第7章解非线性方程二分法和牛顿法
数值分析——二分法和牛顿法
二分法和牛顿法的比较二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。
但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。
牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为)(')()(x f x f x x -=ϕ。
牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。
用二分法和牛顿法分别计算多项式024323=-+-x x x 的解。
该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。
误差都为0.0001。
编程如下二分法(erfen.m)：syms x ;fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2;d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0;while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0a=c; elsea=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2牛顿法(newton.m)：function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end k x=x1wuca=abs(x1-x0)/2 endfunction y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; endfunction y2=fun1(x)y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
数值分析第七章非线性方程的数值解法
数值分析第七章非线性方程的数值解法在数值分析中，非线性方程和非线性方程组的求解是非常重要的问题。
线性方程是指变量之间的关系是线性的，而非线性方程则指变量之间的关
系是非线性的。
非线性方程的数值解法是通过迭代的方式逼近方程的解。
非线性方程的求解可以分为两类：一元非线性方程和多元非线性方程组。
接下来，我们将对这两类方程的数值解法进行介绍。
对于一元非线性方程的数值解法，最常用的方法是二分法、牛顿法和
割线法。
二分法是一种直观易懂的方法，其基本思想是通过迭代将方程的解所
在的区间逐渐缩小，最终找到方程的解。
二分法的缺点是收敛速度较慢。
牛顿法是一种迭代法，其基本思想是通过选择适当的初始值，构造出
一个切线方程，然后将切线方程与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
牛顿法的优点是收敛速度较快，但其缺点是初始
值的选择对结果影响很大，容易陷入局部极值。
割线法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过选择两个初始值，构造
出一条割线，然后将割线与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直
到满足精度要求。
割线法的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
对于多元非线性方程组的数值解法，最常用的方法是牛顿法和拟牛顿法。
牛顿法的思想同样是通过构造切线方程来进行迭代，但在多元方程组中，切线方程变为雅可比矩阵。
牛顿法的优点是收敛速度快，但同样受初
始值的选择影响较大。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过逼近Hessian矩阵来进行迭代，从而避免了计算雅可比矩阵的繁琐过程。
拟牛顿法的收敛性和稳定性较好，但算法复杂度相对较高。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。
其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。
然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。
它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。
割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。
它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。
割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。
在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。
这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。
二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。
二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。
牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。
割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。
无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。
通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。
这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
第7章 非线性方程的数值解法
设 0为给定精 度要求，试确定分半次 数k 使
x* xk
ba 2k
由 于2k ， 两 边 取 对 数 ， 即 得
ba
k ln(b a) ln
ln 2
数值分析
18/47
§例1： 5.用2 二二分分法 求 法x3 4x2 10 0在[1,2]内 的 根 ，
要 求 绝 对 误 差 不 超 过1 102。 2
第七章 非线性方程的数值解法
数值分析
本章内容
§7.1 方程求根与二分法 §7.2 不动点迭代及其收敛性 §7.4 牛顿法 §7.5 弦截法
数值分析
2/47
本章要求
1. 掌握二分法基本原理，掌握二分法的算法 流程;
2. 掌握理解单点迭代的基本思想，掌握迭代 的收敛条件；
3. 掌握Newton迭代的建立及几何意义，了解 Newton迭代的收敛性；
27/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
不动点迭代的几个重要问题： 1、迭代格式的构造； 2、初值的选取； 3、敛散性的判断；☆ 4、收敛速度的判断。
数值分析
28/47
§ 7.2 不动点迭代法及其收敛性
三.压缩映射原理（整体收敛性）
考虑方程x g( x), g( x) C[a, b], 若
则f (x)=0在[a, b]内必有一根。
二. 过程
将区间对分，判别f (x)的符号，逐步缩小有根区 间。
数值分析
14/47
§7.1.2 二分法
三. 方法
取xmid=0.5*(a+b)
若f(xmid) < (预先给定的精度)，则xmid即为根。
否则，若f (a)*f (xmid)<0，则取a1=a，b1=xmid 若f (a)*f (xmid)>0，则取a1=xmid，b1=b 此时有根区间缩小为[a1, b1]，区间长度为 b1-a1=0.5*(b-a)
解非线性方程组的牛顿迭代法
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为 （4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解 求 115 .
