不等式与不等式组典型例题

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不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。

例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。

对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。

下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。

然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。

∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。

2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。

典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。

当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。

1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。

2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。

解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。

例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。

分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。

解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。

专题02 不等式(组)型应用题(原卷版)

决战2020年中考典型压轴题大突破模块一中考压轴题应用题专题考向导航新的《课程标准》指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。

”为了和新的教育理念接轨，各地中考命题都加大了考查应用题的力度.近几年的数学应用题主要有以下特色:涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题枝巧，涉及的背景材料十分广泛.涉及到社会生产生活的方方面面:再就是题目文字冗长.常令学生抓不住要领，不知如何解题。

解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题.将其转化为数学模型。

专题02 不等式( 组)型应用题方法点拨现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定(有时也不需要确定)具体的数值.但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围(趋势)，从而对所要研究问题的面貌有一个比较清楚的认识，本篇中.我们所要讨论的问题大多是要求出某个量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活中的方方面面。

列不等式时要从题意出发，设好未知量之后,用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系。

精典例题1．（2019•信阳一模）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．【点睛】（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元，列出方程组，然后求解即可；（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，列出不等式，然后求解即可得出购买方案；（3）根据甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月和总产量不低于2040吨，列出不等式，求出m的取值范围，再根据每台的钱数，即可得出最省钱的购买方案．巩固突破1．（2019•达川区）小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱．其中，甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的．老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为10年，平均每年使用300天）2．（2019•息县）某文化用品店出售书包和文具盒，书包每个定价50元，文具盒每个定价8元，该店制定了两种优惠方案．方案一：买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款．购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买10个文具盒，书包若干（大于0且不多于10个）．设书包个数为x（个），付款金额为y（元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式：方案一：y1＝；方案二：y2＝．（2）试分析以上两种方案中哪种更省钱？（3）学校计划用420元购买这两种奖品，最多可以买到多少个书包？3．（2019•无棣）某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末成绩分数取整数）（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测试成绩和期末测试成绩各得多少分？（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？4．（2019•江阴市校级模拟）小明与小红开展读书比赛．小明找出了一本以前已读完84页的古典名著打算继续往下读，小红上个周末恰好刚买了同一版本的这本名著，不过还没开始读．于是，两人开始了读书比赛．他们利用右表来记录了两人5天的读书进程．例如，第5天结束时，小明还领先小红24页，此时两人所读到位置的页码之和为424．已知两人各自每天所读页数相同．读书天数 1 2 3 4 5页码之差72 60 48 36 24页码之和152 220 424（1）表中空白部分从左到右2个数据依次为，；（2）小明、小红每人每天各读多少页？（2）已知这本名著有488页，问：从第6天起，小明至少平均每天要比原来多读几页，才能确保第10天结束时还不被小红超过？（答案取整数）5．（2019•道里区校级模拟）为喜迎中华人民共和国成立70周年，博文中学将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买．两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，而且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同．（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？（2）如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？（3）在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下，A文具店：全场商品购物超过800元后，超出800元的部分打八五折；B文具店：相同商品，“买十件赠一件”．请问在哪家文具店购买比较优惠？6．（2019•西湖区校级模拟）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A B月销售件数（件）200 300月总收入（元）3400 3700 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．（1）求x、y的值；（2）若营业员A某月的总收入不低于3500元，那么营业员A当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式，如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如采购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元，某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？7．（2019•西湖区校级模拟）某校八年级举行英语演讲比赛，准备用1200元钱（全部用完）购买A，B两种笔记本作为奖品，已知A，B两种每本分别为12元和20元．设购入A种x本．（1）B种购入本（用含x的代数式表示）．（2）若购进A种的数量不少于B种的数量，①求至少购进A种多少本？②根据①的购买，发现B种太多，在费用不变的情况下把一部分B种调换成另一种C，调换后C种的数列多于B种的数量．已知C种每本8元，则调换C种至少有本．（直接写出答案）8．（2019•平房区）某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，则该校至多购进速滑冰鞋多少双？9．（2019•龙华区校级模拟）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800元购进甲，乙两种进价分别为25元和45元的节能灯120只．（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）若商场现只能购进甲种节能灯60只，则按计划剩下的钱最多能购进乙种节能灯多少只？10．（2019•南岗区校级模拟）张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每份定价3元的名片打八折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每份名片定价3元不变，但制版费900元打六折．（1）请直接用含x的式子表示甲、乙两个经销商的费用：甲，乙；（2）请你替张老板根据印刷量来选择方案．11．（2019•丹江口市）某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元；新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案？（3）对（2）中的几种建造方案中，哪一种方案的投资最少？并求出最少投资金额．12．（2019•河池一模）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和B型新能源公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需300万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需270万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？13．（2019•华蓥市）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/个）售价（元/个）电饭煲200 250电压锅160 200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？14．（2019•随县）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）14 35售价（元/件）20 43（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．15．（2019•云冈区）青县祥通汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？16．（2019•越秀区）某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg．（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组．（2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来．（3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明）17．（2019•通城）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？18．（2019•莘县）某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取2个、1个才能配成一套，要在80天内生产最多的成套产品，问：甲、乙两种零件各应生产多少天？19．（2019•梁园区）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；（3）在“五•一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？20．（2019•义安区）2015年6月5日是第44个“世界环境日”．为保护环境，我市公交公司计划购买A 型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？。

