相似三角形判定1
相似三角形的判定1
∴
AD AE AB AC
∵AC=4，EC=1， ∴AE=3.
∴
AD 3 3 4
∴AD=2.25， ∴BD=0.75.
当堂训练
A B O E C F D
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3 对相似三角形. 图中共有____
AB∥EF △AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
相似三角形：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. A A′
C
C
B ∽ 记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC___ △A′B′C′
B′
′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
A′
A
B
C
B′ C′
定义，即是性质，也是判定.
你能用几何语言表述相似三角形性质吗？
如图，在△ABC与△A′B′C′中， ∵ △ABC∽△A′B′C′
(2)
△ADE∽△ABC
1.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,
叫做相似三角形.
2.△ABC与△DEF相似,记作:△ABC∽△DEF.
3. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似比就是它们的对应边的比.
4、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 5、平行线分线段成比例定理的推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应 线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
l
A
l
l1
E
l
A
D
l
l1 l2 l2
D
B
E C
l2
相似三角形的判定1
用数学符号表示： 用数学符号表示：
A E D
D
B
E
C B
A
(1)
C
(2)
∵ DE∥BC ∥
∴ ∆ADE∽∆ABC ∽
问题
三角形的中位线截得的三角形与原三角形是 三角形的中位线截得的三角形与原三角形是 截得的三角形 否相似？ 相似比是多少？ 否相似？ 相似比是多少？
A D B E C
问题
已知：如图， ∥ 已知：如图，AB∥EF ∥CD，则△AOB与 ， 与
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC∽△A2B2C2 。 ∽
练习1 练习1
（1）∆ABC和∆DEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， 相似 ∠F=600。∆ABC与∆DEF （“相似”或“不相 似”）。 （2） D为∆ABC边AB上的一点，且∠ACD=∠B ，则 D ∆ABC与∆ACD 相似 （ “相似”或“不相似”）。 (3)在∆ABC中，AB›AC，D为AB边上的一点，过D点作直 A
相似三角形定义： 对应角相等 相似三角形定义 ： 问题1 问题1：这两个三角形是 相似形定义：我们把形状 相似形定义：我们把对应角相等
、对应边成比例的两个三角形叫做相似三 对应边成比例的两个三角形叫做相似三 成比例的两个三角形叫做 否为相似形？ 否为相似形？ 相同的两个图形称为相似形。 相同的两个图形称为相似形。 角形。 角形。
观察左图中两 幅图形的形状 和大小有什么 关系？
对应角……？ 对应边……？
△ABC与△ A'B'C'相似
C A C/
表示为： △ABC∽△ A'B'C' 读作： 读作： △ABC相似于△ A'B'C'
相似三角形判定1一 定稿
求证:
AC2=AD · AB
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 AC ∠ADC ∠ACB C AB
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
∠ACD ∠B
AC AD AB AC
AD AC
AC 2 AD AB
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC ∴△ADE ∽△ACD
巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
A
D
B
证明：∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°， ∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等的两个三角形相似). 同理可证：△ABC∽△ACD ∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
直角三角形被斜边上的高分成的 例1已知： Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
两个直角三角形和原三角形相似。 试说明图中有几对相似三角形 .
