期末复习--集合与函数学生版

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集合与函数的概念复习

所以值域为{y | y R,且y 1}
1- 1 1 x 1
分离常数法
形如y cx b 的形式的值域为{y R | y c}
ax b
a
例7 求函数 y x 1 (x 1)的值域
x2
解反表示法：
由y x 1 解出x，得x 2 y 1 ( y 1)
x2
1 y
而x 1,所以 2 y 1 1 即 y 2 0
增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的
3.最大(小)值的定义:
设函数y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满
足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x) M (或 ;)
(2)存在x0 ∈I,使得f(x0)=M.则称M是函数y=f(x) 的最大(小)值.
例5 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调性,并加以证明.
解：若A ,则集合A无真子集，这时关于x的方程
ax2 2x 1 0无实数解，则a 0,且 4 - 4a 0 解得a 0. 若集合A恰有一个真子集，这时集合A中仅有一个元素可分两种情况：（1）a 0时，方程为2x 1 0, x 1
2 （2）a 0时，则 4 - 4a 0, a 1
[ a, b )
{x|a<x≤b}
半开半闭区间
( a, b ]
ab ab ab
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
例题讲解
例1 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数 (1) A=R,B=(0,+),x A,对应法则f:x |x| (2)A R, B { y | y R且y 1}, x A,对应法则f:x y=x2 2x 2
2
(
x
2 1
1

集合与函数知识点归纳

集合与函数板块公式1.集合的运算:(1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:∁U ∈=x x A |{U 且}A x ∉,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系:(1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或∉)(2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ⊆.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n2个,真子集有12-n个,非空真子集有22-n个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f(3))()(x g x f y =,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2)(ππ)Z 5.函数的单调性 (1)定义法:①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数⇔0)]()()[(0)()(21212121>--⇔>--x f x f x x x f x f x x②)(x f 减函数⇔0)]()()[(0)()(21212121<--⇔<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法:①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('<x f 解得x 的范围为减区间 6.函数的奇偶性(定义域对称) (1)定义法:①奇函数:)()(x f x f -=- ②偶函数:)()(x f x f =-(2)图像法:①奇函数图象关于原点对称; ②图像法图象关于y 轴对称 (3)奇偶函数求参数:赋值法①奇函数:)1()1(;0)0(f f f -=-= ②偶函数:)1()1(f f =- 7.函数的周期性(1)定义法:x ∀,都有)()(x f T x f =+,则T 为函数)(x f 的周期. (2)定义的变形:①)()(x f a x f -=+,周期a T 2=;②)(1)(x f a x f ±=+,周期a T 2=. (2)图象法:图象重复出现,重复的区间长度为周期T . (3)具体函数的周期:①B x A x f ++=)sin()(ϕω,ωπ2=T ;②B x A x f ++=)cos()(ϕω,ωπ2=T ; ③B x A x f ++=)tan()(ϕω,ωπ=T .8.基本初等函数:一次函数 (1)解析式:)0(,)(≠+=a b ax x f .(2)图象:一条斜线(两点定线:可以作与x 的交点和与y 的交点) (3)单调性: ①0>a 为增函数; ②0<a 为减函数.(4)奇偶性: ①当0=b 时,为奇函数; ②当0≠b 时,为非奇非偶的函数. 9.基本初等函数:二次函数(1)解析式:)0(,)(2≠++=a c bx ax x f (2)顶点式:(用配凑法配方) (3)图象:(抛物线)①作对称轴:abx 2-=; ②作顶点:将对称轴代入解析式得顶点y 坐标;③作与y 轴交点:令0=x 解得;④判断开口方向:0>a 开口向上;0<a 开口向下;⑤若x 轴相交,作与x 轴交点:令0=y 解方程. (4)一元二次方程的求解方法:①因式分解法:(十字相乘法,提公因式法); ②公式法: aacb b x 242-±-=.(5)一元二次不等式(标准型:0>a )的解法:①有两个实数根:大于取两边,小于取中间; ②没有两个实数根:作图观察. (6)二次函数的单调性:在对称轴两侧单调性相反.(7)二次函数奇偶性: ①当0=b 时,为偶函数; ②当0≠b 时,为非奇非偶的函数. (8)韦达定理(根与系数的关系):方程02=++c bx ax 有两根21,x x ,则acx x a b x x =⋅-=+2121,10.基本初等函数:指数函数与对数函数 (1)指数幂:n naa1=-; n m nm a a =; nmnmaa1=-(2)指数幂的运算法则nm n m aa a +=⋅; n m n m a a a -=; mn n m a a =)(; n n nb a ab =)(; n n n ba b a =)((3)指数与对数的转换: N a b= ⇔ N b a log = (4)对数恒等式:01log =a ; 1log =a a ; n a n a =log ; N a Na =log(5)对数的运算法则:①N M N M a a a log log )(log +=⋅;②N M NMa a a log log log -= ③M n M a n a log log = (6)换底公式:①a N Nb b a log log log =; ②1log log =⋅a b b a ;③b b aa 1log log 1=11.函数与方程(1)函数的零点(方程的根):使得函数)(x f 等于0对应的x 的值,即为相应方程的根,也为函数图象与x 轴交点的x 坐标.(2)零点存在定理:若函数连续函数)(x f 在区间),(b a 上满足0)()(<⋅b f a f (即)(),(b f a f 一个在x 轴上方,一个在x 轴下方),则函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在零点.(但是不能确定零点的个数) (3)零点个数(方程的根的个数)问题:①函数)(x f 为基本初等函数:画出函数)(x f 图象,图象与x 轴交点的个数即为零点的个数.②函数y 为两个基本初等函数加减得到,即)()(x g x f y ±=:令0=y ,将其变形为)()(x g x f =,在一个坐标系下画出)(x f y =图象与)(x g y =图象,两图象的交点个数即为y 的零点的个数.。

