线性控制第二章答案
自动控制原理第二版课后答案第二章
uc
(t
)
ur
(t
)
(2 1 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc (t) dt
uc (t)
ur
(t)
(2 1 3)
9
• 例2-2 设有一弹簧-质
量-阻尼动力系统如图
所示，当外力F(t)作用
于系统时，系统将产 生运动，试写出外力
F(t)
F(t)与质量块的位移
y(t)之间的动态方程。
• 系统的数学模型是描述系统输入、输出 变量以及内部各变量之间关系的数学表 达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并经实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
26
三、典型元器件的传递函数
1. 电位器
1 2
m
ax
E
Θs
U s
K
U
K E
max
27
2. 电位器电桥
1
2
E
K1 p1
K1 p 2
U
Θ 1
s
Θ K1 p
机械控制项目工程学习基础第二章答案解析
习题
2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中，x。表示系统输出，X表示系统输入，哪些是线性系统？
(1)x o 2 x o x o 2x o 2 x i (2)x o 2 x o 2tx o 2x i
(3)x o 2 x o 2 x o 2 x i (4)x o 2 x o x o 2tx o 2 x i
解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的
一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中( 2)和(3)是线性系统。
2.2 图(题2.2)中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分
方程，图中
x i 表示输入位移，
x o
表示输出位移，假设输出端无负载
效应。
图(题2.2)解：(1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
x i x o) c2 x o mx o
消除中间变量有
c ( k i k 2)x o k i k 2X o ck i X i
(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有
c ( X i X o ) k i ( X i X o )
k 2X o
1
c X o ( k i k 2)X 。 ex k i X i
2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图(题2.3)
解:(1)对图(a)所示系统，设i 1为流过R 的电流，i 为总电流贝S 有
(2)对图(b)所示系统，弓1入一中间变量 X,并由牛顿定律有
(X i X)k i c(X X o ) (1)
c(X X o ) k 2X o (2)
即
U o R 2i
C 2
id
t
mx o (c i C 2)X o ox
现代控制理论课后习题答案
绪论
为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
2机械控制工程基础第二章答案
习 题
2.1 什么是线性系统其最重要的特性是什么下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统 (1) x x x x x i
o
o
o
o 222=++&&& (2) x tx x x
i
o
o
o
222=++&&& (3) x x x x i
o
222o
o
=++&&& (4) x tx x x x
i
o
o
o
222o
=++&&& 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 即
x
c x c c x m i
&&&&1
2
1
o
o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 消除中间变量有
(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即
x k x c x k k x c i
i
o
o
1
2
1
)(+=++&&
2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）
解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 消除中间变量,并化简有
u R C u C
C R R u R C u R C u C C R R u R C i
i
i
o
o
o
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1)()1(1+++=-+
++&&&&&&&
(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有 消除中间变量,并化简有
现代控制理论课后答案
前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。编者2005年5月第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为 ，输出为 ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设 两端电压为 ， 两端的电压为 ，则(1)(2)选择状态变量为 ， ，由式(1)和(2)得：状态空间表达式为：即: 2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。 图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，选择状态变量 ， = ， = ， 。根据牛顿定律对 有：对 有：经整理得：状态方程为： 输出方程为： 写成矩阵形式为：2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。图P2.5系统结构图解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。着眼于求和点①、②、③，则有①： ②： ③： 输出 为 ，得2.7 试求图 中所示的电网络中，以电感 、 上的支电流 、 作为状态变量的状态空间表达式。这里 是恒流源的电流值，输出 是 上的支路电压。
第2章 控制系统的数学模型习题答案
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1 学习要点
1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换；
2 物理系统数学模型的编写方法和步骤；
3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法；
4 系统方框图等效变换原则与应用；
5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。 2.2 思考与习题祥解
题2.1思考与总结下述问题。
（1）我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？ （2）非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。
