高考数学综合能力题30讲第18讲 直线与二次曲线
直线与二次曲线
专题五 直线与二次曲线直线与二次曲线问题是高中数学的重点内容，根据对近几年高考试题分析，本专题分值均占全卷的20%—25%，且选择题，填空题，解答题均有涉及到，是高考的重，热点问题。
这一专题在高考中占有一定的地位，主要呈现在以下几个方面：1． 考直线与圆的有关基本概念，基本方法多以选择题或填空题的形式出现，基本属于中，低档题，有时也分散在解答题目中，特别是近年出现的线形规划，解析几何与向量结合等是常考的试题。
2． 考查圆锥曲线的基本概念，标准方程与几何性质等基础知识，以及处理有关问题的基本技能，基本方法，也常以选择题和填空题目形式出现。
3． 直线与二次曲线的位置关系，圆锥曲线与有关知知识综合问题常以压轴题或中难度题目的形式出现，性质，基本概念，基础知识常以新的知识为载体，附以新的情景，考察学生的综合应用知识灵活解决问题的能力。
考点一 （直线与圆）例1：已知坐标平面内，A242m m -+），B （1，2m —6）（m ∈R ），则直线AB 的倾斜角取值范围（ ）例2：设x ，y 满足约束条件 4335251x y x y x -≤-+≤≥ 分别求：（1） Z=y x最大值，最小值。
（2） Z=∣x-4y+1∣的最大值，最小值例3：有定点P （6，4）及定直线L ：y=4x ，点Q 是在直线L 上第一象限内的点，直线P ，Q 交x 轴的正半轴于M ，问点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小考点二（二次曲线的概念及性质）例1：在平面直角坐标系中，若方程222(21)23m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，求实数m 的取值范围。
例2：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线交椭圆第二象限于P ，椭圆离心率为e ，且∣PF 1∣=e ∣PF 2∣，求e 的值。
例3：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(,0)x y m n m n-=>有公共焦点F 1，F 2，P 是它们一个公共点。
高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题
1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间
为(1,e],f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
课堂考点探究
变式题1 已知f(x)=ax-ln
ln
x,x∈(0,e],g(x)= ,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,
a∈R.
1
1
上的最大值为- ,f(x)在 ,2
2
2
上的最小值为ln 2-2.
课堂考点探究
变式题2 [2021·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=ln
1 2
x- x .
2
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
解:原不等式即为ln
1 2
ln
1
ln
1
x- x >(2-a)x2,可化简为2-a< 2 - .记g(x)= 2 - ,则原不等式
用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结
构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
课堂考点探究
(2)可化为不等式恒成立问题的基本类型:
类型1:函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,只需f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
类型2:函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,只需f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式
放缩法等.
课堂考点探究
探究点一
恒成立与能成立问题
例1 [2022·南京调研] 设函数f(x)=(x2-a)ex,a∈R,e是自然对数的底数.
高中数学二次曲线的一般方程解析及应用实例
高中数学二次曲线的一般方程解析及应用实例二次曲线是高中数学中的重要内容，它在几何形状、函数图像以及实际问题中都有广泛的应用。
本文将从一般方程的解析入手，通过具体的应用实例，深入讲解二次曲线的相关知识点和解题技巧。
一、二次曲线的一般方程解析二次曲线的一般方程为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且A、B、C不全为0。
根据系数B^2 - 4AC的正负，可以将二次曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。
1. 椭圆：当B^2 - 4AC < 0时，二次曲线为椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，具有两个轴，分别为长轴和短轴。
解析中，我们可以通过平移坐标轴的方法，将椭圆的一般方程化为标准方程。
例如，考虑方程2x^2 + 3xy + 4y^2 - 8x - 10y + 5 = 0，根据系数B^2 - 4AC =3^2 - 4(2)(4) = -23 < 0，可知该方程表示一个椭圆。
我们可以通过配方的方法将其化为标准方程，进而求得椭圆的焦点、离心率等重要参数。
2. 双曲线：当B^2 - 4AC > 0时，二次曲线为双曲线。
双曲线是一个开口的曲线，具有两个分支。
解析中，我们可以通过平移坐标轴的方法，将双曲线的一般方程化为标准方程。
例如，考虑方程3x^2 - 4xy + 2y^2 + 6x - 8y - 1 = 0，根据系数B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4(3)(2) = 16 - 24 = -8 < 0，可知该方程表示一个双曲线。
我们可以通过配方的方法将其化为标准方程，进而求得双曲线的渐近线、焦点等重要参数。
3. 抛物线：当B^2 - 4AC = 0时，二次曲线为抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线。
解析中，我们可以通过平移坐标轴的方法，将抛物线的一般方程化为标准方程。
例如，考虑方程x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 10y + 9 = 0，根据系数B^2 - 4AC = (4)^2 - 4(1)(4) = 0，可知该方程表示一个抛物线。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第18讲 方程求根、韦达定理与待定系数法-解析版
第18讲 方程求根、韦达定理与待定系数法知识与方法1零值定理设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b <,则在(),a b 内至少存在一点c ,使得()0f c =2韦达定理(1)设一元二次方程()21200,,ax bx c a x x ++=≠是其2个根,则有1212,b c x x x x a a+=-= (2)设一元三次方程()3212300,,,ax bx cx d a x x x +++=≠是其3个根,则有123122331123,b x x x ac x x x x x x ad x x x a ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩(3)设一元n 次方程()1201201200,,,,nn n n n a x a x a x a a x x x --++++=≠是其n 个根,则有()1122121312324210120,,1n n n n n n n n a x x x a a x x x x x x x x x x x x x x a a x x x a -⎧+++=-⎪⎪⎪+++++++++=⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩3整系数多项式方程的根 若既约分数q p为整系数多项式方程(12012100,n n n n n a x a x a x a x a a ---+++++=,)121,,,,n n a a a a -∈Z 的根,则0,.n p a q a推论1:首项系数为1的整系数多项式方程的有理根必为整数根.推论2:整系数多项式方程的整数根必为常数项n a 的约数.4待定系数法一般而言,待定系数法解题是依据已知,正确列出等式或方程,即引人一些待定的系数,转化为方程组来解决,通常有两种方法:比较系数法和特殊值法.待定系数法主要用来解决方程问题、函数问题,多项式分解因式、拆分分式、数列求和、复数计算、解几何中求曲线方程、空间图形中求平面法向量、证明组合恒等式等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法解题的基本步骤如下. 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.典型例题【例1】(1)函数()e 23xf x x =+-的零点所在的一个区间是( ).A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)若关于x 的方程24x kx x =+有4个不同的实数【解析】,则k 的取值范围为()A.()0,1B.1,14⎛⎫⎪⎝⎭C.1,4∞⎛⎫+⎪⎝⎭D.()1,∞+【解析】(1)()f x 为增函数,∴可用赋值法验证零值定理,即代入每个选项区间的端点值,判断函数值是否异号.()()()()120011e 2340,02022112320,1e 23e 10221110,,10, C.22f f f f f f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+⨯--=<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⨯-==+-=- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫<∴∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭存在使得故选(2)24x kx x =+有4个实数解,显然0x =是方程的一个解.下面只考虑0x ≠情形,即当0x ≠时有3个实数解即可. 若0x >,原方程等价于()14kx x =+,显然0k ≠,则()14x x k=+.要使该方程有解,必须0k >,则()2142x k+=+,此时0x >,方程有且必有一解;由此可知当0x <时必须有两解.当0x <时,原方程等价于ー()14kx x =+,即()2142x k-+=+.画出函数图像(注意0x <且4x ≠-),要使该方程有两解,必须满足1044k<-+<,解得1,4k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭,这也是上述几种情况的公共部分.故1,4k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭为所求,【答案】C .【例2】(1)设9k ≥,解关于x 的方程32229270x kx k x k ++++=.(2)已知方程220,0x ax b x cx d ++=++=均无实根,判断()()220x a c x b d ++++=是否有实根.【解析】(1)()322223292729270x kx k x k x k x k x ++++=⋅++++=,将其看成关于k 的二次方程,则()()()2223129427923x x x x ∆=+-+=-，2261832x x k x k x-+-∴=--=或3x k ∴=--或()2226180.x k x +-+=对于方程()2226180x k x +-+=,其中()()()()222226421846274939,0k k k k k k ∆=--⨯⨯=--=-+≥∴∆≥123333,,22k k x k x x ---∴=--==(2)20x ax b ++=无实根,2140a b ∴∆=-<,即24a b <.20x cx d ++=无实根,2240c d ∴∆=-<.,即24c d <.方程()()220x a c x b d ++++=的判别式为()()()2234288a c b d a c b d ∆=+-⨯+=+--由24a b <得282b a -<-;由24c d <得282d c -<-,()()()2222222388222a c b d a c a c a ac c a c ∴∆=+--<+--=-+-=--()()2230,0a c a c -≥∴∆=--≤,而a c ≠,即30∆<,故方程()()220x a c x b d ++++=无实根.【例3】320x ax bx c +++=的3个根分别为a b c 、、,并且a b c 、、是不全为零的有理数,求a b c 、、的值.【解析】由三次方程的韦达定理知(),,(2),(3)a a b c b ab bc ca c abc ⎧=-++⎪=++⎨⎪=-⎩由(3)式得0c =或1ab =-.若1ab =-,代人(2),得1b bc ca =+-.(4)由(1)得()2c a b =-+,代人(4)式,得()()2221231b a b a b a ab b =+---=----.将1a b =-代人,得22122b b b=-⨯-+,整理得432220b b b +-+=试根,发现1-是它的解,从而可得()()31220b b b +-+=. 故1b =-或3220b b -+=.对于方程3220b b -+=,由于左边是首项系数为1的整系数多项式,且易见1,2±±均不是它的根,由整系数多项式方程根的定理及推论可知,此方程没有有理根.而1b =-时,1, 1.a c ==-综上,原问题所求的a b c 、、为1,1,12,10.a a b b c c ==⎧⎧⎪⎪=-=-⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩或【例4】(1)分解因式4322x x x +++.(2)若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积,求m 的值并将多项式分解因式.