C
已知：如图Rt△ABC中， CD是斜边上的高。 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
BC CE
ACB DCE
经典：相似三角形判定复习(一)
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A
相似三角形的判定(一)
第4讲相似三角形的判定（一）知识框架相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．4.1相似三角形判定定理11、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l与ABC∆的两边AB、AC所在直线分别交于点D和点E，则ADE△∽ABC△．知识精讲3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．例2. 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中 有哪几对相似三角形？例题分析例3. 如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？例4. 如图，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB ⋅=⋅．例5. 如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．例6. 如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE △相似于．例7. 如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．例8. 如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC △与CDE △相似，求BC 的值．例9. 如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =g g ．例10. 正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．例11. 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．例12. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 是ABC △内一点，且满足135APB APC ∠=∠=︒．求证：CPA ∆∽APB ∆．例13. 如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ． （1）求证：EDM △∽FBM △；（2）若6DB =，求BM ．例14. 如图，在ABC △中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且EDF ABE ∠=∠． （1）求证：DEF △∽BDE △；（2）DG DF DB EF ⋅=⋅．例15. 如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．例16. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：2AO OE OF =⋅．例17. 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF //AB ， 延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ．求证：2BP PE PF =⋅．例18. 如图，在ABC △中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ． （1）求证：BE CD BD BC ⋅=⋅；（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．4.2 相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC△与111A B C△中，1A A∠=∠，1111AB ACA B AC=，那么ABC△∽111A B C△．例1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，2OA=，3OB=，6OC=，4OD=．求证：OAD△∽OBC△．例2.如图，点D是ABC∆的边AB上的一点，且2AC AD AB=⋅．求证：ACD△∽ABC△．知识精讲例题分析例3. 如图，在ABC △与AED △中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC △∽AED △．例4. 下列说法一定正确的是（ ）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似； （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似；（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．例5. 在ABC △和DEF △中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）（A ）AB ACDE DF =，B E ∠=∠； （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠； （C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠； （D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠． 例6. 如图，D 是ABC △内一点，E 是ABC △外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．例7. 已知，在ABC △中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC ⋅=⋅；（2）AFE ACB ∠=∠．例8. 如图，点O 是ABC △的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE △∽OCA △．例9. 如图，ABC △∽''AB C △，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB △∽'ACC △．例10. 如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN=．例11. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥．例12. 如图，在ABC △中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =⋅．求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB ⋅=⋅．例13. 如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于点P ，D 是PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项．求证：（1）AP AB AH AC ⋅=⋅；（2）ACD △是等腰直角三角形．例14. 如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ △与ABC △相似？4.3 课堂检测1. 根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45D ∠=︒，16cm DE =，20cm DF =； （2）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45E ∠=︒，20cm ED =，16cm EF =； （3）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45D ∠=︒，16cm ED =，20cm EF =．2. 如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，BC ，3AC =，则CD 的长为． 3. 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．第2题图 第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =________．5. 如图，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点，ED的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=．6. 如图，在ABC △中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠．求证：（1）2AD DE DB =⋅；（2）DEC ACB ∠=∠．7. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ． （1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长．