表7 6 计算结果 k 0 1 2 3 4 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
f ( x) , f ( x)
由于
( x)
f ( x) f ( x) . 2 [ f ( x)]
假定 x *是 f ( x) 的一个单根，即 f ( x*) 0, f ( x*) 0 ， 则由上式知 ( x*) 0 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 x *的邻近是平方收敛的.
准备 迭代
x0 ，计算 f 0 f ( x0 ), 选定初始近似值
步骤2
按公式
x1 x0 f 0 / f 0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f ( x1 ), f1 f ( x1 ). 步骤3 控制
x1 满足 1 如果
f1 2 ，则终 或
5
止迭代，以 x1作为所求的根；否则转步骤4. 允许误差，而
3
又因
( x*)
f ( x*) , f ( x*)
数值分析 第7章 非线性方程求根综述
7.1.2 二分法
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，即两个端点值异号， 且f（x）在区间[a，b]上严格单调，则利用闭区间上 连续函数的性质，可知f（x）在 [a, b]上存在唯一的 零点，其几何意义如下图：
f(b) a x* f(a) b a x* f ( b) f(a)
满足此方程的解x, 称为方程的根, 也称x是函数f(x)的零点.
如果函数f(x)可以写成
f(x)=(x- x*)mg(x),其中g( x*) ≠0. 当m＞1时，称x*为方程(1.1)的m重根或称x*是函数f(x)的m
重零点;
当m=1时，称x*为方程(1.1)的单根或称x*是函数f(x)的 单重零点.
b
一、二分法的具体计算过程
设
f C[a, b] ,现求方程f(x)=0在区间[a,b] 上的根.
设函数f(x)满足 f (a) f (b) 0, 不妨设 f (a) 0, f (b) 0.
ab , 计算区间中点的函数值 第一步: 取区间中点 2 ab ) 0, ①如果 f ( 2 f( ab ), 2
分离区间：许多方程往往有两个以上的根，在某个区间[a，b] 上，如果方程在此区间内只含一个根，我们称此区间为方程的 分离区间。 原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，即两个端点值异号， 且f（x）在区间[a，b]上严格单调，则利用闭区间上 连续函数的性质，可知f（x）在 [a, b]上存在唯一的 零点，其几何意义如下图： 曲线y=f(x)与 f ( a ) f(b) x轴的交点就是 f(x)的零点.
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用
求解方程的近似根 ， 一般需要解决两个问题 ： １ ． 根 的隔离 。即找 出有根 区域 ， 使得在一些小 区间中 方程只有一根（ 或一对共轭复根 ） 以便获取各根的较粗糙 的近似值 。
区间值 ：ｘ ０
０ ． ０ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ Ｏ ． ０ Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０
【 专题研讨 】
二分法和牛顿迭代法 求解非线性 方程 的比较及应用
张 晓勇 ， 王 仲君
（ 武汉 理工 大学 ， 湖北 武汉 ４ 文基于计算机ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 和ｃ 语 言编程去分析 两者的计算复杂性 ， 并深入探讨 了两种方法的优缺点。 最后 ， 通 过将 两种方法结合起来解决非线性方程 的求解问题 ， 取得 了显著地效果 。同时， 这也再 次证明 了方法组合解决问题 的高
一
、
２ ０
２ １
５ ２ ． ４ ０ ６ ３ １ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０
５ ２ ． ４ ０ ６ ７ ８ ８ Ｏ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０
５ ２ ． ４ ０ ７ ２ ６ ５ Ｏ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０
效性 。
关键词 ： 二分法； 牛顿迭代法 ； 非线性 方程 中图 分 类 号 ： ０２ ４ ２ 文 献 标 志码 ： Ｂ
文 章编 号 ： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ２ ５ — ０ １ ３ ９ 一 Ｏ １
表１ 二 分法 程序 结 果
迭 代 数
区 间值 ：ｘ １
５ ０ ０ ． Ｏ ０ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ２ ５ ０． ０ ０ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ０ ０ ０ ０