【解析】(1)设原式()()2212x mx x nx =++++,则()()()4324322322x x x x m n x mn x m n x +++=+++++++【解法1】比较对应项的系数,得()()1,(2)31,320,4m n mn m n ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩由(2)(4)消去n ,得1m =-,(5)将(5)代入(2),得2,1,2n m n =∴=-=.故原式()()22122x x x x =-+++.(若设原式()()2212x mx x nx =+-+-展开后比较对应项的系数得关于,m n 的方程组无解,只有上述解法是正确的.) 【解法2】分别用1,1-代替(1)式中的x ,得关于,m n 的方程组.3210,3230,mn m n mn m n +++=⎧⎨--+=⎩ 解这个方程组确定系数,m n 的值为1,2m n =-=(过程略,显然比方法一烦琐). 故原式()()22122x x x x =-+++. (2)设()()()()22226541122234654324x xy y x y m x y k x y l x xy y k l x k l y kl ---++=++-+=--+++-++比较两边对应项的系数,得3211,422,.k l k l kl m +=-⎧⎪-+=⎨⎪=⎩联立(1)与(2)解得5, 2.k l =-=代人(3)得10m =-.∴原式()()25342,10x y x y m =+--+=-强化训练1.已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠,设1212,,x x x x ∈<R ,且()()12f x f x ≠,方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦有两个不等实根.证明:必有一个实根属于区间()12,x x . 【解析】令,由题意知在上连续,则 且 ()()()()1212g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦()g x R ()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦()()()()212121,4g x g x f x f x ⎡⎤⋅=--⎣⎦()()()()1212,0f x f x g x g x ≠∴⋅<方程在必有一个实根,即方程必有实根属于区间. 2.若关于x 的方程4210x x a a +⋅++=有实数解,则a 的取值范围是________. 【解析】【解法1】令,关于的方程有实数解,等价于方程有正解,分下面两种情况:（i ）两正解:（ii ）正解一非正解:.综上,的取值范围是.【解法2】考查函数,即方程有正解,等价于函数与轴正半轴有交点,等价于 或 综上,的取值范围是.【解法3】由方程变形得 考查函数, 方程有正解,即的取值范围是函数的值域,将函数变形,得 . ∴()0g x =()12,x x ()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦()12,x x 2xt =x 4210x xa a +⋅++=210t at a +++=212124(1)0,22 2 222,0,0,1222,101a a a a t t a a a t t a a ⎧⎧∆=-+-+⎪⎪+=->⇔<⇔-<-⎨⎨⎪⎪=+>>-⎩⎩或12101t t a a =+⇔-a (,2]-∞-2()1f t t at a =+++210t at a +++=2()1f t t at a =+++x (0)101f a a =+<⇔<-20,0,2(0)10,1,12224(1)022 2 222a a f a a a a a a a ⎧-⎪⎧⎪⎪=+⇔-⇔--⎨⎨⎪⎪∆=-+-+⎩⎪⎩或a [,2]-∞-210t at a +++=21.1t a t+=-+21()(0)1t f t t t+=->+211t a t+=-+a 21()(0)1t f t t t +=->+221(1)2(1)22()(1)2(0)111t t t f t t t t t t ++-++⎡⎤=-=-=-++->⎢⎥+++⎣⎦220,10,(1)222 2.(1)222211t t t t t t ⎡⎤>∴+>∴++--∴-++--+⎢⎥++⎣⎦的取值范围是. 3.解方程42222112.x x x x x++++= 【解析】原方程可变为令,得,解得. 当时,变为,无实数根. 当,变为,解得. 经检验,为原方程的根.4.已知方程()2241410x a x a +++-=恒有非负的解,求实数a 的取值范围.【解析】【解法1】将原式变形为.设则①，即又(1)式可看作以为自变量的二次函数，则该函数在区间的值域由，得即此实数的取值范围是【解法2】设,要使方程恒有非负数解,则(i)若有一个非负数解,另一负数解,则,即,因此解得; (ii)若有两个非负数解,则 综上,实数的取值范围是. a ∴(,2]-∞-()22221120xx x x+++-=21x u x+=220u u +-=121,2u u ==-211x x+=210,1430x x -+=∆=-=-<212x x+=-2210x x ++=121x x ==-1x =-()2(2)10x a x x +=-2.t x a =+22211151,,2228t t x t a t +-⎛⎫=-==+- ⎪⎝⎭20,10x t ∴-1 1.t -t []1,1-()112f a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭51,82a -a 51,.82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦22()(41)41f x x a x a =+++-()0f x =(0)0f 2410a -1122a-12120,510,. 820x x a x x ∆⎧⎪⎪>⇒-<-⎨⎪+>⎪⎩a 51,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5.设,a b c 、为实数,0a ≠且a c ≠,若方程()()222222240a c x b x a c ++++=有实根.证明:方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根.【解析】方程是二次方程.方程有实数根,,即，即.从而即.方程有两个不相等的实数根.6.求作一个一元三次方程,使它的三个根分别是方程3271480x x x -+-=三个根的倒数.【解析】设已知方程的三个根为,则由韦达定理得依题意,所求的三次方程的三个根为.由韦达定理的逆定理知,所求方程为,即. 7.已知一元二次方程20ax bx c ++=有两个大于0、小于1的相异实根,其中a 是正整数,,b c是整数,求a 的最小值.【解析】设方程的两,则,由韦达定理得从而 22,0a c a c ≠∴+>∴()()222222240a c x b x a c ++++=()()()2422224224444160b a cacba c∴∆=-+⋅+=-+()()222222220b a c b a c ⎡⎤⎡⎤++-+⎣⎦⎣⎦()()22222220,20,b a c b a c ++>∴-+()222 2ba c +222()0() ,2,a c a c a c ac ->≠∴+>2 4, b ac >240b ac ->∴20(0)ax bx c a ++=≠,,αβγ7,14,8.αβγαβαγβγαβγ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩111,,αβγ1111478411111178111118a βγαγαβαβγαβγγβααβαγβγαβγαβγβγ⎧++++===⎪⎪⎪++⋅+⋅+⋅==⎨⎪⎪⋅⋅==⎪⎩∴327710488x x x -+-=32814710x x x -+-=αβ、0,1,αβαβ<<≠,.b ac a αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()()()()11111.b c a b c a a aαβαβαβ--=-++=++=++,即同理,. 从而即 设二次函数,由于的图像是开口向上的抛物线.又与轴的两个交点在0,1之间,必有即又是整数,.再结合(1)式即有,即; 另一方面,当时,取,方程的两个根均大于0小于1,的最小值是 8.设()()()4321324f x a x x a x a =++-+-,对任意实数a . (1)证明:方程()0f x =总有相同实根; (2)证明:存在0x 恒有()00f x ≠. 【解析】【解法】显然,总有相同实根. 【解法2】考虑恒成立,即 故时,,即对任意实数,方程总有根. (2)【证明】由(1)知时,对任意实数,取得证. 9.已知方程4291240x x x -+-=的两个根是1和2,求这个方程的另两个根.()211101,01244αααα⎛⎫<<∴<-=--+⎪⎝⎭()101.4αα<-()1014ββ<-()()()()11111,16c a b c a a aαββαβαβ++>--=--=⋅()216,a c a b c >++()2f x ax bx c =++()0,a f x >∴()f x x ∴()()00,10,f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩0,0.c a b c >⎧⎨++>⎩a b c 、、1,1c a b c ∴++216a >5a 5,1a c ==b 5-25510x x -+=αβ==a ∴ 5.()()43242432()(1)(32)4342f x a x x a x a x x a x x x=++-+-=--++-()()()()()()()()()22222412122121x x a x x x x x x a x x x =-+⋅++-=+-+++-()()()()222211x x x a x x ⎡⎤=+-++-⎣⎦()0f x =2x =-()()()()()432424321324342f x a x x a x a g a x x a x x x =++-+-==--++-(),0a f x ∈=R 42432340,20,x x x x x ⎧--=∴⎨+-=⎩2,0,1,2x x =±⎧⎨=-⎩2x =-()()0f x g a ==a ()0f x =2x =-2x =(),2160a f =≠02x =【解析】由已知可设.令,得,解方程,得.故原方程的另两个根是. 10.已知一元三次方程328120x x x --+=有两个相等的根,解这个方程. 【解析】设这个方程的三个根为, 则.联立①②消去，得 分解因式，得或或 代入①式，得或 将的值分别代人③,只有适合.故舍去. 原方程的三个根为.()()()4229124122x x x x x x mx -+-=--+-1x =-3m =2320x x +-=32x-32x -±=123,,x a x a x b ===()()32812()x x x x a x a x b --+=---()()32322281222.x x x x a b x a ab x a b --+=-+++-22212812a b a ab a b ⎧⎪⎨⎪+=+=-⎩=-， ①， ②， ③b 23280.a a --=()()2340,20a a a -+=∴-=1340,2a a +==24.3a =-13b =-211.3b =1122,a b a b 、、112,3a b ==-22411,33a b =-=∴1232,3x x a x ===-。
中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第19讲 二次曲线与二次曲线
数学高考综合能力题选讲19二次曲线与二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”． 但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系． 讲解：圆()221:1C x a y -+=是以(),0a 为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当1a <-时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切；当11a -<<时，圆与抛物线相交；而当1a ≥时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组()2221x a y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩的解的个数来加以说明． 把2y x =代入()221x a y -+=，整理得：()221210x x a a +-+-=（＊）． 此方程的判别式54a ∆=-． 可以看到：当54a =时，0∆=；当54a >时，0∆<；当54a <时，0∆>．事实上，当54a =时，的确有圆与抛物线相切；当54a >时，圆与抛物线无公共点．而当54a <时，虽然有方程（＊）的0∆>，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件0x ≥．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系如下： 当1a <-或54a >时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当11a -<<时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当1a =时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当514a <<时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当54a =时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2． 已知椭圆()22122:10x y C a b ab+=>>，它的离心率为3．直线:2l y x =+，它与以原点为圆心，以1C 的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为F ，左准线为1l ．动直线2l 垂直1l 于点P ，线段P F 的垂直平分线交2l 于点M ．试点M 到圆O 上的点的最短距离． 讲解：（Ⅰ）∵ 直线:2l y x =+与以原点为圆心，以b 为半径的圆相切．∴b =又∵ 椭圆的离心率为3．