（3）传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优点？
答：（1）自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。 我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。
（2）实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。如果控制系统的工作状态是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。应用线性化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程，虽然这是一种近似的处理方法，但却很有实际意义。
只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成本质影响，就可以进行非线性系统线性化。
具体方法是：对任意函数，在某一点（工作点）处对函数进行泰勒级数展开，忽略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。
（3）系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比)(s G 称为系统的传递函数。传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可以直接从微分方程导出。
自动控制原理C作业(第二章)答案
2 1 G1H1
因此，传递函数为
C(s) P11 P22
R(s)
G1G2G3 G3G4 (1 G1H1 )
1 G1H1 G3H 2 G1G2G3H1H 2 G1G3H1H 2
E(s)/R(s):单独回路 3 个，即
L1 G1H1 L2 G3H 2 L3 G1G2G3H1H 2
稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。
3-4 已知系统特征方程为 s5 s4 2s3 2s2 3s 5 0试判断系统稳定性。
解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第 一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数 ε 来代替为零的一项，从 而可使劳斯行列表继续算下去。 劳斯行列式为
零时为 2 。由于第一列变号两次，故有两个根在右半 s 平面，所以系统是不稳定的。
3.5
解;在求解系统的稳态误差前必须判定系统是否稳定； 系统特征方程为 0.1s3 1.5s2 5s 50 0 由劳斯判据判断
劳斯行列式为
s3
0.1
5
s2
1.5
50
s1
5
3
s0
50
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统
P2 G3G4 H1H 2
因此，传递函数为
E(s) P11 P22
机械工程控制基础第二章习题答案
2007机械工程控制基础第二章习题答案
第二章 系统的数学模型
第2讲
2.1 什么是线性系统，其最重要的特性是什么？
答：线性系统：系统的运动状态可以用线性微分方程来表示。线性系统有一个重要的特性即满足叠加原理：
⎩
⎨
⎧=+=+)()(:)
()()(:2121x af ax f x f x f x x f 齐次性可加性 2.2(b)、对图(b)所示系统,由牛顿定律有 )()()('
t y m t y k t f
=- 其中2
121'
k k k k k +=
，所以)(t y m +2121k k k k +)(t y =)(t f
2.3 图(题2.3)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中i
x 表示
输入位移，
x 表示输入位移，假设输出端无负载效应。
解：（2）对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ,并由牛顿定律有
{
)()()(01020x x
c k x x x k x x
c i -=-=-
消除中间变量有：i x ck x k k x
k k c 1021021)(=++ 2.4解：（1）对图（a ）所示系统，设1i 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧-=-=-+=⎰⎰dt i i C u u i R u u idt C i R u i i )(1
11101102
20
消除中间变量，并化简有：
i
i i u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u
R C 1
221122101201120211
)(1)21(+++=++++
（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，有：
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解
3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110
A （4） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=000010000100
0010
A （6）⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：
（1） （2） （3） （4）
特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201
P
线性变换后的系统矩阵为：
（5）
为结构四重根的约旦标准型。 （6）
虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0
100010000{
])[()(1
111----⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。 【解】：
（1） （2）
特征方程为： 特征值为：
2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。 求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：
0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦
线性控制理论参考答案
线性控制理论参考答案
线性控制理论参考答案
线性控制理论是自动控制领域中的重要理论之一，它研究的是线性系统的建模、分析和控制方法。在实际应用中，线性控制理论被广泛应用于工业自动化、航
空航天、机器人等领域。本文将从线性系统的基本概念、控制器设计和系统分
析等方面，为读者提供一份线性控制理论参考答案。
1. 线性系统的基本概念
线性系统是指系统的输入和输出之间存在线性关系的系统。线性系统具有叠加性、齐次性和比例性等特点。叠加性意味着系统对多个输入信号的响应可以通
过对每个输入信号的响应的叠加来得到。齐次性表示系统对于零输入信号的响
应为零。比例性意味着系统对于输入信号的响应与输入信号的幅度成比例。
2. 控制器设计
控制器的设计是线性控制理论的核心内容之一。常见的控制器设计方法包括比
例控制、积分控制和微分控制。比例控制是根据系统输出与期望输出之间的差
异来调整系统输入的大小。积分控制是根据系统输出与期望输出之间的积分误
