第7章解非线性方程二分法和牛顿法
数值分析(李庆扬)第七章)
1）, 若
f
a
b 2
0
输出根
x
ab 2
, 否则：若
f
a
2
b
0，
令
a1
a
2
b
，b1
b
反之
ab b1 2 , a1 a.
2 ),对 [ a1 ,b1 ] 区间重复1）的计算，并产生 [ a2 ,b2 ],
3),
若
f
ai
2
bi
0，则得到根
x ai bi . 2
二分法的收敛性
二分法产生一个有根区间：
f (x) 0 在真根附近 x0 点展开成 Taylor 级数：
假设方程x (x)在[a, b]内有两个根x1* x2*,
由条件（2），有
x1* x2* (x1* ) (x2* ) L x1* x2* x1* x2*
导出矛盾，唯一性得证。
对任意x0 [a, b],由迭代公式有
xn x* (xn1) (x* ) L xn1 x*
定定 理4理: ：对于迭代过程xk1 (xk ),如果 ( p) (x)在所
求根x*的邻近连续，并且
' (x* ) " (x*) L ( p1) (x*) 0; ( p) (x*) 0
则该迭代过程在点x*邻近是p阶收敛的。
证：由于 ' (x*) 0 1,故xk1 (xk )具有局部收敛性。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
一、本文概述
非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理
牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：
这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
非线性方程求解方法的研究与比较分析
非线性方程求解方法的研究与比较分析
非线性方程是数学中一类重要的方程，它们的求解对很多实际问
题具有重要的意义。然而，非线性方程由于其非线性特性，使得其求
解更加困难和复杂。本文旨在研究和比较非线性方程的求解方法，通
过对不同求解方法的分析和比较，来评估它们的优缺点和适用范围。
首先，我们介绍一些常用的非线性方程求解方法。目前常用的求
解方法主要包括迭代法、牛顿法、二分法等。
迭代法是一种比较简单的求解非线性方程的方法。其基本思想是
通过不断迭代逼近方程的解。具体的迭代公式可以选择不同的形式，
如固定点迭代法、牛顿迭代法等。迭代法的优点是简单易懂，但是其
收敛速度较慢，而且在某些情况下可能无法收敛到解。
牛顿法是一种较为常用的非线性方程求解方法。它利用函数的一
阶导数和二阶导数信息，通过不断的迭代逼近方程的解。牛顿法的优
点是收敛速度快，但是在某些情况下可能会出现迭代发散的情况。
二分法是一种比较简单但是有效的非线性方程求解方法。其基本
思想是通过不断地缩小解的搜索范围，直到找到满足方程的解。二分
法的优点是简单易懂，而且收敛性和精度较好，但是其收敛速度相对
较慢。
在对以上几种方法进行比较分析之前，我们需要明确一些评价指标。首先是收敛性，即方法是否能够收敛到解。其次是收敛速度，即
方法迭代到解所需的时间。还有精度，即方法得到的解与真实解之间
的误差。最后是稳定性，即方法对初始值的选择是否敏感。
通过对以上几种方法的比较分析，我们可以得出以下结论：
首先，迭代法是一种简单但是不稳定的求解方法。其收敛性和精
度较差，而且对初始值的选择较为敏感。因此，在实际应用中，迭代
熟悉用二分法,迭代法,牛顿法和弦截法求解非线性方程。(常用版)
熟悉用二分法,迭代法,牛顿法和弦截法求解非线性方程。（常用
版）
(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）
实验报告
学院（系）名称：计算机与通信工程
姓名赵云鹏学号20211931 专业计算机科学与技术班级09-1 实验项目实验一方程求根
课程名称数值计算方法课程代码
实验时间2011年5月26日实验地点#7-215
批改意见：实验目的：熟悉用二分法，迭代法，牛顿法和弦截法求解
成绩
非线性方程。
实验环境：硬件环境：IBM－PC或兼容机
软件环境：Windows操作系统
编程语言：C语言
实验内容：
1、用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求准确到小数点后第一位
2用迭代法和牛顿法求解方程x=e-x在x=0.5附近的一个根，要求精
确到小数点后三位
3用双点弦截法求方程x3+3x2-x-9=0在区间[1,2]内的一个实根，精
确到五位有效数字。
教师签字：
实验步骤：二分法：
迭代法：牛顿法：
双点弦截法：
用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求准确到小数点后第一位#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define ADJUST1 0.01