高三数学不等式解法15个典型例题doc

高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

不等式与不等式组练习

不等式与不等式组练习题1、用不等式表示下列关系：（1） a 的3倍与6的差大于0; （2） x 的平方不小于5;（3） m 与n 的和的平方不小于m 的平方与n 的平方的和; （4） a 与3的差是非负数。

解：2、在-2.5，0，1，2，3中，是x+1<3的解的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 3、直接说出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来。

（1） 21>+x （2）31≤-x 解：4、利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

（1）23231--≥x x（2）x x 415+< （3）154>-x（4）2452-<+x x5、若实数 a 在数轴上对应的点如图所示，刚a,-a,1的大小关系正确的是（）A. 1<<-a aB. 11<<a aC. a a <-<1D. a a -<<16、判断正误。

(1) 若b a >，则22bc ac >（）（2）若22bc ac >，则b a >（）（3）若c ab >，则bca >（）（3）若a b a >-，则0>b （）（5）若0>ab ，则0>a ，0>b 。

（）7、习题课上，老师在黑板上出了一道有关7a 与6a 大小比较的问题，小文不假恩索地回管：“b a 77>。

”小明反驳道：“不对，应是b a 77<。

”小芳说：“你们两人回答得都不全面，把你们两人的答案合在一起就对了。

”你认为他们三人的观点谁的正确？谈谈你的看法。

8、 A 取什么值时，解方程a x =-23得到的x 值，(1)是正数？ (2)是0？ (3)是负数？9、已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+2341032y x x x ，的解满足不等式4>+y ax ，求a 的取值范围。

专题复习第2课不等式(组)的应用(含答案)-

第2 课不等式（组）的应用◆考点分析利用不等式（组）解决某些实际生活中的问题是近几年中考应用题的热点。

不等式（组）的应用题常与方程、函数和几何知识结合起来考查。

解决这类题关键是抓住以下几点：1、认真审题，把握问题中表示不等关系的关键语句。

2、根据题意，恰当地设置未知数。

3、准确地用代数式表示相关的量。

4、根据不等关系列出不等式（组）。

◆典型例题例1某中学九年级甲、乙两班在“美化、绿化家乡”的活动中，两班栽树的总棵数相同，均多于300棵且少于400棵。

已知甲班有一人栽了6棵，其余每人都栽了9棵；乙班有一人栽了13棵，其余每人都栽了8棵。

求甲、乙两班学生总人数。

（2006年新疆乌鲁木齐）【解题分析】本题的取材与学生息息相关，贴近学生的生活。

根据题目中“总棵树相同”,“多于”“少于”这些关键词，把它们转化为符号语言，从而得到方程和不等式。

可用消元法，进而再求出未知数的整数解。

【同类变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人，求这个中学共选派值勤学生多少？共有多少个交通路口安排值勤？例2某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示。

现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶。

设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与 x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最小?（2007年青岛）Array【解题分析】（1）观察图表，可知生产A、B两种饮料分别用甲、乙原料的量，由题意可得，甲、乙原料各2800克，所以由甲、乙原料总和均小于或等于2800克，得不等式组。

