吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合1，，则A. B. C. D.2.若复数为纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 0C.D.3.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果4.已知的三个顶点坐标分别为，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.5.设公差小于0的等差数列的前n项和为，且，则当取得最大值时n的值为A. 6B. 7C. 8D. 116.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线B. 平面C. AE，为异面直线，且D. 平面8.设x，y满足约束条件若目标函数的最大值为18，则a的值为A. 3B. 5C. 7D. 99.如图所示程序框图，若输出的x为，则输入的值为A. 1B.C.D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.B.C.D.11.双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数，对任意的，，都有恒成立，则实数k的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中的项的系数为20，则实数______．14.已知函数，则曲线在处的切线的斜率为______．15.如图，直角中，，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为______．16.半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，已知D为BC边上一点，，若．Ⅰ求的值；Ⅱ若的面积为，求a的值．18.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，，第六组，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．Ⅰ求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在以上含的人数；Ⅱ从这50名男生中身高在以上含的人中任意抽取2人，该2人身高排名从高到低在全省前130名的人数记为，求的数学期望．附：参考数据：若服从正态分布，则，，．19.已知平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．Ⅰ求证：平面FED；Ⅱ求平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，已知点P是离心率为的椭圆C上的点，，为椭圆C的左右焦点，且的周长为6．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知与为平面内的两个定点，方程为的直线l与椭圆C交于M，N两点，问直线AM与BN的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．21.已知函数．Ⅰ当且时，试判断函数的单调性；Ⅱ若且，求证：函数在上的最小值小于；Ⅲ若在R上是单调函数，求ab的最小值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数Ⅰ求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；Ⅱ设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求面积的最大值．23.已知函数．Ⅰ若不等式的解集为或，求实数a的值；Ⅱ若对，，求实数a的取值范围．答案和解析【答案】1. C2. D3. B4. B5. B6. B7. C8. A9. D10. C11. A12. D13.14.15. ．16.17. 解：Ⅰ在中，，可得，由，可得，，即为，，若，，有，故；Ⅱ由的面积为，得，再由余弦定理可得，可得．18. 解：Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为，高于全市的平均值；由频率分布直方图知，后两组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上含的人数为10人．，，，全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，于是，，．．19. 本小题满分12分证明：Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD．平行四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为BD与CE的交点，现沿BE将折起至位置，使平面PBE与平面BCDE垂直，设点G为的重心．，，，平面PDE，平面分解：以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z轴，建立坐标系．则0，，，0，，，0，，设平面BFG的法向量y，，则，取，得，分平面PBE的法向量1，分设平面BFG与平面PBE所成锐二面角为，则．故平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值为分20. 解：由且，可得，，即椭圆的方程为．设，，联立消去x得，，即，，AM：，BN：，可得，即，解得，故直线AM与BN的交点在同一条直线上．21. 解：Ⅰ由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在R上单调递増．证明Ⅱ由知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，．令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于；Ⅲ，所以，由为R上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，所以，当时，，当时，，在R上为增函数，当时，与矛盾，当时，等价于，等价于，当时，，，令，，则，当，解得，当，解得，当时，，所以ab的最小值为．22. 本小题满分10分解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，直线l：分Ⅱ设，点P到直线l的距离：，曲线C是圆心为，半径的圆，圆心到直线l的距离，，面积的最大值为分23. 解：Ⅰ当时，由题意可知，，，．经检验成立．Ⅱ令当时显然不成立；当时，，从而，即．当时，，从而，即．综上可得实数a的取值范围是．【解析】1. 解：；，且；．故选：C．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2. 解：复数为纯虚数，，，解得．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．观察等高条形图，能够求出结果．本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：，，，可得，，向量在方向上的投影为，故选：B．求得向量AB，AC的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5. 解：由题意知，，，即，．由等差数列公差小于0，从而取最大值时．故选：B．由题意知，利用通项公式可得：，可得，由等差数列公差小于0，即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：根据函数的部分图象，可得，，，结合五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．7. 解：A不正确，因为与在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为AE，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故A平面不正确；故选：C．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．8. 解：画出约束条件的可行域，如图：目标函数最大值为18，即目标函数在的交点处，目标函数z最大值为18，所以，所以．故选：A．由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出a的值．本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键．9. 解：由题意知时，时，时，时，以此类推可知，解得．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10. 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，，，，．可确定其最大面的面积为．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11. 解：根据题意，设P的坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，则，，，，过焦点与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则，则有，解可得，则，若是和的等比中项，则有，则有，变形可得：，则，则该双曲线的离心率，故选：A．根据题意，设P的坐标为，由双曲线的标准方程分析可得、、、的坐标，求出P的坐标，即可得，由等比数列的性质分析可得，则有，将其变形可得，结合双曲线的性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的离心率公式，关键是得到关于a、b、c的等式．12. 解：根据题意，不妨设，则等价于，令，则，再设，，原不等式等价于在上恒成立，又由，则，，则有恒成立，又由，则必有，即k的取值范围为；故选：D．根据题意，不妨设，则原不等式等价于，令，则，再设，，求导，求出函数的最值即可求出k的范围本题考查函数的恒成立问题，涉及导数的性质以及应用，关键是将原问题转化为函数的最值问题．13. 解：的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的项的系数为，故，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得项的系数，再根据项的系数等于60，求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：，，故答案为：．求出函数的导数，计算的值即可．本题考查了切线的斜率问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 解：根据题意，如图建立坐标系，则，，设N的坐标为，则，设，则，，，则，则，，又由过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则，则有，即，变形可得：；又由，则，则点N的轨迹方程为，；故答案为：，．根据题意，建立坐标系，设N的坐标为，由此分析可得A、M、B的坐标，设，由三角函数的定义分析可得、的值，由平行线的性质分析可得，即，变形即可得答案．本题考查轨迹方程的求法，涉及抛物线的定义，关键是分析得到的值．16. 解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切，由三角形相似可得，即，圆锥的体积．当且仅当即时取等号．故答案为：．