２ ． 近似根 的精确化 。即用求根的数值方法 ， 使求得 的 近似根逐步精确化 ， 直到获得一定精度的近似根。 二分法和牛顿迭代法的基本思想 １ ． 二分法 。一般地 ， 对于 函数ｆ （ ｘ ） ， 如果存在实数Ｃ ， 当 Ｘ ＝ Ｃ 时， 若ｆ （ ｃ ） ＝ ０ ， 那么把ｘ ＝ ｃ Ｈ ｑ 做函数ｆ （ ｘ ） 的零点。解方程 即要求 ｘ ） 的所有零点。假定ｆ （ ｘ ） 在 区间（ ｘ ， ｙ ） 上 连续 ， 先 找到ａ 、 ｂ 属于区间（ ｘ ， Ｙ ） ， 使ｆ （ ａ ） ， ｆ （ ｂ ） 异号 ， 说 明在 区间（ ａ ， ｂ ） 内一定有零点 ， 然后求［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ １ ， 现在假设ｆ （ ａ ） ＜ ０ ， ｆ （ ｂ ） ＞ ０ ， ａ ＜ ｂ ， ①如果［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ］ ＝ Ｏ ， 该点就是零点。 如果［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ］ ＜ Ｏ ， 则在 区间（ （ ａ ＋ ｂ ） １ ２ ， ｂ ） 内有零点 ， 注： （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ＞ ＝ ａ ， 从① 开始继续使用 中点函数值判断。如果 ［ ｆ （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ 】 ＞ ０ ， 则在区 间（ ａ ， （ ａ ＋ ｂ ） １ ２ ） 内有零点 ， 注： （ ａ ＋ ｂ ） ／ ２ ＜ ＝ ｂ ， 从①开始继续使 用 中点 函数值判断。 这样就可以不断接近零点。 通过每次 把ｆ （ ｘ ） 的零点所在小区间收缩一半 的方法 ， 使 区间的两个 端点逐步迫近 函数的零点 ， 以求得零点 的近似值 ， 这种方 法叫做二分法 。 从以上可以看出 ， 每次运算后 ， 区间长度减 少一半 ， 是线形收敛 。另外 ， 二分法不能计算复根和重根 。 ２ ． 牛顿迭代法。设ｒ 是 ｘ ） ＝ ０ 的根 ， 选取ｘ ０ 作为ｒ 初始近 似值 ， 过点 （ ｘ Ｏ ， ｆ （ ｘ Ｏ ） ） 做 曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的切线 Ｌ ， Ｌ 的方程 为 ｙ ＝ ｆ （ ｘ Ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ Ｏ ） （ ｘ — ｘ ０ ） ， 求 出Ｌ 与ｘ 轴交点 的横坐标ｘ ｌ ＝ ｘ Ｏ — ｆ （ ｘ Ｏ ） ／ ｆ （ ｘ Ｏ ） ， 称ｘ １ 为ｒ 的一次近似值。 过点（ ｘ ｌ ， ｆ （ ｘ １ ） ） 作 曲线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ ）的切线 ，并求该切线与ｘ 轴交点 的横坐标ｘ ２ ＝ ｘ ｌ — ｆ （ ｘ １ ） ／ ｒ （ ｘ １ ） ， 称ｘ ２ 为ｒ 的二次近似值。重复 以上过程 ， 得ｒ 的 近似值序列 ， 其 中ｘ （ ｎ ＋ １ ） ＝ ｘ （ ｎ ） 一 ｆ （ ｘ （ ｎ ） ） （ ｘ （ ｎ ） ） ， 称为ｒ 的 ｎ ＋ １ 次近似值 ， 上式称为牛顿迭代公式 。 解非线性方程ｆ （ ｘ ） ０ 的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法 。把ｆ （ ｘ ） 在ｘ ０ 点附近展开成泰勒级数ｆ （ ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ０ ） ＋ （ ｘ — ｘ Ｏ ） ｒ （ ｘ Ｏ ） ＋ （ ｘ — ｘ Ｏ ） ＇ ２ ＊ ｆ ’ （ ｘ Ｏ ） ／ ２ １＋ …取其线性部分 ， 作为非线性方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 的近似方程 ， 即泰勒展开的前两项 ， 则有ｆ （ ｘ Ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ Ｏ ） （ ｘ — ｘ Ｏ ） ＝ ０ 设ｆ ＇ （ ｘ Ｏ ） ≠０ 则其解为ｘ ｌ ＝ ｘ Ｏ — ｆ （ ｘ Ｏ ） Ｘ（ ｘ Ｏ ） 这样 ， 得 到牛顿法 的一个迭代序列 ： Ｘ（ ｎ ＋ １ ） ＝ ｘ（ ｎ ） 一 ｆ（ Ｘ（ ｎ ） ） ／ ｒ （ ｘ （ ｎ ） ） ， 记为： ｛ ｘ （ ｎ ） ｌ 。 此时 ， 当ｎ 趋于无穷大时 ， ｘ （ ｎ ） 就会逐渐 逼近 ｘ ） ＝ ０ 的根。 二、 例证分析 １ ． 对此非线性方程ｘ Ｓ － ５ ０ ｘ Ｚ － ６ ６ １ ０ ＝ Ｏ 在单 独用二分法 和 牛顿迭代法时的效果都不显著。 实验 的结果分析： 由此可见 ， 牛顿迭代法是一种特殊 的迭代法 ， 用于求
高等代数中的非线性方程组 求解方法与案例
高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。
该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。
三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。
