互素多项式在矩阵秩中的应用

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【方案】矩阵的秩及其应用.doc

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用姓名杨敏娜院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级11510102学号1151010240指导教师王栋答辩日期成绩矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。

通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。

论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。

第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。

第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。

在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。

最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。

本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。

【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何The Rank of Matrix and the Application of the Rank ofMatrixAbstractThe matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations.First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space.This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples.【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry目录一、引言 (01)二、矩阵的秩 (01)(一)矩阵的秩的定义 (01)(二)矩阵的秩的一般性质及求法 (01)（三）求抽象矩阵的秩 (02)三、矩阵的秩的应用 (03)(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用 (03)(二)矩阵的秩在线性方程组方面的应用 (04)(三)矩阵的秩在解析几何方面的应用 (07)(四)矩阵的秩在特征值方面的应用 (07)(五)矩阵的秩在其他方面的应用 (08)四、小结 (09)参考文献 (10)致谢 (11)矩阵的秩及其应用学生姓名：杨敏娜指导老师：王栋一、引言矩阵概念在代数的学习中是一个关键的分支，是研究线性代数的基石,矩阵的秩作为矩阵的核心内容，更是研究它的一个纽带。

矩阵多项式秩的若干新结果高等代数毕业论文

编号莆田学院毕业论文课题名称：矩阵多项式秩的若干新结果系别数学系学生姓名学号专业数学与应用数学年级 2003级指导教师2007 年 6 月目录0 引言 (1)记号与定义 (1)研究现状 (1)1 预备知识 (3)2 主要结论及其证明 (5)3 关于猜想1和猜想2的解决 (9)4 结论的一些应用 (11)参考文献 (14)致谢 (15)矩阵多项式秩的若干新结果摘要本文证明了矩阵多项式秩的一个新结果：两个矩阵多项式秩的和等于它们最大公因式矩阵的秩与最小公倍式矩阵秩的和。

利用这个结果可以推导出诸多文献的重要结果及其一些新结论。

2004年，文献[1]提出矩阵A的一次多项式秩的恒等式的两个猜想，作为本文所得结果的应用，可以在更一般的情况下证明这个两个猜想是正确的。

【关键词】矩阵多项式互素多项式猜想Some New Results of Rank of Matrix PolynomialAbstractA new result of rank of matrix polynomial is proved in this paper:The sum of ranks of two matrix polynomials is equal to the sum of ranks of the greatest common factor matrix and the minimal common multiple matrix.We can prove lots of important results and some new conclusions from this result.In 2004,the paper [1] gives two conjectures about the identity of rank of simple polynomial .As the application of the results in this paper ,we can prove that the two conjectures are right in more common situation.【Key Words】Matrix Polynomial; Coprime Polynomial; Conjecture莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

多项式的互素在线性空间直和分解中的应用

收稿日期：2019-04-12 基金项目：国家自然科学基金项目（11601121）；河南工业大学高等教育研究资助项ห้องสมุดไป่ตู้（26510045）；河南工业大学教改与实践招标项目（GJYJ-ZB11）作者简介：王玉雷（1979-），男，河南南阳人，副教授，博士，主要从事代数学研究。
-139-
2020 年 1 月第4期
嗓瑟其中Vi= ξ（| A-λiE）riξ=0，ξ∈V .
证：首先，对s进行归纳证明： ker（f A）=ker（A-λ1E）r1茌ke（r A-λ2E）r2茌…茌ker （A-λsE）rs 当s=2时，则（f A）可以写成（f A）=（A-λ1E）（r1 A-λ2 E）r2。注意到（λ-λ1）r1和（λ-λ1）r1是互素的，根据线性变换形式可得：线性变换（f A），（A-λ1E）r1，（A-λ2E）r2 的核满足 ker（f A）=ke（r A-λ1E）r1茌ke（r A-λ2E）r2 结论成立。
变换形式如下：线性变换形式：设A、B、C、D都是数域P上n维线性
空间V上的线性变换，它们关于线性变换乘法两两可交换，且AC+BC=E
其中E是恒等变换，则kerAB=kerA茌kerB 矩阵的推广形式：设A，B，C，D1，D2，D3，D4都是数域P上的n阶方阵，它们关于矩阵乘法两两可交换，且
AD1+BD2=E，ABD3+CD4=E 则W=W1茌W2茌W3 其中W，W1，W2，W3分别是齐次线性方程组
α=ACα+BDα 由A（BDα）=D（BAα）=0和B（ACα）=C（ABα）=0 可得BDα∈W1，ACα∈W2 因此W哿W1+W2。显然W勐W1+W2，由此可得W=
W1+W2 如果β∈W1IW2，那么Aβ=0和Bβ=0，从而 β=ACβ+BDβ=C（Aβ）+D（Bβ）=0 由此可得W1IW2=0. 综上所述，可以得到W=W1茌W2，即结论成立。根据代数同构的观点，那么矩阵形式对应的线性

矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用

矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩是研究矩阵的几何结构的一个重要的参数。

它的值有助于表示矩阵的结构，
并且用于分析矩阵特征。

矩阵多项式秩是研究矩阵结构的重要概念，下面给出一些恒等式，并对这些恒等式及其应用进行介绍。

首先，如果一个 $n\times n$ 矩阵A的rank(A)等于n，则它具有一个恒等式：
rank(A$^{-1}$)=$n$ 。

另外，如果是一个$N\times N$矩阵A，rank(A)=N-1，则有
rank(A)=$N-1$ 。

其次，如果$A$ 是一个n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，具有一个恒等性：一列对应
rank(A)=$n-1$ 的恒等式。

再次，当$A$ 是n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，满足下列恒等式：rank(A$^{+}$)=$N-1$，
其中A$^{+}$ 是A的Moore-Penrose逆矩阵。

最后，如果$A$ 是一个$N\times N$ 矩阵，rank(A)<$N$时，有恒等式：
rank(A$^{T}$A)=$N$ 。

综上所述，矩阵多项式秩的恒等式对研究矩阵的几何结构非常重要，可以用来分析矩阵的
特征和行列式。

此外，还可以用来获得非方阵的逆矩阵和Moore-Penrose逆矩阵，以及矩
阵乘积的值。

此外，矩阵多项式秩的恒等式还可以帮助我们解决线性方程组的解，以及唯
一可解性和矩阵特征的求解。

多项式理论及其应用

多项式理论及其应用许洋巢湖学院数学系安徽巢湖 238000摘要多项式是代数学中最基本的对象之一。

它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。

本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。

关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。

多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。

16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。

16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。

1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。

经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。

终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。

矩阵和多项式的关系

矩阵和多项式的关系矩阵和多项式是数学中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。

在本文中，我们将探讨矩阵和多项式之间的关系。

首先，我们来介绍一下矩阵。

矩阵是由数个数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵可以进行加、减、乘、转置等运算，是线性代数中的重要概念。

矩阵可以表示线性方程组，也可以用于解决线性变换的问题。

而多项式则是由一系列项组成的代数式，通常用小写字母表示。

多项式可以进行加、减、乘、除、求导等运算，是代数学中的重要概念。

多项式可以表示函数，也可以用于解决插值、逼近等问题。

那么，矩阵和多项式之间有什么关系呢？其实，矩阵和多项式之间有着密切的联系。

我们可以将一个多项式表示成一个矩阵，这个矩阵被称为伴随矩阵。

伴随矩阵的定义如下：设$f(x)$是一个$n$次多项式，$A$是一个$n\times n$的矩阵，$A$的第$i$行第$j$列元素为$a_{ij}$，则$f(x)$的伴随矩阵$A_f$为：$$A_f=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n-1} & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n-1} & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \\\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示$f(x)$中$x^i$的系数的第$j$个系数。