∴a = ∴ 椭圆1C 的方程为22132xy+=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆1C 的左焦点F 的坐标为()1,0-，左准线1l 的方程为：3x =-．连接FM ，则FM PM =．由抛物线的定义不难知道：点M 的轨迹为以F()1,0-为焦点，以1l ：3x =-为准线的抛物线，其方程为：()242y x =+．所以，点M 到圆O 上的点的最短距离，实际上就是抛物线()242y x =+与圆222x y +=上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A与圆上点B之间距离最小，则AB必过圆心O．（否则，连接OB、OA，设OA交圆于点N，则r＋NA＝OA<OB＋AB ＝r＋AB，即NA<BA，与AB最小矛盾．所以，只需求出圆心O到抛物线上点的最短距离即可．）在抛物线上任取一点M（x,y），则MO===由于2x≥-．所以，2M O≥（等号当且仅当2x=-时取得）．所以，上述最短距离为2MO r-=-解法二：用纯代数的方法去思考．设()22,2M m m-为抛物线上任意点，)c o2s i nQαα为圆上任意点，则()()222222M Q m mαα=--+-()2442sin6m mαα=--++()46mαβ=+++()46mαβ=+++46m≥+-(222=≥-等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为()2,0M-和()0Q时取得．点评：充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．例3．已知双曲线1C和椭圆2C有相同的焦点)0,1cF-（和)0()0,(2>ccF，两曲线在第一象限内的交点为P．椭圆2C与y轴负半轴交于点B，且BFP、、2三点共线，2F分有向线段PB的比为1：2，又直线PB 与双曲线1C 的另一交点为Q ，若532=Q F ．（Ⅰ）求椭圆2C 的离心率（Ⅱ）求双曲线1C 和椭圆2C 的方程．讲解：（Ⅰ）要求椭圆2C 的离心率，可以先只考虑与椭圆2C 有关的条件．注意到：B F P 、、2三点共线，且2F 分有向线段PB 的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：()222210x y a b ab+=>>，则点P 的坐标为3, 22b P c ⎛⎫⎪⎝⎭．代入椭圆方程，可解得椭圆的离心率3e =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：2222132xycc+=，点P 的坐标为3, 22P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．直线PB 的方程为：)y x c =-设双曲线的方程为：()22221,0x y m n mn-=>，则222m n c +=．∵ 3,22P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线上， ∴()222229124ccn c n -=-化简得：2214n c=．故2234m c=．将直线PB 的方程代入双曲线方程2222441x y cc-=，消去y ，得：222048270x xc c -+=．解得1239, 210x c x c ==．从而222105F F Q x c =-==．∴ 椭圆方程为221128xy+=，双曲线方程为2213xy -=．点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．高考真题１．（1988年全国高考题）直线L 的方程2p x =-，其中0p >；椭圆的中心为2,02pD ⎛⎫+⎪⎝⎭，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为,02p A ⎛⎫⎪⎝⎭．问：p 在那个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，他们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离．2．(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e =30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P[答案与提示：1． 103p <<； 2．22111, ,422xy ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭]。
直线与二次曲线
直线与二次曲线黄梅县第五中学 李旭东二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。
下面是我多年任教二次曲线的一点心得。
直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决:一.弦长问题例1.设椭圆6x 2+2y 2=12中有一内接三角形PAB,过O,P 的直线的倾斜角为,0k k BP ,AP ,3BP AP =+π的斜率符合直线 (1)试证过A,B 的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB 面积的最大值.解:).3,1(P ),3,1(P 12y 2x 6x 3y :OP )1(2122--=+=得代入将.3x x y y k :03y 1x 3y 1x ,01x 3y 1x 3y A B AB AB 22112211=--==+++++=--+--相乘得将06b bx 32x 6:,12y 2x 6,b x 3y :AB )2(2222=-++=++=得代入为不妨设 |,b |21d :AB P , b 3416|x x |)3(1|AB |2B A 2=-=-+=∴的距离为到 .6b .3b )b 12(63S 22APB ±=≤-=∴∆此时 例2.,2 B ,A C ),0,3(B )0,3(A 值为两点的距离的差的绝对到动点和已知点- 点C 的轨迹与直线y=x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长。
答案：(1)设点C （x ，y ），则|CA|－|CB|=±2根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为：2b ,1a ,32c 2,2a 2,12y a x 22222=====-得由12y x C 22=-∴的轨迹方程是点6x 4x ,2x y 12y x )2(222=-+⎪⎩⎪⎨⎧-==-得由∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ， 设D(x 1，y 1)，E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6…54x x 4)x x (2)y y ()x x (|DE |21221221221=-+=-+-=∴二.对称问题例3.在以O 为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B 的坐标大于零。
高考数学专题讲座 第18讲 高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨
第18讲：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
结合中学数学的知识，高考中命题、逻辑推理和程序框图问题主要有以下几种： 1. 四种命题的判定； 2. 真假命题的判定； 3. 充分必要条件的判定； 4. 逻辑推理； 5. 程序框图。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨命题和简易逻辑问题的求解。
一、四种命题的判定：典型例题：例1. （2012年安徽省文5分）命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是【 】()A 对任意实数x , 都有1x > ()B 不存在实数x ，使1x ≤()C 对任意实数x , 都有1x ≤ ()D 存在实数x ，使1x ≤ 【答案】C 。
【考点】否命题。
【解析】如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命题。
因此，命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是：对任意实数x , 都有1x ≤。
故选C 。
例2. （2012年湖北省理5分）命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是【 】A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉【答案】D 。
【考点】命题的否定。
【解析】根据特称命题“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，结合已知中命题，即可得到答案：∵命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是“300,R x C Q x Q ∀∈∉”。
故选D 。
例3. （2012年湖北省文5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【 】A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B 。
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第18讲直线与二次曲线
数学高考综合能力题选讲18直线与二次曲线100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．范例选讲例1．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC ⋅=．（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程； （Ⅱ）求双曲线G 的方程；（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以，12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=．则8164, 33A B A B mx x x x ++==- （＊）∵ 2PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上， ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为221287x y -=． （Ⅲ）由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a+=>．下面我们来求出S中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y a -=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分．又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，211122a =．所以，256a =，椭圆S 的方程为：2212856x y +=．点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．例2．设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线． （Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为(),G x y ，则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．2=．所以，抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠． （Ⅱ）因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标，由MN 所唯一确定．所以，要求m 的取值范围，还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然，直线l 与坐标轴不可能平行，所以，设直线l 的方程为1:l y x b k=-+，代入椭圆方程得：222241240k bx x b k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，所以，()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭，即 ()222410 0k k b k -+>≠．（＊）又线段MN 恰被直线12x =-平分，所以，2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以，2412k bk +=-．代入（＊）可解得：()0k k <<≠． 下面，只需找到m 与k 的关系，即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线，故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k =-+中，令12x =-，可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+，可得：32k m =-．所以，044m m -<<≠． 从以上解题过程来看，求m 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由点,M N 为椭圆上的点，可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+=又由于01121, 2, 2MN M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝，代入上式得：02y k =-． 又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上，所以，012y k m =-+．所以，001324m y k y =+=．由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上（B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点，如图），所以，'0B B y y y <<．