上海市新云台中学九年级数学校本作业—24.6实数与向量相乘(2)A
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。
实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。
2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。
2.实数与向量相乘的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。
例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。
24.6(1)实数与向量相乘wjy
2
5 D EF AD 4
F
3
BC与AD方向相同
3 BC AD 2 C 5 FE AD 4
FE与AD方向相反
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向量．
（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF. 1 A 解: AB AD DB m a 2 1 CA CD DA a m 2
a
5 例1. 已知非零向量a，求作： (1) a ，(2) 3 b． 2 b a 5 (3) a 3 b 2
思考：
| a |= 3， | b |= 4，若c = 2a - 3b，则| c | 的取值范围是 _____
例2.如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各 边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a， BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出 E 图中与OE相等的向量． A
复习提问：
1、什么叫向量？一般用什么表示？ 既有大小又有方向的量叫向 量，一般用有向线段表示. 2、什么叫平行向量？ 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
3、什么叫相等向量？ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
一、向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要 把第二个向量与第一个向量首尾相接， 那么，以第一个向量的起点为起点，第 二个向量的终点为终点，所得的向量即 是这两个向量的和向量．
A
D
B
E
C
练习.如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，
4 DE∥BC, ， S四边形BCED 5 S ADE
试用向量CB表示向量DE．
A
解:
SADE 4 S BCED 5 SADE 4 SABC 9
《24.6实数与向量相乘》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业设计的目标是通过实践练习，使学生掌握实数与向量相乘的基本法则和计算方法，能准确应用相关知识点解决实际问题。
通过反复的练习，巩固学生对于向量基本概念的理解，培养其运用数学知识和技能的能力。
二、作业内容本节课程的主要内容是实数与向量的乘法运算。
在掌握了向量的基本概念后，学生需通过以下步骤完成作业内容：1. 复习实数与向量相乘的定义，理解向量乘法的几何意义和代数表达。
2. 练习简单的实数与向量相乘的算式，如对向量进行数乘操作，明确乘法结果在几何上的表现。
3. 掌握实数与向量相乘的运算法则，包括分配律和结合律等，并能够熟练运用这些法则进行计算。
4. 完成一定量的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，涵盖不同难度的题目，以检验学生对实数与向量相乘的掌握情况。
5. 结合实际生活问题，设计一些应用题，如物理中的力与位移的乘法等，让学生理解数学知识的实际应用。
三、作业要求为确保学生能够准确完成作业，提出以下要求：1. 仔细阅读题目，理解题目要求及所给条件。
2. 运算过程中注意运算法则的运用，尤其是实数与向量的分配律和结合律。
3. 结果必须用准确的数学语言和符号表达，书写要规范。
4. 对于应用题，需结合实际情境分析并作答，不能只给出计算结果。
5. 独立完成作业，严禁抄袭他人答案。
四、作业评价评价学生作业时，主要从以下几个方面进行：1. 正确性：答案是否准确无误。
2. 规范性：书写是否规范，符号使用是否正确。
3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，能否正确运用所学知识。
4. 创新性：是否有独特的解题方法或思路。
五、作业反馈作业完成后，教师需进行批改和反馈：1. 对学生的作业进行详细批改，标出错误之处并给出正确答案。
2. 对学生的解题思路和答案进行点评，指出其优点和不足。
3. 根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和重点。
4. 对学生的疑问和困惑进行解答和指导。
《24.6实数与向量相乘》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对实数与向量相乘概念的理解，熟练掌握向量与实数相乘的运算法则，并能解决简单的实际问题。
通过本作业的练习，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，同时提高他们的计算能力和数学逻辑思维能力。
二、作业内容本课时作业内容主要包括实数与向量相乘的基本概念、运算法则及简单应用。