#define ADJUST2 0.001
#define EX 0.000001
#define INF 999999999.99
double func1(double x)//二分法求的方程
{
return (x*x-x-1);
}
double func2_1(double x)//迭代法的方程
{
return exp(-x);
第七章 非线性方程求根
，
以
2
代替 a 。
（ 4） 反 复 执 行 第 二 步 与 第 三 步 ， 直 到 区 间 长 缩 小 到 允 许 误 差 范 围 之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
2. 有根区间不止一个根的情形
（ 1） 确 定 一 个 步 长 h b a ， 使 得 每 个 区 间 内 至
n
多有一个根。 （ 2） 令 k 0 。 （ 3 ） 查 [ a k h , a ( k 1) h ] ， f ( a k h ) 0 检 若 或 者
* * *
，若
存 在 x 使 f (x ) 0 ， 则 称 x 为 方 程 的 根 ， 又 称 为 函 数
f (x) 的 零 点 。 若
* m
f (x) 满 足
*
f ( x ) ( x x ) ( x ) ，其 中 ( x ) 0 ，则 称 x
*
是 方 程 f (x) 0 的 m 重 根 和 函 数 f (x) 的 m 重 零 点 。 m 1 时 ，x 是 方 程 的 单 根 和 函 数 f ( x ) 当 的单零点。
* * n
程 f (x) 0 的 解 ， 称 x 为 (x) 的 不 动 点 ， 则 f (x) 0 有 等
*
价 形 式 x (x) 。
简单迭代法
简单迭 代法： 直接用 x
7、解非线性方程的迭代法
若用(3.3)进行加速, 则
k 0 1 2 xk 3.5 3.73444 3.73307 yk 3.60414 3.73381 zk 3.66202 3.73347
§4
牛顿法
一、牛顿法及其收敛性
牛顿迭代公式的推导 . 线性化 : 设已知方程f ( x) 0的
近似根xk , 并假定f ( xk ) 0, 做Taylor展开
三、局部收敛性与收敛阶
迭代序列{xk }在[a, b]上的收敛性通常称为全局收敛性； 不容易由定理作出判断。应用上经常只在不动点x * 附近考察收敛性，称为局部收敛性.
定义1 如果U ( x*, ), 使得x0 U ( x*, )迭代序列(2.2) 均收敛于x* ( x*), 则称迭代序列局部收敛. 定理3 若x * 为迭代函数 ( x)的不动点, ( x)在x *的某邻域 内有连续导数, 且 | ( x*) | 1, 则迭代法(2.2)是局部收敛的.
k 0 1 2 3 4 5 xk 1.5 1.41629 1.35565 1.32985 1.32480 1.32472 yk 2.37500 1.84092 1.49140 1.34710 1.32518 zk 12.3965 5.23888 2.31728 1.44435 1.32714
说明: (2.2)不收敛,(3.3)可能收敛; (2.2)线性收敛,(3.3)平方收敛!
第7章 非线性方程的数值解法
0.25
3
0.75
0.01831
0.125
4
0.625
0.1859
0.0625
5
0.6875
0.08533
0.03125
6 0.71875
0.033879
0.015625
7 0.734375
0.007874
0.078125
8 0.7421875
0.005195
0.00390625
9 0.73828125
y
y=x
y=g(x)
Q1 P0
Q2
P*
P1
P2
o x* x2 数值分x1析
x0
x
26/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
例：用迭代法求方程f(x)=x2-2x-3=0的根（x1=3，x2= -1） 解：(1)方程改写成 x=(2x+3)1/2
建立迭代公式 xk+1=(2xk+3)1/2 (k=0,1,2…)， 取x0=4，x1=3.316，x2= 3.104，x3=3.034，
再对[a1, b1]进行上述过程，直到满足 。
数值分析
15/47
§5.2 中二止分条件法
a
xa1 x* xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
不能保证 x 的精度
数值分析--第7章非线性方程与方程组的数值解法
4
非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接 方法求解，都要使用迭代法.