伴随矩阵的作用是将多项式转化为矩阵，从而可以利用矩阵的性质解决一些多项式问题。

多项式理论在矩阵问题中的应用分析

Ａ３一一ＡＡ一１Ａ＝（一２Ａ一３（）Ａ一１４）一．因此即（一Ａ一３（Ｅ）一Ｅ＝０，Ａ２Ｅ）Ａ— ４（一Ａ一Ｅ）Ａ— ２３（Ｅ）＝Ｅ４．
０ｌＡ
＝
Ｄ２；
，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．，．．
＿
故２利用多项式整除理论求矩阵的秩命题３
（Ａ—Ｅ
＝１２
一
一
寻．Ｅ
关键词：素；逆矩阵；征多项式；阵的秩；相似互特矩
中图分类号：１１２０５．１
文献标识码：Ａ
文章编号：０７— ８４２１）ｌ０５— ３１００３（００Ｏ一０００
在文献［］，者讨论了矩阵理论在多项式中的一些应用．文将根据多项式理论建立解决某些矩阵１中作本问题的方法，通过具体例子展示其方法的优越性．并
１利用多项式互素理论求抽象矩阵的逆矩阵
命题１设，Ａ）复系数多项式，阶方阵Ａ的特征值不是ｆＡ）（为／１，（的零点，ｆＡ可逆，则（）且（的逆矩Ａ）
阵可表示为Ａ的多项式．
证明
设Ａ， … ，为Ａ的特征值，，Ａ）。Ａ，Ａ则（ｉ ≠０，＝１２ … ，，ｉ，，ｎ于是
第１９卷第１期
２１００年３月
河南教育学院学报（自然科学版）

浅谈矩阵的秩及其应用定稿

山西师范大学本科毕业论文浅谈矩阵的秩及其应用李欢姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学07510101班级学号**********指导教师张富荣答辩日期2010.12.20成绩浅谈矩阵的秩及其应用内容摘要矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。

而在矩阵理论中，矩阵的秩又是一个十分重要的概念，它是矩阵的一个数量特征，而且初等变换不改变矩阵的秩，是初等变换下的不变量。

矩阵的秩与矩阵是否可逆，线性方程组的解得情况等都有密切的关系。

论文开头介绍了矩阵的秩，矩阵的行秩和列秩以及与矩阵有关的常见的命题和定理，部分定理并给出证明。

第二部分介绍了计算矩阵的两种计算方法，求非零子式的最高级数法和初等变换法，并对其优劣进行比较。

在矩阵的运算过程中，矩阵的秩存在某些关系，熟练地掌握这些关系对解有关矩阵的习题很有帮助。

最后详细地介绍了矩阵的秩与线性方程组解的个数之间的关系，并将其应用到解析几何中,判断空间两直线位置关系。

本论文主要将矩阵的秩这一重要概念的相关内容及其相关定理的证明详细给出，并在一些具体题目中加以应用。

【关键词】矩阵矩阵的秩线性方程组非零子式的最高级数初等变换A Brief Introduction on the rank of Matrix and theApplication of the rank of MatrixAbstractIn matrix theory, rank of matrix is an important concept. It is a matrix of number of characteristics, and it is invariant under elementary transformations. Rank of matrix may have a close relationship with the solution of linear equations.At the beginning, the paper presents the concept of rank of matrix, the matrix row rank and column rank, and the common matrix-related theorems. And some theorems are given proof. The second section of the paper describes two methods for calculating the rank of matrix, one is seeking the highest grade of the non-zero minor, and the other is elementary transformation. And it compares their advantages and disadvantages. In the process of matrix computation, there are some important relations about the matrix rank .If we have a good understanding about these relations, it will be very helpful. Finally, it has a detail description on the application of the rank of matrix, especially the relationship between the rank of matrix and the solution of linear equations.In this paper, it contains some important concepts related to the rank of matrix, the proof and some specific application.【Key Words】matrix rank of matrix linear equations the highest grade of the non-zero minor elementary transformation目录一、引言 (01)二、矩阵的秩的有关概念 (01)三、矩阵中的相关定理及命题 (02)四、矩阵的秩的两种计算方法及其优劣的比较 (03)(一)矩阵的秩两种计算方法 (03)(二)两种计算方法的优劣比较 (04)五、矩阵运算中矩阵的秩的关系 (05)六、矩阵秩的应用 (08)(一)矩阵的秩在线性方程组中的应用 (08)(二)矩阵的秩在解析几何中的应用 (10)(三)矩阵的秩在其它方面的应用 (10)参考文献 (12)致谢 (12)浅谈矩阵的秩及其应用学生姓名：李欢指导老师：张富荣一、引言矩阵理论，在线性代数中占有十分重要的地位。