根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．本题考查了圆锥的结构特征，体积公式与基本不等式的应用，属于中档题．17. Ⅰ运用余弦定理可得，由，可得，运用余弦定理化简可得，再由正弦定理即可得到所求值；Ⅱ运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为结合频率分布直方图即可得出．由，可得，可得全省前130名的身高在cm以上，这50人中cm以上的有5人；随机变量可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. Ⅰ延长BG交PE于H，连接HD，推导出，由此能证明平面PED．以E为原点，以EB为x轴，以EC为y轴，以过点E垂直于平面BCDE的直线为z 轴，建立坐标系利用向量法能求出平面BFG与平面PBE所成锐二面角的余弦值．本题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20. Ⅰ由且，即可求出a，c，可得b，即可得到椭圆方程，Ⅱ设，，联立，根据韦达定理和直线方程可得，即可求出直线方程．本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题21. Ⅰ先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，Ⅱ等价于当时，构造函数，，求出函数的最值即可证明，Ⅲ等价于，构造函数，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题．22. Ⅰ由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的参数方程，能求出直线的普通方程．Ⅱ设，点P到直线l的距离，再求出，由此能求出面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23. Ⅰ根据去绝对值，求解的解析式，解集为或，即可求实数a的值；Ⅱ对a进行讨论，去绝对值，求解实数a的取值范围．本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想．。
【高三数学试题精选】2018届高三数学理科质量监测试题4(长春市附答案)
2018届高三数学理科质量监测试题4（长春市附答案）
5 c 长春市普通高中2
c 是奇函数，最小值为 D 是偶函数，最小值为
7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A B
c D
8二项式的展开式中，项的系数为
A B c 15 D -15
9据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数（单位万）服从正态分布，则日接送人数在6万到68万之间的概率为（）
A B c D
10球面上有A,B,c三点，球心到平面ABc的距离是球半径的，且，则球的表面积是
A B c D
11已知是双曲线的两个焦点，P是双曲线c上的一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线c的渐近线方程为
A B c D
12已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围为
A B c D
二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共5不等式选讲
（1）已知函数，若不等式的解集为，求的值；
（2）已知实数，且，求证
长春市普通高中2018届高三质量监测（四）
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。
吉林省长春市2018届普通高中高三质量监测(四)理科综合试题及答案 精品
长春市普通高中2018届高三质量监测（四）理科综合能力测试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Al—27 Fe—56Cu—64 Au—197第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞核的叙述，正确的是A．核仁与某种RNA的合成有关B．核膜由两层磷脂分子组成C．细胞核内的液体叫做细胞液 D．DNA通过核孔进出细胞核2．最新研究发现，如果限制人体内谷氨酰胺（一种非必需氨基酸）的含量，肿瘤细胞会因为无法正常吸收葡萄糖而导致代谢受抑制。
下列叙述错误的是A．恶性肿瘤细胞膜上的糖蛋白数量比正常细胞少B．谷氨酰胺可能是合成葡萄糖载体蛋白的原料C．人体不能合成谷氨酰胺，只能从外界环境获取D．切断肿瘤细胞的“糖路”，可“饿死”肿瘤细胞3．寨卡病毒是RNA病毒，可直接以其基因组RNA作为mRNA 指导蛋白质的合成。
下列叙述正确的是A．寨卡病毒可在人体内环境中繁殖B．寨卡病毒基因的遗传遵循分离定律C．寨卡病毒RNA彻底水解的产物有6种D．寨卡病毒RNA经过转录和翻译合成蛋白质4．下图表示一株小麦叶片叶绿体内C3相对含量在一天24h内的变化过程。
下列叙述错误的是A．与B点相比，C点叶绿体中C5含量较高B．CD段C3含量升高可能是由晴转阴导致的C．与F点相比，G点叶绿体中ATP和[H]含量较高D．D→I段植物体内有机物的含量先下降后上升5．下列关于生物体内物质运输的叙述，正确的是A．细胞呼吸时丙酮酸要转运到线粒体内才能被利用B．细胞吸收离子的速率与细胞呼吸强度成正比C．细胞通过胞吞和胞吐运输的一定是大分子物质D．植物顶端优势的形成与生长素的极性运输有关6．下列关于过敏反应和自身免疫病的叙述，错误的是A．都会发生特异性免疫过程B．都不会破坏组织细胞C．都与免疫系统的防卫功能有关D．都会引起机体功能紊乱7．下列说法正确的是A．乙醇用作医用消毒剂时，无水乙醇消毒效果最好B．高锰酸钾溶液可以杀死埃博拉病毒，其消毒原理与漂白粉消毒饮用水的原理不同C．公益调查《柴静雾霾调查：穹顶之下》发布，其中雾霾中的PM2.5属于胶体D．天津港爆炸案中对剧毒的氰化钠(NaCN) 喷洒双氧水处理，利用了双氧水的氧化性8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述中正确的是A．N A个Fe(OH)3胶体粒子的质量为107gB．标准状况下，1L液态水中含有的H+数目为10-7N AC．14g分子式为C n H2n的链烃中含有的碳碳双键的数目为N A/n D．1 mol冰醋酸和l mo1乙醇经酯化反应可生成H2O分子数为N A9．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X最外层电子数是次外层2倍，Y是非金属性最强的元素，Z原子半径在同周期元素中最大，W可与Z形成离子化合物Z2W。
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科)
2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={−3, −1, 1, 3}，B={x|x2+2x−3=0}．则A∩(∁R B)=()A.{1, −3}B.{−1, −3}C.{−1, 3}D.{1, 3}2. 若复数z=1+i1+ai为纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.0C.−12D.−13. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图，如图所示．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A、B对该疾病均没有预防效果4. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(−3, 3)，C(4, 2)，则向量AB→在AC→方向上的投影为（）A.√10B.−√10C.√22D.−√225. 设公差小于0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=11a6，则当S n取得最大值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.116. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π2<φ<π2)(x∈R)的部分图象如图所示，则f(π3)=()A.1 2B.√32C.−12D.−√327. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( ) 1与B 1E 是异面直线B.AC ⊥平面ABB 1A 1C.AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D.A 1C 1 // 平面AB 1E8. 设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为（ ） A.3 B.5 C.7 D.99. 如图所示程序框图，若输出的x 为−1，则输入x 0的值为（ ）A.1B.12C.−1D.210. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为（ ）A.4√2B.4√6C.8√2D.8√611. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.√512. 已知函数f(x)=e x，对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<|k|⋅（f(x1)+f(x2)）恒成立，则实数k的取值范围是（）A.[−2, 2]B.(−∞, −2]∪[2, +∞)C.[−12,1 2 ]D.(−∞,−12]∪[12,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．若(1−ax)6的展开式中的x3项的系数为20，则实数a=________．已知函数f(x)=sinx+cosx，则曲线y=f(x)在x=π12处的切线的斜率为________．如图，直角△OAB中，OA=4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为________．半径为1的球放置于一个圆锥中，并使得球与圆锥底面相切，则圆锥体积的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60∘，已知D为BC边上一点，CD=2DB，若AD=√213b．(Ⅰ)求sinBsinC的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为2√3，求a的值．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5, 16)，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5, 162.5)，第二组[162.5, 167.5)，…，第六组[182.5, 187.5)，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)求该学校高三年级男生的平均身高与这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数；(Ⅱ)从这50名男生中身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．（附：参考数据：若ξ服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974．