迭代法要求先给出根 x *的一个近似，若 f (x) C[a,b] 且 f (a) f (b) 0 ，根据连续函数性质可知 f (x) 0在(a, b) 内至少有一个实根，这时称 [a, b]为方程(1.1)的有根区间.
3
根据代数基本定理可知, n次方程在复数域有且只有 n 个根（含重根， m重根为 m个根）.
n 1,2 时的求根公式是熟知的，n 3,4时的求根公式 可在数学手册中查到，但比较复杂不适合数值计算，当 n 5 时就不能用公式表示方程的根，所以 n 3时求根仍用一般 的数值方法
另一类是超越方程，例如
1.3242
f ( xk )符号
12
二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为：
步骤1 准备 计算 f (x) 在有根区间[a, b] 端点处的值
f (a), f (b).
步骤2
f ( a b ). 2
二分
计算 f (x) 在区间中点 a b 处的值
2
步骤3 判断 若 f ( a b ) 0，则 a b 即是根，
第7章 非线性方程求根
k 且区间长度逐次减半， bk ak (b a) 2 .
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： 随着k的增大，有根区间长度趋于零，区间端点向 * lim a lim b lim x x . 一点收缩， k k k k k k 显然x*即为f(x)=0的根。而x0, x1, …,xk,…为近似根 * 序列。设要求精度为ε ,即 x xk ,
始近似值x0;
非线性方程求根的二分法
二分法基本步骤： (1) 考查f(x)=0的有根区间[a,b]的中点
x0 (a b) 2
(2)
若x0不为f(x)=0的根，则[a,x0]或[x0,b]之一 为f(x)=0的有根区间(由f(a)f(x0)<0或 f(x0)f(b)< 0判定)：若f(a)f(x0)<0，令a1=a, b1=x0;否则令a1=x0, b1=b。得新有根区间 [a1, b1]，其长度为原有根区间[a,b] 的一半.
则终止条件为由下述条件确定k：
x xk (bk ak ) 2 (b a ) 2
* k
不动点迭代法
不动点定义：方程x=φ(x)的根x*称为函数 φ(x)的不动点。 不动点迭代法：取与f(x)=0等价的方程 x ( x) ,取某一初始近似值x0,形成迭代序 列 {xk } : xk 1 ( xk ) (k 0,1, ). (因迭代序列收敛时的极限为 ( x) 的不动点， 故称为不动点迭代法, ( x) 称为迭代函数)
非线性方程和方程组的求解讲解
编程过程 :
1. 令x0=(a+b)/2，计算f(x0); 2. 若f(x0)=0，则x0为所求的根，输出ξ=x0； 若f(a)·f(x0)<0，则令a=a, b=x0; 若f(a)·f(x0)>0，则令a=x0, b=b;
3. 若b-a≤ε(ε为预先给定的精度要求)，输出ξ=（a+b）/2。
f(x )
4.2
非线性方程和方程组的求解
求方程f(x)=0的根，当f(x)较为复杂时，无
解析解，只能求出方程的近似根。常用的
方法有：对分法、迭代法、牛顿法等。
一. 区间二分法
基本原理 :
若 f(x) 在[a,b]上连续且单调，f(a)· f(b)<0 ，则根据连续 函数的中值定理，f(x)=0在(a,b)有惟一根ξ。
3 x 例2：用N-R法求 3 x 1 0 在0.5附近的根。
3 解： f ( x ) x 3 x 1
f ' ( x) 3 x 2 3
xk 3 xk 1 构造迭代公式： xk 1 xk 3 x 2k 3
3
k 0,1,2...
k xk
0 0.5
0 0 ( x , x 在初值 1 2 ) 附近
f ( x , x ) f1 ( x , x ) 1 1 2 x1
0 1 0 2
0 x1 0 x2
非线性方程组解法.