该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。
该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。
1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
二分法和牛顿迭代法求解非线性方程的比较及应用
求解方程的近似根，一般需要解决两个问题：1.根的隔离。
即找出有根区域，使得在一些小区间中方程只有一根（或一对共轭复根）以便获取各根的较粗糙的近似值。
2.近似根的精确化。
即用求根的数值方法，使求得的近似根逐步精确化，直到获得一定精度的近似根。
一、二分法和牛顿迭代法的基本思想1.二分法。
一般地，对于函数f （x ），如果存在实数c ，当x=c 时，若f （c ）=0，那么把x=c 叫做函数f （x ）的零点。
解方程即要求f （x ）的所有零点。
假定f （x ）在区间（x ，y ）上连续，先找到a 、b 属于区间（x ，y ），使f （a ），f （b ）异号，说明在区间（a ，b ）内一定有零点，然后求[f （a+b ）/2]，现在假设f （a ）<0，f （b ）>0，a<b ，①如果[f （a+b ）/2]=0，该点就是零点。
如果[f （a+b ）/2]<0，则在区间（（a+b ）/2，b ）内有零点，注：（a+b ）/2>=a ，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果[f （a+b ）/2]>0，则在区间（a ，（a+b ）/2）内有零点，注：（a+b ）/2<=b ，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f （x ）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
另外，二分法不能计算复根和重根。
2.牛顿迭代法。
设r 是f （x ）=0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（x0，f （x0））做曲线y=f （x ）的切线L ，L 的方程为y=f （x0）+f'（x0）（x-x0），求出L 与x 轴交点的横坐标x1=x0-f（x0）/f'（x0），称x1为r 的一次近似值。
过点（x1，f （x1））作曲线y=f （x ）的切线，并求该切线与x 轴交点的横坐标x2=x1-f（x1）/f'（x1），称x2为r 的二次近似值。
求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法
求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法解决非线性方程组是数学中的一个经典问题，其应用广泛，例如化学、物理、优化和金融等领域。
牛顿法和拟牛顿法是求解非线性方程组的常见方法之一，本文将详细介绍牛顿法和拟牛顿法的原理、优缺点以及实现步骤。
一、牛顿法牛顿法是一种高效的求解非线性方程组的方法，其基本思路是利用一阶泰勒展开式近似于原方程组，并以此构造一个更新方案，通过一步步迭代找到原方程组的解。
以二元非线性方程组为例，假设有方程组：f1(x1, x2) = 0f2(x1, x2) = 0根据泰勒展开式的一阶近似可得：f(x + Δx) ≈ f(x) + Jx Δx其中，Jx为函数f(x)在点x处的Jacobian矩阵，Δx是待求解的更新量，它满足：f(x + Δx) = 0将近似式带入上述方程组中，可得：Jx Δx = - f(x)由此可以推导出牛顿法的迭代式：x(k+1) = x(k) - [Jx(k)]⁻¹f(x(k))其中，k表示迭代次数，x(k)表示第k次迭代的解，[Jx(k)]⁻¹为Jx(k)的逆矩阵。
牛顿法的优点在于它的收敛速度很快，尤其是在初始值接近解时，收敛更加快速。
但是，牛顿法也有很大的局限性，一是它需要求解Jacobian矩阵，在高维情况下计算复杂度很高，二是它的收敛性依赖于初始值，有时候可能会陷入局部最优。
二、拟牛顿法为了克服牛顿法的局限，拟牛顿法被发明出来。
和牛顿法一样，拟牛顿法同样是基于泰勒展开式的近似思想，但是它避免了Jacobian矩阵的计算，从而提高了算法的计算效率。
拟牛顿法的核心是对于迭代过程中的Jacobian矩阵的近似。
常见的近似方法有Damping BFGS（DBFGS）算法、DFP算法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法等。
其中，BFGS算法是拟牛顿法的代表，其迭代步骤如下：1. 初始化矩阵B0 = I2. 对于第k次迭代，求出pk = -Bk-1gk，并更新xk+13. 计算sk = xk+1 - xk，yk = gk+1 - gk4. 更新矩阵Bk+1 = Bk + ΔB，其中ΔB = ρskskT - BkykT - ykBkρ = 1/ (ykT sk)其中ΔB称为BFGS修正子，它近似于Jacobian矩阵的逆。
解非线性方程
解非线性方程解非线性方程是数学中的一个常见问题，它的解决方法涵盖了多种数值和符号计算技术。
本文将讨论几种常见的解非线性方程的方法，并对其优缺点进行评估。
同时，还将给出一些实际问题，并通过求解相关的非线性方程来解决它们。