不等式(组)典型例题解析

不等式（组）典型例题解析作者：杭静来源：《初中生世界·九年级》2014年第04期关于不等式（组）的知识在各地中考中都占有一定的比例，下面以2013年中考试题为例，对中考中的一些典型试题加以分析，归纳考点，分析得分点，希望对同学们有所帮助.例1 （2013·广东佛山，6分）已知两个语句：①式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间；②式子2x-1的值不小于1且不大于3.请回答以下问题：（1）两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？（2）把两个语句分别用数学式子表示出来.【分析】本题涉及由具体问题抽象出一元一次不等式组.（1）注意分析“在1（含1）与3（含3）之间”及“不小于1且不大于3”，明确两者之间的关系；（2）根据题意列出不等式组.解：（1）一样；（3分）（2）式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x-1≤3；（6分）或：式子2x-1的值不小于1且不大于3可得2x-1≥1，2x-1≤3.（6分）【点评】解决这类问题关键是正确理解题意，抓住题干中体现不等关系的词语，准确进行文字语言与符号语言的转化. 这类问题是中考中的基本题，只要理解正确，转化准确，即可得到满分.例2 （2013·四川巴中，6分）解不等式：- ≤1，并把解集表示在数轴上.【分析】本题考查一元一次不等式的解法及解集的数轴表示. 按照解一元一次不等式的步骤求解.解：去分母得：2（2x-1）-（9x+2）≤6，（1分）去括号得：4x-2-9x-2≤6，（2分）移项得：4x-9x≤6+2+2，（3分）合并同类项得：-5x≤10，（4分）把x的系数化为1得：x≥-2.（5分）这个不等式的解集可表示如下（如图1）：【点评】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同，只是在不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号要改变方向. 用数轴表示不等式的解集，要注意向右或向左、圆点或圆圈的确定，方法是：大于向右，小于向左；圆点包括该点，圆圈不包括该点.例3 （2013·贵州毕节，12分）解不等式组：2x+5≤3（x+2），①2x-把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.【分析】本题涉及解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求一元一次不等式组的整数解. 先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可.解：由①得：x≥-1，（2分）由②得：x∴不等式组的解集为：-1≤x这个不等式组的解集在数轴上表示如图2所示..（10分）不等式组的非负整数解为2、1、0.（12分）【点评】解不等式组就是先求出各个不等式的解集，再利用数轴找出其解集的公共部分. 不等式组的解集也可用口诀来确定：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是空集.” 求不等式（组）的特殊解，一般先求出不等式（组）的解集，再在解集中找出符合要求的特殊解.例4 （2013·江苏扬州，8分）已知关于x、y的方程组5x+2y=11a+18，2x-3y=12a-8的解满足x>0，y>0，求实数a的取值范围.【分析】本题综合考查二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，解题的关键是先求出方程组的解并用含a的字母表示出来，再利用x>0和y>0构造不等式组，最后解不等式组求字母a的取值范围. 在解方程组时，可以用代入法或加减法，下面给出用加减法求解的完整过程，用代入法求解请你自己完成.解：解方程组5x+2y=11a+18①，2x-3y=12a-8 ②，①×3得，15x+6y=33a+54 ③，②×2得，4x-6y=24a-16 ④，③+④得，19x=57a+38，解得x=3a+2，（2分）把x=3a+2代入①得5（3a+2）+2y=11a+18，∴y=-2a+4，∴方程组的解是x=3a+2，y=-2a+4. （4分）∵x>0，y>0，∴3a+2>0，-2a+4>0，（6分）∴a的取值范围是-【点评】构造不等式组来确定字母的取值范围是最常用的方法之一. 解决这类问题的关键是正确求出方程组的解，不少考生因为无法理解方程组的解可以用含有a的代数式表示而无法解题.例5 （2013·江苏南通，8分）若关于x的不等式组+>0，3x+5a+4>4（x+1）+3a恰有三个整数解，求实数a的取值范围.【分析】本题考查一元一次不等式组的解法和不等式组解集的逆向应用. 应先分别求出各不等式的解集，得到不等式组解集，再由解集中恰有3个整数解得到关于a的不等式，最后得出a的取值范围.解：由不等式+>0，解得x>-，（2分）由不等式3x+5a+4>4（x+1）+3a，解得x所以不等式组的解集为-因为不等式组恰有三个整数解，所以其整数解为0，1，2，所以2所以1【点评】解决本题也可以借助数轴分析解集的情况，确定a的取值范围.