8. 如图，在ABC △中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上，BA BD BC BE ⋅=⋅． （1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =⋅．4.4 课后作业1. 如图，在ABC △中，AB 3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．2. 如图，ABC △中，P 为AB 上一点，在下列四个条件下，①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅，组合起来能得出：ABC ∆∽ACP △的是（） （A ）①、②、④ ； （B ）①、③、④； （C ）②、③、④ ； （D ）①、②、③．3. 如图，在ABC △中，15AB =厘米，12AC =厘米，AD 是BAC ∠的外角平分线，DE //AB 交AC 的延长线于点E ，求CE 的长．4. 如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE △∽DCA △；（2）22BC BE CD =⋅．5. 如图，ABC △中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC △∽ABC △．求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．6. 如图，在ABC △中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于 点C ，与AD 交于点D ．（1）求证：ACE △∽ADC △；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长．7. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB CD BC ==．点M 为边BC 的中点，以点M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，联结EF ．指出图中所有与BEM ∆相似的三角形，并加以证明．。
相似三角形判定1
「■轡立方数肓源于名校，成就所托初中数学备课组教师班级学生日期上课时间教学内容：相似三角形判定1知识点1相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定方法1:两角对应相等的两个三角形相似。
在两个三角形中，只需找到有两组对应角相等，就可以判定两个三角形相似，这种方法说明不用边我们可以判定两个三角形相似，这是判定两个三角形相似的很重要的一种方法。
推理格式：•••/ A= / D，/ C=Z F （找出两组角对应相等即可）••• △ AB8 △ DEF例1:在△ ABC和△ DEF中，/ A = Z D=80 , / B= 70°/ F= 30°,这两个三角形相似吗？说明理由。
例2:如图，DE // BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值;(2) 如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.反馈练习1、如图Rt A ACB，/ ACD=90° ,CD 丄AB 于D,求证：△ ABC s △ ACM △ CBD （以后可当结论使用）nCD匚曾立方数肓源于名校，成就所托2、已知：如图，△ ABC 的高AD、BE交于点F.(1) 求证：△ AEF S A BDFAF EF(2) 求证：BF二帀.3. 已知：/ A1 , / B= / B1,(1)求证：ABC s ABC⑵求证：A i B i BC = AB B I C I4. 如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，/ BAD=90°，对角线BD丄DC。
求证：(1) △ ABD DCB (2) BD 2=AD -BC5. 如图，已知DE//BC,DF//AC,AD=4 , BD=8 , DE=5，求线段BF 的长.F源于名校，成就所托知识点2相似三角形的判定方法2如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
相似三角形判定1-学生版
基本内容相似三角形的判定（一）知识精要1、相似三角形：若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．即：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边．2、相似比：两个相似三角形对应边的比k，叫做这两个相似三角形的相似比（相似系数）．如：若△DEF与△ABC相似，则AB BC AC DE EF DF==．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础．4、三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．热身练习1、在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且AF AB AE AC⋅=⋅，则下列各式中正确的是（）A．EF AFAC BC=；B．AF BCAE AB=；C．EF AEBC AC=；D．BC ABEF AE=．2、BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于点O．下列结论中不正确的是（）A．△ADE∽△ABC；B．△DOE∽△COB；C．△BOE∽△COD；D．△BOE∽△BDE．3、下列各组有可能不相似的是（）A ．各有一个角是45︒的两个等腰三角形；B ．各有一个角是60︒的两个等腰三角形；C ．各有一个角是105︒的两个等腰三角形；D ．两个等腰直角三角形．4、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足D 在斜边AB 上，则下列四个结论中正确的是（ ）①2AC AD AB =⋅； ②2BC BD AB =⋅； ③2CD AD BD =⋅； ④AC BC AB CD ⋅=⋅． A ．①②④； B ．②③④； C ．①③④； D ．①②③④．5、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有（ ）条A ．5；B ．4；C ．3；D ．2．精解名题例1、已知在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？例2、根据下列条件，判断△ABC 与△'''A B C 是否相似，并说明理由：（1）120A ∠=︒，7AB =cm ，14AC =cm ； '120A ∠=︒，''3A B =cm ，''6A C =cm ． （2）4AB =cm ，6BC =cm ，8AC =cm ； ''12A B =cm ，''18B C =cm ，''21A C =cm ．例3、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1OA =，1.5OB =，3OC =，2OD =，求证：△OAD 与△OBC 是相似三角形．备选例题GF E DCBA例1、点D 是△ABC 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =⋅，求证：△ACD ∽△ABC ．例2、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒， 它们的斜边长为2， 若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE m =，CD n =．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围．（3）以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD CE =，求出D 点的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=．（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．巩固练习1、下列命题中，不正确的是（ ）Gy xOFE DCBAA ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B ．等腰直角三角形都是相似三角形；C ．有一个角为60︒的两个等腰三角形相似；D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似． 2、下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似；B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似；C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似；D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似． 3、△ABC ∽△'''A B C 且相似比为13错误!未找到引用源。
24.4(1)相似三角形的判定一
C
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形和原三角形相似.