在数学中，非线性方程是指未知数的幂或次幂的函数与未知数的线性变换之和（或差）相等的方程。
它的求解相对于线性方程来说更加困难，因为非线性方程通常没有解析解。
所以我们需要使用一些数值计算方法来近似求解这类方程。
一、数值方法常见的数值方法包括二分法、牛顿法和割线法。
1. 二分法二分法是一种迭代逼近方法，适用于单峰函数的求解。
它的基本思想是通过计算方程在一个区间内的函数值的正负来确定方程在该区间内是否存在根，并将区间不断地缩小，直到得到满足精度要求的根。
2. 牛顿法牛顿法是一种迭代逼近方法，适用于光滑函数的求解。
它的基本思想是通过利用函数的局部线性近似来逼近方程的根。
具体步骤是：选择一个初始近似解，计算该近似解处的斜率（导数），然后使用切线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
3. 割线法割线法是一种迭代逼近方法，它是对牛顿法的改进。
与牛顿法使用切线逼近方程的根不同，割线法使用两个近似解之间的直线来逼近方程的根。
具体步骤是：选择两个初始近似解，计算这两个近似解处函数值，然后利用割线与坐标轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
二、符号计算方法符号计算方法主要包括代数解法和近似解法。
1. 代数解法代数解法是通过对方程进行变形和化简，利用代数运算和等式的性质来求解方程。
它适用于存在特定形式解的方程，例如二次方程和三次方程。
通过代数解法求解，可以得到方程的解析解。
2. 近似解法近似解法是通过对方程进行近似处理，将非线性方程转化为线性方程或更简单的非线性方程，然后利用线性方程或简单非线性方程的解法来求解。
近似解法常用的方法有级数展开法、迭代法和离散化方法等。
通过上述的数值和符号计算方法，我们可以解决各种非线性方程的求解问题。
二分法,不动点迭代法和牛顿迭代法
二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法是数值计算中常用的三种求根方法。
它们在不同的数学领域及实际问题中有着广泛的应用。
本文将对这三种方法进行介绍和比较。
一、二分法1. 原理二分法是一种基于区间不断缩小的求根方法。
其原理是通过在函数值的两个不同点处得到异号的情况下缩小区间来逼近实根。
具体过程为：首先确定一个区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号，然后将区间一分为二，取中点c=(a+b)/2，若f(c)为零或在一定误差范围内，则c即为所求的根；否则，根据f(a)和f(c)的符号确定新的区间[a,c]或[c,b]，重复上述步骤，直到满足要求。
2. 特点二分法的优点是简单易实现，对于连续且单调函数一定能收敛。
但其缺点是收敛速度较慢，尤其在根附近时迭代次数较多。
二、不动点迭代法1. 原理不动点迭代法是求解方程f(x)=0的一种迭代方法，通过将方程变换为x=g(x)，其中g(x)为连续函数，然后通过不断地迭代计算得到方程的根。
具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=g(xn)来逼近实根。
2. 特点不动点迭代法的优点是迭代过程简单，不需要对函数进行求导。
但其缺点是收敛性有一定要求，不是所有的g(x)函数都能得到收敛结果。
三、牛顿迭代法1. 原理牛顿迭代法是一种通过不断线性化函数来逼近方程根的方法。
其原理是通过对函数f(x)进行泰勒展开，并取展开式的线性部分来进行迭代计算。
具体过程为：给定一个初始近似值x0，通过不断迭代计算xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)来逼近实根。
2. 特点牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，在根附近有二次收敛性。
但其缺点是需要对函数进行求导，且初始值的选取对迭代结果有一定影响。
二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法都是求解方程根的有效方法，各有其优缺点和适用范围。
在实际应用中，根据问题的特性和计算要求来选择适当的方法，以达到准确和高效的求解目的。
4. 比较与应用通过对二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法的介绍，我们可以对它们进行比较与应用。
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程在高中数学中，求解方程是一个重要的内容，而二分法和牛顿迭代法是两种常用的求解方程的方法。
本文将介绍这两种方法的原理、应用以及解题技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、二分法的原理和应用二分法是一种通过不断缩小搜索范围来逼近方程根的方法。
其基本原理是将待求解的区间不断二分，判断根是否在左半区间还是右半区间，并将搜索范围缩小至根的附近。
具体步骤如下：1. 确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号；2. 计算区间中点c=(a+b)/2；3. 判断f(c)与0的关系，若f(c)=0，则c为方程的根；若f(c)与f(a)异号，则根在区间[a, c]内，否则根在区间[c, b]内；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求或找到根。
