图习题课

1
5
1
1 1
3 V5 2 2
V2 1 3 V3
1
V4
[注]：将V-S中的顶点并入顶点集合 的条件 注： 中的顶点并入顶点集合S的条件 中的顶点并入顶点集合 寻找源点与顶点集合V-S的顶点所具有的 源点与顶点集合 是：寻找源点与顶点集合 的顶点所具有的 最短路径。（ 。（Prim算法的改造版） 算法的改造版） 最短路径。（ 算法的改造版
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算法题
习题1： 习题 ：试基于图的深度优先搜索策略写一 算法， 算法，判别以邻接表方式存储的有向图中是 否存在由顶点i到顶点 的路径。 到顶点j的路径 否存在由顶点 到顶点 的路径。 [注]可以看成是判断是否在同一棵生成树中。 注 可以看成是判断是否在同一棵生成树中 可以看成是判断是否在同一棵生成树中。
10
从结点1出发的搜索序列： 从结点 出发的搜索序列： 出发的搜索序列
1 6 5 7 4 3 2 1 2 6
5 7
3
4
11
问答题 STEP1：正序深度遍历的生成树结果 ： {1} {2，4，3，5，6} ， ， ， ， STEP2：所有有向边的方向取反。 ：所有有向边的方向取反。
6 1 2 3 4
V2 V3 V4 V5 Vj S
14
3。已知带权无向图，利用克鲁斯卡尔（kruskal）算法，画 。已知带权无向图，利用克鲁斯卡尔（ ）算法， 出求该无向图最小生成树的每一步。 出求该无向图最小生成树的每一步。
5 1 10 3 5 19 6 3 5 15 7 6 4 2 8
[注] kruskal考虑权值最小的边。 注 考虑权值最小的边 考虑权值最小的边。 Prim 算法考虑直接使用最小代价生成树引理，初始有一个结 算法考虑直接使用最小代价生成树引理， 点。 MST：假设 G = {V, { E } } 是一个连通图，U 是结点集合 V 是一个连通图， ： 的一个非空子集。 一条代价最小的边， 的一个非空子集。若( u, v ) 是 一条代价最小的边，且 u 属 于 U , v 属于 V -- U，则必存在一棵包括边 ( u, v ) 在内 的 ， 最小代价生成树。 最小代价生成树。
顶点表的表示： 顶点表的表示： vexdata 边表的表示： 边表的表示： adjvex
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firstarc
nextarc
int exist_path_DFS(ALGraph G,int i,int j)//深度优先判断有向 深度优先判断有向 中顶点i到顶点 是否有路径,是则返回 否则返回0 图G中顶点 到顶点 是否有路径 是则返回 否则返回 中顶点 到顶点j是否有路径 是则返回1,否则返回 { if(i==j) return 1; //i就是 就是j 就是 else { visited[i]=1; //指示顶点是否在当前路径上 指示顶点是否在当前路径上 for(p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc) { k=p->adjvex; if(!visited[k]&&exist_path_DFS (G,k,j)) return 1;//i下 下 游的顶点到j有路径 游的顶点到 有路径 }//for }//else return 0; }//exist_path_DFS
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按照克鲁斯卡尔算法， 按照克鲁斯卡尔算法，此题的步骤如下
5 5 1 1 2 5 6 3 3 4 3 6 3 4 2
5 5 5 1 1 5 6 3 3 3 4 3 4 2 5 6 6 2 5
16
5 5
1 5 6
7
2
6 3 3 4
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4 请回答下列关于图的一些问题 个顶点的强连通图最多有多少条边？ （1）由N个顶点的强连通图最多有多少条边？ ） 个顶点的强连通图最多有多少条边 最少有多少条边？ 最少有多少条边？ 解答： 解答： 个顶点的强连通图最多有N（ 由N个顶点的强连通图最多有 （N-1）条边， 个顶点的强连通图最多有 ）条边， 最少有N条边 条边。 最少有 条边。
13
问答题
解答：依据 算法， 解答：依据dijkstra算法，图中 到其他各顶点 算法 图中V1到其他各顶点 的最短距离和最短路径的求解见下表： 的最短距离和最短路径的求解见下表：
终点 从V1到各终点的最短距离和最短路径的求解 i=1 5(V1 ,V2) 1(V1 ,V3) 3(V1 ,V4) 2(V1 , V3 ,V4) 3(V1 , V3 ,V5) V3 {V1 ,V3} V4 {V1 ,V3 ,V4} 3(V1 , V3 ,V5) V2 {V1 ,V3 ,V4,V2} 3(V1 , V3 ,V5) V5 {V1 ,V3 ,V4,V2,V5} i=2 4(V1 , V3 ,V2) i=3 3(V1,V3 ,V4 ,V2) i=4
