高一数学三角函数基础题(6) 同角函数的基本关系式

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5同角三角函数的基本关系式

变形1 :已知sin 2cos 0, 求 sin , cos的值. 变形2 :已知 sin cos 3, 求 sin , cos的值.
sin cos
解题技巧 : 把角看成锐角,利用直角三角形中边的关系求解，但最后结果还要根据角所在的象限确定符号。
例3.已知 tan 2，求下列各式的值:
(3)可以实现同角不同名三角函数之间的转化.
知其一, 可以求其它.
例1.已知sin 3 , 且是第三象限角,求 cos, tan的值 .
5 变题1 :已知sin 3 , 求 cos , tan的值 .
5
变题2 : 若sin m (| m | 1). 求 cos和tan的值.
例2. 已知tan 2, 求sin与cos的值 .
为sin和 cos，且 (0,2 ).
(1)求m的值； ( 2)求方程的两根及此时的值.
3
练习: 2
3 ,1 22
或
63
1.已知sin cos 2,求下列各式的值：
(1)sin3 cos3 ；2 (2)sin4 cos4 ；1 (3)sin cos .
由三角函数的定义或三角函数线得：同角三角函数的基本关系式：
三角
①平方关系：sin2 cos2 1
恒
等式
②商数关系：tan sin ( k , k Z )
cos
2
注意:(1)关系式是对于同角而言的.
(2“) sin2 ”读作“sin的平方”,不能将sin2 写成sin 2 .
(1) 4sin 2cos 3cos 3sin
2 3
2sin2 3cos 2 (2) 4sin2 9cos 2
5 7
(3) 1 sin2 2 cos2 sin cos 2

同角三角函数的基本关系式_基础

同角三角函数基本关系【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sincos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。

【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．若4sin 5α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。

【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。

在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。

举一反三：【变式1】已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值。

类型二：利用同角关系求值例2．已知：tan cot 2,θθ+=求：（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值；（3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值【变式1】已知sin cos αα-=（1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。

例3．已知：1tan 2θ=-，求：（1）sin cos sin 3cos θθθθ+-；（2）2212sin cos sin cos θθθθ+-；（3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。

同角三角函数的基本关系式

2 2
证法二：因为
(1 sin )(1 sin ) 1 sin cos
2 2
由原题可知 1 - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ，求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取，即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式。
主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。

试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。

（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。

高中数学-同角三角函数的基本关系式练习

高中数学-同角三角函数的基本关系式练习34，选D. 答案：D5．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，求k ，θ的值．解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k ，① sin θcos θ＝k ＋1，②又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，所以k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1，显然|sin θcos θ|＝|k ＋1|≤1，因此k ＝－1，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θcos θ＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或3π2.(限时：30分钟)1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512解析：∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.答案：B2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.43 B ．3 C ．－43D ．－3解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1，将tan α＝－12代入得： 2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1214－1＝43，故选A. 答案：A 3．化简⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos α1－cos αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 答案：A4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32C.34 D ．－34解析：∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8.答案：C6．已知1＋sin x cos x ＝－13，则cos xsin x －1的值等于( )。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又为第二象限角，，则．故选A．【考点】三角函数的平方公式．2.己知a为锐角，且，，则sina的值是( ). A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据诱导公式，已知条件的两个式子可化为如下关系：，解得，又本题要求的是，因此由前述可知有，解得（a为锐角）.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系.3.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．6.已知 .【答案】【解析】∵，∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.7.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．8.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数基本关系．9.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.11.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件，得，整理得：，即①，代入中，得，整理得：，即，解得（舍）或，把，代入①，得，所以，故选A．【考点】同角三角函数基本关系．12.若，的化简结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，=.【考点】同角的基本关系.13.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．试题解析：解：（1）因为，所以cosa=(2)原式＝【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．14.若，则计算所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=，则的值等于( )A．B．－C．D．±【答案】Ａ【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ【考点】诱导公式16.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由与可得，而，选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.18.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k =±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