二分法的应用非常广泛，例如在求解函数的零点、解方程、求解最优化问题等方面都有应用。
下面通过一个具体的例题来说明二分法的应用和解题技巧。
例题1：求方程x^3-2x-5=0的根。
解题思路：1. 首先我们需要确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号。
根据题目中的方程，可以取a=1，b=2，计算f(1)=-6和f(2)=1，满足条件；2. 计算区间中点c=(a+b)/2=1.5；3. 计算f(c)=f(1.5)=-1.375，与0的关系异号，说明根在区间[1, 1.5]内；4. 重复步骤2和步骤3，不断缩小搜索范围，直到满足精度要求或找到根。
通过不断迭代，我们可以得到方程的根为x=1.709。
这个例题展示了二分法的基本思路和解题技巧，通过不断缩小搜索范围，我们可以逼近方程的根。
二、牛顿迭代法的原理和应用牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近方程根的方法，其基本原理是利用函数的切线来逼近根的位置。
具体步骤如下：1. 确定初始点x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 计算切线的方程y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；4. 求切线与x轴的交点x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)；5. 重复步骤2到步骤4，直到满足精度要求或找到根。
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例 ： 求 方 程f ( x) x3 11.1x2 38.8 x 41.77 0 的 有 根 区 间 ， 用 二 分 法求 模 最 小 的 实 根 ， 若 要 求 准 确 到103， 则 至 少 要 迭 代 多 少 次？
解：对方 程的 根做 搜索计算 ，结果 如下 ：
x
0123456
f ( x)的符 号
考察二分法构造的点列x(k) 能否收敛到根
x(1) 1 (a b) 2
x(1) x* 1 (b a) 2
x(2)
x*
1 2
1 (b a) 2
1 22
(b a)
x(k)
x*
1 2结
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
f (1) 4 0, f (2) 3 0
正 根x* [1,2]
取中点1 2 1.5,考查f (1.5) ? 2
When to stop?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
不能保证 x 的精 度
2
x*
x
二分法的收敛性分析与误差估计
设方程f ( x) 0，某根为x* [a, b], f (a) f (b) 0
f (x0) f '(x0)
同 理 ， 当f '( x（1）) 0, x(2)
x（1）
f ( x（1）) f '( x（1）)
， 当f '( x（k）) 0, x(k1)
x（k）
f ( x（k）) f '( x（k）)
几何意义
收敛性分析
若点列x(k) x* , 且f '( x) C, f '( x* ) 0
则k 时 ，x*
x*
f (x*) f '(x*)
f ( x* ) 0， 即x*为 根
注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。
x0 x0 x✓0
x*
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每 一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出 区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0 。
非线性方程求根
/ Solutions of Nonlinear Equations /
邹昌文
二分法 / Bisection Method /
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
考 虑 三 次 方 程f ( x) x3 x2 3 x 3 0的 正 根
Taylor展 开 f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 ) O((x x0 )2 )
截断到一阶 令l( x) f ( x0 ) f '( x0 )(x x0 )
用l( x) 0的根近似代替f ( x) 0的根
当f '( x0 ) 0, x(1)
x0
3个有根区间为[：2,3],[3,4],[5,6]
显然模最小的实根 [2,3]
1 2k
(3
2)
103
2k
103
k
10
牛顿法/ Newton - Raphson Method /
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 / Taylor’s expansion /
考虑方程f ( x) 0 选 择 一 估 计 值 为 起 点x 0