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[注] 深度优先搜索（类似于树的前序遍历） 注 深度优先搜索（类似于树的前序遍历） 访问方式： 访问方式： 1、选中第一个被访问的结点。 、选中第一个被访问的结点。 2、对结点作已访问过的标志。 、对结点作已访问过的标志。 3、依次从结点的未被访问过的第一个、第二 、依次从结点的未被访问过的第一个、 第三个…… 邻接结点出发，进行深度优 邻接结点出发， 个、第三个 先搜索。转向2。 先搜索。转向 。 4、如果还有顶点未被访问，则选中一个起始 、如果还有顶点未被访问， 结点，转向2。 结点，转向 。 5、所有的结点都被访问到，则结束。 、所有的结点都被访问到，则结束。
5
STEP3：取反后深度遍历{2,3,6,4} {5} ：取反后深度遍历
12
问答题
2。用迪杰斯特拉dijkstra算法求下图 中 顶点 。用迪杰斯特拉 算法求下图 1到其他各顶点的最短距离和最短路径，请写 到其他各顶点的最短距离和最短路径 到其他各顶点的最短距离和最短路径， 出求解过程。 出求解过程。 v
5
填空题
2. 列出图中全部可能的拓扑有序序列（） 列出图中全部可能的拓扑有序序列（）
1
2
3 4 6
5
6
152364, 156234, 152634，512364，516234， ， ， ， 512634，561234 ，
7
证明题
2: 画出 个顶点、2个顶点、3个顶点、4个顶 画出1个顶点 个顶点、 个顶点 个顶点、 个顶点 个顶点、 个顶 点和5个顶点的无向完全图 试证明在n个顶 个顶点的无向完全图。 点和 个顶点的无向完全图。试证明在 个顶 点的无向完全图中，边的条数为n(n-1)/2。 点的无向完全图中，边的条数为 。 答案： 答案： 在有n个顶点的无向完全图中 个顶点的无向完全图中， 在有 个顶点的无向完全图中，每一个顶 点都有一条边与其它某一顶点相连， 点都有一条边与其它某一顶点相连，所以每 一个顶点有n-1条边与其他 个顶点相连， 条边与其他n-1个顶点相连 一个顶点有 条边与其他 个顶点相连， 总计n个顶点有 个顶点有n(n-1)条边。但在无向图中， 条边。 总计 个顶点有 条边 但在无向图中， 顶点i到顶点 与顶点j到顶点 是同一条边， 到顶点j与顶点 到顶点i是同一条边 顶点 到顶点 与顶点 到顶点 是同一条边，所 以总共有n(n-1)/2条边。 条边。 以总共有 条边
null
4
null null
E
2 C 3 D 4 E
D
C
14Leabharlann 填空题1. G是一个非连通无向图，共有 条边，则 是一个非连通无向图， 条边， 是一个非连通无向图 共有28条边 该图至少有______个顶点。 个顶点。 该图至少有 个顶点 [注]在具有 个顶点的无向图中完全图包含 注 在具有 在具有N个顶点的无向图中完全图包含 N(N-1)/2条边，非连通的无向图有 条边，能 条边， 条边， 条边 非连通的无向图有28条边 构成8个顶点的完全图 个顶点的完全图， 构成 个顶点的完全图，那么再加一个孤立顶 就是9个顶点则是非连通的无向图 个顶点则是非连通的无向图。 点，就是 个顶点则是非连通的无向图。 8*（8-1）/2=28 （ ）
8
问答题
1.已知如图所示的有向图，请给出该图的强连 已知如图所示的有向图， 已知如图所示的有向图 通分量。 通分量。
[注] 正序深度遍历；然后所有边方向取反；方 注 正序深度遍历；然后所有边方向取反； 向取反后再次深度遍历； 按照遍历退出顺序 向取反后再次深度遍历；(按照遍历退出顺序 编号) 编号
无向图 G A B data adj 0 A 1 B 1 0 0 1 2 2 3 4 4 3
null null null
4
E
2 C 3 D 4 E
D
C
1
3
判断题
1. 有e条边的无向图，在邻接表中的边表有e个 结点。（ ）
无向图 G A B
data adj 0 A 1 B
1 0 0 1 2
2 3 4 4 3
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习题2： 习题 ：试基于图的广度优先搜索策略写一 算法， 算法，判别以邻接表方式存储的有向图中是 否存在由顶点i到顶点 的路径。 到顶点j的路径 否存在由顶点 到顶点 的路径。
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int exist_path_BFS(ALGraph G,int i,int j)//广度优先判断 广度优先判断 有向图G中顶点 到顶点j是否有路径 是则返回1,否则返回 中顶点i到顶点 是否有路径,是则返回 否则返回0 有向图 中顶点 到顶点 是否有路径 是则返回 否则返回 { int visited[MAXSIZE]; InitQueue(Q); EnQueue(Q,i); while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,u); visited[u]=1; for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc) { k=p->adjvex; if(k==j) return 1; if(!visited[k]) EnQueue(Q,k); }//for }//while return 0; }//exist_path_BFS