答案：4
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时，首先根据题意选准公式再用，一般是负变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看作”是锐角而已．“奇变偶不变，符号看象限”同样适用于正切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算2.已知，则( )A. B． C D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系.3.化简的结果 .【答案】【解析】,当为奇数时，，原式；当为偶数时，，原式；综上原式【考点】三角函数化简.4.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.5.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号6.若则．【答案】【解析】由故【考点】同角三角函数基本关系式7.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切8.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.9.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是第二象限角，则．【考点】同角三角函数的基本关系式，三角函数的符号．12.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．13.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数14.已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 ( )A．－B．C．－或D．【答案】A【解析】由题意，∵sinθ=，sin2θ＜0，∴cosθ＜0∴cosθ＝−＝−∴tanθ＝＝−，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系．15.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．-【答案】D【解析】∵是第二象限角，∴，故选D．【考点】同角三角函数基本关系．16.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.17.化简：.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式，属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系：进行展开运算得到，再运用辅助角公式（其中）或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析： 4分8分10分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.辅助角公式（两角和差公式）；4.三角恒等变换.18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：由，而，故，；法二：.【考点】同角三角函数的基本关系式.19.已知向量与，其中.（1）问向量能平行吗？请说明理由；（2）若，求和的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值.【答案】（1）不能平行；（2），；（3）.【解析】（1）先假设，列方程得，然后利用正弦的二倍角公式化简得，再判断此方程是否有解，若有解，可判断、可能平行；若无解，则可判断、不可能平行；（2）将向量的垂直问题转化为向量的数量积问题，得到，联立方程，并结合，即可求出；（3）先由同角三角函数的基本关系式计算出，然后再根据两角和的余弦公式展开计算得的值，最后结合的取值范围确定的值即可.试题解析：解：（1）向量不能平行若平行，需，即，而则向量不能平行 4分（2）因为，所以 5分即又 6分，即，又 8分（3）由（2）知，得 9分则 11分又，则 12分.【考点】1.向量平行、垂直的判定与应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和与差的三角函数.20.函数的值域是__ ____．【答案】【解析】正切函数在是单调递增的，所以在处取得最小值，在处取得最大值.【考点】正切函数图像及性质.21.的值为________.【答案】【解析】，故.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.22.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，(2) 利用分母，将原式化为关于二次齐次式，再利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，本题主要考查利用＂弦化切＂方法求值.本题也可从出发得代入（１）立得，但代入（２）后只得到，还需结合得出，才可最终求值.试题解析：（1）原式（2）原式12分【考点】同角三角函数关系，弦化切.23.已知，则________________；【答案】．【解析】利用公式，把平方得，从而，由于，则，这类问题中确定它们的正负是我们解题时要特别注意的，于是．【考点】同角三角函数关系（平方关系）．24.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则___ ．【答案】【解析】的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，所以，，即，故。

(完整)同角三角函数的基本关系式

同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－tanαcot（－α）＝－cotα两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan(α＋β）＝—————-1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2（α/2）1－tan2(α/2）cosα＝—————-1＋tan2(α/2）2tan（α/2) tanα＝——————1－tan2（α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝--———1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—2 2α＋βα－βc osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知是第四象限角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用切化弦以及求解即可．，又是第四象限角，,故选：D.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】本题主要考查三角函数求值.由，故选C.【考点】诱导公式，三角函数求值.4.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.5.若，则．【答案】【解析】因为==，故.考点:角的配凑；诱导公式6.在中，若，则的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由题知====，所以，所以，故选A．【考点】诱导公式；两角与差的正弦公式7.已知，则______________．【答案】3【解析】对分子分母同除以得===3．【考点】同角三角函数基本关系式8.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数9.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.10.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.11.已知α∈，.(1) 求值； (2)求的值.【答案】(1) ; (2).【解析】应用公式时注意方程思想的应用；对于，，这三个式子，利用，可以知一求二.解：由，知,即，可得又,可得.【考点】同角的三角函数基本关系式.12.已知，则（）A．2B．1C．4D．【答案】A【解析】本题考查同角三角函数基本关系式,齐次式求值，先利用分子、分母同除以原式=，带人可得答案为A,【考点】不等式的性质13.（1）化简：(2)已知tan α＝3，计算的值．【答案】（1）原式=； (2).【解析】用诱导公式和同角三角函数之间的关系化简即可.1）原式=4分2）由原式==....8分【考点】诱导公式、同角三角函数之间的关系.14.已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）的值为；（2）的值为．【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：即可求出结果；（2）因为，用恒等变换公式可求的值．试题解析：（1）∵，从而．又∵，∴． 4分∴． 6分（2）由（1）可得，．∵为锐角，，∴． 10分∴ 12分。