第七章 非线性方程（组）解法
§1 基础知识
1.1 非线性方程(组)及解的概念
非线性最小二乘问题； 非线性积分、微分方程数值解
1. 产生的背景:科学理论与工程技术都可化为非线性方程(组)
2.常见的非线性方程
高次方程,即多项式方程
超越方程
例
ห้องสมุดไป่ตู้
ex
cos x 1;
对区((间12))[找 a计k ,中算bk点]:,((23f：k)) bf令i(xafkia()xi kf12（ )((b2hai即 i)k,<i中 0,bik点 0),;1的 0,,1函,L, k数,, k值. ）;
(3) 生成含根区间：
(
2.2)
ak ak
x* xk xk
bk x
bk
若f ( xk ) 0，则x* xk , 如图
非线性方程 (组) 解法的内容
• 非线性方程的解法
1. 解法 搜索法；二分法；简单迭代法；牛顿迭代法；弦截法； 多项式方程求根 （牛顿法、劈因子法）
2. 简单迭代法与牛顿迭代法的收敛性
• 非线性方程组的解法
1. 解法 牛顿法及牛顿型迭代法（拟牛顿法等)；延拓法； 最速下降法；非线性最小二乘问题的计算方法
不能求出所有根,(即有可能漏根)。
b
例 如图
二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用
关键词 ： 二分法； 牛顿迭代法 ； 非线性 方程 中图 分 类 号 ： ０２ ４ ２ 文 献 标 志码 ： Ｂ
文 章编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ２ ５ — ０ １ ３ ９ 一 Ｏ １
表１ 二 分法 程序 结 果
迭 代 数
＇ ２
求解方程的近似根 ， 一般需要解决两个问题 ： １ ． 根 的隔离 。即找 出有根 区域 ， 使得在一些小 区间中 方程只有一根（ 或一对共轭复根 ） 以便获取各根的较粗糙 的近似值 。
区间值 ：ｘ ０
０ ． ０ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ ． ０ Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０
区 间Байду номын сангаас ：ｘ １
５ ０ ０ ． Ｏ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ２ ５ ０． ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０
２ ． 近似根 的精确化 。即用求根的数值方法 ， 使求得 的 近似根逐步精确化 ， 直到获得一定精度的近似根。 二分法和牛顿迭代法的基本思想 １ ． 二分法 。一般地 ， 对于 函数ｆ （ ｘ ） ， 如果存在实数Ｃ ， 当 Ｘ ＝ Ｃ 时， 若ｆ （ ｃ ） ＝ ０ ， 那么把ｘ ＝ ｃ Ｈ ｑ 做函数ｆ （ ｘ ） 的零点。解方程 即要求 ｘ ） 的所有零点。假定ｆ （ ｘ ） 在 区间（ ｘ ， ｙ ） 上 连续 ， 先 找到ａ 、 ｂ 属于区间（ ｘ ， Ｙ ） ， 使ｆ （ ａ ） ， ｆ （ ｂ ） 异号 ， 说 明在 区间（ ａ ， ｂ ） 内一定有零点 ， 然后求［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ １ ， 现在假设ｆ （ ａ ） ＜ ０ ， ｆ （ ｂ ） ＞ ０ ， ａ ＜ ｂ ， ①如果［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ］ ＝ Ｏ ， 该点就是零点。 如果［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ］ ＜ Ｏ ， 则在 区间（ （ ａ ＋ ｂ ） １ ２ ， ｂ ） 内有零点 ， 注： （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ＞ ＝ ａ ， 从① 开始继续使用 中点函数值判断。