互素多项式在矩阵秩中的应用

问题 "! 设 0 是< 阶方阵 # 是矩阵 0 的特征多项式或最小多项式 # 而6 $# 6" 6 6 C! @# !# R 是矩阵 0 的
: : : @ ! R 则所有的互不相同的特征值 # &! 6" 68 6 68 6 68 6 C! @" ! ! " $! R" #
@ : : : @A ! A$A R " R <$ L! 08 [" L! 08 [" L! 08 [" R 8@ <$ 6 6 6 $! @ ! R ! 问题 " 的证明可由定理 " 直接得到 $ 作为问题 " 的一个特殊情况 # 当R 有 &! 时 # 问题 $! 设 0 是< 阶方阵 # 是矩阵 0 的特征多项式或最小多项式 # 且 0 只有两个不同的特征 6" C!
!! 结果应用
根据上述定理 # 问题 @ 和 ! 就可以很方便地得到证明 $ 问题 @ 的证 ! 令 C! 则 C! # 互素# 且由 0! &0# 有 C! 由定 %" &%# %" &%8@# %" %" 0" 0" &## 5! 5! 5! 理 @ 即可得
L! 0" A L! 08[" & <$ 问题 ! 的证 ! 令 C! " # ! " # 则 ! " % &%A@ 5 % &%8@ C % 5! %" 0" 0" &## 5! 由定理 @ 即可得 L! 0A[" A L! 08[" & <$ 另外 # 应用上面定理还可以得到下面结论 %

互素多项式在矩阵秩中的应用

互素多项式在矩阵秩中的应用
蒋永泉
【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2004(022)003
【摘要】给出了互素多项式在矩阵秩讨论中的几个结果:1) 设
f(x),g(x)∈P[x],A∈Mn(P).若f(x),g(x)互素,且f(A)g(A)=0,则r(f(A))+r(g(A))=n.2) 设fi(x)∈P[x],i=1,2,...,m,A∈Mn(P).若f1(x),f2(x),...,fm(x)互素,且
f1(A)f2(A)...fm(A)=0, 则n≤r(f1(A))+r(f2(A))+...+r(fm(A))≤(m-1)n.3) 设
fi(x)∈P[x],i=1,2,...,m,A∈Mn(P),若f1(x),f2(x),...,fm(x)两两互素,且
fi(A)fj(A)=0,i≠j, i,j=1,2,...,m, 则r(f1(A))+r(f2(A))+...+r(fm(A))=n.
【总页数】4页(P71-74)
【作者】蒋永泉
【作者单位】徐州师范大学,数学系,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用 [J], 王廷明
2.互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用 [J], 邹晓光
3.广义矩阵多项式的秩等式及应用 [J], 黄爱萍;陈菁菁;陈梅香;杨忠鹏
4.矩阵多项式秩的和的恒等式及其应用 [J], 杨忠鹏;林国钦;陈梅香
5.ezout矩阵与多项式的互素 [J], 赵巧玲;秦建国
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矩阵秩的研究与应用