集合与函数概念知识点

集合与函数概念知识点集合与函数是高中数学中的重要概念，在数学的各个领域中起着关键的作用。

集合是数学中最基础的概念之一，它是由不同元素组成的一种事物的整体。

而函数则是集合之间的一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的映射关系。

本文将从集合和函数的定义、性质和应用等方面来探讨这两个重要的数学概念。

首先，我们先来了解集合的概念。

集合是由一些确定的对象组成，这些对象称为集合的元素。

举个简单的例子，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的1、2、3就是集合的元素。

在集合中，元素的顺序是无关紧要的，而且一个元素在集合中只会出现一次。

集合可以用不同的方式来表示，比如列举法、描述法和图示法等。

集合的基本运算包括交集、并集、补集和差集等，这些运算在解决实际问题时起到了重要的作用。

其次，我们来介绍函数的概念。

函数是集合之间的一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

函数可以用各种方式表示，比如用公式、图像、表格和文字描述等。

函数有很多重要的性质，比如一一对应、单调性和可逆性等。

其中，一一对应是指一个输入对应一个输出，输出不会重复；单调性则描述了函数的增减趋势；可逆性则表示函数的输入和输出之间存在着逆关系。

函数在数学中的应用非常广泛，如在几何学中用来描述图形的变换、在微积分中用来描述曲线的变化、在统计学中用来表示概率分布等。

进一步探讨，集合和函数之间存在着密切的关系。

事实上，函数可以看作是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种特殊关系。

函数可以用集合来表示，其中输入的集合被称为定义域，输出的集合被称为值域。

函数的图像可以用集合的图示法来表示，其中每个点代表了函数中的一个元素对。

函数的特性可以通过集合的运算来研究，比如函数的复合、函数的反函数和函数的性质等。

通过研究函数与集合之间的关系，我们可以更好地理解函数的本质和特点。

最后，我们来谈一谈集合和函数在现实生活中的应用。

集合的应用非常广泛，比如在统计学中用来表示样本空间、在计算机科学中用来表示数据集、在金融学中用来表示投资组合等。

集合与函数概念知识点复习

《集合与函数概念》复习资料一、知识结构：{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=∈∈=∈∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⊆⊆≠⊆⊂⊆⊆⊆⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠A x U x x A C B x A x x B A B x A x x B A B A A B B A B A B A B A A A A B A U 且补集：（公共的部分）且交集：（合并的部分）或并集：集合的基本运算，则，且集合相等：若　真子集：子集：集合间的基本关系描述法列举法集合的表示法无限集有限集集合的分类无序性互异性确定性集合中元素的特征集合的含义与表示集合 .),(,,φ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧象法判定方法：定义法，图定义奇偶性象法判定方法：定义法，图定义单调性函数的基本性质图象法列表法解析法函数的表示法区间的概念值域对应法则定义域函数的三要素函数的定义函数及其表示函数知识要点填空：1．常用的数集及其记法：非负整数集（自然数集）：；正整数集：；整数集：；有理数集：；实数集：2．如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作 .3．任何一个集合是它本身的，即 .空集是任何集合的，即 .对于集合,,,C B A 如果,B A ⊆且,C B ⊆那么 .4．若集合中有n 个元素，则这个集合的子集有个，真子集个，非空子集个，非空真子集个。