已知平行四边形ABCD 中，A =60∘，AD =2AB ，点E 为AD 的中点，点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直，设点G 为△PBE 的重心．(Ⅰ)求证：GF // 平面PED ；(Ⅱ)求平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．在平面直角坐标系中，已知点P 是离心率为12的椭圆C 上的点，F 1，F 2为椭圆C 的左右焦点，且△F 1PF 2的周长为6． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知A(−2, 0)与B(2, 0)为平面内的两个定点，方程为x =my +1(m ∈R)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，问直线AM 与BN 的交点是否在一条直线上，如果是，请求出该直线的方程；否则请说明理由．已知函数f(x)=e x −12bx 2+ax(a, b ∈R)． (Ⅰ)当a >−1且b =1时，试判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若a <1−e 且b =1，求证：函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12；(Ⅲ)若f(x)在R 上是单调函数，求ab 的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲]已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t（t 为参数）(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C和直线l相交于A，B两点，点P为曲线C上异于A，B的一点，求△PAB面积的最大值．[选修4-5不等式选讲]已知函数f(x)=|x−2|．(Ⅰ)若不等式f(x−a+2)+f(x−1)≥4(a<3)的解集为{x|x≤12或x≥92}，求实数a的值；(Ⅱ)若对∀x∈R，f(x−a+2)+2f(x−1)≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2018年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】B={−3, 1}；∴∁R B={x|x≠−3, 且x≠1}；∴A∩(∁R B)={−1, 3}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解:复数z=1+i1+ai=(1+i)(1−ai) (1+ai)(1−ai)=1+a1+a2+1−a1+a2i∵复数为纯虚数，∴1+a1+a =0，1−a1+a≠0，解得a=−1.故选D．3.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图表可知，药物A服用之后，患病人数与未患病人数对比明显，故药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B．4.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】求得向量AB ，AC 的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值． 【解答】A(1, 1)，B(−3, 3)，C(4, 2)， 可得AB →=(−4, 2)，AC →=(3, 1)， 向量AB →在AC →方向上的投影为AB →∗AC →|AC →|=√9+1=−√10，5.【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由题意知S 3=11a 6，利用通项公式可得：3a 1+3d =11(a 1+5d)，可得2a 1+13d =0，a 7+a 8=(0)由等差数列公差小于0，即可得出结论． 【解答】由题意知S 3=11a 6，∴ 3a 1+3d =11(a 1+5d)， ∴ 2a 1+13d =0， 即a 1+a 14=0， ∴ a 7+a 8=(0)由等差数列公差小于0，从而S n 取最大值时n =(7) 6.【答案】 B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(π3)的值． 【解答】根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, −π2<φ<π2)(x ∈R)的部分图象， 可得A =1，14⋅2πω=2π3−π6，∴ ω=1，结合五点法作图可得1×π6+φ=π2，∴ φ=π3，函数f(x)=sin(x +π3)， 则f(π3)=sin2π3=√32， 7.【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 棱柱的结构特征 【解析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E 是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项 【解答】解：A ，不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B ，不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C ，正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D ，不正确，因为A 1C 1所在的平面A 1B 1C 1与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1 // 平面AB 1E 不正确. 故选C . 8.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值．求出a 的值． 【解答】画出约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 的可行域，如图：目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0) 在{3x −y −6=0x −y +2=0的交点M(4, 6)处， 目标函数z 最大值为18，所以4a +6=18，所以a =3． 9.【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】由题意知i =0时x =x 0， i =1时x =1−1x 0，i =2时x =1−xx 0−1，i=3时x=x0，…以此类推可知x2008=1−x0x0−1=−1，解得x=(2)10.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥A−BCD，其中D为棱的中点，分别求出四个三角形的面积，比较得答案．【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥A−BCD，其中D为棱的中点，S△ABD=12×2×4=4，S△BDC=12×2×4=4，S△ABC=12×4√2×4=8√2，S△ADC=12×4√3×2√2=4√6．可确定其最大面的面积为8√2．11.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】根据题意，设P的坐标为(m, n)，由双曲线的标准方程分析可得F1、F2、A1、A2的坐标，求出P的坐标，即可得|PF2|=b2a，由等比数列的性质分析可得|PA1|2=|F1F2||A1F2|，则有b4a2+(a+c)2=2c(a+c)，将其变形可得b2=a2，结合双曲线的性质可得c=√2a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】根据题意，设P的坐标为(m, n)，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，则F1(−c, 0)，F2(c, 0)，A1(−a, 0)，A2(a, 0)，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，则m=c，则有c2a2−n2b2=1，解可得n=±b2a，则P(c, ±b2a)，|PF2|=b2 a若|PA1|是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则有|PA1|2=|F1F2||A1F2|，则有b4a2+(a+c)2=2c(a+c)，变形可得：b2=a2，则c=√2a，则该双曲线的离心率e=ca=√2，12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】根据题意，不妨设x1<x2，则原不等式等价于e x1−e x2e1+e2μ>|k|(x1−x2)，令t=x2−x1，则t>0，再设g(t)=|k|t−e t−1e t+1，(t>0)，求导，求出函数的最值即可求出k的范围【解答】根据题意，不妨设x1<x2，则f(x1)−f(x2)x1−x2<|k|⋅（f(x1)+f(x2)）等价于e x1−e x2e x1+e x2>|k|(x1−x2)，令t=x2−x1，则t>0，再设g(t)=|k|t−e t−1e t+1，(t>0)，原不等式等价于g(t)>0在(0, +∞)上恒成立，又由g(0)=0，则g′(t)=|k|−2e t(e t+1)2，(t>0)，则有|k|≥2et(e t+1)2恒成立，又由2e t(e t+1)2=2e te2t+2e t+1=2e t+1e t+2<12，则必有|k|≥12，即k的取值范围为(−∞,−12]∪[12,+∞)；二、填空题：本题共4小题，每小题5分．【答案】−1【考点】二项式定理的应用【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3项的系数，再根据x3项的系数等于60，求得实数a的值．【解答】(1−ax)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−a)r⋅x r，令r=3，可得展开式中的x3项的系数为(−a)3 C63=−20a3=20，故a=−1，【答案】√22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，计算f′(π12)的值即可．【解答】f′(x)=cosx −sinx ， f′(π12)=cos π12−sin π12=√22， 【答案】y 2=8x(x ≠0)． 【考点】 轨迹方程 【解析】根据题意，建立坐标系，设N 的坐标为(x, y)，由此分析可得A 、M 、B 的坐标，设∠OBA =∠COA =θ，由三角函数的定义分析可得|AC|、|BC|的值，由平行线的性质分析可得|AM||NB|=|AC||BC|，即2x=√4+y 2−y 2√4+y y 2√4+y ，变形即可得答案．【解答】根据题意，如图建立坐标系，则A(4, 0)，M(2, 0)， 设N 的坐标为(x, y)，则B(0, y)，y ≠0 设∠OBA =∠COA =θ，则|OA|=4，|OB|=|y|，|AB|=√4+y 2， 则cosθ=√4+y 2，则|BC|=ycosθ=2√4+y 2，|AC|=√4+y 2−22，又由过B 点且垂直于y 轴的直线交直线MC 于点N ，则BN // OA ，则有|AM||NB|=|AC||BC|，即2x=√4+y 2−24+y y 24+y ，变形可得：y 2=8x ；又由y ≠0，则x ≠0，则点N 的轨迹方程为y 2=8x ，(x ≠0)； 【答案】8π 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案． 