具体包括：1. 理解实数与向量相乘的定义，掌握乘法运算的规则。
2. 掌握实数与向量相乘的几何意义，理解向量长度和方向的变化。
3. 运用实数与向量相乘的法则，解决有关向量模长、方向和坐标的简单计算问题。
4. 通过实际问题，让学生学会用实数与向量相乘的知识解决实际问题，如力的大小与方向等。
三、作业要求1. 要求学生熟练掌握实数与向量相乘的概念和运算法则，能够准确地进行计算。
2. 作业中应包含一定数量的基础练习题和拓展题，难度逐步提升，以适应不同层次的学生。
3. 学生在完成作业时，应注重理解题意，明确解题思路，规范书写过程。
4. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
5. 作业中应包含适量的实际问题，以培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、书写的规范性以及是否独立完成等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，应注重对学生的解题过程进行点评，指出学生的优点和不足，并给出改进建议。
同时，可采取互评、自评等方式，让学生参与评价过程，提高他们的自我反思和评价能力。
3. 评价反馈：教师应及时将评价结果反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，同时鼓励学生在下次作业中改正错误，提高正确率。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的共性问题，教师应在课堂上进行讲解和示范，帮助学生掌握正确的解题方法。
2. 对于个别学生的问题，教师可通过个别辅导或课后辅导的方式，帮助学生解决问题，提高学习效果。
3. 教师应根据学生的作业情况，及时调整教学计划和方法，以满足学生的学习需求，提高教学质量。
沪教版数学九年级上第二十四章相似三角形24.6实数与向量相乘第一课时练习一和参考答案
数学九年级上 第二十四章 相似三角形24.6 实数与向量相乘 第一课时（1）姓名：一、选择题1、 下列式子中，错误的是 （ ）A. a a a 2=+B. ()0=-+a aC.()b a b a --=+- D. a b b a -=- 2、 向量()()++++化简后的结果等于 ( )A. BCB. ABC. ACD. AM 3、 点C 在线段AB 上，且32=，若m =，则m 的值等于 （ ） A.2 B.23 C. 2- D. 23- 4、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是 ( )（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等A.0个B.1 个C.2个D.3个 5、 已知一个单位向量e ，设b a 、是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）A.=B. =C.=D.=6. 如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是 （ ）A. 0=+BC ACB. 0=-BC ACC. 0=+BC ACD. 0=-BC AC二、填空题7、设k 是一个实数，是向量，那么k 与相乘所得的积是一个 ,记作 ； 8、若a 与b 是互为相反向量，则若a ＋b = ；9、已知非零向量若OA =b ，与b 的方向相同，它的长度是|b |的5倍，则= ； 10、如右图，AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，点G 是ABC ∆的 重心，AD =， 则AG = , GD = ;11、已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ， （1）则与向量相等的向量是 ； （2）与向量相反的向量是 ；ABCDG ·ADBC EF （3）与向量平行的向量是 ；（4）若=，则= , = ; （5）若b AD =，a AC =,则CB = , DO =，= ;12、已知：如图，在△ABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=3∶2∶3,=,=则= ，= , = ,= ，= ;三、解答题13. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=7，设a=，能将向量,用a 表示出来吗？请表示出来。
沪教版(上海)九年级上册数学 24.6 实数与向量相乘 课件(共17张ppt)
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若a 0,当 1时，沿 a的方 a 向放大了 倍.当〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈1 〈0时， a沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
导入新课
a
3a = a +
a
+
a
A
B
C
D
a
-
3a
＝(-
a
)
+ (-
a
) + (-
a)
A
B
C
D
? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、b,
、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
(1a 2b)=1a 2b
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与 a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a
(2).下列四个说法正确的个数有( C ).