5．并集：B A =交集：B A =补集：A C U =6.函数的定义：设B A ,是两个，如果按照，使对于集合A 中的元素x ，在集合B 中都有元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数。

01第一章：集合与函数概念知识点总结

01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。

（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。

（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。

2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。

3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。

高一集合和函数知识点

高一集合和函数知识点在高一数学学习中，集合和函数是重要的知识点。

本文将详细介绍高一集合和函数的相关内容，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、集合集合是数学中的一种基本概念，它是由一些特定对象组成的整体。

常用的集合表示方法有列举法和描述法。

例如，我们可以用集合A来表示小于10的正整数，可以写成A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

1. 集合的运算在集合中，常用的运算有并集、交集、差集和补集。

并集表示两个或多个集合中的所有元素的总和。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

交集表示两个或多个集合中共有的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。

差集表示一个集合中剔除另一个集合的元素后的结果。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的差集可以表示为A-B={1, 2}。

补集表示在给定的全集中排除某个集合的元素后的结果。

例如，如果全集为U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，那么集合A的补集可以表示为A'={4, 5}。

2. 集合的关系和性质在集合中，常用的关系有相等关系、包含关系和互斥关系。

相等关系表示两个集合中的元素完全相同。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}，那么A=B。

包含关系表示一个集合中的元素包含于另一个集合中。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4, 5}，那么A⊆B。

互斥关系表示两个集合没有共同的元素。

例如，如果集合A={1, 2}，集合B={3, 4}，那么A∩B=∅。

二、函数函数是数学中的一种映射关系，它描述了输入和输出之间的对应关系。

一个函数通常由定义域、值域和对应关系组成。

1. 函数的定义函数的定义包括函数名、自变量和因变量。

高一集合与函数的复习

高一新教材：第一章：集合与函数集合的概念1、集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写练习题：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）(4)大于3小于11的偶数； (5)我国的小河流；(6)非负奇数； (7)方程210x +=的解；(8)某校2011级新生； (9)血压很高的人；(10)著名的数学家； (11)平面直角坐标系内所有第三象限的点(12)全班成绩好的学生。

集合与函数概念知识点归纳

集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义：集合是一种特殊的数学概念，由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。

2、术语：元素是集合中的每一个成员，例如：集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。

一个集合的元素称为它的子集，可以用一对大括号表示：{x,y,z}。

3、集合的关系：
（1）子集：如果一个集合包含另一个集合中的全部元素，称前者是
后者的子集。

（2）真子集：如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素，称
前者是后者的真子集。

（3）并集：并集是指两个集合中元素的总和，称为两个集合的并集。

（4）交集：交集是指两个集合中都包含的元素，称为两个集合的交集。

（5）补集：补集是指一个集合之外的其他元素，称为另一个集合的
补集。

4、集合的操作：
（1）加法：将元素加入到一些集合中，使得其包含的元素增加。

（2）减法：从一些集合中删除元素，使其包含的元素减少。

（3）求幂：将一些集合中的元素以其中一种方式考虑，得到一个新
的集合。

（4）合并操作：将两个集合中的元素合并成一个集合。

二、函数
1、定义：函数是一种特殊的数学概念，它表示两个变量之间的关系，当给定一个输入时，它可以将输入映射到一个输出。

2、术语：函数由函数表达式组成。

集合与函数基本概念例题和知识点总结

集合与函数基本概念例题和知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中一个基础的概念，它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合通常用大写字母表示，比如 A、B、C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如果元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有三种常见的表示方法：列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的特征来表示集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

图示法包括维恩图，能直观地表示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B；如果集合A 是集合 B 的子集，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B。

例题 1已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，判断集合 A 与集合 B 的关系。

解：因为集合 A 中的元素 1、2、3 都属于集合 B，而集合 B 中还有元素 4、5 不属于集合 A，所以集合 A 是集合 B 的真子集，即 A ⊂ B。

二、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，表示两个变量之间的一种对应关系。

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

记作 y ＝f(x)，x ∈ A。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x) ｜ x ∈ A}叫做函数的值域。