例6 （2013·湖北孝感，10分）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是利用根的判别式、根与系数的关系和已知条件建立不等式，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，（2分）∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0，∴1-4k≥0，∴k≤. （4分）∴当k≤时，原方程有两个实数根. （5分）（2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.∵x1、x2是原方程的两根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k. （6分）由x1·x2-x12-x22≥0，3x1·x2-（x1+x2）2≥0，（7分）∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，即-（k-1）2≥0，（8分）∴只有当k=1时，上式才能成立.（9分）又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. （10分）【点评】对于存在探究型问题，首先假设条件的存在，然后再通过证明推理及计算，探究自己所假设存在是否与已知条件或推理过程矛盾，若矛盾则假设不成立，否则假设成立. 运用根与系数的关系求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式. 基本步骤：第一步：求出x1+x2和x1x2的值；第二步：将所求代数式用x1+x2和x1x2的代数式表示；第三步：将x1+x2和x1x2的值代入求值.例7 （2013·江苏无锡，8分）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨. 若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？【分析】本题涉及用方程、不等式和一次函数的性质来解决实际问题，由“要提取A元素20千克”可以得到一个方程，由“废气排放不超过16吨”可以得到一个不等式，进而可以求出一种原料的取值范围，再求出购买这两种原料的费用的函数关系式，即可求出费用的最少值.解：（1）设购买甲、乙两种原料分别为x吨和y吨，则5%·x·1 000+8%·y·1 000=20，5%·x·1 000×1+8%·y·1 000×0.5≤16.（2分）即5x+8y=2，50x+40y≤16.∴y≥0.1. （4分）设购买甲、乙两种原料所需要的费用为W万元，则W=2.5x+6y=2.5×+6y=1+2y≥1.2，（6分）∴当y=0.1，x=0.24时，W最小=1.2. （7分）答：该厂购买这两种原料最少需要1.2万元. （8分）【点评】在联合运用方程、不等式和函数知识来解决实际问题时，要认真审题，找出表示题目全部含义的数量关系，然后根据不等式（组）确定自变量的范围，再根据题意建立函数模型，最后在自变量的取值范围内求函数最值.例8 （2013·湖南益阳，10分）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输. “益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石.（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出.【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的综合应用，解题关键是根据已知条件，寻找到题目中的相等关系和不等关系，再建立方程或不等式模型来求解.（1）根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”组成方程组求解；（2）利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式，求出整数解就可以得到所有的购买方案.解：（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，由题意，得x+y=12，8x+10y=110.（2分）解得 x=5，y=7. （4分）答：“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆.（5分）（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，由题意，得8（5+z）+10（7+6-z）>165. （7分）解得z∴6-z=6、5、4. （8分）∴车队共有3种购车方案：①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆. （10分）【点评】（1）建立方程或方程组模型，首先应找到题目中的等量关系，并用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出方程或方程组. （2）列不等式（组）解应用题的关键是根据题意找出题目中的不等关系，再根据相应的关系列出不等式（组）. 要注意通常不等关系的给出总是以“至少”“没满”“少于”“不超过”“最大”等关键词语作为标志. 有时在解出不等式（组）之后，还要根据实际情况适当取舍，选出符合要求的答案.（作者单位：江苏省兴化市第一中学）。