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
24.6(2)实数与向量相乘(二)
F
E
G
D
C
2.O为△ABC内一点，点D,E分别在边AB和AC上，且 AD 1 AE 1 , , 若OB=a,OC=b,试用a，b表示向 AB 4 EC 3 A 量DE. AD 1 AE 1 AD AE ， ， = D E AB 4 EC 3 AB AC ∴DE∥BC DE AD 1 1 O = 即DE BC BC AB 4 4 B 1 1 1 C BC OC OB b a DE BC b a 又 DE与BC方向相同 4 4 4
F A
E
G
B
D
C
例4. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向 量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF. 解:
CF CA AF 1 1 1 a m (m a ) 2 2 2 1 3 m a 2 4
实数与向量相乘对于实数加法满足分配律 设非零实数m、n，向量a ≠0 （m+n)a=ma+na
例3. 如图：已知非零向量a,b,
等式3(a+b)=3a+3b成立吗？试作图验证所得的结论；
a b
OA 3(a b) OA 3a 3b 3(a b) 3a 3b
M N
F A
1.实数与向量相乘对于实数加法的分配律；
2.实数与向量相乘对于实数加法的结合律 3.含向量加法，减法，数与向量相乘等运算 与多项式的运算的异同点；
练习. 如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，
且BC = a，AD = m，用a、m表示下列向 量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.
沪教版九年级第一学期24.6.1 实数和向量相乘 第一课时同步练习
数学九年级上 第二十四章 相似三角形24.6 实数与向量相乘 第一课时（1）姓名：一、选择题1、 下列式子中，错误的是 （ ）A. a a a 2=+B. ()=-+ C.()--=+- D. a b b a -=-2、 向量()()++++化简后的结果等于 ( )A. BCB. ABC. ACD. 3、 点C 在线段AB 上，且32=，若m =，则m 的值等于 （ ） A.2 B.23 C. 2- D. 23- 4、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是 ( )（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个5、 已知一个单位向量，设是非零向量，则下列等式中正确的是 （ ）=B. =C.=D.=6. 如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是 （ ）A. 0=+B. 0=-C. 0=+BC ACD. 0=-BC AC二、填空题7、设k 是一个实数，b 是向量，那么k 与b 相乘所得的积是一个 ,记作 ；8、若a 与b 是互为相反向量，则若a ＋b = ；9、已知非零向量若OA =，与的方向相同，它的长度是||的5倍，则= ；10、如图，AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，点G 是ABC ∆的重心，d =， 则= , = ;11、已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，（1）则与向量AB 相等的向量是 ；（2）与向量AB 相反的向量是 ；（3）与向量平行的向量是 ；（4）若=，则= , = ;（5）若=，=,则= , = ，= ;第10题 第11题 第12题 12、已知：如图，在△ABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=3∶2∶3,=,=则= ，DF = , = ,= ，GF = ;三、解答题13. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，AD=3，BC=7，设a=，能将向量EF BC ,用表示出来吗？请表示出来。
九年级数学上册246实数与向量相乘教案沪教版五四制
实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。
2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。
精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、下列语句中，错误的是（ ）A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》这一节主要介绍了实数与向量相乘的概念和性质。
学生需要掌握实数与向量相乘的定义，理解实数与向量相乘的几何意义，并能熟练运用实数与向量相乘解决相关问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了实数和向量的相关知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于实数与向量相乘的概念和性质的理解还需要进一步引导和深化。
三. 教学目标1.理解实数与向量相乘的定义和性质。
2.掌握实数与向量相乘的几何意义。
3.能够运用实数与向量相乘解决相关问题。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的几何意义。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和性质，激发学生的兴趣和积极性。
同时，运用案例分析和问题解决的方法，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的几何意义。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备多媒体教学材料，如PPT等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过向学生提问：“实数与向量有什么关系？”引导学生回顾已学的实数和向量的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）向学生介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过示例和讲解，让学生理解实数与向量相乘的几何意义。