如果 ［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ 】 ＞ ０ ， 则在区 间（ ａ ， （ ａ ＋ ｂ ） １ ２ ） 内有零点 ， 注： （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ＜ ＝ ｂ ， 从①开始继续使 用 中点 函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 通过每次 把ｆ （ ｘ ） 的零点所在小区间收缩一半 的方法 ， 使 区间的两个 端点逐步迫近 函数的零点 ， 以求得零点 的近似值 ， 这种方 法叫做二分法 。 从以上可以看出 ， 每次运算后 ， 区间长度减 少一半 ， 是线形收敛 。另外 ， 二分法不能计算复根和重根 。 ２ ． 牛顿迭代法。设ｒ 是 ｘ ） ＝ ０ 的根 ， 选取ｘ ０ 作为ｒ 初始近 似值 ， 过点 （ ｘ Ｏ ， ｆ （ ｘ Ｏ ） ） 做 曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的切线 Ｌ ， Ｌ 的方程 为 ｙ ＝ ｆ （ ｘ Ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ Ｏ ） （ ｘ — ｘ ０ ） ， 求 出Ｌ 与ｘ 轴交点 的横坐标ｘ ｌ ＝ ｘ Ｏ — ｆ （ ｘ Ｏ ） ／ ｆ （ ｘ Ｏ ） ， 称ｘ １ 为ｒ 的一次近似值。 过点（ ｘ ｌ ， ｆ （ ｘ １ ） ） 作 曲线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ ）的切线 ，并求该切线与ｘ 轴交点 的横坐标ｘ ２ ＝ ｘ ｌ — ｆ （ ｘ １ ） ／ ｒ （ ｘ １ ） ， 称ｘ ２ 为ｒ 的二次近似值。重复 以上过程 ， 得ｒ 的 近似值序列 ， 其 中ｘ （ ｎ ＋ １ ） ＝ ｘ （ ｎ ） 一 ｆ （ ｘ （ ｎ ） ） （ ｘ （ ｎ ） ） ， 称为ｒ 的 ｎ ＋ １ 次近似值 ， 上式称为牛顿迭代公式 。 解非线性方程ｆ （ ｘ ） ０ 的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法 。把ｆ （ ｘ ） 在ｘ ０ 点附近展开成泰勒级数ｆ （ ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ０ ） ＋ （ ｘ — ｘ Ｏ ） ｒ （ ｘ Ｏ ） ＋ （ ｘ — ｘ Ｏ ） ＇ ２ ＊ ｆ ’ （ ｘ Ｏ ） ／ ２ １＋ …取其线性部分 ， 作为非线性方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 的近似方程 ， 即泰勒展开的前两项 ， 则有ｆ （ ｘ Ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ Ｏ ） （ ｘ — ｘ Ｏ ） ＝ ０ 设ｆ ＇ （ ｘ Ｏ ） ≠０ 则其解为ｘ ｌ ＝ ｘ Ｏ — ｆ （ ｘ Ｏ ） Ｘ（ ｘ Ｏ ） 这样 ， 得 到牛顿法 的一个迭代序列 ： Ｘ（ ｎ ＋ １ ） ＝ ｘ（ ｎ ） 一 ｆ（ Ｘ（ ｎ ） ） ／ ｒ （ ｘ （ ｎ ） ） ， 记为： ｛ ｘ （ ｎ ） ｌ 。 此时 ， 当ｎ 趋于无穷大时 ， ｘ （ ｎ ） 就会逐渐 逼近 ｘ ） ＝ ０ 的根。 二、 例证分析 １ ． 对此非线性方程ｘ Ｓ － ５ ０ ｘ Ｚ － ６ ６ １ ０ ＝ Ｏ 在单 独用二分法 和 牛顿迭代法时的效果都不显著。 实验 的结果分析： 由此可见 ， 牛顿迭代法是一种特殊 的迭代法 ， 用于求
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
由此解得 n
1 5.6, 取n=6,
按二分法计算过程见
下表, x6 = 1.3242 为所求之近似根.
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n 0 1 2 3 4 5 6
an bn xn 1.0 1.5 1.25 1.25 1.5 1.375 1.25 1.375 1.3125 1.3125 1.375 1.3438 1.3125 1.3438 1.3281 1.3125 1.3281 1.3203 1.3203 1.3281 1.3242
x 10
e
sin 10 x 0
来自百度文库
它在整个x轴上有无穷多个解，若x取值范围不同，解 也不同，因此讨论非线性方程 (1.1)的求解必须强调x 的定义域，即x的求解区间[a, b].