七年级数学不等式组典型例题

七年级数学不等式组典型例题不等式组是数学中常见的一个概念，它涉及到不等式的集合。

在七年级的数学学习中，学生通常会学习如何解决一些典型的不等式组问题。

以下是一些七年级数学中常见的不等式组典型例题，帮助学生更好地理解和应用不等式组的知识。

例题1：求解不等式组：x + y > 10x - y < 5解析：首先我们可以通过图形法来解决这个问题。

我们将不等式转化为等式得到两条直线：x + y = 10和x - y = 5。

然后我们可以在坐标平面上画出这两条直线，并找出它们的交点。

交点的左侧区域就是不等式组的解集。

例题2：求解不等式组：2x + 3y ≤ 12x + 2y > 4解析：这个问题中的不等式组包含了一个不等式和一个不等式。

我们可以通过图形法来解决这个问题。

首先我们将两个不等式转化为等式得到两条直线：2x + 3y = 12和x + 2y = 4。

然后我们可以在坐标平面上画出这两条直线，并找出它们的交点。

交点的右侧区域就是不等式组的解集。

例题3：求解不等式组：3x - 2y < 6x + y > 2解析：这个问题中的不等式组包含了一个不等式和一个不等式。

我们可以通过代入法来解决这个问题。

首先我们解决第一个不等式3x - 2y < 6，我们可以选择一个合适的x值，然后计算出相应的y 值。

例如，当x = 1时，我们得到-2y < 3，即y > -3/2。

然后我们解决第二个不等式x + y > 2，我们选择一个合适的x值，计算出相应的y值。

例如，当x = 1时，我们得到1 + y > 2，即y > 1。

因此，不等式组的解集为x > 1且y > -3/2。

通过解决这些典型例题，学生可以更好地掌握不等式组的解题方法。

同时，这也为他们以后更复杂的不等式组问题的解决打下了坚实的基础。

不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为 {}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x 0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

高中数学不等式解法15种典型例题

c
= =
− + = − 1
1 = (− 1 )(−
− 1
1
),
,
a
∴ x2 + b x + a 0 ，即 x2 + (− 1 − 1 )x + (− 1 )(− 1 ) 0 ，即 (x − 1 )(x − 1 ) 0 ．又 0 ，∴ 1 1 ，
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
不等式解法 15 种典型例题
例 1 解不等式：（1） 2x3 − x2 −15x 0 ；（2） (x + 4)(x + 5)2 (2 − x)3 0 ．
分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f (x) 0（或 f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，
但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为
当 a 2 时，不等式组(1)无解，(2)的解是 x a ． 2
) 综上可知，当 0 a 2 时，原不等式的解集是 a + 1 −
2a ,+
；当 a
2
时，原不等式的解集是
a 2
,+
．
说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 ， a 2 ”是依据“已知 a 0 及(1)中‘ x a ， x 1 ’，(2)中‘ x a ， x 1 ’”

不等式解法种典型例题

或或
或或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出，是方程的两根,
∴ ，．又的解集是，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程的两根,
∴ ．又的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程两边同除以得．
令 ,该方程即为，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程的两根为，．
典型例题八
例8解不等式．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式的解集是．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数， , 的关系也用，表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式，即

一元一次不等式与一元一次不等式组典型例题

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b c c）（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c）说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

4．一元一次不等式（重点）只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．注：其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)． 5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．例：131321≤---x x 解不等式：6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．7．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．9．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．（三）常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（） A.x1+1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5D.21(x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 .a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1；1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：a __________b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a －b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a .2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A 、ab ＞0B 、a b >C 、a －b ＞0D 、a ＋b ＞01.与2x <6不同解的不等式是（）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－6): (这类试题在中考中很多见)1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1x x +⎧-⎪⎨⎪--<⎩≥ 2.（2010福建宁德）解不等式215312+--x x ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来． 3.（2006年绵阳市）12(1)1,1.23x x x -->⎧⎪⎨-≥⎪⎩此类试题易错知识辨析（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集：当0a >时，b x a >（或b x a<）当0a <时，bx a <（或b x a >）当0a <时，b x a <（或b x a>） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜15 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______．6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠27.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜3-ab，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（） A.4 B.5 C.6D.无数个2.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（） A.1B.0C.－1D.不存在|x |<37的整数解是________.不等式|x |<1的解集是________. 已知ax ＜2a (a ≠0)是关于x 的不等式，那么它的解集是( )A.x ＜2B.x ＞－2C.当a ＞0时，x ＜2D.当a ＞0时，x ＜2;当a ＜0时，x ＞21. 若x ＋y ＞x －y ，y －x ＞y ，那么（1）x ＋y ＞0，（2）y －x ＜0，（3）xy ≤0,（4）yx＜0中，正确结论的序号为________。

八年级数学下册《一元一次不等式组》典型例题1(含答案)