也即：0y <<所以，0m m <<≠点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说，“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．高考真题1．（1991年全国高考）双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双P 、Q 两点．若OP OQ ⊥，且4PQ =，求双曲线的方程．2．（1994年全国高考）已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．3．（1996年全国高考）已知l l ,l 2是过点P (-20,)的两条互相垂直的直线,且l l ,l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点,分别为A 1,B 1和A 2,B 2. (I ) 求l 1的斜率k 1的取值范围; (II )若|A 1B 1|=5|A 2B 2|,求l l ,l 2的方程.[答案与提示： 1.略；2．21 25y x y x +==；； 3．(I)()(11,33⎛⎛⎫-⋃--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (II)(12::2l y x l y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩12::2l y x l y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩或．]。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第18讲函数模型的应用考向预测核心素养考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度.数学建模一、知识梳理1．六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a为常数，a>0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程常用结论1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x (单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB.y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b (a >0)C ．y ＝x a ＋b (a >0) D.y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)解析：选 B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b 的图象为一条曲线，且当a >0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.2.(多选)(人A 必修第一册P 155习题4.5T 9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法中正确的是( )A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 解析：选ABD.把(1，2)代入y ＝a t ，可得函数解析式为y ＝2t ， 因为2t ＋1－2t2t ＝1，所以每月增长率为1，A 对；当t ＝5时，y ＝32>30，所以B 对；第2个月增加2 m 2，第3个月增加4 m 2，C 错； 由2t 1＝2，2t 2＝3，2t 3＝6，所以2t 1·2t 2＝2t 3，故t 1＋t 2＝t 3，D 对．3．(人A 必修第一册P 96习题3.4T 5改编)下表是弹簧伸长长度x (单位：cm)与拉力F (单位：N)的相关数据：x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F12345写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x ＝kF ＋b (k ≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝14.2，4k ＋b ＝57.5，解得⎩⎨⎧k ≈14.4，b ≈－0.2，所以x ＝14.4F －0.2.将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．答案：x ＝14.4F －0.2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100x B.y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD.y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为( )A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案：（1＋p）（1＋q）－1考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( ) A．y＝2t B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝2t2解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.2．(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h ＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4．(多选)(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时解析：选AD.当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，解得a ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132， 药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时， 药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C 错误．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二 已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式； 2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y 与其采摘后时间t (小时)近似满足的函数关系式为y ＝k ·m t (k ，m 为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．33小时 B.23小时 C ．35小时D.36小时(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60100 180 种植成本Q 11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，则①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 【解析】 (1)由题意⎩⎨⎧k ·m 20＝20%k ·m 30＝40%，两式相除得m 10＝2，m ＝2110，代入得k ＝5%，所以y ＝5%·2t10，由50%＝5%·2t 10得2t10＝10，取对数得t 10lg 2＝1，t ＝10lg 2≈100.3≈33(小时)． (2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.【答案】 (1)A (2)①120 ②80已知或选择函数模型解决实际问题的注意点(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．|跟踪训练|(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x －2 018；②y ＝a sin πx2 018＋b (参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 018＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：选AD.若选y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，若选y ＝4sin πx2 018＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，令y >40，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>40，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>10，所以x －2 018>log 3210，所以x －2 018>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，所以x >2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．考点三 构建函数模型解决实际问题(多维探究)复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量． 2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型． 角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值，为9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值，为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．角度2 构建指数函数、对数函数模型(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)( )A ．191天 B.195天 C.199天D.203天(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，所以x＝ln 16 000ln 1.05≈198.4，又x∈N，故经过199天能达到最初的16 000倍．(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A，则A1A＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A，则A2A＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C (2)6 10 000(1)建模解决实际问题的三个步骤①建模：抽象出实际问题的数学模型．②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．|跟踪训练|1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )A ．2.5元 B.3元 C.3.2元D.3.5元解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册， 则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选BC.2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y (单位：℃)与经过时间t (单位：min)的函数关系是：y ＝ka t ＋y 0，其中a 为衰减比例，y 0是室温，t ＝0时，y 为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1218，茶水初始温度为100 ℃，则k ＝________，产生最佳口感所需时间是________min.解析：由题意，y ＝ka t ＋20，当t ＝0时，有y ＝ka t ＋20＝k ＋20＝100，k ＝80， 则y ＝80a t ＋20，当y ＝60时，即80a t ＋20＝60，所以80a t ＝40，所以a t ＝12，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1218t ＝12，所以t ＝8.答案：80 8[A 基础达标]1．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是( )A ．12 h B.4 h C.3 hD.2 h解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝12×1560＝3 h.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D表示兔子先到达终点．3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利 B.略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安 B.240安C.75安D.135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝32064＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.5．(2022·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：36．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：168．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下： 因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5.由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元， 则投资债券类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)． 