运算律:
设z1,z2,z3∈C，则复数加法满足以下运算律: ①交换律：z1+z2=_z_2_+_z_1 ； ②结合律：(z1+z2)+z3= _z_1_+_(_z_2+_z_3_)_.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)方程x2+x+1=0没有解.( ) (2)复数z=a+bi(a,b∈R)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( )
2.复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立_直__角__坐__标__系__来表示复数的平面叫 做复平面. (2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_实__轴__,y轴叫做_虚__轴__， 实轴上的点都表示_实__数__；除了原点外，虚轴上的点都表示 _纯__虚__数__. (3)复数的几何表示： 复数z=a+bi 一一对应 复平面内的点_Z_(_a_,_b_)_ 一一对应 平面 向量__O_Z___.