【解答】设圆锥的高为ℎ，底面半径为r ，则当圆锥体积最小小球与圆锥侧面相切， 由△AOE ∼△ACF 可得1r=√(ℎ−1)2−12ℎ，即r =√ℎ2−2ℎ，∴ 圆锥的体积V =13πr 2ℎ=πℎ23(ℎ−2)=π3[(ℎ−2)+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当ℎ−2=2即ℎ=4时取等号．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】(Ⅰ)在△ABC中，A=60∘，可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，CD=2DB，即为CD=23a，BD=13a，若AD=√213b，a2 9+21b29−c2a3∗√21b34a29+21b29−b22∗2a3∗√21b3=0，有c=2b，故sinBsinC =bc=12；(Ⅱ)由△ABC的面积为S=12b⋅2b⋅sin60∘=√32b2=2√3，得b=2，再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc=b2+4b2−2b2=3b2=12，可得a=2√3．【考点】三角形求面积【解析】(Ⅰ)运用余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，运用余弦定理化简可得c=2b，再由正弦定理即可得到所求值；(Ⅱ)运用三角形的面积公式可得b，再由余弦定理计算可得a的值．【解答】(Ⅰ)在△ABC中，A=60∘，可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc，由∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，CD=2DB，即为CD=23a，BD=13a，若AD=√213b，a2 9+21b29−c2a3∗√21b34a29+21b29−b22∗2a3∗√21b3=0，有c=2b，故sinBsinC =bc=12；(Ⅱ)由△ABC的面积为S=12b⋅2b⋅sin60∘=√32b2=2√3，得b=2，再由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccos60∘=b2+c2−bc =b2+4b2−2b2=3b2=12，可得a=2√3．【答案】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人．(II)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ=0)=∁52∁102=29，P(ξ=1)=∁51∁51∁102=59，P(ξ=2)=∁52∁102=29．Eξ=0×29+1×59+2×29=(1)【考点】频率分布直方图正态分布的密度曲线【解析】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×(5)结合频率分布直方图即可得出．(II)由P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，可得P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，可得全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；随机变量ξ可取0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．【解答】(Ⅰ)根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为x=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人．(II)∵P(170.5−3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974，∴P(ξ≥182.5)=1−0.99742=0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P(ξ=0)=∁52∁102=29，P(ξ=1)=∁51∁51∁102=59，P(ξ=2)=∁52∁102=29．Eξ=0×29+1×59+2×29=(1)【答案】（本小题满分1证明：(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ， 连接HD ．∵ 平行四边形ABCD 中，A =60∘， AD =2AB ，点E 为AD 的中点， 点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直， 设点G 为△PBE 的重心．∴ BGGH =2，BFFD =2，∴ GF // HD ，∵ HD ⊂平面PDE ， ∴ GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系．则B(2, 0, 0)，D(−1, √3, 0)，G(1, 0, √33)，BD →=(−3, √3, 0)，BG →=(−1, 0, √33)， 设平面BFG 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗BD →=−3x +√3y =0n →∗BG →=−x +√33z =0 ，取x =1，得n →=(1, √3,√3)， 平面PBE 的法向量m →=(0, 1, 0)．设平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n →∗m →||n →|∗|m →|=21=√217． 故平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值为√217．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ，连接HD ，推导出GF // HD ，由此能证明GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系．利用向量法能求出平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值． 【解答】（本小题满分1证明：(Ⅰ)延长BG 交PE 于H ，连接HD ．∵ 平行四边形ABCD 中，A =60∘， AD =2AB ，点E 为AD 的中点， 点F 为BD 与CE 的交点，现沿BE 将△ABE 折起至△PBE 位置，使平面PBE 与平面BCDE 垂直， 设点G 为△PBE 的重心．∴ BGGH =2，BFFD =2，∴ GF // HD ，∵ HD ⊂平面PDE ， ∴ GF // 平面PED ．（2）以E 为原点，以EB 为x 轴，以EC 为y 轴，以过点E 垂直于平面BCDE 的直线为z 轴，建立坐标系． 则B(2, 0, 0)，D(−1, √3, 0)，G(1, 0, √33)，BD →=(−3, √3, 0)，BG →=(−1, 0, √33)， 设平面BFG 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗BD →=−3x +√3y =0n →∗BG →=−x +√33z =0 ，取x =1，得n →=(1, √3,√3)， 平面PBE 的法向量m →=(0, 1, 0)．设平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n →∗m →||n →|∗|m →|=21=√217． 故平面BFG 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值为√217．【答案】（1）由e =12且2a +2c =6， 可得a =2，c =1，即椭圆的方程为x 24+y 23=(1)（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 消去x 得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，即y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， AM:y =y 1x1+2(x +2)①，BN:y =y 2x 2−2(x −2)②，可得y 1x 1+2(x+2)y 2x 2−2(x−2)=1， 即x+2x−2=y 2(x 1+2)y1(x 2−2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2−1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2−y 1=−9m 3m 2+4−18m3m 2+4−3y 1−9m3m 2+4−y 1=3，解得x =4，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线x =4上． 【考点】 椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)由e =12且2a +2c =6，即可求出a ，c ，可得b ，即可得到椭圆方程，(Ⅱ)设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 ，根据韦达定理和直线方程可得x+2x−2=y 2(x 1+2)y 1(x 2−2)=3，即可求出直线方程．【解答】（1）由e =12且2a +2c =6， 可得a =2，c =1，即椭圆的方程为x 24+y 23=(1)（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 24+y 23=1x =my +1 消去x 得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，即y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， AM:y =y 1x 1+2(x +2)①，BN:y =y 2x 2−2(x −2)②，可得y 1x 1+2(x+2)y 2x 2−2(x−2)=1， 即x+2x−2=y 2(x 1+2)y1(x 2−2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2−1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2−y 1=−9m 3m 2+4−18m3m 2+4−3y 1−9m3m 2+4−y 1=3，解得x =4，故直线AM 与BN 的交点在同一条直线x =4上． 【答案】(Ⅰ)由题可得f′(x)=e x −x +a ，设g(x)=e x −x +a ，则g′(x)=e x −1，所以当x >0时g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增， 当x <0时g′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减， 所以g(x)≥g(0)=1+a ，因为a >−1，所以1+a >0，即f′(x)>0， 所以函数f(x)在R 上单调递増．证明(Ⅱ)由（1）知g(x)在[1, +∞)上单调递増， 因为a <1−e ，所以g(1)=e −a +1<0，所以存在t ∈(1, +∞)，使得g(t)=0，即e t −t +a =0，即a =t −e t ， 所以函数f(x)在[1, t)上单调递减，在(t, +∞)上单调递増，所以当x ∈[1, +∞)时，f(x)min =f(t)=e t −12t 2+at =e t −12t 2+t(t −e t )=e t(1−t)+12t2．