若，则。
定义一、定义二，这两个定义是等价的。它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。
关于矩阵秩的刻画方式很多，下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的一组结论．
命题1设为矩阵，则下面各结论等价：
1) ;
2) 的行向量组的秩等于 ;
3) 的列向量组的秩等于；
4) 的行空间的维数等于；
定理设，令，其中是矩阵，为维列向量，且，则
线性相关有非零解 .
线性无关只有零解 .
定理向量组与向量组能够互相线性表出，则称这两个向量组等价。其等价的充分必要条件是
其中和分别是向量组和所构成的矩阵.
例设有向量组
；
.
试问：当为何值时，向量组与等价？当为何值时，向量组与不等价？
，
其中是解集的极大无关组，即是方程组的基础解系.
方程组的通解为
，
其中为任意实数，是方程组的基础解系，是的某个解.
下面的例题就是对上述定理的一个应用，它总结了基础解系的求法，解的结构的求法，以及矩阵的秩在其中的作用.
例求解非齐次线性方程组
（2）
解法一对增广矩阵作初等变换
可见，故方程组（2）有无限多解，并有
例1求矩阵的秩其中；
解：法一（定义1）
有4个3阶子式，，，， .即它的所有3阶子式均为0.
我们再随便写几个它的2阶子式，，故的秩为2.
法二（定义2）
令，， .则 .
显然中两两不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，这还需要验证，
令 .
则带入数据，即有，解得，
即有，也就是能被线性表出。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。[1][2][3]

互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用

ｆ２（ｘ）， …，ｆｍ（ｘ）两两互素，且ｆ１（Ａ）ｆ２（Ａ） …ｆｍ（Ａ）＝０，则
１２
ｍｎ≤ｒ（ｆ１（Ａ））＋ｒ（ｆ２（Ａ））＋…＋ｒ（ｆｍ（Ａ））
≤（ｍ－１）ｎ．
我们可以进一步加强为：
命理４设ｆｉ（ｘ） ∈Ｐ［ｘ］，ｉ＝１，２…，ｍ，Ａ∈Ｐｎ×ｎ若ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， …，ｆｍ（ｘ）两两互素，且ｆ１（Ａ）ｆ２（Ａ） …ｆｍ（Ａ）＝０，则
而（ｆｋ（Ａ）ｆｋ＋１（Ａ））＝１，由定理得
ｒ（ｆｋ（Ａ）ｆｋ＋１（Ａ））＝ｒ（ｆｋ（Ａ））＋ｒ（ｆｋ＋１（Ａ））－ｎ
（８）
把（８）代入（７）可得
ｒ（ｆ１（Ａ））＋ｒ（ｆ２（Ａ））＋…＋ｒ（ｆｋ（Ａ））＋ｒ（ｆｋ＋１（Ａ））－ｎ＝（ｋ－１）ｎ，
第６卷第１期２００６年２月
金华职业技术学院学报
Ｖｏｌ．６Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２００６
互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用
邹晓光
（金华教育学院，浙江金华３２１０００）
摘要：本文给出了互素多项式在矩阵的秩讨论中的一个简单结果：定理：设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ） ∈Ｐ［ｘ］，Ａ是ｎ阶方阵，若（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，则ｎ＋ｒ［ｆ（Ａ）ｇ（Ａ）］＝ｒ（ｆ（Ａ））＋ｒ（ｇ（Ａ））．以及结果的一些简单应用，对文献［１］中的一些结论进一步讨论。
（ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））＝１，则

矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用

…，其中ε ε ε １，２，ｍ为全部的ｍ次单位根．进一步，可以给出矩阵可对角化的判定条件以及线性空间准素分解定理的简捷证明．定理５设Ａ为复数域上的ｎ阶方阵， λ λ １，２， …，则Ａ在复数域上可 λ ｔ是Ａ的全部互异特征根．以对角化的充要条件是
ｉ＝１
）从而（式成立．７
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用第６期王廷明：
ｔ
３
２矩阵多项式秩恒等式的应用
上述结果在相关矩阵多项式秩问题研究中有着较为广泛的应用．对复数域上的ｎ阶方阵Ａ，若存，在正整数ｍ２，使Ａｍ＝Ａ（则称Ａ为Ａｍ＝Ｉｎ）利用定理１可以简捷得ｍ幂等矩阵（ｍ幂幺矩阵）．］到ｍ幂等矩阵和文献［关于ｍ幂幺矩阵的下列充９要条件．定理３Ａ为复数域上的ｎ阶方阵．则Ａ为ｍ幂等矩阵的充要条件是
ｊ＝１ｉｊ≠
ｕ（Ａ） ∑［ ∏ｆ
ｊ＝１ｉｊ≠
（Ａ）Ｘｋ］＝０
即
ｔ
）∩ Ｎ（Ａ）ｆ（ …，ｉ＝１，２，ｔ
ｔ
ｍｉｉ
ｊ＝１ｉｊ≠
ｆ ∑Ｎ（
ｍｊｊ
（）＝｛｝Ａ）０
…，，， …，２，ｔ．则当ｑ λ） λ） λ）两两互素＝１，ｑｑ１（２（ｔ（且ｄ（有Ａ）可逆时，
定理2设a为复数域上的n阶方阵f1的最小公倍式和最大公因式分别为c两两互素故由定理1可得rank矩阵多项式秩恒等式的应用上述结果在相关矩阵多项式秩问题研究中有着较为广泛的应用
第２７卷第６期２０１１年１２月

干婷婷08025049多项式的不可约与互素及应用

本科毕业论文（设计）题目多项式的不可约与互素及应用院（系）巢湖学院数学系专业数学与应用数学学生姓名干婷婷学号 08025049指导教师贾正华职称副教授论文字数 7985完成日期:2012年6月2日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本人签名：日期：巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。

学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。

保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。

本人签名：日期：导师签名：日期：巢湖学院2012届本科毕业论文（设计）多项式的不可约与互素及应用摘要多项式的互素与不可约的这部分知识是息息相关的，多项式的不可约与多项式的互素概念都围绕着因式的存在与否而进行定义的，而笔者亦从这个入手来分析两者之间的关联。

众所周知，多项式理论是高等代数中的重要组成部分，而多项式的不可约与互素又是多项式理论的两个重要概念，对后继知识的学习有重要影响，在众多的高等代数书籍中对两个一元二次的互素都有较全面的论述，笔者尝试先分别陈述多项式的不可约与互素相关性质与概念，再讨论不可约多项式与不可约多项式之间的互素关系和可约多项式与不可约多项式之间的互素关系，再进一步去表述出多项式的不可约与互素的应用，最后，再将两者联系在一起应用，以期对多项式的互素和多项式的不可约有较全面的把握和进一步的理解。

关于矩阵的秩的一些理论及应用

b1 b2 b
c1 c2 c
d1 d2 d
则有如下结论
（1）直线和平面相交 r ( A ) （2）直线和平面平行 r ( A ) （3）直线在平面上
r ( A) 3
2, r ( A ) 3
r ( A ) r ( A ) 2
够顺利完成，要特别感谢我的导师高学亮老师，感谢各位系里老师的关心和帮助。
最后向所有关心和帮助过我的人表示我最真心的
感谢。
k 1 a1 k 2 a 2 ... k n a n 0
是否存在非
零解，又相当于判断其对应的系数矩阵 A 的秩是小于还
线性相关
R A n来自线性无关R A n
2 矩阵的秩在解方程组问题时的应用齐次方程组解的判定
齐次方程组有非零解的充要条件是他的系数矩阵的秩小于 n 非齐次线性方程组有解的充要条件是若
1
, a 2 , a 3 , ..., a n
。
可以看出线性空间的维数和他的一组基所含向量的个数
是相等的，这样就把解决维数问题简化到了讨论向量的个数，也就是讨论向量组的秩。
小结
矩阵的秩是高等代数中很重要的一个内容，矩阵秩的应用也是非常广泛的，并且解决问题时
也简单明了，比如在判断向量组线性相关性的时
候，把复杂的表示问题，等价成求矩阵的秩，一眼就能看出我们想要的结果。矩阵的秩还在一些
几何问题上得到巧妙的应用，将复杂的图形问题
变成了代数问题，只简单的求出方程组的解就可以判断直线平面的位置关系。
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他
们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能