同角三角函数基本关系式及诱导公式

＝sin2θ＋sinθcosθ－ 2cos2θ
＝sin2θ＋ssiinn2θθc＋oscθo－s2θ 2cos2θ＝tan2θta＋n2tθa＋nθ1－ 2
＝
22＋ 2－ 22＋1
2＝23..
答案：D
(2)已知 tan(π－α)＝－23，且 α∈－π，－π2，则cocso－sπα－＋α3＋sin9sπin＋αα＝________. 解析：由 tan(π－α)＝－23，得 tanα＝23，则cocso－sπα－＋α3＋sin9sπin＋αα＝－cocosαsα－＋39sisninαα＝－11－＋39tatnanαα＝－1－ 1＋26＝－15.
解析：∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝178.
又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，
∴sinθ－cosθ＝－
2 3.
答案：－
2 3
6．已知 α 为锐角，cos32π＋α＝45，则 cos(π＋α)＝________.
解析：∵cos32π＋α＝sinα＝45，且 α 为锐角， ∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35. 答案：－35
答案：32
(2)已知 cosπ6－θ＝a，则 cos56π＋θ＋sin23π－θ的值是________．解析：因为 cos 56π＋θ ＝ cos π－π6－θ ＝－ cos π6－θ ＝－ a ， sin 23π－θ ＝ sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，所以 cos56π＋θ＋sin23π－θ＝0. 答案：0
题型二诱导公式的应用例 1 (1)tancoπs＋－ααc－os32ππs＋inα－si3nπα－－α32π＝________. 解析：原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2

同角三角函数基本关系式

弧度与角度的转换
1弧度等于180/π度，可以利用这个公式将角度转换为弧度，反之亦然。
三角函数和反三角函数的关系
正弦、余弦、正切的定义
正弦、余弦、正切是三角函数的基本形式，它们分别对应于直角三角形中的边的比值。
反三角函数的定义
反正弦、反余弦、反正切是反三角函数的基本形式，它们分别表示的是正弦、余弦、正切函数的反函数。
符号和表示
正弦函数sin(x)表示一个角度x的正弦值，余弦函数cos(x) 表示x的余弦值，正切函数tan(x)表示x的正切值。
对于角度的正弦、余弦和正切值，分别记为sin(x)、cos(x) 和tan(x)。
三角函数的概念和性质
三角函数是函数的一种，其定义是将一个角度作为自变量，将该角度的正弦、余弦和正切值作为因变量。
同角三角函数基本关系式的应用和发展
应用
同角三角函数基本关系式是三角函数计算、化简、证明的重要依据，也是三角函数图像分析的基础。在物理、数学、工程等众多领域都有广泛的应用。
发展
同角三角函数基本关系式是三角函数理论的基础，它为后续的三角函数学习提供了重要的基础。同时，它也是连接初等数学和高等数学的重要纽带之一，为数学的学习提供了重要的帮助。
三角函数在圆和椭圆中的应
用
圆和椭圆是常见的曲线形状，利用三角函数可以方便地对其进行解析表达和性质研究。
三角函数在物理学中的应用
三角函数在力学中的应用
在研究物体的运动和受力时，可以将时间、位移等物理量用三角函数表示，从而利用三角函数的性质得到物体运动规律。
三角函数在电磁学中的应用
电磁学中，交流电的电压、电流等物理量可以用三角函数表示，从而可以利用三角函数的性质得到交流电的规律和性质。