数学集合与函数知识点总结

数学集合与函数知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是指具有确定的特征和个数、可以确定归属关系的一组事物的总和。

集合中的元素可以是数字、字母、符号、实际事物或抽象概念等。

1.2 集合的表示方法集合可以用两种方式表示：列举法和描述法。

列举法是将集合的元素逐个列举出来，用大括号{}括起来表示；描述法是用适当的条件来表示集合的元素（x满足某个条件），一般用符号{}或者条件表达式表示。

1.3 集合的元素关系集合中的元素之间可以存在包含关系、相等关系和互不相交关系。

1.4 集合的运算常见的集合运算有并集、交集、差集、补集、直积等。

1.5 集合的基本性质集合的基本性质包括空集的唯一性、互补律、结合律、分配律、对称律等。

二、集合的性质和应用2.1 集合的性质集合的性质包括有限集合和无限集合、有穷集合和无穷集合、空集合和非空集合等。

2.2 集合的应用集合在数学和其他学科中都有很多应用，如概率论、图论、数理逻辑、离散数学等。

三、函数的基本概念3.1 函数的定义函数是一个元素集合到另一个元素集合的映射关系。

通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

3.2 函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的对应关系在平面直角坐标系中的表示，常用图形表示。

3.3 函数的特性函数具有单值性、有限性、相等性等特性，其中单值性是指每个自变量在函数中对应一个确定的因变量。

3.4 函数的表示方法函数可以用解析式、图象或者映射表示。

3.5 函数的分类函数可以按照定义域、值域、解析式的形式来分类，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

四、函数的性质和应用4.1 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。

4.2 函数的应用函数在数学和其他学科中有很多应用，可以用来描述现实生活中的变化规律，如物理学中的运动规律、经济学中的需求函数、生物学中的生长规律等。

五、数学集合与函数的综合应用5.1 集合与函数的关系集合与函数是数学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。

集合与函数概念知识点总结

集合与函数概念知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素构成的整体。

集合中的元素可以是任意对象，可以是数字、字母、符号、词语等。

集合的表示方式有两种：列举法和描述法。

集合的元素之间没有顺序关系，每个元素在集合中只能出现一次。

1.1 集合的符号表示集合用大写字母表示，例如A、B、C等。

如果一个元素x属于集合A，则用x∈A 表示；如果一个元素y不属于集合A，则用y∉A表示。

1.2 集合的列举法集合的列举法是将集合的所有元素一一列举出来。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示A是由元素1、2、3、4组成的集合。

1.3 集合的描述法集合的描述法是通过描述集合元素的共同特征来表示集合。

例如，集合A={x|x是正整数，x<5}表示A是由小于5的正整数组成的集合。

二、集合的运算集合之间可以进行多种运算，包括并集、交集、差集和补集。

2.1 并集两个集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素，且每个元素只出现一次。

2.2 交集两个集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了同时属于A和B的所有元素。

2.3 差集两个集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于A但不属于B的所有元素。

2.4 补集对于给定的全集U，集合A相对于U的补集，表示为A’，包含了属于U但不属于A的所有元素。

三、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个集合中的元素和另一个集合中的元素之间的对应关系。

函数可以看作是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

3.1 函数的符号表示函数用小写字母表示，例如f、g、h等。

如果集合A中的元素x经过函数f的映射得到了集合B中的元素y，则用f(x)=y表示。

3.2 定义域和值域函数的定义域是指函数中所有可能的输入值的集合，也就是函数的自变量的取值范围。

函数的值域是指函数中所有可能的输出值的集合，也就是函数的因变量的取值范围。

集合与函数概念知识点

集合与函数概念知识点1. 集合的概念1.1 集合的定义集合是由一些明确的、互不相同的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

1.2 集合的表示集合通常用大写字母表示，如 A, B, C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如 a, b, c 等。

集合可以用大括号表示，例如 A = {a, b, c}。

2. 集合的分类2.1 有限集元素数量有限的集合称为有限集。

2.2 无限集元素数量无限的集合称为无限集。

2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

3. 集合间的关系3.1 子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，则 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

3.2 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 A 和 B 不相等，则 A 是 B的真子集，记作 A ⊂ B。

3.3 并集集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合称为 A 和 B 的并集，记作A ∪ B。

3.4 交集集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合称为 A 和 B 的交集，记作A ∩ B。

