p5_0基本内容要点

周期越大，物 体振动越慢。
1)弹簧振子 的周期：
T
2π
m k
2)小角单摆 的周期：
T 2π
l g
(3)频率f：物体在1秒内振动的次数，f = 1/T。
(4)圆频率或角频率ω：物体在2π秒 内振动的次数，ω = 2π/T = 2πf。
(圆)频率越大，周期 越小，物体振动越快。
(5)相位ωt + φ：表示振动状态的物理量。
,
π
arctan
( 2 ( 2
02 ) 02 )
A2 m
F0
,
( 2 02 )2 4 2 2
arctan
2 2 02
经过一定时间，物体的运动达到稳 态，振动方程：x = A2cos(Ωt + Φ)。
(3)位移共振
1)共振圆频率：M 02 2 2
2)共振振幅： AM
2m
F0
02 2 m
2
其中 2 02 , 02 2 .
7．受迫振动
(1)动力学方程：d2 x dt 2
2
dx dt
02 x
F0 m
cos
t
(2)运动学方程。当t = 0时，x = 0，v = 0，位移为
x = A1e-βtcos(ωt + φ) + A2cos(Ωt + Φ)
其中
A1 F0
2 ( 2 02 )2 2 ( 2 02 )2 m[( 2 02 )2 4 2 2]
6．阻尼振动
(1)当物体受到f = -γv的 阻力时，动力学方程：
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
ω0就是无阻尼时物体的固有角频率，β是 阻尼因子，其中k/m = ω02，γ/m = 2β。
(2)运动学方程。当t = 0时，x = A，v = 0，位移为
x A et[( )et ( )et ], x Aet (cost sin t)
{范例5.10} 互相垂直的简谐振动的合成(动画)
基本内容
1．振动：任意一个物理量的取值在某 一值附近往复变化时，都可称为振动。
2．简谐振动 (1)动力学方程
k是劲度系数。
物体和弹簧所组成的系统称为弹簧振子，物体所受回复力的 大小与位移的大小成正比，方向与位移的方向相反：F = -kx。
其加速度的大小也与位移的大小成 正比，方向与位移的方向相反，即
两个不同频率简谐振动的位移分别为
x1 = Acosω1t，x2 = Acosω2t，
合振动： x
x1
x2
2 A cos(2
1
2
t) cos(2
1
2
t)
拍频：
fp
|
2
2π
12π||来自f2f1|.9．相互垂直简谐振动的合成
(1)同频率的情况。
点沿x方向和y方向的两个同频率的简谐振动的位移分别为
x = A1cos(ωt + φ1)，y = A2cos(ωt + φ2)
5．简谐振动的能量
(1)动能：T 1 mv2 1 m 2 A2 sin2 t
2
2
平均 T 1 m2 A2 动能： 4
(2)势能：V 1 kx2 1 kA2 cos2 t
22
平均 势能：
V
1 kA2 4
(3)机械能：E
T
V
1 2
mvm2
1 kA2 2
物体振动的振幅越大， 其机械能就越大。
物体在振动过程中，动能和势能不断 变化，相互转化，但机械能保持不变。
复位移的实部和虚部都能够表示实际位移。
2)速度。如果用余弦函 数表示位移，速度为
v dx Asin(t )
dt
3)加速度： a dv 2 Acos(t ).
dt
3．物理量 (1)振幅A：物体的振动范围，表示物体振动强弱的物理量。
振幅越大，物体振动越强。
(2)周期T：物体作一次完整振动所需要 的时间，表示物体振动快慢的物理量。
d2 dt
x
2
2
x
0
物体作简 谐振动。
(2)运动学方程
ω2 = k/m。
1)位移。物体作简谐振动的位移方程可用余弦函数或
正弦函数表示x = Acos(ωt + φ)，x = Asin(ωt + φ')。
它们都满足简谐振动的动力学方程，只是初相 有所不同，对于同一振动来说，φ' = φ + π/2。
简谐振动的位移方程也可以用复位移表示 x Aexp[i(t )]
质点的轨迹方程：Ax122
MATLAB可视化 大学物理学
电子教案 编者：湖南大学物电院 周群益
第五章 机械振动
基本内容
{范例5.1} 弹簧振子的运动规律(动画) {范例5.2} 旋转矢量法(动画)
{范例5.3} 弹簧下端悬挂物体被子弹击入后的振动 {范例5.4} 弹簧振子的能量
*{范例5.5} 轻杆单摆振动的周期和规律(动画) *{范例5.6} 圆环复摆的运动规律(动画) {范例5.7} 弹簧振子的阻尼振动 *{范例5.8} 阻尼弹簧振子的受迫振动 {范例5.9} 同一直线上的简谐振动的合成
F0
04
4 M
3)共振初相： M arctan (4)速度共振
02 2 2 arctan
02
2 M
02 M2
1)共振圆频率：ΩM = ω0。
2)速度振幅： vm
m
F0 ( 2 02 )2 4 2 2
3)共振速度振幅：(vm )M
F0
2m
.
8．同直线简谐振动的合成 (1)两个同频率情况。 两个独立的同频率简谐振动的位移分别为
x1 = ΔAcosωt，x2 = ΔAcos(ωt + Δφ)， x3 = ΔAcos(ωt + 2Δφ)，…， xn = ΔAcos[ωt + (n - 1)Δφ]
合振动： x A sin(n / 2) cos(t n 1 ).
sin( / 2)
2
(3)两个频率相差很小，同振幅，同相位的情况。
初相φ：表示振动初始状态的物理量。
振动系统的周期和(圆)频率由系统的性质决定，与物 体初始条件无关，称为固有周期和固有(圆)频率。
物体的振幅和初相 由初始条件决定 A
x02
v02
2
,
arctan( v0 )
x0
初相φ的象限由-v0和x的符号决定。 4．旋转矢量法：简谐振动的直观的几何表示方法。
合振动
x1 = A1cos(ωt + φ1)，x2 = A2cos(ωt + φ2)， x =Acos(ωt + φ)
其 中
A
A12
A22
2 A1 A2
cos(2
1 ) ,
arctan
A1 sin 1 A1 cos1
A2 A2
sin 2 cos2
(2)多个同频率，同振幅，相差恒定的情况。
n个简谐振动的振幅为ΔA，第一个振动的初相为 0，其他振动相差为依次为Δφ，各个分振动为