3.操练（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用实数与向量相乘的知识，巩固所学的内容。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固实数与向量相乘的概念和性质。
5.拓展（5分钟）引导学生思考实数与向量相乘的应用，如在几何图形中的运用等。
6.小结（5分钟）让学生总结实数与向量相乘的概念和性质，以及解题方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业题，让学生巩固所学的内容。
8.板书（5分钟）板书实数与向量相乘的定义和性质，以及解题方法。
本节课通过问题驱动法和案例分析法，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和性质。
沪教版(上海)九年级上学期24.6第2课时实数与向量相乘(2)
沪教版（上海）九年级上学期24.6第2课时实数与向量相乘（2）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．实数与向量相乘满足下列运算律：设m 、n 为实数，非零向量a 、b ，则 （1）()m na =______．（2）()m n a +=______．（3）()m a b +=______．2．计算()23a ⋅=______．3．计算()523a b +=______．4．计算()()11284232a b a b ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦______． 5．如果()322a b a b +=-，那么用a 表示b 为______．6．计算：()2a b 3b -+= ．二、单选题7．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 8．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-③若ma mb =（m 是实数）时，则有a b =④若ma na =（m 、n 是实数，0a ≠），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）．A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ三、解答题10．化简： （1）()()AB CD BC DE +++； （2）()()AB CD BD AC -+-． 11．若向量a 、b 、x 满足()()2320x a x b ---=，求向量x ．（结果用a 、b 表示）． 12．若()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，其中a 、b 、c 为已知向量，求未知向量x ．13．作图题：（1）已知向量a 、b ，求作向()2a b --．（2）已知两个不平行的向量a ，b ，求作向量()132a b b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．14．如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =，AD b =；（1）求向量MN （用向量a ，b 表示）； （2）在图中求作向量MN 在AB 、AD 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 15．a ，b 是已知向量，且a ，b 不平行，c 是未知向量，且1230a b c -+=，则表1 3a、4b、c的有向线段能构成三角形吗？示参考答案1．mna ma na + ma mb +【解析】【分析】根据实数与向量相乘法则依次计算即可.【详解】解：（1）原式=mna ；（2）原式=ma na +；（3）原式=ma mb +.【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键. 2．6a【分析】根据实数与向量相乘法则直接计算即可.【详解】解：原式=6a ，故答案为6a .【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键. 3．1015a b +【分析】根据实数与向量相乘法则直接计算即可.【详解】解：原式=5253a b ⨯+⨯=1015a b +，故答案为1015a b +.【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键. 4．2b a -根据实数与向量相乘法则依次计算即可.【详解】解：原式=()144+23a b a b +- =()1363a b -+ =2b a -，故答案为2b a -.【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键. 5．14b a =-【分析】根据实数与向量相乘法则化简即可.【详解】解：3222a b a b +=- 2+223b b a a =-4b a =-14b a =- 故答案为14b a =-. 【点睛】本题考查了平面向量是有关计算，平面向量的加法计算满足结合律和交换律． 6．2a b +【解析】试题分析：()2a b 3b 2a 2b 3b 2a b -+=-+=+．7．D【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键. 8．C【分析】根据平面向量的性质依次判断即可.【详解】①对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-，正确；②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-，正确；③若ma mb =（m 是实数）时，则有a b =，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =（m 、n 是实数，0a ≠），则有m n =，正确；故选C.