已知：如图, Rt△ABC中,CD是斜边的高. 求证：△ABC ∽ △CBD ∽ △ACD C
A
D
B
相似三角形判定方法
1、三组对应边的比相等且对应角相等的三角形相似；
2、与同一个三角形相似的两个三角形相似；
3、平行于三角形一边的直线，截其它两边所
练习一：选择题 下列四组图形，必是相似形的是 （ ） Ａ、有一个角为的两个等腰三角形 Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形 Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形 Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形
1、已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°, ∠B=80°, ∠E=80°, ∠F=60°.(1)求证: △ABC∽△DEF;(2)写出对应边成比例的式子. 2、（1）已知:如图5-58,直线BE,DC交于A, ∠E=∠C.求证:DA· AC=BA· AE. （2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请 证明.
在△ABC 和△DEF中,若∠A=∠D，∠B=∠E， 求证：△ABC∽△ DEF
证明：在AB，AC上分别截取AM= DE ，AN = DF，联结MN
∵ AM=DE,∠A=∠D，AN=DF ∴ ΔAMN≌ΔDEF，
∴ ∠AMN=∠E， 又∵ ∠B=∠E， ∴ ∠AMN=∠B，
A D
∴ MN//BC， M N ∴ ΔAMN∽ΔABC ( 相似三角形的预备定理 ? ) ∴ ΔABC ∽ ΔDEF B C E
运用预备定理 判定两三角形 相似,找对平行 线
△AEF∽△CEB △ABC ∽△CDA △GFD∽ △GBC∽△BFA △AEB∽△CEG
E
拓展提高
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC 边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E， 使∠ADE=45°. （1）求证：△ABD∽△DCE
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
相似三角形判定定理1
相似三角形判定定理1
（原创版）
目录
1.相似三角形的定义和性质
2.相似三角形的判定定理及其证明方法
3.判定定理在实际问题中的应用
4.总结和展望
正文
一、相似三角形的定义和性质
相似三角形是指形状相同但大小不一定相等的三角形。
它们具有以下性质：
1.相似三角形的对应角度相等。
2.相似三角形的对应边长成比例。
二、相似三角形的判定定理及其证明方法
判定定理 1：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
判定定理 2：如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
判定定理 3：如果两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
这些判定定理可以通过三角形全等、特殊三角形、比例的应用等知识进行证明。
三、判定定理在实际问题中的应用
相似三角形的判定定理在解决实际问题中具有重要作用，例如在解决
图形的放大和缩小问题、计算三角形的相似比、判断两个三角形是否相似等问题中都会用到。
四、总结和展望
相似三角形的判定定理是三角形相似性研究的基础，掌握这些定理对于解决实际问题和深入研究三角形的性质具有重要意义。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些定理，结合其他数学知识，解决实际问题。
相似三角形的判定1(定)
相似三角形的判定（一）学习目标：1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”及其推论的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”及其推论的判定两个三角形相似. 3．发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：一、创设情境，引入新课：问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。
结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：二、合作交流，探究新知： 探究一：相似三角形的判定方法1（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？（2）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（3）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1： 。
∴ 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（4）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