3.5 差集集合 A 中不包含集合 B 元素的部分称为 A 和 B 的差集，记作 A - B。

4. 函数的概念4.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素。

4.2 函数的表示函数通常用 f, g, h 等表示，元素 x 映射到元素 y 可以表示为y = f(x)。

5. 函数的分类5.1 一元函数定义域中只有一个变量的函数称为一元函数。

5.2 二元函数定义域中有两个变量的函数称为二元函数。

5.3 多元函数定义域中有多个变量的函数称为多元函数。

6. 函数的性质6.1 单射如果函数f: A → B 中，A 中的每个元素都有唯一的像，并且 B中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是单射。

6.2 满射如果函数f: A → B 中，B 中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是满射。

集合与函数知识点总结

集合与函数知识点总结1. 集合的概念和表示方法集合是数学中一个重要的概念，在现实生活中也有很多应用。

集合可以看作是一组互不相同的元素的集合体，元素可以是数字、字母、词语、对象等。

常见的表示方法有：•列举法：直接列举集合中的元素，用大括号括起来。

•描述法：通过描述元素的属性或满足的条件来表示集合。

•空集：不包含任何元素的集合，用符号 {} 或∅ 表示。

•全集：与讨论的问题有关的所有元素的集合，用大写字母 U 表示。

例如，表示一个包含 1、2、3 三个元素的集合可以写成 {1, 2, 3}，表示所有正整数的集合可以写成 N。

2. 集合间的运算集合间的运算包括交集、并集、差集和补集。

•交集：两个集合中共同的元素组成的集合，用符号∩ 表示。

例如，A 与 B 的交集可以表示为A ∩ B。

•并集：两个集合中所有元素组合而成的集合，用符号∪ 表示。

例如，A 和B 的并集可以表示为A ∪ B。

•差集：一个集合减去另一个集合中共有的元素后所得的新集合，用符号 - 表示。

例如，A 减去 B 可以表示为 A - B。

•补集：相对于全集中一个集合中没有的元素构成的集合，用符号’ 表示。

例如，A 的补集可以表示为A’。

3. 集合的性质和关系集合有许多重要的性质和关系可以用来描述和比较集合。

•包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合，称为包含关系。

用符号⊆ 或⊂ 表示。

例如，A ⊆ B 表示 A 是 B 的子集。

•相等关系：两个集合具有相同的元素，称为相等关系。

用符号 = 表示。

例如，A = B 表示 A 和 B 相等。

•并非关系：两个集合没有共同的元素，称为并非关系。

用符号∅ 表示。

例如，A ∩ B = ∅ 表示 A 和 B 之间没有元素共同。

•互斥关系：两个集合没有相同的元素，称为互斥关系。

用符号A ∩ B = ∅ 表示。

例如，如果 A 和 B 代表男生和女生的集合，则 A 和 B 互斥。

4. 函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

集合与函数专题复习攻略

集合与函数专题复习攻略一、要点回顾1、知识梳理（1）集合：集合的表示方法主要有列举法、描述法和图示法，在探讨与集合有关问题时要特别注意其元素是否具有确定性、互异性和无序性。

集合与集合的关系包括相等关系、子集关系、真子集关系，要注意空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。

集合的运算主要有交、并、补。

（2）函数：①函数是一种由非空数集到非空数集按一定对应关系所构成的映射。

其三要素是定义域、对应关系和值域，判断一个函数是否为同一函数就看其三要素是否一样。

②函数的表示方法有列表法、图像法和解析法，三种方法各有优缺点，列表法和图像法都比较直观，而解析法则可以简明、全面概括变量间的关系，是最常用的一种表示方法。

③函数的基本性质主要包括单调性和奇偶性。

对于单调性的判断主要根据定义和图像，也可以直接利用一些常见的函数如一次函数、二次函数及反比例函数的单调性作出判断，奇偶性的判断应先考虑定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系得出结论。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，利用这一点可以方便作出画像。

④我们学的函数主要包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数与对数函数，它们都是基本初等函数。

一次函数在R上都是递增或递减的、二次函数以对称轴为分界线两边单调性相反、幂函数当时，图像在第一象限是递增的、而指数函数与对数函数当底数时，都在定义域内递增，时在定义域内递减。