所以当x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．[B 综合应用]10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B.13C.16D.110解析：选C.因为[H ＋]·[OH －]＝10－14，所以[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H ＋]<10－7.35，所以10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg 100.7＝0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10－0.7<13<12，所以110<[H ＋][OH －]<13.故选C.11．(2022·焦作温县一中10月月考)搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v (单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v ＝ωln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M 来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位：吨)表示它装载的燃料质量，M (单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v 达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m 与火箭自身质量M 之比mM约为( )A ．e 1.58 B.e 0.58 C ．e 1.58－1D.e 0.58－1解析：选C.由题设，5ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M ＝7.9，则m M ＝e 7.95－1＝e 1.58－1.12．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎨⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.则下列说法正确的是( )A ．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B ．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C ．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D ．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析：选ABC.由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故D 错误．13．燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是________个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是________．解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入v ＝5log 2Q 10中可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.(2)将耗氧量Q ＝80代入v ＝5log 2Q 10中，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)． 答案：(1)10 (2)15 m/s14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋(b －a )x .这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________．解析：由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，因为b －c ＝(b －a )－(c －a )，所以(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.因为0<x <1，所以x ＝5－12. 答案：5－12[C 素养提升]15．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． (1)该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；(2)已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间．(填“过了”或“没过”)解析：(1)因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4.(2)由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：(1)4 (2)过了16．(2022·上海高三月考)我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好民俗文化基础设施后任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)．(1)求该村的第x 天的旅游收入p (x )(单位：千元，1≤x ≤30，x ∈N *)；(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？(一年以365天计算)解：(1)依据题意，有p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋8x ·(143－|x －22|)(1≤x ≤30，x∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976（1≤x ≤22，x ∈N *），－8x ＋1 320x ＋1 312（22<x ≤30，x ∈N *）.(2)①当1≤x ≤22，x ∈N *时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152(当且仅当x ＝11时，等号成立)，因此，p (x )min ＝p (11)＝1 152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋1 320x＋1 312.求导可得p′(x)＝－8－1 320x2<0，所以p(x)＝－8x＋错误!＋1 312在(22，30]上单调递减，于是p(x)min＝p(30)＝1 116(千元)．又1 152>1 116，所以日最低收入为1 116千元．该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2＝8 146.8(千元)＝814.68(万元)，因为814.68万元>800万元，所以，该村在两年内能收回全部投资成本．21 / 21。
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——专题八直线与二次曲线专题内容概要 精品
直线与二次曲线专题内容概要通过第一轮的复习，同学们已经掌握了直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法．但由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题题目灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此我们有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入、横向联系，进一步掌握解决直线与二次曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．本专题中，我们将要进一步复习好如下几个重点内容：（1）坐标法．坐标法是研究几何问题的重要方法，也是解析几何的基本思想方法，坐标法包括由曲线方程研究曲线的性质和由给定条件求曲线方程两个基本问题，其中由给定条件求曲线方程是本专题的重点内容之一；（2）系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）；（3）掌握综合运用直线和圆的知识解答直线与圆有关问题的思想方法；（4）熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；（5）掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；（6）掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高解答解析几何综合问题的能力．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带，而直线与圆锥曲线是解析几何的重点内容，因而成为高考考查的重点．以下是近六年来全国高考试题中考查涉及直线与二次曲线内容的题型、题量、分值情况统计表（以理科为准）：题型1996年1997年1998年1999年2000年2001年题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值题量分值选择题 3 14 3 13 3 13 3 13 3 15 3 15 填空题 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 解答题 1 12 1 12 2 23 1 14 1 14 1 12上表统计表明，近六年全国高考试题对本专题内容考查的题型、题量、分值基本稳定．一般是选择题3道（文科2道）、填空题1道、解答题1道，分值30分左右．选择题、填空题主要考查有关直线、圆锥曲线的概念、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等；解答题考查的主要内容有：求曲线（轨迹）方程（1996～1999年），曲线基本量的讨论（1996年、2000年），坐标法及运用曲线方程研究曲线性质（1998年、2000年），直线与圆锥曲线的位置关系（1998年、2001年），等等．。
冲刺高考数学直线与二次曲线的位置关系
冲刺高考数学直线与二次曲线的位置关系在高考数学中，直线与二次曲线的位置关系一直是一个重点和难点。
理解并掌握这部分内容，对于我们在高考中取得优异成绩至关重要。
首先，我们来了解一下什么是直线和二次曲线。
直线，大家都不陌生，用一般式可以表示为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（其中 A、B 不同时为0）。
而二次曲线呢，常见的有圆、椭圆、双曲线和抛物线。
比如圆的标准方程是（x a)²＋（y b)²＝ r²，椭圆的标准方程有两种形式：焦点在 x 轴上时是 x²/a²＋ y²/b²＝ 1（a ＞ b ＞ 0），焦点在 y 轴上时是y²/a²＋ x²/b²＝ 1（a ＞ b ＞ 0）。
双曲线的标准方程也有两种：焦点在x 轴上时是 x²/a² y²/b²＝ 1，焦点在 y 轴上时是 y²/a² x²/b²＝ 1。
抛物线则有多种形式，比如 y²＝ 2px（p ＞ 0）表示开口向右的抛物线。
那么直线与这些二次曲线的位置关系究竟如何判断呢？这就需要用到一些数学方法和技巧。
对于直线与圆的位置关系，我们通常可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
如果 d ＞ r，直线与圆相离；如果 d＝ r，直线与圆相切；如果 d ＜ r，直线与圆相交。
举个例子，如果圆的方程是（x 2)²＋（y 3)²＝ 4，直线方程是 2x ＋ y 5 ＝ 0，那么圆心坐标是（2, 3)，半径 r ＝ 2。
根据点到直线的距离公式，可以算出圆心到直线的距离 d ＝｜2×2 ＋ 3 5| ／√（2²＋ 1²) ＝ 2 ／√5。
因为 2 ／√5 ＜ 2，所以直线与圆相交。
接下来看看直线与椭圆的位置关系。
《解析几何》第18讲 直线与抛物线的位置关系
y
A C
O
M F B
x
嵊州市长乐中学
【解析】 （1）依题意 F (1, 0) ， 设直线 AB 方程为 x my 1 ． 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立， 消去 x 得 y 2 4my 4 0 ． 设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， ∴ y1 y2 4m ， y1 y2 4 ． ① ∵ AF 2 FB ，∴ y1 2 y2 ． 联立①和②，消去 y1 , y2 ，得 m ∴直线 AB 的斜率是 2 2 ．
探究三. 中点弦问题
y
B
点差法：
y1 2 px1 2 y2 2 px2
2
. P(x0,y0)
O
x1 A
F
x
结论：
[
k AB
p y0
]
嵊州市长乐中学
圆锥曲线的中点弦
类 型
标准 方程
2
椭圆
双曲线
抛物线
x y 2 1 2 a b
2
2
x y 2 1 2 a b
2
2
2
y2＝2px
y =4 x .
2, 直线与椭圆相切.
当k∈
时, 直线与椭圆相离.
嵊州市长乐中学
探究二.过焦点的弦与不过焦点的弦
P 2
y
①弦AB 的长度求法：
x2
B
(x2,y2)
[ |AB|=x1+x2+p
②谁是最短的焦点弦AB ？
]
2 2 AB 1 k ( x x ) 4 x1 x2 ] 1 2 [
嵊州市长乐中学
②
2 ． 4
（2）由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点， 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等， ∴四边形 OACB 的面积等于 2S AOB ． ∵ 2 S AOB 2 | OF | | y1 y2 |
高考数学总复习重点知识专题讲解与训练18---正态分布(解析版)
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了 17.6
10．某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售 量 y （单位：千克）与该地当日最低气温 x （单位： oC ）的数据，如下表：
故 P (1 < ξ < 2) = 1 × 0.6 = 0.3 .