【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键． 9．B【分析】利用向量的加减法的法则化简即可.【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++=Q O ，故选B.本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大. 10．（1）AE ;（2）0【分析】（1）先去括号，再根据向量的加法法则计算即可；（2）先去括号，再根据向量的加减法法则计算即可.【详解】解：（1）原式=AB CD BC DE +++=AB BC CD DE +++=AE ；（2）原式=AB CD BD AC -+-=()()AB BD AC CD +-+=AD AD -=0.【点睛】本题主要考查向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题． 11．62x b a =-【分析】数乘向量满足结合律、分配律，计算求出x 即可．【详解】解：223+60x a x b --= 2+60x a b --=26x a b -=-62x b a =-【点睛】本题考查了平面向量的计算，熟练掌握平面向量的计算法则是解决本题的关键.12．4112177x a b c =-+ 【分析】数乘向量满足结合律、分配律，计算求出x 即可．【详解】解：2113203222x a b c x b ---++= 721102322x a b c -+-= 72112322x a b c =-+ 4112177x a b c =-+ 【点睛】本题考查了平面向量的计算，熟练掌握平面向量的计算法则是解决本题的关键. 13．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案；（2）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案.【详解】解：（1）原式=22b a -，如图，2AB b =，2BC a =-，22AC AB BC b a =+=-，则AC 即为所求；（2）原式=132a b b a +--， =122b a -， 如图，12DE b =，2EF a =-，1DE EF 22DF b a =+=-，则DF 即为所求.【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算及三角形法则解题的关键．14．（1）1122MN a b=-;（2）见解析【分析】（1）连接BD，根据点M、N是边DC、BC的中点得出MN∥DB，12MN DB=，在平行四边形ABCD中表示出DB，即可求出MN；（2）先平移MN，使点M和点A重合，然后利用平行四边形法则，即可求得答案. 【详解】解：（1）连接BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DM=CM，BN=CN，∵点M、N是边DC、BC的中点，∴MN∥DB，12MN DB=，∴DB DA AB b a a b=+=-+=-，∴111222 MN DB a b==-；（2）先平移MN，使点M和点A重合，然后利用平行四边形法则作图：∴Q AP A 、分别是向量MN 在AB 、AD 方向上的分向量．【点睛】本题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．15．能构成三角形【分析】先化简1230a b c -+=，用a ，b 表示出c ，然后把13a 、4b -、c 三个向量相加，判断是否能等于0，即可说明.【详解】解：312c b a =- 143c b a =-， 则1111144444033333a b c a b b a a b b a ⎛⎫-+=-+-=-+-= ⎪⎝⎭，则表示13a 、4b -、c 的有向线段能构成三角形.【点睛】本题考查了平面向量的知识，熟练掌握平面向量的知识及三角形法则是解决本题的关键.。
上海教育版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》练习题
24.6 实数与向量相乘一、课本巩固练习1、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =u u u r r ， AD b =u u u r r 。
用a r 、b r 表示下列向量：（1）AB u u u r ；（2）CA u u u r ；（3）BE u u u r ；（4）CF uuu r 。
2、如图，在△ABC 中，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC uuu r 和11B C u u u u r ，并判断BC uuu r 与11B C u u u u r 是否平行。
3、设AM 是△ABC 中线，求证：1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r .4、 已知非零向量a r ， 求作：2a r ；2a -r ；12a r a ρ5、利用向量证明三角形的中位线定理二、基础过关：一、填空题1、设k 是实数，a r 是向量，当0k ≠且0a ≠r r 时，ka r 的长度ka =r ；当0k >时，ka r 与a r 方向；当0k <时ka r 与a r 方向，如果0k =或0a =r r ，那么ka =r __ 。