令ℎ(x)=e x(1−x)+12x2，x>1，则ℎ′(x)=x(1−e x)<0恒成立，所以函数ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，所以ℎ(x)<e(1−1)+12=12，所以e t(1−t)+12t2<12，即当x∈[1, +∞)时f(x)min<12，故函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12；(Ⅲ)x)=e x−12bx2+ax，所以f′(x)=e x−bx+a，由f(x)为R上的单调函数，可知f(x)一定为单调增函数因此f′(x)=e x−bx+a≥0，令m(x)=e x−bx+a，所以m′(x)=e x−b，当b=0时，ab=0，当b<0时，m′(x)>0，m(x)在R上为增函数，当x→−∞时，m(x)→−∞与m(x)≥0矛盾，当b>0时，m′(x)>0等价于x>lnb，m′(x)<0等价于x<lnb，当x=lnb时，m(x)min=b−blnb+a≥0，ab≥b2lnb−b2，b>0令φ(x)=x2lnx−x2，x>0，则φ′(x)=2(2lnx−1)，当φ′(x)>0，解得x>√e，当φ′(x)<0，解得0<x<√e，当x=√e时，φ(x)min=−e2，所以ab的最小值为−e2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)先求导，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断，(Ⅱ)等价于当x∈[1, +∞)时，f(x)min=f(t)=e t(1−t)+12t2．构造函数ℎ(x)=e x(1−x)+12x2，x>1，求出函数的最值即可证明，(Ⅲ)等价于f′(x)=e x−bx+a≥0，构造函数m(x)=e x−bx+a，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】(Ⅰ)由题可得f′(x)=e x−x+a，设g(x)=e x−x+a，则g′(x)=e x−1，所以当x>0时g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上单调递增，当x<0时g′(x)<0，g(x)在(−∞, 0)上单调递减，所以g(x)≥g(0)=1+a，因为a>−1，所以1+a>0，即f′(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递増．证明(Ⅱ)由（1）知g(x)在[1, +∞)上单调递増， 因为a <1−e ，所以g(1)=e −a +1<0，所以存在t ∈(1, +∞)，使得g(t)=0，即e t −t +a =0，即a =t −e t ， 所以函数f(x)在[1, t)上单调递减，在(t, +∞)上单调递増，所以当x ∈[1, +∞)时，f(x)min =f(t)=e t −12t 2+at =e t −12t 2+t(t −e t )=e t (1−t)+12t 2．令ℎ(x)=e x (1−x)+12x 2，x >1，则ℎ′(x)=x(1−e x )<0恒成立， 所以函数ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，所以ℎ(x)<e(1−1)+12=12， 所以e t (1−t)+12t 2<12，即当x ∈[1, +∞)时f(x)min <12， 故函数f(x)在[1, +∞)上的最小值小于12； (Ⅲ)x)=e x −12bx 2+ax ，所以f′(x)=e x −bx +a ，由f(x)为R 上的单调函数，可知f(x)一定为单调增函数 因此f′(x)=e x −bx +a ≥0， 令m(x)=e x −bx +a ， 所以m′(x)=e x −b ， 当b =0时，ab =0，当b <0时，m′(x)>0，m(x)在R 上为增函数， 当x →−∞时，m(x)→−∞与m(x)≥0矛盾，当b >0时，m′(x)>0等价于x >lnb ，m′(x)<0等价于x <lnb ， 当x =lnb 时，m(x)min =b −blnb +a ≥0，ab ≥b 2lnb −b 2，b >0 令φ(x)=x 2lnx −x2，x >0， 则φ′(x)=2(2lnx −1)，当φ′(x)>0，解得x >√e ，当φ′(x)<0，解得0<x <√e ， 当x =√e 时，φ(x)min =−e2， 所以ab 的最小值为−e2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4坐标系与参数方程选讲] 【答案】（本小题满分1(Ⅰ)∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∵ 直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t （t 为参数）， ∴ 直线l:x −√3y +√3=(0) (Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)， 点P 到直线l 的距离：d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2=|4sin(θ−π6)+√3|2≤2+√32， 曲线C 是圆心为C(0, 2)，半径r =12√16=2的圆， 圆心C(0, 2)到直线l 的距离d′=√3+√3|1+3=√32， ∴ |AB|=2√22−(√32)2=√13，∴ △PAB 面积的最大值为S =12×|AB|×d max =12×√13×(2+√32)=4√13+√394．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程；由直线l 的参数方程，能求出直线的普通方程．(Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)，点P 到直线l 的距离d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2≤2+√32，再求出|AB|=√13，由此能求出△PAB 面积的最大值． 【解答】（本小题满分1(Ⅰ)∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0， ∵ 直线l 的参数方程为{x =√32ty =1+12t （t 为参数）， ∴ 直线l:x −√3y +√3=(0) (Ⅱ)设P(2cosθ, 2+2sinθ)， 点P 到直线l 的距离： d =|2cosθ−2√3sinθ−√3|2=|4sin(θ−π6)+√3|2≤2+√32， 曲线C 是圆心为C(0, 2)，半径r =12√16=2的圆， 圆心C(0, 2)到直线l 的距离d′=√3+√3|√1+3=√32， ∴ |AB|=2√22−(√32)2=√13，∴ △PAB 面积的最大值为S =12×|AB|×d max =12×√13×(2+√32)=4√13+√394． [选修4-5不等式选讲] 【答案】（1）当a <3时，|x −a|+|x −3|={a +3−2x,x ≤a3−a,a <x <32a −x −3,x ≥3由题意可知，2x −a −3≥4，x ≥7+a 2=92，∴ a =(2) 经检验成立．（2）令g(x)=f(x −a +2)+2f(x −1)=|x −a|+2|x −3| 当a =3时显然不成立；当a <3时，g(x)={a +6−3x,x ≤a6−a −x,a <x <33x −a −6,x ≥3 ，从而g(x)≥3−a ≥1，即a ≤(2)当a >3时，g(x)={a +6−3x,x ≤3−6+a +x,a <x <33x −a −6,x ≥a ，从而g(x)≥a −3≥1，即a ≥(4)综上可得实数a 的取值范围是(−∞, 2]∪[4, +∞)． 【考点】分段函数的应用 【解析】(Ⅰ)根据a <3去绝对值，求解f(x)的解析式，解集为{x|x ≤12或x ≥92}，即可求实数a 的值；(Ⅱ)对a 进行讨论，去绝对值，求解实数a 的取值范围． 【解答】（1）当a <3时，|x −a|+|x −3|={a +3−2x,x ≤a3−a,a <x <32a −x −3,x ≥3由题意可知，2x −a −3≥4，x ≥7+a 2=92，∴ a =(2) 经检验成立．（2）令g(x)=f(x −a +2)+2f(x −1)=|x −a|+2|x −3| 当a =3时显然不成立；当a <3时，g(x)={a +6−3x,x ≤a6−a −x,a <x <33x −a −6,x ≥3 ，从而g(x)≥3−a ≥1，即a ≤(2)当a >3时，g(x)={a +6−3x,x ≤3−6+a +x,a <x <33x −a −6,x ≥a ，从而g(x)≥a −3≥1，即a ≥(4)综上可得实数a 的取值范围是(−∞, 2]∪[4, +∞)．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(四)附参考答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（四）理科数学测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合2{|230}A x x x x N =--<∈，，集合{|2}xB y y ==，则A B =I（A ）{12}， （B ）{128}， ， （C ）1(8)2，（D ）∅（2）命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（A ）0x ∃>，tan sin x x ≤ （B ）0x ∃≤，tan sin x x > （C ）0x ∀>，tan sin x x ≤（D ）0x ∀≤，tan sin x x ≤（3）已知复数12i z =+，则55izz z-+= （A ）12i +（B ）2i +（C ）12i -（D ）2i -（4）已知向量(12)a =r ，，(11)b =-r ， ，(2)c m =r ， ，且(2)a b -r r⊥c r ，则实数m = （A ）1- （B ）0（C ）1 （D ）任意实数（5）已知ππ()42α∈，，3log sin a α=，sin 3b α=，cos 3c α=，则a b c ，，的大小关系是 （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a << （6）不等式20x ax b -+<的解集为{|12}x x <<，则6)xa的展开式中常数项为 （A ）64-（B ）16027-（C ）2027（D ）803（7）抛物线24y x =的焦点到双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，线的离心率为（A （B （C ）2（D ）3（8）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）919（B ）1021 （C ）1819 （D ）2021（9）山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙（D ）丁（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（A ）12π （B ）16π （C ）36π（D ）48π（11）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意x R ∈均有()()f x f x '>（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1y f x =-为奇函数，则满足不等式()e xf x <的x 的取值范围是（A ）(0)-∞，（B ）(1)-∞，（C ）(0)+∞，（D ）(1)+∞， （12）已知0a b >， ，a b ba =-2)1(，则当b a 1+取最小值时，221ba +的值为 （A ）2（B ）22（C ）3（D ）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年吉林数学理科高考试题含答案(B4 可直接打印 也可缩印成A4纸)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试 (吉林卷)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i +=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =± 6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42 B ．