高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =，倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。

二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)．解原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。

三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)

三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．（2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1）解法一：联立 { nα α=1n αα=由得 α=1nα，将其代入，整理得 n α nα = ．因为 α 是三角形的内角，所以 nα=，所以 α=，所以 tanα=．解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==．因为 nα α= 1且 α ，所以 nα ， α ，所以 nα α ．所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4）因为 .α/=1，所以 nα=1，从而 nα= 1．又 α 为第三象限角，所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ，所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ，解得 tanα= ，又 α 为锐角，故 nα= √11．第三部分9. （1）解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。

同角三角函数的基本关系式

4
3
2
解:(2) 1 sin2α+ 1 sin αcos α+ 1 cos2α
4
3
2
1 sin2 1 sin cos 1 cos2
=4
3
2
sin2 cos2
=
1 4
tan2
1 3
tan
1 2
=
13
.
tan2 1
30
方法技巧关于sin α、cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α、cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,解题时,分子、分母同除以cos α的n次幂,即可化为关于tan α的式子,再计算就简单多了.
(A) 1 5
(B) 3 5
(C)- 1 (D)- 3
5
5
解析:由
tan tan
sin sin
3, 2,
解得 tan θ= 5 ,sin θ= 1 ,
2
2
所以 cos θ= sin = 1 . tan 5
4.已知sin α=5cos α,则sin αcos α的值为
.
解析:法一
由
sin sin
=tan α·( 1 cos 2 - 1 cos 2 )=tan α·( 1 cos - 1 cos )
1 cos2
1 cos2
| sin | | sin |
= sin ·(- 1 cos + 1 cos )= sin · 2cos =-2.
cos
sin
sin
cos sin
答案:-2
解:(1)因为 sin A+cos A= 1
①
5
所以两边平方得 1+2sin A·cos A= 1 ,sin A·cos A=- 12 .

同角三角函数的基本关系(基础知识+基本题型)(含解析)

