电工基础13

124第十三章 瞬态过程第一节 瞬态过程的基本概念一、瞬态过程1．瞬态过程瞬态过程又叫做过渡过程。

如图13-1所示的RC 直流电路，当开关S 闭合时，电源E 通过电阻R 对电容器C 进行充电，电容器两端的电压由零逐渐上升到E ，只要保持电路状态不变，电容器两端的电压E 就保持不变。

电容器的这种充电过程就是一个瞬态过程。

2．电路产生瞬态过程的原因由上可知，电路产生瞬态过程的原因是： (1) 电路中必须含有储能元件(电感或电容)。

(2) 电路状态的改变或电路参数的变化。

电路的这些变化称为换路。

二、换路定律换路使电路的能量发生变化，但不跳变。

电容所储存的电场能量为221C Cu ，电场能量1．瞬态过程和换路定律。

2．三要素法确定RC 和RL 电路的瞬态过程表达式。

确定三要素。

图13-1 电路的过渡过程125不能跳变反映在电容器上的电压u C 不能跳变。

电感元件所储存的磁场能量为221L Li ，磁场能量不能跳变反映在通过电感线圈中的电流i L 不能跳变。

设t = 0为换路瞬间，则以t = 0– 表示换路前一瞬间，t = 0+ 表示换路后一瞬间，换路的时间间隔为零。

从t = 0– 到t = 0+ 瞬间，电容元件上的电压和电感元件中的电流不能跃变，这称为换路定律。

用公式表示为 u C (0–) = u C (0+)i L (0+) = i L (0–)三、电压、电流初始值的计算电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行：1． 根据换路前的电路求出换路前瞬间，即t = 0– 时的u C (0–)和i L (0–)值； 2． 根据换路定律求出换路后瞬间，即t = 0+ 时的u C (0+)和i L (0+)值；3． 根据基尔霍夫定律求电路其他电压和电流在t = 0+ 时的值(把u C (0+)等效为电压源， i L (0+)等效为电流源)。

解：选定有关电流和电压的参考方向，如图13-2所示，S 闭合前u C (0–) = 0开关闭合后根据换路定律u C (0+) = uC (0-) = 0在t = 0+ 时刻，应用基尔霍夫定律，有u R 1(0+) = E = 12V u R 2(0+) + u C (0+) = Eu R 2(0+) = 12V 所以 m A 4 A 10312)0()0(3111=⨯==++R u i R m A 2 A 10612)0()0(322=⨯==++R u i R C则 m A 6)0()0()0(1=+=+++i i i C解：选定有关电流和电压的参考方向，如图13-3所示。

闭合前，电路处于稳态，电感相当于短路，则【例13-1】如图13-2所示的电路中，已知E = 12 V ，R 1 = 3 k Ω，R 2 = 6 k Ω，开关S 闭合前，电容两端电压为零，求开关S 闭合后各元件电压和各支路电流的初始值。

【例13-2】如图13-3所示电路中，已知电源电动势E = 100 V ，R 1 = 10 Ω，R 2 = 15 Ω，开关S 闭合前电路处于稳态，求开关闭合后各电流及电感上电压的初始值。

图13-2 例13-1图126A 41510100)0(211=+=+=-R R E iS 闭合后，R 2被短接，根据换路定律，有i 2(0+) = 0 i L (0+) = i L (0–) = 4A在0+ 时刻，应用基尔霍夫定律有 i L (0+) = i 2(0+) + i 3(0+) R 1i L (0+) + u L (0+) = E所以 i 3(0+) = i L (0+) = 4Au L (0+) = E – R 1i L (0+) = (100 – 10 ⨯ 4) V = 60 V第二节 RC 电路的瞬态过程一、RC 电路的充电如图13-4中，开关S 刚合上时，由于u C (0-) = 0，所以u C (0+) = 0，u R (0+) = E ，该瞬间电路中的电流为REi =+)0(电路中电流开始对电容器充电，u C 逐渐上升充电电流i 逐渐减小，u R 也逐渐减小。

当u C 趋近于E ，充电电流i 趋近于0，充电过程基本结束。

理论和实践证明，RC 电路的充电电流按指数规律变化。

其数学表达式为RC tRE i -=e 则 RCt R E iR u -==e)e1()e1(τtRC t R c E E u E u ---=-=-=式中 τ = RC 称为时间常数，单位是秒(s)，它反映电容器的充电速率。

τ 越大，充电过程越慢。

当t = (3 ~ 5)τ 时，u C 为(0.95 ~ 0.99)E ，认为充电过程结束。

u C 和i 的函数曲线如图13-5所示。

图13-3 例13-2图图13-5 u C 、、i 随时间变化曲线图13-4 RC 电路127解：τ =RC = 50 s则 Ae 100e50μ==--tRC tR E ii (0+)的一半为 A 505.01005.0μ=⨯=⨯RE50e10050t -⨯=即 5.0e 50=-t 查指数函数表， 693.050=tt = 50 ⨯ 0.693 ≈ 34.7 s二、RC 电路的放电如图13-6所示，电容器充电至u C =E 后，将S 扳到2，电 容器通过电阻R 放电。