30 C ．29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．2210．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50学校：班级：姓名：考号：密封线开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i =+11T T i =++结束是否12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率 为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】吉林长春市2018届高三《数学》上学期第四次模拟考试试题理(含答案)
吉林省长春市2018届高三数学上学期第四次模拟考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝{y |y ＝4x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．{x |0＜x ＜12}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |12＜x ＜1}2. “(m －1)(a －1)>0”是“lo g a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ） A ．?43≤S B ．?1211≤S C ．?2425≤SD ．?120137≤S 4. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．．3 D ．3（第3题） （第4题）5. 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．27. 已知f (x )是定义在R 上的函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋2f (2)，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝2，则f (2019)等于( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 8. 将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π9. 已知数列{}n a 为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为（ ）A ．πB ．2πC ．2πD ．24π10. 在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，，若1,2c o s 0b c b c A =+= ，则当角B取得最大值时， ABC ∆的周长为（ ）A. 3B. 2+C. 23+11. 已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且错误！未找到引用源。
吉林省长春市2018届高三数学上学期第四次模拟考试试题理201801150194
吉林省长春市2018届高三数学上学期第四次模拟考试试题理第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）4x1. 已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝，x∈M}，则M∩N＝()21 1A．{x|0＜x＜} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x| ＜x＜1}2 22. “(m－1)(a－1)>0”是“lo g a m>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）31125137A．?B．C．S D．S ?SS??412241204. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）43A．23B．3C．D．3233（第3题）（第4题）5. 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定6. 已知x，y满足约束条件Error!当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a2＋b2的最小值为()A．5 B．4 C. 5 D．27. 已知f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2019)等于()A．2 B．3 C．－2 D．－38. 将函数f(x)sin2x 的图像向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图像，若对2满足f(x)g(x)2的，则（）x，x，有xx 121212min3- 1 -A.512B.3C.4D.629. 已知数列为等比数列，且，则的值为aax 2dx a 4aaaa2014( 20122 20142016)n20132015（ ） A．B ． 2C ．2 D ． 4 210. 在ABC 中,角 A ，B ,C 所对的边分别为 a ，b ,c ，若bc1,b 2c cos A0 ，则当角 B取得最大值时， ABC 的周长为（ ）A. 3B. 2 2C. 2 3D. 3 211.已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且错误！未找到引用源。
【高三数学试题精选】2018高考数学理科第四次模拟试题(吉林含答案)
2018高考数学理科第四次模拟试题(吉林含答案)
5 吉林省4坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为 ( 为参数)以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系，设直线的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求点到直线的距离的最值
（23）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围
高三年级第八次月考（第四次模拟）
数学（理科）答案
一．选择题
123456789101112
BcABDBDcBBAD
二．填空题
13 4 14 -1 1548 16
三．解答题
18（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
日销售量不低于350斤的概率为(00025＋00015)×100＝04，
则未连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350斤，而另一天日销售量低于350斤的概率P＝04×04×(1－04)＋(1－04)×04×04＝0192． 4分
（Ⅱ）当每日进货300斤时，利润1可取－100，700，1500，此时1的分布列为。
吉林省吉林大学附属中学2018届高三上学期第四次摸底考试理数试题Word版含解析
吉林省吉林大学附属中学2018届第四次摸底考试高三上学期理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|10}{}A x x B a A B A =-<==，，…，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[01)，（B ）(11)-，（C ）(10]-， （D ）(10)-， 【答案】C 【解析】 试题分析：(]1,0A =-，{}B a =，A B A ⋃=，(]1,0a ∴∈-，故选C ．考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.（2）已知圆22:40C x y x +-=，直线:30l mx y m -+=，则（ ） （A ）l 与C 相交 （B ）l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能【答案】D考点：1、点和圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系.（3）已知函数21sin()10()0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，…，实数a 满足(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）（A ）1或 （B ） （C ）1 （D ）1或【答案】A考点：已知分段函数的解析式求函数值.（4）已知1e 、2e 是夹角为90︒的两个单位向量，若12=a e ，12=-b e ，则a 与b 的夹角为（ ） （A ）30︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）150︒ 【答案】C 【解析】试题分析：121(3)(2)2a b e e e ∙=+∙-=-，2,2a b ==，1cos ,2a ba b a b∙∴==-∙， a 与b的夹角为120︒，故选C.考点：1、平面向量的数量积；2、向量的夹角.（5）直线12:30:0l ax y l x by c --=++=，，则1ab =-是12l l ∥的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：当1ab =-且3c =时，1l 与2l 重合，而12//l l 时一定有()110a b ⨯--⨯=，即1ab =-，所以1ab =-是12l l ∥的必要不充分条件，故选B. 考点：已知两直线方程判断两直线位置关系.（6）若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+ 的图象是（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、对数函数图象的性质及变换.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题图象是利用对数函数图象经过“平移变换”得到的.