5.2.2 同角三角函数的基本关系（基础知识+基本题型）知识点一同角三角函数的基本关系式利用单位圆中的三角函数线以及勾股定理，我们可以得到同一个角的三个三角函数之间的两种关系：（1）根据三角函数的定义，当,2k k Z παπ=+∈时，sin tan cos ααα=不成立．（2）2sin α是()2sin α的简写，不能将2sin α写成2sin α，前者是α的正弦的平方，而后者是α平方的正弦．（3）利用平方关系，得sin α=，cos α=，“±”号由α的终边所在象限决定．（4）“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达形式无关，如22sin 3cos 31αα+=等．知识点二同角三角函数关系式的应用同角三角函数的基本关系式主要用于：（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角恒等式．常用的等价变形有：sin α=， cos α=，22sin 1cos αα=-，22cos 1sin αα=-，sin tan cos ααα=，sin cos tan ααα=．【提示】已知某角的一个三角函数值，在使用22sin cos 1αα+=求它的其余三角函数值时，要注意角的终边所在的象限．求解过程中一般有以下三种情况：①如果已知三角函数值，且角所在的象限已知，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么先由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指明角在哪个象限，那么就需要进行讨论．考点一应用同角三角函数关系式求值【例1】已知()1sin cos05αααπ+=<<，求tanα．解：方法1：由1sin cos5αα+=两边平方．得221sin2sin cos cos25αααα++=，即112sin cos25αα+=．所以12sin cos025αα=-<，又因为0απ<<，所以sin0α>，cos0α<，所以sin cos0αα->．所以7sin cos5αα-====．所以4sin5α=，3cos5α=-．所以sin4tancos3ααα==-．方法2：由221sin cos5sin cos1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，联立消去cosα，得221sin sin15αα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即225sin5sin120αα--=，解得4sin5α=或3sin5α=-（舍去）．所以3cos5α=-，所以sin4tancos3ααα==-．（1）在sin cosαα+，sin cosαα-，sin cosαα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是()2sin cos12sin cosαααα±=±．（2）设sin cos tαα+=，由三角函数线，知当02πα<<时，1t>；当324ππα<<时，01t<<；当34παπ<<时，10t-<<；当32ππα<<时，1t <-；当3724ππα<<时，10t -<<；当724παπ<<时，01t <<．依据以上结论，已知sin cos αα+的值时，可进一步得出α的范围．【例2】已知tan 2α=，则（1）2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-______；（2）224sin 3sin cos 5cos αααα--=______．解：(1)：2sin 3cos 2tan 34sin 9cos 4tan 9αααααα--=-- 2231429⨯-==-⨯-．（2）2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+． 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+． 44325141⨯-⨯-==+．答案：（1）-1 （2）1本题是一个在已知tan m α=的条件，求关于sin ,cos αα的齐次式的整体代入的问题．解决这类问题，需注意以下两点；（1）一定是关于sin ,cos αα的齐次式（或能化为齐次式，如第（2）问）的三角函数式；（2）cos 0α≠，这样分子、分母才能都除以()*cos n n N α∈．先将被求式化为关于tan α的表达式，再将tan m α=代入，从而使问题获得求解．考点二三角函数式的化简【例3】化简tan α是第二象限角．分析：先由角α是第二象限角确定出sin ,cos αα的符号，利用22sin cos 1αα+=对含根号的式子化简，结合sin ,cos αα的符号去掉根号，再由sin tan cos ααα=把式子化简．解：因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<．故tan tan tan ==sin cos sin cos cos sin cos sin αααααααα-=⋅=⋅．＝１．化简三角函数式的一般要求：（1）函数种类最少；（2）项数最少；（3）函数次数最低；（4）能求值的求出值；（5）尽量使分母不含三角函数；（6）尽量使分母不含根式．考点三三角恒等式的证明【例4】求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅．证明：左边=tan sin tan tan cos ααααα⋅-⋅． ()tan sin sin tan 1cos 1cos αααααα⋅==--．右边=tan tan cos tan sin ααααα+⋅⋅ =()tan 1cos 1cos tan sin sin αααααα++=⋅=()21cos sin 1cos ααα-- =()2sin sin sin 1cos 1cos ααααα=-- 所以左边=右边，即原等式成立．（1）利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式．方法有从左至右、从右至左或从两侧证明等于同一式，还可用比较法．（2）注意切化弦、弦化切及平方关系的应用．。