差来调整系统输入的大小。微分控制是根据系统输出与期望输出之间的变化率
来调整系统输入的大小。
3. 系统分析
系统分析是线性控制理论的另一个重要内容。系统分析的目的是评估系统的性
能和稳定性。常用的系统分析方法包括时域分析和频域分析。时域分析是通过
观察系统的时域响应来评估系统的性能和稳定性。频域分析是通过将系统的输
入和输出信号转换到频域来评估系统的性能和稳定性。
4. 线性控制理论的应用
线性控制理论在实际应用中有着广泛的应用。在工业自动化领域，线性控制理
论被用于控制工业过程中的温度、压力、流量等参数。在航空航天领域，线性
线性控制系统工程课后习题答案Solution of module 7
7.1
Solutions:
C 50 0.2 R ( s 1)( s 5)( s 50) (1 s )(1 0.2 s )(1 1/ 50 s )
Neglecting pole S= -50 C 0.2 1nd order overdamped, dominated by pole S= -1 R (1 S ) hence unit step response as shown
=
(1 1 / 8S ) (1 1 / 4S )(1 1 / 12 S )(1 1 / 2S )(1 1 / 6S )
This time, approximate to a second order system
C 1 R (1 1/ 2 S )(1 1/ 4 S )
Step Response 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3
C 1 4 R 4 S2 4
Amplitude
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
0
5
10 Time (sec)
15
20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
25
7.4
C 72( S 8) 72( S 8) 2 R ( S 4)( S 12)( S 8S 12) ( S 4)( S 12)( S 2)( S 6)
自动控制原理作业题(后附答案)
自动控制原理作业题(后附
答案)
-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
自动控制原理作业题
第一章基本概念
一、简答题
1 简述自动控制的基本概念
2 简述自动控制系统的基本组成
3 简述控制系统的基本控制过程
4 简述自动控制系统的基本分类
5 试比较开环控制和闭环控制的特点
6 简述自动控制系统的性能评价指标
二、分析计算题
1 液位自动控制系统如图所示。试分析该系统工作原理，画出系统原理框图，指出被控对象、被控参量和控制量
2 发动机电压调节系统如图所示，试分析其工作原理，画出系统原理框图，指出其特点。
3液面控制系统如图所示。试分析该系统的工作原理，指出系统中的干扰量、被控制量及被控制对象，并画出系统的方框图。
4控制系统如图所示。简述该系统的工作原理，说明该系统的给定值、被控制
量和干扰量，并画出该系统的方块图。
图1-7发电机-电动机调速系统
操纵电位计
发电机
伺服电机
减速器
负载
Θr
给定值Ur 前置放大器
功放执行元件
被控量
Wm
这是一个开环控制的例子
+E
-E
Ur
操纵电位计
R1
R2
R3
R4
放大器
直流发电机
伺服电机Wd Wm
发电机-电动机调速系统减速器
负载
5火炮随动控制系统如图所示。简述该系统的工作原理，并画出该系统的原理框图。
第二章 线性控制系统的数学模型
一、简答题
1 简述建立控制系统数学模型的方法及其数学表示形式
2 简述建立微分方程的步骤
3 简述传递函数的基本概念及其特点
4 给出组成控制系统典型基本环节
二、分析计算题
1 有源电网络如图所示，输入量为)(1t u ，输出量为)(2t u ，试确定该电网络的传递函数
机械控制工程基础第二章的答案及解析
2.1什么是线性系统？其最重要的特性是什么？下列用微分方程表示 的系统中，x 。表示系统输出，x 表示系统输入，哪些是线性系统？ (1)
X o
2 X o
X o
2x^2 X i
⑵
X o
2 X o 2 tx^ 2 X
i
(3)
X o
2 X o
2X ^2 X i
⑷
x 。2x o
x 。2tx o
= 2x
解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的 一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中(2)和(3)是线性系 统。 2.2图(题2.2 )中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的 微分方程，图中x 表示输入位移，X 。表示输出位移，假设输出端无 负载效应。
图(题2.2)
解:(1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
7/7刀 (a)
7777/ (b)
c i
( x —x 。) —C 2
X 。二 mx 。
mx 。 ( c i
C 2
)x 。二 c i
X
i
(X j-x)k i
= c(x-x 。)
c(xx °) = k 2
x 。
(1) (2)
消除中间变量有
c (总- k 2
)x 。- k i
k z
x 。二 ckix
(3) 对图(c)所示系统，由牛顿定律有
c ( X - x 。) k i
( X - x 。)= k z
x 。
1
c x°+ ( ki+ k 2
)x °=
cx+ kix
2.3 求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
(a)
图(题2.3)
解：(1)对图⑻ 所示系统,设j 1为流过R 的电流,j 为总电流，则有
1 u 厂 R ?i
idt
C
2
□ 一 u 。二 R i j i
对图(b)所示系统，引入一中间变量 x,并由牛顿定律有
线性控制系统理论试题及答案
2.已知线性时变系统
x = A (t )x ,
•
,其解如下
2 0 0 2 x(t 0 ) = 时, x(t ) = ;当x(t 0 ) = 时，x(t ) = 2 2. 1 1 0 t − t 0
求系统的状态转移矩阵。 答：从 x (t ) = Φ (t , t 0 )x (t 0 ) 可以写出下列方程
因此
ˆ = PAP −1 = 0 1, B = PB = 0 ˆ A 1 0 1
故
0 1 ∧ 0 X = A X + Bu = X + 1 u 1 0
∧ ∧ ∧ ∧
•
点评：此题考察状态空间表达式的线性变 换，关键求出变换阵P。 有几个重要结论： （1）变换前后系统特征方程和特征值的 不变性。 （2）传递函数矩阵的不变性。
点评：基于观测器的状态反馈，其反馈闭环 的极点和观测器的极点可按照真实状态反 馈一样分别独立进行任意配置，互不影响。 整个系统的特征值集合是A-BK的特征值集 合与A-MC的特征值集合的并集，状态观测 器的特征值不受其反馈的影响。在特征值 配置方面，状态反馈的设计和状态反馈器 的设计可以独立进行，该性质称为卡尔曼 分离特性。
x (t ) = φ (t − t0 ) x (t0 ) + ∫ φ (t − τ ) Bu( τ ) d τ
线性控制系统分析与设计期末考+答案解析试
线性控制系统分析与设计期末考试（七题命中）
一. (a)求位置y(t)与力f(t)有关的微分方程；(b)画出机械网络图；(c)确定传递函数G(D)＝y/f 。
嗯
(b) Draw the mechanical network.