《一元一次不等式组》典型例题例题1 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>+≥+）（）（2.63221 21x x x x例题2 解不等式⎪⎩⎪⎨⎧<->+<-.2915,84,3223x x x x例题3 解不等式组：12123x x x ->-⎧⎪⎨<⎪⎩ (1)(2)例题4 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--）（）（2 ;41)3(21 ,4)3(2x x x x例题5 解不等式531-<-<-x ．例题6 解不等式13314<-<x例题7 解不等式8325<+≤-x ．例题8 解不等式211 4.3x +-≤<例题9 当x 取哪些整数时，不等式5)2(2+<+x x 与不等式x x 29)2(3>+-同时成立？例题10 解不等式组()02114x k x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩ (1)(2)例题11 若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是什么？例题12 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+)2(0)1(1234a x x x 的解集为2<x ，则a 的取值范围是什么？参考答案例题1 分析解一元一次不等式组时，先将不等式组中的每个不等式的解集求出来，然后在数轴上找出它们的解集的公共部分．解答由（1）式，得2-≥x ．解不等式（2），得4-<x ．而这两个不等式的解集没有共同的部分，因此，这个不等式组无解．例题2 分析不等式组的解集就是不等式组中所有不等式解集的公共部分，解不等式组就是分别求出各个不等式的解集，再求出这个公共部分．解答不等式3223+<-x x 的解集为5<x ．不等式84>x 的解集为2>x ．不等式2915<-x 的解集为6<x ．∴这个不等式组的解集为52<<x ．例题3 解答解不等式(1)得 13x >，解不等式(2)得 6x <，在同一条数轴上表示不等式(1)与(2)的解集，如下：因此，原不等式组的解集为163x <<. 例题4 分析根据一元一次不等式的解法，先分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后借助数轴求出不等式的解集．解答（1）由（1）得462≤+-x x ，即2-≤-x ，所以2≥x ；由（2）得11242>+-x x ，即112->-x ，所以211<x ．把它们的解集在数轴上表示为：因此，原不等式组的解集为2112<≤x ．例题5 分析这个不等式的意思是说x -3比－1大，比5小，就是求⎩⎨⎧<-->-5313x x ，这个不等式组的解集．把此问题转化为不等式组是其关键．解答由题意，得不等式组 ⎩⎨⎧<-->-5313x x 解这个不等式组得 42<<-x ．例题6 解答一原不等式移项，合并同类项，得,1233<-<x各项除以－3，得41->>-x即 14-<<-x解答二原不等式可化为⎩⎨⎧<--<.1331;314x x 不等式x 314-<的解集是1-<x ．不等式1331<-x 的解集是4->x ．所以原不等式的解集是14-<<-x ．说明该不等式既可按不等式既可按不等式的性质、变形、求解，也可以先化成不等式组求解．例题7 分析此不等式的解集与不等式组⎩⎨⎧<+-≥+832,532x x 的解集相同．因此，解这类不等式时，一般是先化成不等式组，再求解．但此不等式左、右两边都不含x ，因此可以直接求解．解答不等式的两边都减去3，得528<≤-x ，不等式的两边都除以2，得不等式的解集为254<≤-x ．例题8 分析这个不等式的意思是说312+x 不小于-1，比4小，就是求21132143x x +⎧≥-⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ (1)(2) 这个不等式组的解集，把此问题转化为不等式组是其关键.也可直接利用不等式的性质来求解.解答 211 4.3x +-≤<同解于21132143x x +⎧≥-⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ (1)(2) 解(1)得,2-≥x解(2)得11,2x < 因此，原不等式解集为1122x -≤<另解直接利用不等式的性质2114,3x +-≤<Q 32112,x ∴-≤+<4211,x ∴-≤<112.2x ∴-≤< 例题9 分析先求出两个不等式解集的公共部分，再由公共部分求出符合条件的整数值．解答解不等式5)2(2+<+x x ，得 1<x ．解不等式x x 29)2(3>+-，得 3->x ．这两个不等式的解集的公共部分为 13<<-x ，满足13<<-x 的整数为1,2--=x 和0．因此当整数1,2--=x 或0时，两个不等式都成立．例题10 分析当不等式组中含有字母的系数时,要注意对解集的讨论,分类写出其解集.解答解不等式(1)得 x k >,解不等式(2)得 4x >，原不等式组可化为,4.x k x >⎧⎨>⎩当4k >时，原不等式组的解集为x k >.当4≤k 时，原不等式组的解集为4x >.例题11 分析已知不等式组的解集，求不等式中所含字母的取值范围，必须根据不等式组的四种基本类型来分析，本题关键是两个不等式的解集无公共部分．解答要使不等式组无解，故必须121-≤+m m ，从而解得2-≤-m ，故2≥m ．说明本题要熟悉“小小大大找不到”的解集确定方法，当然也可借助于数轴求解．例题12 解答由①可解出2<x ，而由②可解出a x -<，而不等式组的解集为2<x ，故2≥-a ，即2-≤a ．说明本题给出不等式组的解集，反求不等式中所含字母的取值范围，故要求较高．解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，最后归结为对不等式组⎩⎨⎧-<<a x x 2解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助于数轴求解．。