2 三、解答题
8．质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检测某项质量
指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量
3 / 18
指标的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出答案）； （Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一桶的质量指标大于 20； （Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 服从正态分布
P(90 < ξ < 100) 的值为（ ） A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0.46
7 / 18
【答案】D
【 解 析 】 依 据 题 设 条 件 及 正 太 分 布 的 对 称 性 可 知 P (ξ ≥ 110) = 1− 0.96 = 0.04，所 以 P (ξ ≤ 90) = 0.04 ，则 2P (90 < ξ < 100) = 1− 2× 0.04 = 0.92 ，所以 P (90 < ξ < 100) = 0.46 ，
我校成绩高于 120 分的有
人．
【答案】 78
【解析】我校成绩高于120 分的有 1− 0.8 × 780 = 78 人. 2
最新高三教案-高考数学专题复习讲练测——参考答案及提示专题八直线与二次曲线专题能力测试 精品
专题能力测试参考答案及提示一、1．Ｃ；2．Ｃ；3．Ｂ；4．Ｄ；5．Ｂ；6．Ｄ；7．Ａ；8．Ｃ；9．Ｃ；10．Ｃ；11．Ｃ；12．Ａ.二、13．2±；14．（16／25）；15．（16／5）．16．解法1．直接法：设M（ｘ，ｙ），则Ｂ（ｘ－3，0）.由｜ＭＡ｜２＝｜ＭＢ｜２ｘ２＝10（ｙ－（8／5））．解法2．参数法：设B（ｔ，0），则Ｃ（ｔ＋6，0）.设M坐标为（ｘ，ｙ），则BC的中垂线方程为ｘ＝ｔ＋3 ①，AB的中垂线方程为ｙ－（5／2）＝（ｔ／5）（ｘ－（ｔ／2））②，①②联立消去参数ｔ，得ｘ２＝10（ｙ－（8／5））．三、17.设点Q的坐标为（ｘ，ｙ），过R、Q分别作抛物线的准线ｘ＝－1的垂线段RR１、ＱＱ１.据抛物线的定义有｜ＱＲ｜＝｜ＱＦ｜＋｜ＦＲ｜＝｜ＱＱ１｜＋｜ＲＲ１｜，∵｜ＲＲ１｜＝1－（－1）＝2，｜ＱＱ１｜＝ｘ－（－1）＝ｘ＋1，Ｒ（1，2），∴＝ｘ＋3，平方化简整理得，Q点的轨迹方程是（ｙ－2）２＝8（ｘ＋（1／2））．第17题18．（1）由ｙ＝ｘ－ａ，ｘ２－2（ａ＋ｐ）ｘ＋ａ２＝0．ｙ２＝2ｐｘ由弦长公式得｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝．令0＜≤2ｐ，则－（ｐ／2）＜ａ≤－（ｐ／4）．（2）设ＡＢ的垂直平分线交AB于Q点，Q（ｘ３，ｙ３）、Ａ（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则ｘ３＝（ｘ１＋ｘ２）／2＝ａ＋ｐ，ｙ３＝（ｙ１＋ｙ２）／2＝ｐ，∴｜ＱＭ｜２＝2ｐ２．∵△ＭＮＱ为等腰直角三角形，∴｜ＱＮ｜＝｜ＱＭ｜＝ｐ．Ｓ△ＮＡＢ＝（1／2）｜ＡＢ｜·｜ＮＱ｜＝（／2）ｐ｜ＡＢ｜≤ｐ２．即△ＮＡＢ面积的最大值为ｐ２．19.设满足条件的双曲线存在，则（1）若双曲线焦点在x轴上，∵渐近线为ｙ＝±（1／2）ｘ，∴可设双曲线方程为（ｘ２／4ｂ２）－（ｙ２／ｂ２）＝1（ｂ＞0）．设动点P为（ｘ，ｙ），则｜ＡＰ｜＝，且ｘ∈（－∞，－2ｂ］∪［2ｂ，＋∞）．若2ｂ≤4，则当ｘ＝4时，｜ＡＰ｜ｍｉｎ＝＝，此时ｂ２＝－1，无解；若2ｂ＞4，则当ｘ＝2ｂ时，｜ＡＰ｜ｍｉｎ＝｜2ｂ－5｜＝，解得ｂ＝（5±）／2，但（5－／2）＜2应舍去．则存在双曲线（ｘ２／（5＋）２）－（ｙ２／（（5＋）／2）２）＝1符合条件．（2）若双曲线焦点在ｙ轴上，则可设双曲线方程为（ｙ２／ｂ２）－（ｘ２／4ｂ２）＝1（ｂ＞0）.设P（ｘ，ｙ），则｜ＡＰ｜＝（ｘ∈Ｒ）．∵ｘ∈Ｒ，∴当ｘ＝4时，｜ＡＰ｜ｍｉｎ＝＝．∴ｂ２＝1，则此时存在双曲线ｙ２－（ｘ２／4）＝1满足题设条件．20.（1）由ｙ＝ｘｔｇθ，解得点A的坐标为（ｘ２／ｍ２）＋（ｙ２／ｎ２）＝1ｘ＝ｍｎ／，ｙ＝ｍｎｔｇθ／．∴Ｓ＝4｜ｘｙ｜＝（4ｍ２ｎ２ｔｇθ）／（ｍ２ｔｇ２θ＋ｎ２）．（2）∵Ｓ＝（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２ｔｇθ＋（ｎ２／ｔｇθ）），①当ｍ＞ｎ，即（ｎ／ｍ）＜1时，当且仅当ｔｇ２θ＝（ｎ２／ｍ２）时，Ｓ≤（4ｍ２ｎ２）／（2ｍｎ）＝2ｍｎ.由于θ∈（0，（π／4）］，∴0＜ｔｇθ≤1，故取ｔｇθ＝（ｎ／ｍ），Ｓｍａｘ＝2ｍｎ，∴ｕ＝2ｍｎ．②当ｍ＜ｎ，即（ｎ／ｍ）＞1时，易证Ｓ在θ∈（0，（π／4）］上为增函数，故取θ＝（π／4），即ｔｇθ＝1时，Ｓｍｉｎ＝（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２＋ｎ２）．所以ｕ＝2ｍｎ（0＜ｎ＜ｍ），（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２＋ｎ２）（0＜ｍ＜ｎ）．（3）当（ｍ／ｎ）＞1时，ｕ＞ｍｎ恒成立；当（ｍ／ｎ）＜1时，由（4ｍ２ｎ２）／（ｍ２＋ｎ２）＞ｍｎ，得（ｍ／ｎ）２－4（ｍ／ｎ）＋1＜0，解得2－＜（ｍ／ｎ）＜1．综上所述，当ｕ＞ｍｎ时，（ｍ／ｎ）∈（2－，1）∪（1，＋∞）．。
高三数学曲线知识点总结
高三数学曲线知识点总结在高三的数学学习过程中，曲线是一个重要的知识点。
掌握曲线的性质和相关公式对于解题和理解数学概念都具有重要意义。
下面将对高三数学曲线的相关知识进行总结。
一、直线的表示与性质1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为实数，且 A 和 B 不同时为 0。
2. 直线的斜率与倾斜角：直线的斜率为 k，倾斜角为α，有以下关系式：a) k = tanαb) k > 0，直线向右上方倾斜；k < 0，直线向右下方倾斜；k = 0，直线水平；k = ±∞，直线竖直。
3. 直线的截距与截距式方程：直线与 x 轴、y 轴的交点分别为x 截距和 y 截距，截距式方程为：a) x 轴截距式：y = kx + b，其中 b 为 y 截距。
b) y 轴截距式：x = a，其中 a 为 x 截距。
4. 直线的平行与垂直关系：a) 两条直线平行的条件：斜率相等，截距不等。
b) 两条直线垂直的条件：斜率的乘积为 -1。
二、二次曲线的表示与性质1. 抛物线的一般方程：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
a) a > 0，抛物线开口向上；a < 0，抛物线开口向下。
b) 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
2. 抛物线的对称轴：对称轴为 x = -b/2a。
3. 抛物线的焦点与准线：a) 焦点坐标为 (p, q)，其中 p = -b/2a，q = c - b^2/4a。
b) 准线方程为 y = q - p/(4a)。
4. 抛物线的与直线的交点：将抛物线方程和直线方程联立，求解方程组即可。
三、圆的表示与性质1. 圆的一般方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中圆心坐标为 (a,b)，半径为 r。
2. 圆的标准方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D = -2a，E = -2b，F = a^2 + b^2 - r^2。
高考数学专题复习讲练测——参考答案及提示 专题八 直线与二次曲线(1,2,3)
专题八直线与二次曲线（1，2，3）参考答案及提示§ 1 坐标法1．Ｃ；2．Ｃ；3．Ｄ；4．Ｂ；5．ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２；6．2；7．4．5．设A（ｘ１，ｙ１）、Ｂ（ｘ２，ｙ２），则过点A的切线方程为ｘｘ１＋ｙｙ１＝ｒ２．∵点P（ｘ０，ｙ０）在这切线上，∴有ｘ０ｘ１＋ｙ０ｙ１＝ｒ２，①同理有ｘ０ｘ２＋ｙ０ｙ２＝ｒ２，②由①②知A、B的坐标都是方程ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２的解．即A、B两点都在直线ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２上，故经过A、B两点的直线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．6．画出方程表示的曲线图形，易知面积为2．7.设直线方程为ｙ＝ｋｘ＋1代入双曲线方程，化简整理，得（4－9ｋ２）ｘ２－18ｋｘ－45＝0．①（1）当4－9ｋ２＝0，即ｋ＝±（2／3）时，方程①有惟一的解，直线ｙ＝±（2／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点；（2）当4－9ｋ２≠0且Δ＝18２ｋ２＋4（4－9ｋ２）×45＝0，即ｋ＝±（／3）时，方程①有惟一的解，此时直线ｙ＝±（／3）ｘ＋1与双曲线有且只有一个公共点．故这样的直线共有4条．8.（1）建立如图所示的直角坐标系，则Ａ的坐标为（－4，0），Ｂ的坐标为（4，0）．第8题设N为大圆上任一点，ｌ为过N的大圆的切线，并设抛物线的焦点为Ｆ（ｘ，ｙ），作ＡＡ′⊥ｌ，垂足为Ａ′，BB′⊥ｌ，垂足为Ｂ′．根据抛物线的定义，得｜ＡＦ｜＝｜ＡＡ′｜，｜ＢＦ｜＝｜ＢＢ′｜．∴｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝｜ＡＡ′｜＋｜ＢＢ′｜＝2｜ＯＮ｜＝10．