(a) node x a
()21
212a b K
K M D x K x f ++-=
node x b
()
022232
=-+++a b x K x D M BD K K
(c) ()2
4322
2
a a
b K G D D BD KD BK K K K =
++++- where 12a K K K =+, 23b K K K =+, a b K K K =+
二、Solve the following differential equations. Assume zero initial conditions. Sketch the solutions.
1162=+x x D (1)
r =1, k =0, w =0
∴ q=k-w=0
The steady state output is therefore:
K 2
B
K 3
K 1 f
x ss =b 0 D 2 x ss =0.
Inserting these values into previous equation(1): 16 x ss =16 b 0=1 x ss =b 0=
16
1
(2) The homogeneous equation is formed by letting the right side of the differential equation equal zero:
机械控制工程基础第二章答案
习题
2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,表示系统输出,表示系统输入,哪些是线性系统?
(1) (2)
(3) (4)
解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中表示输入位移，表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2)
解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有
即
(2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有
消除中间变量有
(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有
即
2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）
解:(1)对图(a)所示系统,设为流过的电流,为总电流,则有
消除中间变量,并化简有
(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有
消除中间变量,并化简有
2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,为圆周阻尼，J为转动惯量。
解：设系统输入为M（即），输出(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
消除中间变量,即可得到系统动力学方程
2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5(t)。
（1）求当工作点为=0,=1,=2时相应的稳态时输出值；
（2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定
义x和y，写出新的线性化模型。
解: (1) 将=0,=1,=2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5(t)中,即当工作点为=0,=1,=2时相应的稳态输出值分别为,,
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2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?
Figure 2.19
Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。其中u 表示输入，y 表示输出。 下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性
的吗？
Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:
u a y *=
Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:
b u a y +=*
Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11*
b u a y +=22*
then:
b u u a y y *2)(*)(2121++=+
So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.
But we can introduce a new output so that it is linear. Let:
b y z -=
u a z *=
z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system.
The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as:
u u a y *)(=
a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs:
111*u a y =
222*u a y =
Assure:
21a a ≠
then:
221121**)(u a u a y y +=+
So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.
2.2 The impulse response of an ideal lowpass filter is given by
)
(2)(2sin 2)(00t t t t t g --=ωωω for all t , where w and to are constants. Is the ideal lowpass filter causal? Is is possible to built the filter in the real world?
Translation: 理想低通滤波器的冲激响应如式所示。对于所有的t ，w 和to ，都是常数。理
想低通滤波器是因果的吗？现实世界中有可能构造这种滤波器吗？
Answer: Consider two different time: ts and tr , ts < tr , the value of g(ts-tr) denotes the output at
time ts , excited by the impulse input at time tr . It indicates that the system output at time ts is dependent on future input at time tr . In other words, the system is not causal. We know that all physical system should be causal, so it is impossible to built the filter in
the real world.
2.3 Consider a system whose input u and output y are related by
⎩
⎨⎧>≤==a t for a t for t u t u P t y a 0)(:))(()( where a is a fixed constant. The system is called a truncation operator, which chops off the input after time a . Is the system linear? Is it time-invariant? Is it causal?
Translation: 考虑具有如式所示输入输出关系的系统，a 是一个确定的常数。这个系统称作 截断器。它截断时间a 之后的输入。这个系统是线性的吗？它是定常的吗？是因果 的吗？
Answer: Consider the input-output relation at any time t, t<=a :
u y =
Easy to testify that it is linear.
Consider the input-output relation at any time t, t>a :
0=y
Easy to testify that it is linear. So for any time, the system is linear.
Consider whether it is time-invariable. Define the initial time of input to , system input is u(t), t>=to . Let to=to :