2、默写平行向量定理：3、向量a r 与向量3a r 的关系是（ ）4、计算：(5)3a -⨯=r （ ）； 2()3()a b a b b +---=r r r r r （ ）5、已知m 、n 为实数，那么()()()()m n a b m n a b ++---=r r r r （ ）6、若2a =r ，3b =r ，则23d a b =-r r 的取值范围是 （ ）7．用单位向量e r 表示向量a r ：若a r 与e r 的方向相反，且长度为5，则a =r （ ）8．已知向量关系式32()0a b x --=r r r ，用向量a r 、b r 表示向量x r ，则x =r （ ）二．选择题1、下列句子中，正确的是（ ）A ．向量AB u u u r 与向量BA -u u u r 方向相反，大小相等；B ．向量AB u u u r 与向量23BA -u u u r 方向相同，大小不等；C ．向量AB u u u r 与向量2AB u u u r 表示同一个向量；D ．向量AB u u u r 与向量BA -u u u r 不共线．2、已知5a =r ，3b =r ，且b r 与a r 反向，下列用向量b r 表示向量a r 的式子中正确的是（ ）A ．53a b =r r ；B ．53a b =-r r ；C ．35a b =r r ；D ．35a b =-r r 3、下列语句中，错误的是（ ）A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a r 、b r 、c r 是非零向量，如果a r ∥b r ，b r ∥c r ，那么a r ∥c r ；C ．已知a r 、b r 、c r 是非零向量，如果2a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，那么a r 与b r 是平行向量；D ．对于非零向量a r ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a r ，由实数与向量的乘积，可知015a a =r r ．三、已知向量AB a =u u u r r ，求作：3MN a =-u u u u r r ，53PQ a =u u u r r 。
上海初中数学九年级---24.6(2)实数与向量相乘
24.6 实数与向量相乘（2）一、填空题：1. 若a →与b →方向相同，那么a →＋b →的方向和它们的方向__________．2. m ，n 是非零实数，a →是非零向量，则m (n a →)＝__________，(m ＋n )a →＝__________， m (a →＋b →)＝________.3. 化简：3(a →－b →)－2(a →＋b →)＝__________.4. AB →－AC →＝__________，AB →＋BC →＋CD →＝__________.5. 已知AB →＝－4a →＋3b →，BC →＝3a →－2b →，OC →与AC →反向，且||OC →＝34||AC →，用a →、b →表示OC →，则OC →＝__________.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的三等分点，设AB →＝a →，AD →＝b →，若用a →、b →表示AF →、BE →，则AF →＝__________，BE →＝__________.(第6题图)二、 选择题:7. 已知a →＝2m n -u r r ，b →＝1136n m -r u r ，那么2a →＋3b →等于( ) A.236m n -u r r B. 236m u r C.72m n -u r r D. 72m u r 8. 下列命题(1)若a b =r r ，则a →＝b →； (2)若a →、b →为两个非零向量，则+a b r r ≥a b -r r ； (3)若a →、b →为两个非零向量，则+a b r r <a b -r r ； (4)若a →、b →为两个不平行的非零向量， 则a b +r r >+a b r r 中，真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、 简答题：9．已知不平行的两个向量a →、b →，求作向量:(1)－2(a →－b →) (2)－12a →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a →－34b → ＋b →10. 化简: （1） 5（a r -2b r ） （2）（a r -2b r ）-12a r（3）（a r +2b r -c r ）-（2a r -3c r ）(4) 23(2a →＋3b →－c r )＋34(2a →＋4b →＋3c r )－45b →.11. 已知向量a →、b →、x r 满足关系：23a →＋12(4b →－x r )＝0r ，请用a →、b →表示向量x r .12. 如图，已知：点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ∶BD ＝1∶2，AB →＝a →，AC →＝b →，用a →、b →表示CB →，DE →.24.6 实数与向量相乘（2）1. 相同2. (mn )a →；ma →＋na →；ma →＋mb →3. a →－5b →4. CB →，AD →5. 34a →－34b →6. 23(a →＋b →)；13b →－23a → 7. C 8. A 9. 略 10.（1）510ab -r r ；(2)122a b -r r ；(3)22a bc -++r r r ；(4)1721196512a b c ++r r r 11. x →＝43a →＋4b → 12. CB →＝a →－b →，DE →＝－13a →＋13b →。
上海初中数学九年级---24.6(1)实数与向量相乘
10.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，设 ， ,试用向量 或 表示 、 。
11.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD， ＝ ， ＝ ，请用向量 ， 表示向量 .
12.如图，已知平行四边形ABCD中，点E在BC上，BE＝2EC，设 ＝ ，用 表示 和 。
第6题图
二、选择题：
7.下列等式中成立的是( )
A. 0· ＝0B.a· ＝0C. 0· ＝ D. 0＋ ＝
8.下列命题中①若 ＝－ 则 ＝ ；②若 = ，则 与 所在直线重合；③若 ＝ ，则 = 或 =- ；④若 ＝0，则 ＝0，真命题的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
三、简答题：
24.6实数与向量相乘（1）
一、填空题：
1. 设k是一个实数， 是向量，那么k与 相乘所得的积是一个，记作。
2.当k>0时，k 方向与 方向是方向，当k<0时,k 方向与 方向是方向。
3.如果k=0，或 = ，那么k =。
4.方向与 方向相同，且长度为 的6倍，则这个向量是__________．
5.已知平行四边形ABCD边形ABCD中，G、H分别是AB、CD上的中点，EF∥AB，AE∶ED＝1∶2， ＝ ， ＝ :
(1)用 ， 表示： ＝__________， ＝__________， ＝__________.