探究二：如图甲与图乙，若DE ∥BC,则△ADE 与△ABC 有什么关系，你能写出证明过程吗？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1的推论： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．∵AC ∥DB ∴△ADE ∽△ABC 探究三：ABCA ′B ′C ′A BCDE 图甲ABCDE图乙除了以上常见的基本图形外，能利用本节判定方法的基本图形如下 （1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2、识别三角形相似的常用思路：（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 三：应用新知，体验成功：例1、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BDC.例题2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别在线段BC ，AC 上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD ∽△DCE.例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1
正式版判定定理
假设ABC和PQR是具有相似三角形的两个三角形，设四边分别为a、b、c、p、q、r，则可以推出以下判定定理：
定理：如果ABC和PQR是相似三角形，则有：
1. 对任意sidesABC，sidePQR之比为常数：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
2. 对任意angles ABC，angles PQR都相等：
∠A=∠P、∠B=∠Q、∠C=∠R。
证明：
证明：可以先根据side ratio 定理告诉我们，如果两个三角形的三边的比值定值，那么这两个三角形就是相似的。
因此，先假设ABC和PQR是相似的三角形，则有：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
这个等式表明了这两个三角形的三边长的比值是一定的，即使任意一边ABC乘以相同的常数，也会得到PQR，这符合side ratio 定理的要求。
接着我们考虑角度。
因为ABC和PQR是相似的三角形，所以有：
∠C =∠A+∠B =∠R+∠Q
将式子同时除以pqr 则可以得到：
∠C/∠R=∠A/∠P=∠B/∠Q
这表明的是在两个相似的三角形中，对应角的比值也是一定的，而且乘以相同的常数也会得到一致的结果。
经过上述证明，可以得出相似三角形的判定定理：
定理：如果ABC和PQR是相似三角形，则有：
1. 对任意sidesABC，sidePQR之比为常数：
a/p=b/q=c/r=k (其中k是一定的常数）
2. 对任意angles ABC，angles PQR都相等：
∠A=∠P、∠B=∠Q、∠C=∠R。
相似三角形的判定1
A′
B′
A
C′
D B
E
C
判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，
那么这两个三角形相似。
三组对应边的比相等的两个三角形相似。
A
几何语言：
∴△ABC∽△ A ' B ' C '
(两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似)
B′
C′
对于△ABC和△A′B′C′如果
AB AC A' B ' A 'C '
∠B=∠B′，那么这两个三角形一定相似吗？
B A A′ B′
C C′
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm， ∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm；
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A′＝45°，A′B′＝16cm， A′C′＝20cm
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？
AE 54 解： ∵ = FE 36
B 45
线 OAB上的动点，线段PC把 △OAB分割成两部分． 问：C点在什么位置时，分割得到的 O 三角形与原△OAB相似？
P
C1 C
A x C2 点C的位置是：
（注：在图上画出所有符合要求的 （6，6.25） 线段，并求出相应的点的坐标）．
（6，8）
（3，0）
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边
三角形相似的判定定理1
三角形相似的判定定理1
三角形相似的定理1是一种衡量三角形相似程度的方法，它可以用来测量两个三角形之间的相似程度，从而推断出相应的几何关系。
三角形相似的定理1指出：在空间平面上，如果两个三角形的内角之比相等，那么两个三角形相似。
该定理的另一个表述为：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形相似。
换言之，如果两个三角形的内角相等，那么这两个三角形相似，即使他们的边长不相等也具有相同的几何形状。
例子：
考虑三角形ABC和三角形XYZ，我们可以推断他们之间的定理：如果∠A =∠X，∠B= ∠Y，以及∠C = ∠Z，那么三角形ABC和三角形XYZ相似，即使它们的边长不相等也能够被认定为相似。
再考虑三角形ABC和DE的的情况。