而Ａ、Ｂ为定点，故焦点F的轨迹M是以A、B为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆（除去长轴的两端点），其方程为（ｘ２／25）＋（ｙ２／9）＝1（ｙ≠0）．（2）根据椭圆的对称性，有Ｓ△ＰＱＦ＝2Ｓ△ＯＦＰ．设△ＯＦＰ的边OP上的高为ｈ，则Ｓ△ＰＱＦ＝2·（1／2）·｜ＯＦ｜·ｈ＝4ｈ，因ｈ≤3，故当ｈ＝3时，Ｓ△ＰＱＦ的最大值为12（平方单位）．9.由已知知M、N为定点，故以MN所在直线为x轴，为使椭圆方程为标准形式，取MN中点为原点建立直角坐标系ｘＯｙ（如图）.设椭圆方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1，Ｍ（－ｃ，0），Ｎ（ｃ，0），Ｐ（ｘ０，ｙ０），则根据题意，得第9题ｙ０／（ｘ０＋ｃ）＝（1／2），ｙ０／（ｘ０－ｃ）＝－2，及（1／2）·2ｃ·ｙ０＝1．解得ｃ＝（／2），从而P点的坐标为（（5／6），（2／3））.又椭圆经过点P，∴ｂ２（（5／6））２＋ａ２（（2／3））２＝1．又∵ａ２＝ｂ２＋ｃ２，联立解得ａ２＝（15／4），ｂ２＝3．故所求椭圆的方程是（4ｘ２／15）＋（ｙ２／3）＝1．10.（1）取MC的中点O为原点，OC为x轴建立如图所示的直角坐标系，据题意2c=8,2a=10,∴c=4,a=5,b=3，椭圆方程为（x２／25）+（y２／9）=1．第10题（2）设A（x０,y０）,则B（-x０-8,-y０）,△ABC的外心坐标为（x,y）.线段AB的中垂线方程为y=-（x０+4／y０）（x+4）,线段AC的中垂线方程为y-（y０／2）=-（x０-4）／y０（x-（x０+4）／2）,两式中消去y,将（x０+4）２+y０２=100代入，得x=-（25／4）,而（1）中椭圆的左准线方程为x=-（25／4）．故△ABC的外心在椭圆（x２／25）+（y２／9）=1的左准线上.§2轨迹1．Ｃ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．ｘ＋4ｙ＝0（－（4／5）＜ｘ＜（4／5））（参数法）；6．（9ｘ２／16）－ｙ２＝1（ｙ≠0）（动点转移法）；7．（16ｘ２／ａ２）－（16ｙ２／3ａ２）＝1（ｘ＞（9／4））（定义法．由正弦定理，将已知条件化为｜ＡＢ｜－｜ＡＣ｜＝（1／2）ａ＜｜ＢＣ｜）．8．动点转移法：设椭圆的左顶点为M（ｘ，ｙ），左焦点为Ｆ（ｘ１，ｙ１）.如图，∵Ａ（1，2）在椭圆上，ｙ轴为左准线，根据椭圆第二定义，得｜ＡＦ｜＝（1／2），第8题∴（ｘ１－1）２＋（ｙ１－2）２＝（1／4）．①又∵ｙ１＝ｙ，点M（ｘ，ｙ）在椭圆上，∴（｜ＭＦ｜／ｘ）＝（1／2），即（ｘ１－ｘ）／ｘ＝（1／2），∴ｘ１＝（3／2）ｘ.把ｘ１＝（3／2）ｘ，ｙ１＝ｙ代入①，得（（3／2）ｘ－1）２＋（ｙ－2）２＝（1／4），即（ｘ－（2／3））２／（（1／3）２）＋（（ｙ－2）２／（1／2）２）＝1．故椭圆的左顶点M的轨迹是中心在（（2／3），2），长、短轴长分别为1、（2／3），长轴平行于ｙ轴的椭圆．9.因直线过定点，其斜率ｋ为变量，P点在BC上，其坐标随ｋ的变化而变化，故可选直线的斜率ｋ为参数，用参数法求解．第10题设直线AB的方程为ｙ＝ｋｘ＋ａ，代入圆方程并整理，得（1＋ｋ２）ｘ２＋2（ａｋ－2）ｘ＋ａ２＋3＝0．①则ｘ１＋ｘ２＝（4－2ａｋ）／（1＋ｋ２），ｘ１ｘ２＝（ａ２＋3）／（1＋ｋ２），且1≤ｘ１＜ｘ２≤3．∵Ｐ在BC上，且满足（｜ＢＰ｜／｜ＰＣ｜）＝（｜ＡＢ｜／｜ＡＣ｜），设点P的坐标为（ｘ，ｙ），则ｘ１＜ｘ＜ｘ２且（ｘ－ｘ１）／（ｘ２－ｘ）＝（ｘ１／ｘ２），∴ｘ＝（2ｘ１ｘ２）／（ｘ１＋ｘ２）＝（ａ２＋3／2－ａｋ）．②又ｙ＝ｋｘ＋ａ，③由②③消去参数ｋ，得2ｘ－ａｙ－3＝0，其中ｘ、ｙ满足（ｘ－2）２＋ｙ２＜1．10．（1）设Ｐ（ｘ０，ｙ０），则射线OP的方程为ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ（ｘ≥0），AQ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－1），ＡＲ的方程为ｙ＝－ｋ（ｘ－1）．由ｙ＝ｋ（ｘ－1），消去ｙ，得ｙ＝（ｙ０／ｘ０）ｘｋｘ－ｋ＝（ｙ０／ｘ０）ｘ，∴ｘＱ＝（ｘ０k）／（ｘ０k－ｙ０）．同理可得ｘＲ＝（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ）．由于｜ＯＰ｜２＝｜ＯＱ｜·｜ＯＲ｜等价于ｘＰ２＝ｘＱ·ｘＲ，所以由（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ－ｙ０）·（ｘ０ｋ）／（ｘ０ｋ＋ｙ０）＝ｘ０２，得ｘ０２（ｘ０２ｋ２－ｙ０２－ｋ２）＝0．由题意ｘ０≠0，所以ｘ０２ｋ２－ｙ０２＝ｋ２，即ｘ２－（ｙ２／ｋ２）＝1（ｘ＞0），此即点P的轨迹方程．（2）｜ＱＲ｜＝＝（2｜ｙ０｜）／｜ｋ｜·又A点到OP的距离ｈ＝（｜ｙ０｜／）依题意，（｜ｙ０｜·）／｜ｋ｜·｜ｙ０｜／＝（1／4）｜ｋ｜，∴ｙ０＝±（1／2）｜ｋ｜，∴ｘ０＝＝（／2）．可见，符合题意的点P存在，其坐标为Ｐ１（（／2），（1／2）｜ｋ｜），Ｐ２（（／2），－（1／2）｜ｋ｜）．§ 3 直线与圆1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｄ；4．Ｃ；5．13或3．6．（ｘ＋2）２＋（ｙ－17）２＝289或（ｘ－2）２＋（ｙ－5）２＝25．7．－3－（／2）≤ａ≤－3＋（／2）．8．设Ｐ、Ｐ′所同在的直线方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0，则应有Ａｘ′＋Ｂｙ′＋Ｃ＝0．将ｘ′＝3ｘ＋2ｙ＋1，代入整理，得ｙ′＝ｘ＋4ｙ－3（3Ａ＋Ｂ）ｘ＋（2Ａ＋4Ｂ）ｙ＋（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）＝0．因P和P′不可能同在垂直于坐标轴的一条直线上运动，所以Ａ≠0，Ｂ≠0．由两直线重合的条件，有（3Ａ＋Ｂ）／Ａ＝（2Ａ＋4Ｂ）／Ｂ＝（Ｃ＋Ａ－2Ｂ）／Ｃ＝ｋ．消去Ａ、Ｂ、Ｃ，得ｋ２－7ｋ＋10＝0，解得ｋ１＝2，ｋ２＝5．当ｋ＝2时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝1∶（－1）∶4，这时直线的方程为ｘ－ｙ＋4＝0；当ｋ＝5时，Ａ∶Ｂ∶Ｃ＝4∶8∶（－5），此时直线的方程为4ｘ＋8ｙ－5＝0．9．将A点看作特殊的“点圆”，其方程为（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0．于是问题转化为求过两圆（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＝0和ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ＋15＝0的交点，且与ｌ相切的圆的方程．考虑圆系（ｘ－3）２＋（ｙ－6）２＋λ（ｘ２＋ｙ２－4ｘ－8ｙ－15）＝0．与直线联立，并消去ｘ，得5（1＋λ）ｙ２－4（11＋9λ）ｙ＋20（3λ＋5）＝0．由直线与圆相切知Δ＝16（11＋9λ）２－400（1＋λ）（3λ＋5）＝0．解得λ１＝1，λ２＝－（2／3）．∴所求圆的方程有两个：ｘ２＋ｙ２－5ｘ－10ｙ＋30＝0；ｘ２＋ｙ２－10ｘ－20ｙ＋105＝0．10.设动圆圆心为M（ｘ，ｙ），半径为ｒ，点M到ｌ１、ｌ２的距离分别为ｄ１、ｄ２，据弦、弦心距、半径三者的关系，有第10题ｄ１２＋（26／2）２＝ｒ２，ｄ２２＋（24／2）２＝ｒ２，由此可得ｄ２２－ｄ１２＝25．①又ｄ１＝（｜2ｘ－3ｙ＋2｜）／，ｄ２＝（｜3ｘ－2ｙ＋3｜）／，代入①，得（（3ｘ－2ｙ＋3）／）２－（（2ｘ－3ｙ＋2）／）２＝25.化简，得ｘ２＋2ｘ＋1－ｙ２＝65，即（（ｘ＋1）２／65）－（ｙ２／65）＝1．∴动圆圆心M的轨迹是以（－1，0）为中心，为实轴长，且实轴平行于x轴的等轴双曲线．。
二次曲线专题复习ppt 通用
d
Aa Bb C
2 2 A B
圆的公式
图形
圆心在原点，半径为 r
圆心在(r,0),半径为r
直角坐标方程
参数方程
* x=rcosθ y=rsinθ
过圆上一点（ x0,y0)的切线 x0x+y0y=r2
xox+yoy=r(x+xo) (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2 +F=0
• 直线与椭圆的位置关系： • 把直线与椭圆的方程组消元后得 一元二次方程，它的判别式Δ>0 直线与椭圆相交 • Δ=0直线与椭圆相切 • Δ <0直线与椭圆相离
椭圆的标准方程与性质
标准方程 图形
2 2 x y 2 1 ( a b 0 ) 2 a b 2 2 y x 2 1 ( a b 0 ) 2 a b
2 2
d>r相离，d=r相切，d<r相交 圆与圆关系 两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1 两圆的圆心距 d 2 2 ( a a ) ( b b )
1 2 1 2
d的 范围
0
~
内含
|r1-r2|
~
相交
r1+r2
外切
d>r1+r2
位置 关系
同心
内切
外离
关于相切： （1） 过圆上一点（x0,y0) 公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方 程，消去 y得相应x的二次方程，由 判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。 几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切 线。 （2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述 判别式法、几何法处理。
