人教版数学八年级下册：20.2 数据的波动程度——方差与标准差 课件(共26张PPT)

老师的烦恼
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下：
甲 85 90 90 90 95
乙 95 85 95 85 90
⑴ 请分别计算两名同学测试成绩的平均分和极差；
_
_
x甲 90(分) x乙 90(分)
甲成绩的极差=95-85=10 乙成绩的极差=95-85=10
（2） 现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为 挑选哪一位比较适宜？为什么？
去a，得到一组新数据 x'1 , x'2 ,L, x'n , 那么这两组数据
的方差有什么关系？
x

x1
+
x2
+L+ n
xn
s2 (x1 - x)2 + (x2 - x)2 +L+ (xn - x)2 n
x'
x'1+x'2 +L+ x'n (x1 + x2 n+L+ xn
n
(x1 - a) ) - na x
甲：10 8 7 7 8 乙： 9 8 7 7 9 在这5 天中，哪台编织机每天编织的合格产品的数量较稳定？
x甲

10
+
8
+7 5
+
7
+
8

8
s甲
(10 - 8)2 + (8 - 8)2 +L+ (8 - 8)2 10
15 5
x乙

9
+8
+
7 5
+
7
+
9

8
s乙
(9 - 8)2 + (8 - 8)2 +L+ (9 - 8)2 10
甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90）
+（95-90）= 0
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90）
+（90-90）= 0
能用偏差的和表示一组数据 的离散程度吗？
设 x 是数据为x1、 x2、 x3、……、xn的平均数，
－n·
1 n
( x1+
x2+
x3 +
L
+
xn )
=0
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 +（90-90）2+（95-90）2 = 50
乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90）2+（90-90）2 = 100
成绩/分
20
22
26
28
30
人数/名
1
2
2
3
2
这10 名同学测试成绩的标准差是多少（精确到0 . 1 分）? 解：平均分为： x 20×1 + 22×2 + 26×2 + 28×3 + 30×2 26（分）
10
2 ．甲、乙两台编织机同时编织同种品牌的毛衣，在5 天中，两台编织机每天编 织的合格产品数量如下（单位：件）:
10
=1.2
（3）大刚进球个数的标准差为
s s2 1.2 1.0离散程度越小，波动越小. 方差或标准差越大，离散程度越大，波动越大
总结:
极差----反映一组数据变化范围的大小； 方差与标准差------ 描述一组数据的波动大 小.
区别：极差反映一组数据的变化范围，主要反映 一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他 的数据的波动不敏感.
4、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同， 且 稳射 定击 ，成那绩么的方平差均的数大小x甲关=系x乙是，S如2甲果——甲＜—的—S射2乙击。成绩比较
１、关于两组数据波动大小的比较，正确的 是（Ｂ ）
Ａ．极差较小的数据波动较小 Ｂ．方差较小的数据波动较小 Ｃ．平均数较小的数据波动较小 Ｄ．中位数较小的数据波动较小
也可以采用列表的方法求大刚进球个数的方差:
数据xi 5 4 5 3 3 5 2 5 3 5
平均数 x
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
xi－ x
1 0 1
-1 -1 1
-2 1
-1 1
（xi－ x ）2
1 0 1 1 1 1 4
1 1 1
s2 1+ 0 +1+L+1 1.2（个2） 10
S2= 1 （[ x1－ x )2＋（x2－ x )2＋（x3－ x )2＋ …… ＋（xn－ x) 2 ] n
方差越小，这组数据的离散程度越小，数据就越集中，平均数代表性就越大.
3.标准差:
s=
(x1 -
x)2
+ (x2
-
x)2
+L
( xn
-
x)2 .
n
标准差也是表示一组数据离散程度的量.
如果一组数据x1，x2，…，x n，中的每一个数据都减
的平均数，叫做这组数据的方差（variance ) ，通常用
S2 表示，即
S2=
1 n
（[ x1－ x )2＋（x2－ x )2＋（x3－ x )2＋ …… ＋（xn－ x) 2 ]
方差越小，这组数据的离散程 度越小，数据就越集中，平均
数代表性就越大.
例1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5 次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是： 5453352535
２、为了备战２００８年奥运会，刘翔正在刻苦训练， 教练对他的１０次成绩进行分析。 为判断刘翔成绩的平均水平，则教练需了解他这１０ 次成绩的 C . 为判断刘翔成绩的变化范围，则教练需了解他这１０ 次成绩的 A . 为判断刘翔的成绩是否稳定，则教练需了解他这１０ 次成绩的 B .
A.极差 B.方差 C.平均数 D.最好成绩
由于方差S2的单位与原始数据单位不一致，因此在实际 应用中常常求出方差后，再求它的算术平方根，这个算术平 方根称为这组数据的标准差，用S表示.
s (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L(xn - x)2 . n
标准差也是表示一组数据离散程度的量.
例1某足球队对运动员进行射点球成绩测试，每人每天射点球5 次，在10天中，运动员大刚的进球个数分别是：
在一组数据中，每个数据与平均数的差叫 做这个数据的偏差． 偏差可以反映一个数据偏离平均数的程 度．
试一试：求各数据的偏差如何 ？
老师的烦恼
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下： 甲 85 90 90 90 95 乙 95 85 95 85 90
甲成绩各数据的偏差：-5, 0， 0， 0 ，5.
乙成绩各数据的偏差：5， -5， 5， -5，0.
方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组 数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个 数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组 数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡 量一组数据的波动大小. 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位 是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据 单位相同.

s2
所以s'2 s2
必做题:课本P104 A组 1、2题 选做题:课本P104 B组 1题
同学们, 再见!
温故知新
1.一组数据中的最大数据与最小数据的差称为极差，即
极差＝最大数据一最小数据．
2.极差反映一组数据的波动范围，用极差描述这组数据的 离散程度简单明了．极差越大，数据的离散程度越大．
3.由于极差忽视了一组数据中所有数据之间的差异，仅仅 由其中的最大值和最小值所确定，个别远离群体的极端值 在很大程度上会影响极差，因而极差往往不能充分反映一 组数据的实际离散程度．
（1）求大刚进球个数的平均数； （2）求大刚进球个数的方差.
解:（1）大刚进球个数的平均数为
x 5 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 + 2 + 5 + 3 + 5 =4(个); 10
（2）大刚进球个数的方差为
s2

(5 -
4)2
+
(4
-
4)2
+ (5 10
4)2
+L+
(5
-
4)2
=1.2
由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数
恰好相互抵消，结果为零,所以不能用偏差的和表示一组数据的离散
程度.
为了刻画一组数据的离散程度，通常选用偏差的平方的平均数
来描述．
S2= （x1－ x
)2＋（x2－ x
)2＋（x3－ x n
)2＋
……
＋（xn－
x)2
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方
10 5
因为S甲＞S乙，所以乙编织机每天编织的合格产品的数量较稳定.
1.在一组数据中，每个数据与平均数的差叫做这个数据的偏差．偏差可以反映一个数据 偏离平均数的程度．
由于偏差可能是正数、零、负数，在求偏差的和时，正、负数恰好相互抵消，结果为 零,所以不能用偏差的和表示一组数据的离散程度.
2. 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据 的方差，通常用S2 表示，即
+ -
( x2 a
-
a) n