（7）若不等式组03434x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k =（ ）（A ）73（B ）37（C ）43（D ）34【答案】A 【解析】试题分析: 画出可行域如图，由图可知直线43y kx =+恒过点40,,3⎛⎫⎪⎝⎭当直线43y kx =+经过,B C 中点15,22D ⎛⎫⎪⎝⎭ 时平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，将15,,22x y ==代入43y kx =+得7,3k =故选A.x考点：1、线性规划可行域的画法；2、三角形面积公式. （8）若()2παπ∈，，且3cos2sin()4παα=-，则sin 2α的值为（ ）（A ） （B ）16- （C ） （D ）1718- 【答案】D考点：1、两角差的正弦公式；2、余弦二倍角公式.（9）已知()f x 在R 上可导，且2()2(2)f x x xf '=+，则(1)f -与(1)f 的大小关系是（ ） （A ）(1)(1)f f -= （B ）(1)(1)f f -> （C ）(1)(1)f f -< （D ）不确定 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()()222,222,24,28,4f x x xf f x x f f f x x x '''''=+∴=+=-=-<时， ()()0,f x f x '<在(),4-∞上递减,()()11,f f ∴-> 故选B.考点：1、导函数的求法；2、根据导数判断函数的单调性.（10）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 和都是等差数列，且公差相等，则2a =（ ） （A ）34（B ）1 （C ）43（D ）12【答案】A考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前n 项和公式.（11）已知ABC △的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C . 则sin cos B B + 的取值范围是（ ）（A ）(11+，（B ）1[12， （C ）(1 （D ）1[2【答案】C 【解析】试题分析：sin cos 4y B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，a 、b 、c 是等比数列，2b ac ∴=，()222111cos 12222a cbc a B aca c +-⎛⎛⎫==+-≥= ⎪ ⎝⎭⎝，03B π<<，sin 124B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ C.考点：1、等比数列的定义；2、余弦定理；3、三角函数的最值.【方法点晴】本题考查的知识点比较多，主要考查等比数列的定义、余弦定理及三角函数的最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.（12）已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+--，设函 数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的所有零点均在区间[]()a b a b ∈Z ，、内，则b a -的最小值为 （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）10 【答案】D考点：1、函数“零点定理”；2、函数图象的平移变换；3、利用导数判定函数的单调性. 【思路点晴】本题主要考查函数“零点定理”、函数图象的平移变换、利用导数判定函数的单调性，属于难题.该题条件比较隐含，一定要细心审题、才能挖掘出隐含条件，首先利用导数判断出()y f x =和()y g x =在(,)-∞+∞是单调函数，再利用“零点定理”判断出()f x 、()g x 的零点位置，进而得到(3)f x +和(4)g x -的零点位置，从而得到b a -的最小值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）已知()()|1|g x f x x =+-是奇函数，且(1)1f -=.则(1)g = . 【答案】3-考点：1、函数的奇偶性；2、巳知解析式求函数值.（14）在ABC △中，3AB =，5AC =，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC 的值为 .【答案】8 【解析】试题分析：设BC 中点为D 连接OD 、AD ，则O D B C⊥，则()AO B C A D D O B C A D B C ⋅=+⋅=⋅()()()221122AB AC AC AB AC AB =+-=-=221(53)82⨯-=，即AO BC 的值为8.考点：平面向量的数量积.（15）已知()n n n A a b ，()n *∈N 是曲线:e x C y =上的点，设1(01)A ，，曲线C 在n A 处的切线交x 轴于 点1(0)n a +，，则数列{}n b 的通项公式是n b = . 【答案】1e n - 【解析】试题分析：,x x y e y e '=∴=在(,)n n a b 处切线方程是()n a n n y b e x a -=-即()n n a a n y e e x a -=-，令0y =得{}111,1,n n n n n x a a a a a ++==--=-是以0为首项以-1为公差的等差数列11,n n n a n b e -=-∴=.考点：1、利用导数求切线斜率；2、数列的通项公式.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及数列的通项问题，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-.（16）过点0)引直线l 与曲线y A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB △的面 积取最大值时，直线l 的斜率等于 .【答案】考点：1、弦长公式；2、三角形面积公式；3、利用均值不等式.【方法点晴】本题主要考查弦长公式、三角形面积公式及最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用：①参数法 ；②配方法；③判别式法；④三角函数有界法；④函数单调法；⑤均值不等式法来求最值.本题用方法⑤求出了AOB △面积的最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （17）（本题满分12分）设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求tan B 及边长a 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．【答案】（Ⅰ）5a =；（Ⅱ）10+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos 3,sin 4,a B b A ==两式相除，利用正弦定理化简得4tan ,3B =进而3cos 5B =，35cos a B ==；（Ⅱ）由 （Ⅰ）可得41sin ,sin 52B S ac B ==得5c =，再由余弦定理得b =10a b c ++=+试题解析：（Ⅰ）由cos 3a B =，sin 4b A =，两式相除，有3cos cos cos 14sin sin sin tan a B a B b B b A A b B b B ==⋅=⋅=，所以4tan 3B =，又c o s 3a B =，故c o s 0B >， 则3cos 5B =，所以5a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知4sin 5B =，由1sin 2S ac B =，得到5c =．由2222cos b a c ac B =+-，得b =故5510l =++=+ABC △的周长为10+考点：1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式. （18）（本题满分12分） 设数列{}n a 满足：123n n a a a a n a ++++=-()n *∈N .（Ⅰ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +…，求实数t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）12t ≥或14t ≤-.即214n b t t -….则2max 1()4n b t t -…，所以，21184t t -…，解得12t …或14t -…， 所以t 的取值范围是11(][)42-∞-+∞，，考点：1、等比数列的证明；2、不等式恒成立问题. （19）（本题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值.A【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA DB ，所在直线分别为x y ，轴建立空间直角坐标系D xyz -.得(000)(00)(0)0D B C E ，，，，，，，所以 (2222)(202)(20)BE DE DC =-==-，，，，，，，.可求得平面CDE 的一个法向量是(111)=-，，n . 设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得||sin |cos |||||BE n BE n BE n α⋅=<>===⋅，故直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值为. 考点：1、平面与平面垂直的性质定理；2、直线与平面成的角. （20）（本题满分12分）已知两个动点A 、B 和一个定点00()M x y ，均在抛物线2:2(0)C y px p =>上（A 、B 与M 不重合）. 设F 为抛物线的焦点，Q 为其对称轴上一点，若1()02QA AB AB +⋅=，且||FA 、||FM 、||FB 成等差数列.（Ⅰ）求OQ 的坐标（可用0x 、0y 和p 表示）；（Ⅱ）若||3OQ =，5||2FM =，A 、B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别为1A 、1B ，求四边形11ABB A 面 积的取值范围.【答案】（Ⅰ）0(0)OQ x p =+，；（Ⅱ）(010]，.（Ⅱ）由5||3||2OQ FM ==，由焦半径公式得005322p x p x +=+=，，得1p =， 故22y x =，02x =，所以124x x +=，且1112121211[()()]||522||22ABB Ax x y y S y y +++-==-.又2212122()8y y x x +=+=，则2222222111211(8)(8)164y y y y y y +-=-≤=,12[44]y y ∈-，， 222121212()2[016]y y y y y y -=+-∈，，注意到12y y ≠，得12||(04]y y -∈，，11125||(010]2ABB A S y y =-∈，，所以四边形11ABB A 面积的取值范围为(010]，. 考点：1、拋物线的定义、性质及几何意义；2、向量的数量积；3、均值不等式求最值. 【方法点晴】本题主要考查拋物线的定义、性质及几何意义和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法求四边形范围的. （21）（本题满分12分）已知2()ln ()2f x x x ax g x x =-=--，.（Ⅰ）对一切(0)()()x f x g x ∈+∞，，…恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，求函数()f x 在区间[3](0)m m m +>，上的最值； （Ⅲ）证明：对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-成立. 【答案】（Ⅰ）3a …；（Ⅱ）210e m <<时min2211()()e f x f e ==-，max ()(3)[ln(3)1]f x m m =+++，当21e m …时min ()()(ln 1)f x f m m m ==+，max ()(3)(3)[ln(3)1]f x f m m m =+=+++；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅲ）问题等价于证明122ln e e x x x x x ++>-，(0)x ∈+∞，. 由（Ⅱ）知1a =-时，()ln f x x x x =+的最小值是21e -，当且仅当21e x =时取等号. 设122()(0)e e x x G x x +=-∈+∞，，，则11()e x xG x +-'=，易知max 21()(1)e G x G ==-，当且仅当1x =时取到. 从而可知对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-. 考点：1、不等恒成立求参数范围；2、利用导数求最值。