同角三角函数的基本关系练习题及答案详解

同角三角函数的基本关系【课前复习】1．叙述任意角三角函数的定义． 2．计算下列各式的值： sin 230°＋cos 230°＝_______________；sin 2420°＋cos 2420°＝________________；︒︒45cos 45sin ＝_______________；tan 65π·cot 65π＝_______________．【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，ααcos sin ＝tan α，tan αcot α＝1．2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定． 1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．2．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：（1）关系式中要注意同角．例如sin 2α＋cos 2β＝1就不恒成立．（2）关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α＝2πk （k ∈Z ）时，tan α·cot α＝1就不成立．（3）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由sin 2α＋cos 2α＝1，可变形为cos 2α＝1－sin 2α，cos α＝±α2sin 1-，1＝sin 2α＋cos 2α，sin α·cos α＝21)cos (sin 2-+αα等．（4）注意“1”的代换，可用sin 2α＋cos 2α，tan α·cot α等去代换1．3．用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，至于角的表达形式是无关重要的，如：sin 22α＋cos 22α＝1，tan 2α＝2cos2sinαα，tan4α·cot4α＝1等．4．sin 2α是（sin α）2的简写，读作“sin α的平方”，而不能写成sin α2，前者是α的正弦值的平方，后者是α的平方的正弦，两者是不同的．5．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式．其中，根据角α终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．6．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解． 7．基本关系式的重要等价变形有哪几个？常用的有以下几个：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α；sin α＝cos α·tan α；cos α＝ααtan sin ；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；α2sin 1-＝|cos α|．【学习方法指导】［例1］已知α是第三象限角且tan α＝2，求cos α的值．分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．解法一：（公式法）由tan α＝2知ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α，sin 2α＝4cos 2α，而sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝51．由α在第三象限知cos α＝－55解法二：（锐角示意图法）图4－4－1先视α为锐角，作锐角示意图，如图4－4－1，则cos ABC ＝55∵α是第三象限角，∴cos α＝－55．当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？［例2］已知sin α＝m （|m |<1），求tan α，cos α．分析：由sin α求cos α，需用公式sin 2α＋cos 2α＝1，但cos α取正或取负应根据α所在象限来确定，所以需对α分类讨论．解：（1）当－1<m <1，且m ≠0时，若α在第一、四象限，则cos α＝221sin1m -=-α，tan α＝ααcos sin ＝21m m -＝2211m m m --；若α在第二、三象限，则cos α＝－21m -，tan α＝2211cos sin m m m ---=αα．（2）若m ＝0，则α＝kπ（k ∈Z ），∴tan α＝0，cos α＝±1．点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．［例3］已知tan α＝－34，求下列各式的值：（1）ααααsin cos 3sin 3cos 2++；（2）2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α．分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用tan α来表达．解：（1）原式＝ααtan 3tan 32++＝)34(3)34(32-+-⋅+＝56-．（2）原式＝αααααα2222cos sin cos 3cos sin sin 2+-+＝1tan 3tan tan 222+-+ααα＝2571)34(3)34()34(222-=+---+-⨯．点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．【知识拓展】1．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+ααααααααααααααααααsin cos cot cos sin tan 1sec cos 1csc sin 1cot tan csc cot 1sec tan 11cos sin 222222 2．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧：如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．【同步达纲训练】一、选择题1．若sin α＝54，且α是第二象限角，则tan α的值等于（）A ．－34B ．43C ．±43D ．±342．已知sin α＋cos α＝51，且0≤α<π，那么tan α等于（）A ．－34B ．－43C ．43D ．343．若sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α等于（） A ．±2B ．1C ．－1D ．±1二、填空题4．若sin α＋3cos α＝0，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为____________．5．已知tan α＝2，则ααcos sin 1＝____________．三、解答题6．已知tan θ＋cos tθ＝2，求：（1）sin θ·cos θ的值；（2）sin θ＋cos θ的值；（3）sin 3θ＋cos 3θ的值．]参考答案【课前复习】 1．（略）2．1111 【同步达纲训练】一、1．A 根据α是第二象限角，由平方关系可得cos α＝－53，从而tan α＝ααcos sin ＝－34．2．A 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin αα 又因为0≤α<π，故取sin α＝54，这时cos α＝－53，求得tan α＝－34．3．D ∵（sin 2α＋cos 2α）2＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2α＝1＋2sin 2αcos 2α，sin 2α＋cos 2α＝1 ∴sin 2αcos 2α＝0sin αcos α＝0 当sin α＝0时，cos α＝±1 当cos α＝0时，sin α＝±1． ∴所以sin α＋cos α＝±1．二、4．－115由已知可得tan α＝－3，于是原式＝9261tan 32tan 21+-=-+αα＝－115． 5．25ααcos sin 1⋅＝ααααcos sin cos sin 22+＝tan α＋αtan 1＝2＋21＝25．三、6．解：（1）∵tan θ＋cot θ＝2，∴θθcos sin ＋θθsin cos ＝2，θθθθcos sin cos sin 22⋅+＝2∴sin θ·cos θ＝21；（2）∵（sin θ＋cos θ）2＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋cos 2θ＝1＋2×21＝2又tan θ＋cot θ＝2>0，可得sin θ·cos θ＝21>0，故sin θ与cos θ同号，从而sin θ＋cos θ＝⎪⎩⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ2 2；（3）∵sin 3θ＋cos 3θ＝（sin θ＋cos θ）（sin 2θ－sin θ·cos θ＋cos 2θ）＝21（sin θ＋cos θ） ∴sin 3θ＋cos 3θ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ22 22。