(2)图中与 相等的向量是__________，图中长度是 的两倍的向量是________．
24.6 实数与向量相乘（1）
1.向量； 2.相同；相反3. 4. 5. 6.(1) ； ； (2) ， ； ， ， ， ， ， 7.C8.B9.略10. ＝ ， ＝
九年级数学上册 246 实数与向量相乘教案 沪教版五四制 教案
实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。
如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。
2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则 （1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+； （3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。
3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。
4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设e 为单位向量，则1e =。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。
由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a=。
精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。
用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。
例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，AC b =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。
上海初中数学九年级---24.6(3)实数与向量相乘
24.6 实数与向量相乘（3）一、填空题：1. 已知：a r 是一个非零向量，且b r =m a r ，那么向量a r 与b r 的位置关系是 向或 向，记作b r a r 。
（用“∥”或者“不平行”）2. 如图，在∆ABC 中，AB u u u v 、AC uuu v 、BC uuu v 之间关系：AB u u u v +BC uuu v = ，BC uuu v =AC uuu v - 3. 如果e r 为单位向量，a r 与e r 方向相同，且长度为2，则a r ＝_________.4. 单位向量有__________个，不同的单位向量是指它们的__________不同．5. 已知322a b c -=r r r ，=2+a b c r r r ，则a r 与b r 的位置关系是__________．6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝5，EF是中位线，设AD →＝a r ，则FE →＝__________a r 。
二、选择题：7.若a r 与b r 都是单位向量，则下列结论中正确的是( )A.-=0a b r r rB. +=2a b r rC. a b +r r ＝2D. +=2a b r r r三、简答题：8. 设向量23a b c =-r r r ，43b ac =-r r r ，则向量a b r r 与是否平行？若平行，则它们的方向是同向还是反向？9． 如图，已知：梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，AE ＝2BE ，AD ＝2，BC ＝5，设AD →＝a r ，试用a r 表示EF →，CB →.B CAF E B 10. 用向量方法证明“三角形中位线定理”，已知：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC的中点．求证：DE ∥BC 且DE ＝12BC .11. 如图已知，DE ∥AC ，DF ∥AB ，BD ：DC=2：5，设AB →＝a →，=BD b u u u r r 。
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24.6实数与向量相乘（2） 班级 姓名 评价
一、课堂检测
*1、下列式子中，错误．．
的是………………………………………………（ ）． （A ）2a a a +=；（B ）()0a a +-=；（C ）()a b a b -+=--； （D ）a b b a -=-． *2、下列各式中错误的是（ ）．
（A ）022=-a a ; （B ）a a 933=⨯;（C ）a a a 422=+; （D ）b a b a 33)(3+=+. *3、计算：=--a b a 2)(3 ;
*4、计算：12)()2
a b a b +--（＝ ； 二、检测点
1、实数与向量相乘的规律；2平行向量的加减法；3、实数与向量相乘作图；4、实数与向量相乘应用.
三、课外作业
*5、;=++CD BC AB
*6、__;__________214=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+b a *7、计算：3(24)5()a b a b --+= ．
*8、()()
________;=+---+c b a c b a *9、下列式子中，正确的是（ ）
A ．00a += ；
B ．()a b a b --=-- ；
C ．3(2)36a b a b +=+ ；
D ．00a =． *10、已知点C 是线段AB 的中点，如果设a AB =，那么下列结论中，正确的是（ ）．
（A ）a AC 21=；（B ）a BC 2
1= ； （C ）BC AC =； （D ）0=+BC AC ． **11、计算下列各式：
（1）(23)2(32)a b c a b c +---+ （2）)6(3
1)32(a b b a --
+
（3）11(22)(23)32a b c a b c b +-++-- （4）)63(3
1)32(c a b c b a +--+-
**12、试用向量a 、b 表示下列各式中的x
（1）0)(2=-+x b a （2）34(2)2a b x x +-=
**13、如图，已知两个不平行的向量a 、b ．先化简，再求作：)22
3()27(b a b a +-+． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
**14、已知：如图，两个不平行的向量a 和b ． 先化简，再求作：)2
32()213(b a b a --+． （不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
b a
b a （第20题图）。