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另外，非线性问题一般不存在直接的求解公式， 故没有直接方法求解，都要使用迭代法求解，迭代
法要求先给出根x*的一个近似，若f(x)∈C[a, b]且
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
• 7.1 方程求根与二分法
• 7.2 不动点迭代法及其收敛性 • 7.3 迭代收敛的加速方法 • 7.4 牛顿法 • 7.5 弦截法与抛物线法 • 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点 • 7.7 解非线性方程组的牛顿迭代法
上页 下页
非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学 与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的 线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到 的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究 非线性模型，从而产生非线性科学，它是21世纪科 学技术发展的重要支柱. 非线性问题的数学模型有 无限维的如微分方程，也有有限维的. 但要用计算 机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方 程组的求解. 从线性到非线性是一个质的变化，方 程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别. 本 章将首先讨论单个方程求根，然后再简单介绍非线 性方程组的数值解法.
二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用
求解方程的近似根，一般需要解决两个问题：
1.根的隔离。即找出有根区域，使得在一些小区间中方程只有一根（或一对共轭复根）以便获取各根的较粗糙
的近似值。
2.近似根的精确化。即用求根的数值方法，使求得的
近似根逐步精确化，直到获得一定精度的近似根。
一、二分法和牛顿迭代法的基本思想
1.二分法。一般地，对于函数f （x ），如果存在实数c ，当
x=c 时，若f （c ）=0，那么把x=c 叫做函数f （x ）的零点。解方程
即要求f （x ）的所有零点。假定f （x ）在区间（x ，y ）上连续，先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f （a ），f （b ）异号，说明在区间（a ，
b ）内一定有零点，然后求[f （a+b ）/2]，现在假设f （a ）<0，f （b ）
>0，a<b ，①如果[f （a+b ）/2]=0，该点就是零点。如果[f （a+b ）/2]
<0，则在区间（（a+b ）/2，b ）内有零点，注：（a+b ）/2>=a ，从①开始继续使用中点函数值判断。如果[f （a+b ）/2]>0，则在区
间（a ，（a+b ）/2）内有零点，注：（a+b ）/2<=b ，从①开始继续使
用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次
把f （x ）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个
端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方
法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减
少一半，是线形收敛。另外，二分法不能计算复根和重根。
解非线性方程
解非线性方程
解非线性方程是数学中的一个常见问题，它的解决方法涵盖了多种数值和符号计算技术。本文将讨论几种常见的解非线性方程的方法，并对其优缺点进行评估。同时，还将给出一些实际问题，并通过求解相关的非线性方程来解决它们。
在数学中，非线性方程是指未知数的幂或次幂的函数与未知数的线性变换之和（或差）相等的方程。它的求解相对于线性方程来说更加困难，因为非线性方程通常没有解析解。所以我们需要使用一些数值计算方法来近似求解这类方程。
一、数值方法
常见的数值方法包括二分法、牛顿法和割线法。
1. 二分法
二分法是一种迭代逼近方法，适用于单峰函数的求解。它的基本思想是通过计算方程在一个区间内的函数值的正负来确定方程在该区间内是否存在根，并将区间不断地缩小，直到得到满足精度要求的根。
2. 牛顿法
牛顿法是一种迭代逼近方法，适用于光滑函数的求解。它的基本思想是通过利用函数的局部线性近似来逼近方程的根。具体步骤是：选择一个初始近似解，计算该近似解处的斜率（导数），然后使用切线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
3. 割线法
割线法是一种迭代逼近方法，它是对牛顿法的改进。与牛顿法使用切线逼近方程的根不同，割线法使用两个近似解之间的直线来逼近方程的根。具体步骤是：选择两个初始近似解，计算这两个近似解处函数值，然后利用割线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
二、符号计算方法
符号计算方法主要包括代数解法和近似解法。
1. 代数解法
代数解法是通过对方程进行变形和化简，利用代数运算和等式的性质来求解方程。它适用于存在特定形式解的方程，例如二次方程和三次方程。通过代数解法求解，可以得到方程的解析解。