在比较大小及判断单调性时常要分两种情况讨论，而对于对数函数来说，其真数大于零是最容易忽略的地方。

⑤函数的图像与轴的交点横坐标称为函数的零点，该零点其实也就是方程的根，所以零点是一个数而不是一个点。

对于一个图像在区间上上连续的函数，如果，则在区间内至少有一零点，它只能作存在性的判断，其个数还要结合函数图像的单调性来确定。

该方法反过来是不一定正确的，即若成立，不能推出任何结论。

对于方程的近似解或零点据区间范围，我们常用二分法，即先找一零点所在区间，再每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较两端点函数值是否符号相反，不断进行下去，值到找到一个符合要求的小区间的方法，其原理在实际生活中是经常用到的。

高中数学_函数的概念(学生版)

函数的概念知识图谱函数的概念与表示知识精讲一.函数的定义1.传统定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2.现代定义：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任何一个数x ，按照某个确定的法则f ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作()y f x =，x A ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值集合A 叫做这个函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){,}y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二.区间的概念及表示设 , a b ∈R ，且a b <.则 , a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.含义名称符号图形表示{|}x a x b≤≤闭区间[,]a b{|}x a x b<<开区间(,)a b{|}x a x b≤<左闭右开区间[,)a b{|}x a x b<≤左开右闭区间(,]a b{|}x x a≥左闭右开区间[,)a+∞{|}x x a>开区间(,)a+∞{|}x x a≤左开右闭区间(,]a-∞{|}x x a<开区间(,)a-∞R开区间(,)-∞+∞数轴上所有点三.映射与函数1.映射的定义设,A B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x.于是()y f x=，x称作y的原象.映射f也可记为：: A Bf→，()x f x→.其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象()f x构成的集合叫做映射f的值域，通常记作()f A.2.一一映射如果映射f是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.3.函数与映射的关系（1）映射中的集合可以是数集，也可以是点集或其他集合.例如映射可以是人到物品或者人到成绩的对应关系，函数只能是数字之间的对应关系.映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.（2）在映射:f A B→中：①集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；②不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的象，且集合B中的象在A中对应的原象不唯一.若映射是一个函数，则要求集合B中的每一个元素都有原象；（3）映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”和“多对多”.四.函数的表示方法1.列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．2.图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3.解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．五.复合函数1.定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即(),()y f u u g x ==，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做复合函数，u 叫做中间变量．如函数21(0,1)x y a a a +=>≠且可以看成是由指数函数(0,1)u y a a a =>≠且和二次函数21u x =+复合而成的．三点剖析一.注意事项1.函数()y f x =，f 代表此函数的对应法则，也可用其他字母表示，如“()y g x =”.2.符号∞不是一个数，而是一个变化趋势.二.方法点拨1.相同函数的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域()f A 和对应法则f .当函数的定义域A 及对应法则f 确定之后，函数的值域()f A 也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数.另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的字母没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.函数及区间的概念例题1、下列四种说法中，不正确的是（）A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例题2、用区间表示下列集合：1{|}x x >-=__________．{5|2}x x <≤=__________．3{|}x x ≤-=__________．4{|2}x x ≤≤=__________．3{|0x x -≤<,或24}x ≤<__________．例题3、如图，可表示函数y ＝f （x ）的图象的可能是（）A. B. C. D.随练1、下列四个图象中，不是函数图象的是（）A.B.C.D.