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数学高考综合能力题选讲18
直线与二次曲线
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
范例选讲
例1．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相
切．过点()4,0P -作斜率为
1
4
的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2
PA PB PC ⋅=．
（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程； （Ⅱ）求双曲线G 的方程；
（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．
讲解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆
2210200x y x +-+=
=
所以，1
2
k =±．
双曲线G 的渐近线的方程为：1
2
y x =±．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．
把直线l 的方程()1
44
y x =
+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=．
则8164, 33
A B A B m
x x x x ++==- （＊）
∵ 2
PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上， ∴ ()()()2
P A B P P C x x x x x x --=-，
即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．
所以，双曲线的方程为22
1287
x y -
=． （Ⅲ）由题可设椭圆S
的方程为：(22
2128x y a a
+=>．下面我们来求出S
中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．
设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则
22
112
22
222
128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：
()()()()
121212122
028
x x x x y y y y a
-+-++
=
由于
12
12
4y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，
00
2
4028x y a -=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线
24028x y
a
-=截在椭圆S 内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，
21
1122a =．所以，2
56a =，椭圆S 的方程为：22
12856
x y +
=．
点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．
例2．设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线． （Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线1
2
x =-
平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．
讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为(),G x y ，则其焦点为()21,F x y -．由抛物
线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．
2=．
所以，抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2
2
14
y x += ()1x ≠． （Ⅱ）因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标，由MN 所唯一确定．所以，要求m 的取值范围，还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．
显然，直线l 与坐标轴不可能平行，所以，设直线l 的方程为1
:l y x b k
=-+，
代入椭圆方程得：
222
2
41240k bx x b k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭
由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，所以，
()2
2222
441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭
，即 ()222410 0k k b k -+>≠．（＊）
又线段MN 恰被直线12x =-平分，所以，2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭
．
所以，241
2
k bk +=-．
代入（＊）可解得：()0k k <<≠． 下面，只需找到m 与k 的关系，即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为
弦MN 的垂直平分线，故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
在1:l y x b k =-+中，令12x =-，可解得：201141
2222k y b k k k k
+=+=-=-．
将点1,22P k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
代入y kx m =+，可得：32k m =-．
所以，0m m <<≠． 从以上解题过程来看，求m 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m
与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：
解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则由点,M N 为椭圆上的点，可知：
2222
44
44
M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+=
又由于01121, 2, 2M N M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫
+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝，代入上式
得：0
2
y k =-
． 又点01,2P y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上，
所以，01
2
y k m =-+．
所以，0013
24
m y k y =+=．
由点01,2P y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在线段BB ’上（B ’、B 为直
线1
2
x =-
与椭圆的交点，如图），所以，'0B B y y y <<．
也即：0y <<
所以，0m m <<≠
点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．
涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．
从构造不等式的角度来说，“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大
于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在椭圆内”是等价的．
高考真题
1．（1991年全国高考）双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双
P 、Q 两点．若OP OQ ⊥，且4PQ =，求双曲线的方程．
2．（1994年全国高考）已知直线l 过坐标原点，抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．
3．（1996年全国高考）已知l l ,l 2是过点P (-20,)的两条互相垂直的直线,且l l ,l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点,分别为A 1,B 1和A 2,B 2. (I ) 求l 1的斜率k 1的取值范围; (II )若|A 1B 1|=5|A 2B 2|,求l l ,l 2的方程.
[答案与提示： 1.略；
2
．21 25
y x y x =
=；； 3．(I
)(
)
(11,33⎛⎛
⎫
-⋃--⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭； (II
)
12::l y x l y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩
12::2l y x l y x ⎧=⎪
⎨
⎪=+⎩或．]。