非线性方程求解算法的性能比较研究
非线性方程求解算法的性能比较研究随着科技的不断发展，非线性方程在数学、物理、工程等领域中得到广泛应用。然而，求解非线性方程是一个复杂而耗时的过程。为了提高求解的效率和准确性，研究者们不断探索和开发各种非线性方程求解算法。本文将对其中几种常用的算法进行性能比较研究，以帮助读者更好地选择和应用非线性方程求解算法。
一、牛顿法 (Newton's Method)
牛顿法是一种基于切线的迭代算法，通过不断逼近零点来求解非线性方程。其基本思想是利用切线的斜率逼近曲线的斜率，从而找到曲线与 x 轴交点的近似解。牛顿法的迭代公式如下：
```
x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
```
牛顿法具有较快的收敛速度和较高的精度，在实际应用中得到广泛使用。然而，牛顿法也存在一些问题，例如对于某些特殊函数，可能会出现收敛速度慢或者迭代发散的情况。
二、割线法 (Secant Method)
割线法是一种基于割线的迭代算法，类似于牛顿法，但割线法不需要计算函数的导数。其基本思想是通过连接两个点的割线与 x 轴的交点来逼近方程的根。割线法的迭代公式如下：
```
x_(n+1) = x_n - f(x_n) * (x_n - x_(n-1)) / (f(x_n) - f(x_(n-1)))
```
相比于牛顿法，割线法的计算复杂度较低，但在某些情况下可能会出现割线过程与根无交点的问题。
三、二分法 (Bisection Method)
二分法是一种简单而直观的求解非线性方程的方法。它利用中值定理将函数值异号的两个点之间的中点作为下一次迭代的起点，通过逐步缩小区间来求解方程的根。二分法迭代的公式如下：
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3个有根区间为[：2,3],[3,4],[5,6]
显然模最小的实根 [2,3]
1 2k
(3
2)
103
2k
103
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
10
牛顿法/ Newton - Raphson Method /
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 / Taylor’s expansion /
考虑方程f ( x) 0 选 择 一 估 计 值 为 起 点x 0
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每 一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出 区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0 。
例 ： 求 方 程f ( x) x3 11.1x2 38.8 x 41.77 0 的 有 根 区 间 ， 用 二 分 法求 模 最 小 的 实 根 ， 若 要 求 准 确 到103， 则 至 少 要 迭 代 多 少 次？
解：对方 程的 根做 搜索计算 ，结果 如下 ：
x
0123456
f ( x)的符 号
Taylor展 开 f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 ) O((x x0 )2 )
截断到一阶 令l( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 )
用l( x) 0的根近似代替f ( x) 0的根
当f '( x0 ) 0, x(1)
x0
考察二分法构造的点列x(k) 能否收敛到根
x(1) 1 (a b) 2
x(1) x* 1 (b a) 2
x(2)
x*
1 2
1 (b a) 2
1 22
(b a)
x(k)
x*
1 2k
(b a)
lim( x(k) x* ) 0 k
总结
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
非线性方程求根
/ Solutions of Nonlinear Equations /
邹昌文
二分法 / Bisection Method /
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
考 虑 三 次 方 程f ( x) x3 x2 3 x 3 0的 正 根
则k 时 ，x*
x*
f (x*) f '(x*)
f ( x* ) 0， 即x*为 根
注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。
x0 x0 x✓0
x*
f (x0) f '(x0)
同 理 ， 当f '( x（1）) 0, x(2)
x（1）
f ( x（1）) f '( x（1）)
， 当f '( x（k）) 0, x(k1)
x（k）
f ( x（k）) f '( x（k）)
几何意义
收敛性分析
若点列x(k) x* , 且f '( x) C, f '( x* ) 0
f (1) 4 0, f (2) 3 0
正 根x* [1,2]
取中点1 2 1.5,考查f (1.5) ? 2
When to stop?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
二分法的收敛性分析与误差估计
设方程f ( x) 0，某根为x* [a, b], f (a) f (b) 0