矩阵的秩在现实中的应用

矩阵的秩的应用(一)矩阵的秩在判定向量组的线性相关性方面的应用矩阵的秩对研究向量组间是否线性相关有重要的意义, 咱们可以通过把向量组转换成矩阵的形式，通过判断矩阵的秩的情况来间接判定向量组是相关还是无关的。

那么我们首先从向量组之间的关系着手。

1.向量组间的关系 (1).定义[4]：若向量组A 中每个向量都可以由向量组B 线性表示，则称向量组A 组能由向量组B 线性表出。

两个向量组若能互相线性表出，则称这两个向量组等价。

向量组中任何一个最大的线性无关组所含有的向量数称为这个向量组的秩。

(2).有关定理①[4]若向量组A 能由向量组B 线性表示，则知秩A ≤秩B ； ②[4]等价的向量组必等秩,但是其逆不真；③[4]矩阵中行向量组的秩和列向量组的秩都等于其非零子式的最高阶数,所以矩阵的秩既等于其行秩(即其行向量组的秩),又等于其列秩(即其列向量组的秩)。

④[4]一个向量组中，其任何两个极大线性无关组都是等价的。

2.判定向量组是否线性相关利用矩阵的秩来判断向量组的线性相关性,通常用来判断有m 个n 维向量的向量组。

令12,(,,)m A =∂∂∂，当()R A m =，此向量组1,2,,m ∂∂∂是线性无关的，当()R A m <，此向量组是线性相关的。

例: 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T Tt ∂=∂=∂=。

（1）问t 的值取多少时，该向量组线性相关？（2）问t 的值取多少时，该向量组线性无关？解: 1,2,3111111()12301213021A t t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=∂∂∂=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭从最后一个矩阵可知：（1）t ≠5时，()3R A =,向量组线性无关；（2）t=5时，()2R A =,向量组线性相关。

3.根据矩阵的秩判断向量组线性相关性利用矩阵的秩证明向量组的线性相关性，就是把向量组中每一个向量用矩阵形式表示出来，根据矩阵秩的性质，分析向量组间相关性。

多个多项式互素

多个多项式互素多项式是数学中的重要概念之一，也是实际问题中常见的数学模型，如多项式拟合、最小二乘法等等。

在研究多项式时，有一个重要的概念——多项式的互素。

本文将介绍多个多项式互素的情况下的应用及其相关理论。

一、多项式的互素概念在初中数学中，我们已经学过了整数间的互质关系，即若两个整数的最大公约数为1，则它们互质。

同理，两个多项式如果它们的最大公因式为1，则称它们互素。

例如，$2x^2+1$ 和 $3x+1$ 就是互素的，因为它们的最大公因式是1.二、多项式互素的性质1、性质1：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的多项式$k(x)$，$f(x)$和$g(x)$的积$f(x)g(x)$和$k(x)f(x)+h(x)g(x)$也互素。

2、性质2：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的实数$a$和$b$，多项式$af(x)+bg(x)$也是互素的。

3、性质3：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的实数$a$和$b$，多项式$af(x)$和$bg(x)$也互素。

三、多个多项式互素的情况及应用现在考虑多个多项式的情况。

如果有 $n$ 个多项式$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$，它们两两互素，即对于任意的$i,j (i\ne j)$，有$gcd(f_i(x),f_j(x))=1$，则称这$n$个多项式互素。

这个概念在实际问题中也有应用，例如公共钥密码学中常用到的RSA算法中就涉及了多项式互素的问题。

我们可以使用扩展欧几里得算法求出$n$个多项式的最大公因式。

四、多项式互素的判定1、Eisenstein准则Eisenstein准则是判定多项式是否可用某个质数的多项式系数除以整个多项式后的余数判定可约与否的方法，其内容如下：设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$（$a_n \ne 0,0\le k<n$），若存在质数$p$，满足：i) $p$不能整除$a_n$，ii) $p|a_k(k\in\{0,1,\cdots,n-1\},k\ne n)$，iii) $p^2\not\ |\ a_0$，则$f(x)$不可约，否则$f(x)$可约。

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