电路中的电流及都按指数规律变化，其 数学表达式为τττtC t R tEeu Ee u eR E i ---=-=-=τ =RC 是放电的时间常数。

u C 和i 的函数曲线如图13-7所示。

解： A 1041050200)0()0(332-++⨯=⨯==R u i C τ = R 2C = 50 ⨯ 103 ⨯ 0.5 ⨯ 10-6 s = 25 ms37.020074)0(===+-C C tu u eτ求得 t /τ = 1t = τ = 25 ms【例13-3】在图13-4所示的电路中，已知E = 100 V ，R = 1 M Ω，C = 50 μF 。

问：当闭合后经过多少时间电流减小到其初始值的一半。

图13-6 电容通过电阻放电电路图13-7 电容放电时u C ，I变化曲线【例13-4】图13-8所示电路中，已知C = 0.5 μF ，R 1 = 100 Ω，R 2 = 50 k Ω，E = 200 V 当电容器充电至200 V ，将开关S 由接点1转向接点2，求初始电流、时间常数以及接通后经多长时间电容器电压降至74 V ？图13-8 例13-4图128第三节RL 电路的瞬态过程一、RL 电路接通电源在图13-9所示的RL 串联电路中，S 刚闭合时电路的方程为EtiL Ri Eu u L R =∆∆+=+ i 、u R 、u L 变化的数学表达式为)e 1()e 1(τtt R LRER E i ---=-= 所以 )e 1()e1(τtt RLR E E u ---=-= τtt RL L E E u --==ee式中，RL=τ称为RL 电路的时间常数，单位为秒(s)，意义和RC 电路的时间常数 τ 相同。

i 、u R 和u L 随时间变化的曲线如图13-10所示。

二、RL 电路切断电源在图13-11所示的电路中，S 闭合稳定后，断开S 的等效电路如图13-12所示。

i ，u R ，u L 的数学表达式为ττtL L R tL E Ri u u i i -+-+====e)0(e)0(图13-10 RL 电路接通电源时，电流、电压曲线图13-11 RL 电路图13-12 RL 电路切断电源的等效电路图13-9 RL 电路接通电源129式中1)0(R E i L =+是开关断开瞬时电感线圈中的初始电流。

解：S 未闭合前，继电器中电流为A 05.025023024)0(1=+=+=-R R E i LS 闭合后，继电器所在回路的时间常数为s 1.025025===R L τ继电器所在回路的电流为：A e 05.0)0(10t tL L e i i --+==τ当i L 等于释放电流时，继电器开始释放，即t 10e 05.0004.0-=解得 t ≈ 0.25 s 即S 闭合后0.25 s ，继电器开始释放。

第四节 一阶电路的三要素法一阶电路是指含有一个储能元件的电路。

一阶电路的瞬态过程是电路变量有初始值按指数规律趋向新的稳态值，趋向新稳态值的速度与时间常数有关。

其瞬态过程的通式为f (t ) = f (∞) + [ f (0+) – f (∞)]τt -e式中：f (0+) —— 瞬态变量的初始值； f (∞) —— 瞬态变量的稳态值； τ —— 电路的时间常数。

可见，只要求出f (0+)、f (∞)和 τ 就可写出瞬态过程的表达式。

把f (0+)、f (∞)和 τ 称为三要素，这种方法称三要素法。

如RC 串联电路的电容充电过程，u C (0+) = 0， u C (∞) = E ， τ = RC ，则u C (t)= u C (∞)+[ u C (0+) − u C (∞)]τt-e结果与理论推导的完全相同，关键是三要素的计算。

f (0+)由换路定律求得，f (∞)是电容相当于开路，电感相当于短路时求得的新稳态值。

【例13-5】图13-13中，K 是电阻为R = 250 Ω，电感L = 25 H 的继电器，R 1 = 230 Ω，电源电动势E = 24 V 。

设这种继电器的释放电流为0.004 A 。

问：当S 闭合后多少时间继电器开始释放？ 图13-13 例13-5图130τ = RC 或RL=τ，R 为换路后从储能元件两端看进去的电阻。

解：u C (0+) =u C (0-) = 0u C (∞)=V 22010610)(211=+⨯=+=∞R R E R u C等效电阻Ω=+⨯=+=k 320201020102121R R R R R s 2.010301032063=⨯⨯⨯==-RC τ 则通解为V e 22]e)20(2[52.0t t C u ---=-+=解：(1) 确定初始值：m A 43220)0(21=+=+=-R R E i Li C (0+) = i L (0–) = 4 mA(2) 确定稳态值m A 10A 10220)(31=⨯==∞R E i L (3) 确定时间常数R = R 1 = 2 k Ωs 2s 102102104633μ=⨯=⨯⨯==--R L τ 则通解为m A )610(])104(10[66105102t t L e ei ⨯-⨯--=-+=-【例13-6】如图13-14所示的电路中，已知E = 6 V ，R 1 = 10 k Ω，R 2 = 20 k Ω，C = 30 μF ，开关S 闭合前，电容两端电压为零。

求：S 闭合后电容元件上的电压比?图13-14 例13-7图图13-15 例13-7图【例13-7】图13-15所示电路中，已知E = 20 V ，R 1 = 2 k Ω，R 2 = 3 k Ω，L = 4 mH 。