判断同一函数例题1、下列函数中哪个与函数y x =相等（）A.2(y x = B.33y x= C.2y x= D.2x y x=例题2、下列各组函数表示同一函数的是（）A.293x y x -=-与y =x +3B.21y x =-与y =x -1C.y =x 0（x ≠0）与y =1（x ≠0）D.y =2x +1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z例题3、下列各组函数中，表示同一组函数的是（）A.f （x ）＝x －2，21()31x g x x -=-- B.f （x ）＝x ，2()(g x x =C.2()f x x =g （x ）＝x D.f （t ）＝|t －1|，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩随练1、下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A.()-1f x x =与()221x x x g -+= B.()f x x =与()2g x x x=C.()f x x =与()33g x x =D.()242x x x f --=与()2g x x =+随练2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.f （x ）=2x ，g （x ）=x ）2B.f （x ）=（x -1）0，g （x ）=1C.f （x ）=211x x --，g （x ）=x +1D.f （x ）2x ，g （t ）=|t |映射与函数例题1、设A 到B 的函数2:(1)f x y x →=-，若集合{0,1,2}A =，则集合B 不可能是（）A.{0,1}B.[0,1,2]C.{0,1,2}-D.{0,1,1}-例题2、给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④例题3、下列从集合A 到集合B 的对应中，是映射的是（）A.A ＝{0，3}，B ＝{0，1}；f ：x→y ＝2xB.A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}；f ：x→y ＝|x|＋1C.A ＝R ，B ＝{y|y ＞0}；f ：14x y x →=D.A ＝R ，B ＝R ；f ：x→y ＝－x ＋1随练1、已知集合A 到B 的映射31f x y x →=+：，若B 中的一个元素为7，则对应的A 中原像为（）A.22B.17C.7D.2函数的表示方法例题1、如果函数f x g x （），（）分别由下表给出x 123f （x ）132x 123g （x ）321则1g （）的值为，[]1f g （）的值为．例题2、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A.y=[10x ]B.y=[310x +]C.y=[410x +]D.y=[510x +]例题3、如图，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积S ，则函数S ＝f （x ）的图象是（）A.B.C.D.随练1、如图，等腰梯形的下底边AB =2，上底边CD =1，两腰AD =BC =1，动点P 从点B 开始沿着边BC ，CD 与DA 运动，记动点P 的轨迹长度为x ，将点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）A. B. C. D.随练2、某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是．函数的定义域知识精讲一．函数定义域的三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含以下几种类型：1．自然型：指使函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围.2．限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；3．实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义．二．具体函数的定义域1．如果()f x 是整式，则()f x 的定义域就是实数集R ；2．如果()f x 是分式，则要求分母不为0；3．如果是()f x 的偶次根式，即形如())*2n f x n N ∈时，则要求()0f x ≥；4.0y x =的定义域是{}0x x ≠；5．如果()f x 是由多项构成的，那么函数的定义域是每项都有意义的x 的集合．三．抽象函数的定义域抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数．求抽象函数的定义域有以下四种基本题型：1．已知()f x 的定义域为A ，求[()]f g x 的定义域.由()g x A ∈解出x 的范围，即为[()]f g x 的定义域.2．已知[()]f g x 的定义域为A ，求()f x 的定义域.()f x 的定义域就是()g x 的值域，其中x A ∈.3．已知[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由[()]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得[()]f h x 的定义域．4．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．三点剖析一．注意事项1.当函数()y f x =用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合.2.当函数()y f x =用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合.3．定义域不同，而对应法则相同的函数，是两个不同的函数．4．若未加以特别说明，函数的定义域是指使这个式子有意义的所有x 的集合，在实际问题中，还必须考虑x 所代表的具体量的取值范围．具体函数的定义域例题1、已知函数229xy x -=-，其定义域为（）A.(-),2∞ B.(-],2∞C.()-(,3]--3,2∞⋃ D.[)(2,33),⋃+∞例题2、函数23x x x f =-（）的定义域为（）A.[0,3]2 B.[0]3， C.[30]-， D.03（，）例题3、函数1y x x =-+）A.{}1|x x ≤B.{}0|x x ≥C.{1|x x ≥或0}x ≤D.{}1|0x x ≤≤随练1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）函数f （x ）=1x ++12x-的定义域为____。