一元一次不等式与不等式组知识点及典型例题

第7章：一元一次不等式与不等式组知识点及典型例题(一)不等式的有关概念 1、不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

不等式常分两类：①表示大小关系的不等式；②表示不等关系的不等式；常见不等式的基本语言有：①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x ≥0； ④x 是非正数，则x ≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。

2、.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

例1、下列式子：①5>0,②3a+4b>0,③x=2,④x-1,⑤x+3≠5,⑥2a+3≤7,⑦x 2+2≥8,其中不等式有（ 5）个解：其中①②⑤⑥⑦都是不等式，共有5个。

（二）不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

即:如果a ＞b,那么a ±c ＞b ±c不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即:如果a ＞b, c ＞0，那么ac ＞bc ；a c ＞b c不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即:如果a ＞b, c ＜0，那么ac ＜bc ；a c ＜b c不等式的基本性质4：对称性。

即:如果a b > ,那么b a <不等式的基本性质5：同向传递性。

即:如果a b >，b c >,那么a c >。

注意： ① 一定要注意应用不等式的基本性质3时，要改变不等号的方向；② 当不等式两边都乘（或除以）的式子中含有字母时，一定要对字母分类讨论。

初一数学《不等式》知识点与典型基础例题

初一数学《不等式》知识点与典型基础例题一不等式的概念：【典型例题1】判断下列各式是否是一元一次不等式？-x ≥5 2x-y ＜025432-=++x x x352≥+x二不等式的解：三不等式的解集：【典型例题2】判断下列说法是否正确，为什么？X=2是不等式x+3＜2的解。

X=2是不等式3x ＜7的解。

不等式3x ＜7的解是x ＜2。

X=3是不等式3x ≥9的解四一元一次不等式：【典型例题3】判断下列各式是否是一元一次不等式－ｘ＜５２ｘ－ｙ＜０232≥+x x52+x≥３ｘ五．不等式的基本性质问题【典型例题4】指出下列各题中不等式的变形依据1）由3a>2得a>32 2) 由3+7>0得a>-7 3）由-5a<1得a>-51 4)由4a>3a+1得a>1 【典型例题5】用>”或<”填空，并说明理由如果a<b 则 1）a-2( )b-2 2）-()2a-2b3)-3a-5( )-3b-5【典型例题6】把下列不等式变成x>a x<a 的形式。

X+4>7 5x<1+4x -54x>-1 2x+5<4x-2【典型例题7】已知实数a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（）A cb>abB ac>abC cb<ab Dc+b<a+b【典型例题8】当０＜ｘ＜１时ｘ２，ｘ，x1，之间的大小关系是。

【典型例题9】将下列不等式的解集在数轴上表示出来。

X ≥2 x ＜132 x ＜3的非负整数解 -121312 x ≤六在数轴上表示不等式的解集：【典型例题10】解下列不等式并把解集在数轴上表示出来 2x+3＜3x+2 -3x+2≤5 -x 31≠2 323125+-+x x8-2(x+2)＜4x-2 3-8)1(3412+-+≥x x ５－ｘ＋3x＜１－31232-+-x x题型一：求不等式的特殊解【典型例题1】）求x+3＜6的所有正整数解【典型例题2】求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。

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