现在，如果∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，并且AB/AX = BC/BY = CA/CZ，则这两个三角形也是相似的。
综上，我们可以得出结论：如果两个三角形完全相同（角相等）或者两个三角形的三个内角相等并且边长之比相等，则两个三角形相似。
这就是著名的三角形相似的定理1。
相似三角形的判定1
；
/AG850COM AG 亚游
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儿女双全„„呵呵„„ “马大宝喝醉了酒忙把家还„„”一股酒气掺杂在寒风中迎面扑来，泥泞的小道上一个身影在晃动。 马天栓呀马天栓，你真不愧是马大宝的后代，酒鬼一个。结婚五六年了，还没有一男半女，整天好吃懒做，一无所成，你还算个男人嘛！ 我才不理你呢！躲过他的身影，一口气跑回了家。 院子里静悄悄的，一点声音也没有。从窗口射出的灯光映着地上一小片白雪，我这才感到雪越下越大了。 我轻轻地推开门，满屋的烟气扑鼻而来，定晴一看，堂屋里坐满了人，却死一般的寂静。陈旧的沙发上坐着我那年过花甲的父亲，他正在一口 一口地抽着烟，像是天要塌下来一样的烦心。 若不是遇到大事，父亲是不会这个样子的。 “六弟回来了。”五哥的话打破了屋子里的宁两年，他最了解和关心我。 我把兜挂到墙上的木橛上，走到坐在偏座上的母亲身边，“娘，这是怎么了？” “老六啊，娘跟你说过多少回，你又不是不知道，你媳妇最近要生孩子，你怎么一去就是十几天，你心里还有这个家吗？„„再说，这厂又不 是你自己的，你不就是一个小小的工人嘛，人家有头有脸的都在家里干什么，你知道吗？让你一个人给他们拼命，你得到什么好处了？„„” “娘，你怎么也„„” “什么也别说了，快到里间去看看她娘们，然后„„出来开家庭会。”父亲打断了我的话。 在我们这个二十多口人的家里，父亲的话就是圣旨。 走进里间，四嫂和五嫂都坐在床沿上，我的妻子肖燕盘坐在床上正在给孩子喂奶。 “你和孩子都好吗？我„„”我一时语塞，什么话也说不出来。刚才我对娘的话还有些不服，现在我才感到内心深处有一种说不出的内疚„„ 唉！哪有妻子生孩子，丈夫不在跟前的？我真是一个不称职的丈夫！ “那姊妹俩都好，就是这一个妮子身体弱„„也不肯吃奶，恐怕„„”妻子的话哽咽了，眼泪从她的眼角流出来，滴在襁褓中的婴儿的脸上。 我顺势望去，在四嫂和五嫂的背后，还有两个熟睡的婴儿！ 我的天哪，怪不得老厂长的表情怪怪的，父亲一口一口地抽烟，母亲一肚子的牢骚，还有妻子满脸的泪水„„ 一胞三胎，女孩，绝户头一个！
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2.已知:在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′,∠A=∠A′求证 :△ABC∽△A′B′C′ A′
A
B
分析： △C′DE∽△C′B′A′ △C′DE ?
△ABC∽△A′B′C′
结论： 两角对应相等的三角形相似
1.顶角相等的两个等腰三角形相似吗?底角相等 的两个等腰三角形相似吗?说明理由 2. Rt△ABC中, ∠C=90 °,CD是斜边上的高, △ACD与△ABC相似吗? △CBD与△ABC相似 吗?证明你的结论 3.通过第2题的证明,你发现了什么?
A
1.如图，在正△ABC中,点D为AB中 点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE D 与△ABC相似吗? B
E C
2：如图，若点D是AB边上的任意一点,
过点D作DE∥BC，量一量，检验△ADE 与△ABC是否相似。
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC B D
A
E
C
结论：平行于三角形一边的直线与另两边相
性!
Δ ADE∽Δ DBF
运用1
如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 BD = 2 ，求 EC 的值。 B AB 5 AC 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = ， BC = 5 BA BC 5 D
A E C
2份 M 5份
弦AB和CD相交于⊙0内一点 P,求证:PA·PB=PC·PD
A
C
0
D B
小结:
这节课我学到了------，我在------方面取 得了进步。 有哪些东西我课上还没有懂，我希望在-----方面多加努力。 我对老师有什么要求------，我还想说-----
3份
又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CE CM 3 = ∴ = 5 CA CB
1.已知:在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′,∠C=∠C′ A′ 求证:△ABC∽△A′B′C′
A D E C′
B
分析： △A′DE∽△A′B′C′ △A′DE≌△ABC
C
B′
?
△ABC∽△A′B′C′
交,所构成的三角形与原三角形相似。
试试眼力：
1、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可 能多地找出图中的相似三角形，并说明 理由。 1. DE∥BC 2.DF∥AC 3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC Δ ADE∽Δ ABC
B F D
A
E
C
Δ DBF∽Δ ABC
三角形相似 具有传递