集合函数复习

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性 ①定义及判定方法函数的性质定义如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x < 1 ．．． x 时，都有 f(x )<f(x ) ， 2 1 2 ．．．．．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数．．．．如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x2，当x < 1 ．．． x 时，都有 f(x )>f(x ) ， 2 1 2 ．．．．．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．．．．图象判定方法（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数
A(B)
n （7）已知集合 A 有 n(n 1) 个元素，则它有 2 个子集，它有 2 1 个真子集，它有 2 1 个非空子集，它有 2 2
】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集名称记号意义性质（1） A （2） A （3） A 示意图
{x | x A, 且
（1） A（A 为非 B 中至少有一元素不（或 B A）属于 A AB

A B，且

空子集） (2) 若
真子集
A B 且

B
A
B C ，则 A C

集合相等
AB
A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A

函数的基本性质 (学生版)

函数的基本性质一.考点，难点，热点；1．函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R .(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x α的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}． 5．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 6．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值M 为最小值7．函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 8.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、典型例题考点一：函数的定义域、解析式及图像1、函数21x f (x )e -=的部分图象大致是2、函数()2lg 212x y x x=++-的定义域是（）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭3、已知函数2()4f x x =-,()y g x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()log g x x =,则函数()()f x g x ⋅的大致图象为4、函数y =lg1|1|x +|的大致图象为考点二：函数的奇偶性与周期性、对称性1、已知函数()f x 是R 上的奇函数,若对于0x ≥,都有()2()f x f x +=,[)()()20,2,log 1x f x x ∈=+当时时,()()20132012f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．22、已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称,则(2013)f =（）A ．10B ．5-C ．5D ．03、已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+,且(1)f x +为偶函数,则实数a 的值可以是（）A ．23B ．2C ．4D ．64、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当x >0时,()12x f x -=-,则不等式()f x <12-的解集是（）A ．(),1-∞-B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞5、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,2()21,(log 12)x f x f =-则=A.13B ．43C ．2D ．11三、课堂实战1、函数2ln ||x y x x=+的图象大致为2、已知函数1()()2x xf x e e -=-, 则()f x 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称3、函数y =2x-2x 的图像大致是4、已知函数()2x f x e =-,2()45g x x x =-+-.若有()()f b g a =,则a 的取值范围为（） A ．(1,3)B ．(22,22)-+C ．[22,22]-+D ．[2,3] 5、已知函数()f x 的定义域为[3,6],则函数12(2)log (2)f x y x =-的定义域为（）A ．3[,)2+∞ B ．3[,2)2C ．3(,)2+∞D ．1[,2)26、已知奇函数3(0),()()(0),x a x f x g x x ⎧+=⎨⎩≥＜则(2)g -的值为__________.7、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x,则2(1log 5)f +的值为___________;8、奇函数)(x f y =满足1)3(=f ,且)3()()4(f x f x f -=-,则)2(f 等于（）A ．0B ．1C ．21－D ．21 9、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、已知定义在R 上的函数()f x ,对任意x R ∈,都有()()()63f x f x f +=+成立,若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称,则()2013f = （）A ．0B ．2013C ．3D ．2013-11、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．912、下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是（）A ．3x y =B ．1||+=x yC ．12+-=x y D ．||2x y -=13、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是（）A ．xx f 1)(=B ．x x f -=)( C ．x x x f 22)(-=-D ．x x f tan )(-=14、定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠都有2121()()0f x f x x x -<-,则有（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-15、已知)(x f 为奇函数,在[]3,6上是增函数,[]3,6上的最大值为8,最小值为1-,则2(6)(3)f f -+-等于（）A ．15-B ．13-C ．5-D ．516、设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( ) （）A ．3-B ．3C ．8-D ．817、已知函数()f x 是R 上的偶函数,若对于0≥x ,都有)()2(x f x f =+,且当)2,0[∈x 时,)1(log )(2+=x x f ,则)2012()2011(f f +-的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．218、设奇函数错误！未找到引用源。

高二集合与函数知识点梳理

高二集合与函数知识点梳理高二阶段是学习数学的重要阶段之一，而集合与函数是数学中的基础知识。

在这篇文章中，我们将对高二阶段的集合与函数知识点进行梳理，帮助你更好地理解和掌握这一部分内容。

一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

2. 元素：属于某个集合的个体称为该集合的元素，用小写字母表示。

3. 集合的表示方法：列举法、描述法和区间表示法。

4. 子集与真子集：如果一个集合A的所有元素也是另一个集合B的元素，那么A是B的子集；如果A是B的子集且B不等于A，则A是B的真子集。

二、集合的运算1. 交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，表示同时属于A和B的元素所组成的集合。

2. 并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，表示属于A或B的元素所组成的集合。

3. 差集：集合A减去集合B，记作A-B，表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。

4. 补集：对于给定的一个全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示属于全集U但不属于A的元素所组成的集合。

三、函数的基本概念1. 函数的定义：设有两个集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素，都能确定集合B中唯一确定的元素与之对应，那么我们称这种关系为函数，记作f：A→B。

其中，A为定义域，B为值域。

2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值构成的集合；函数的值域是指所有可能的输出值构成的集合。

3. 映射图：用图形或者表格的形式展示函数中的元素对应关系。

4. 一对一函数和多对一函数：如果函数的每一个元素在值域中有唯一对应的元素，那么这个函数就是一对一函数；如果函数的两个不同的元素在值域中有相同的对应元素，那么这个函数就是多对一函数。

四、函数的性质与运算1. 奇函数和偶函数：如果对于定义域中的任意一个元素x，有f(-x) = -f(x)，那么该函数为奇函数；如果对于定义域中的任意一个元素x，有f(-x) = f(x)，那么该函数为偶函数。