2018届吉林省吉大附中高三第四次模拟考试数学(理)试卷(解析版)
2018届吉林省吉大附中高三第四次模拟考试数学（理）试卷（解析版）第Ⅰ卷（客观题 60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）.1. 己知全集，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据补集的定义，可求出；根据交集定义即可求出。
详解：因为所以所以所以选 B点睛：本题考查了集合交集、补集的基本运算，属于简单题。
2. 若复数，则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】分析：利用共轭复数，求出，根据复数模的定义即可求出。
详解：所以所以选 C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。
3. 命题“若，则”的逆否命题是( )A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”，所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．4. 设，向量，，且，则( )A. 0B. 1C. 2D. -2【答案】A【解析】分析：根据的垂直关系，可求出；根据的平行关系，可求出，进而求出的值。
详解：因为，所以因为，所以所以，所以所以选 A点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。
5. 圆与圆的位置关系为( )A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选C．考点：圆与圆的位置关系．视频6. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】对于A，,时，若，则，但题目中无条件，故A也不一定成立；对于B，,.显然不成立；对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有不能得到或，故不正确．对于D，，则，又，则，结论成立；故选D7. 设是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数与的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取，，则点恰好落在阴影部分内的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意得解得：k=4或（舍去），解方程组，解得：x=0或4 ∴阴影部分的面积为，，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率为.考点：1.二项式定理； 2.几何概型.8. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )A. 甲、丙、乙B. 乙、丙、甲C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.9. 在如下图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】视频10. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从程序框图可以看出，输入的函数是奇函数且有零点，则即可输出该函数．因此答案等价于判断哪个函数是奇函数且有零点．假设输入答案A中的函数，显然A中函数为奇函数，但没有零点，所以不能输出函数；答案B中的函数是奇函数且存在零点0，所以输出函数为．故选B．同理答案C、D不符合题意．故选B．考点：?程序框图的应用；?函数的奇偶性；?函数的零点问题．【易错点睛】对于程序框图问题，多属于容易题目．问题多出在：没看清判断框中的条件，从而导致出错，特别是题目是填写判断框中的语句，对于变量是否取等号的问题，最易出错，望同学们能细心．11. 抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】分析：根据抛物线定义和线段关系，先求出P点坐标，再代入双曲线方程，得到的关系；根据公共焦点，得出c的值；根据双曲线中；联立方程组，即可求出的值。
【高三数学试题精选】吉林白山市2018届高三数学四模试卷(文有答案)
吉林白山市2018届高三数学四模试卷（文有答案）
c
数学（）试题
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限c．第三象限D．第四象限
2．若集合，则( )
A． B． c． D．
3．下列函数中，不是偶函数的是( )
A． B． c． D．
4．4坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．（1）求圆的直角坐标方程（化为标准方程）和直线的极坐标方程；
（2）若直线与圆只有一个共点，且，求的值．
24．（本题满分10分）选修4-5不等式选讲
设函数．
（1）若，解不等式；
（2）若函数有最小值，求的取值范围．
吉林省白市2018届高三第四次模拟考试数学（）试题参考答案1．c【解析】．
2．B【解析】∵ ，∴ ．
3．D【解析】为奇函数，其余均为偶函数．
4．B【解析】因为第组的频率之比为，所以年龄在第4组的人数为．
5．A【解析】函数的最小正周期为，可得，∴ ，∴该函数的。
精品解析：【全国百强校】东北师大附中2018届四模——理科数学试题(解析版)
2018 届高三第四次模拟考试理科数学
一、选择题 : 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只 一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合
，
，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合
B，之后根据子集的定义可以判断出
【解析】分析：首先利用复数的运算法则，求得
，再结合复数对应实部和虚部满足什
么样的条件，从而对其进行分类的标准，得到
a 所满足的等量关系式，求得结果 .
详解：
，
若该复数是实数，只需
，解得
，故选 A.
点睛：该题考查的是复数的有关问题，在解题的过程中，需要先将题中所给的复数利用其运算法则将其化
简，之后利用复数的分类对实虚部的要求找出其满足的等量关系式，之后求解即可
从而能够确定该几何体的各个顶点都在同一个长方体的顶点处，所以该几何体的外接球即为其对应的长方
体的外接球，借助于长方体的对角线就是其外接球的直径，利用公式求得结果
.
详解：根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是
长方体所截成的四棱锥， 所
以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，
所以长方体的对角线就是其外接球的直径，所以有
.
3. 《孙子算经》 是我国古代的数学名著， 书中有如下问题 : “今有五等诸侯， 共分橘子六十颗， 人别加三颗 . 问 : 五人各得几何 ?”其意思为 : 有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5
人各得多少个橘子 . 这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（
2018年吉林省四平市高考数模拟试卷(理科)(4月份)
2018年吉林省四平市高考数模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U ={x|x <4, x ∈N}，A ={0, 1, 2}，B ={2, 3}，则B ∪(∁U A)等于（ ） A.⌀ B.{3} C.{2, 3} D.{0, 1, 2, 3}2. “a =1”是“函数y =cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知x =lnπ，y =log 12π，z =e−12，则（ ）A.x <y <zB.z <x <yC.z <y <xD.y <z <x4. 设a ∈{−1,1,12,3}，则使函数y =x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是（ ） A.1，3 B.−1，1C.−1，3D.−1，1，35. 若x ，y 满足约束条件{2x +2y ≥1x ≥y 2x −y ≤1 ，且向量a →=(3, 2)，b →=(x, y)，则a →⋅b →的取值范围（ ） A.[54, 5]B.[72, 5]C.[54, 4]D.[72, 4]6. 在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3−a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则log 2(b 6b 8)的值为( ) A.2 B.4 C.8 D.17. 定积分∫10√x(2−x)dx 的值为（ ）A.π4 B.π2C.πD.2π8. 设x >0，y >0，若xlg2,lg √2,ylg2成等差数列，则1x +9y 的最小值为( ) A.8 B.9C.12D.169. △ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A =60∘，若S △ABC =3√32，且2sinB =3sinC ，则△ABC 的周长等于（ ）A.5+√7B.12C.10+√7D.5+2√710. 已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形11. 已知函数y =f(x)在(0, +∞)上非负且可导，满足，xf′(x)+f(x)≤−x 2+x −1，若0<a <b ，则下列结论正确的是（ ） A.af(b)≤bf(a) B.af(b)≥bf(a) C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)12. 若存在实常数k 和b ，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F(x)≥kx +b 和G(x)≤kx +b 恒成立，则称此直线y =kx +b 为F(x)和G(x)的“隔离直线”．已知函数f(x)=x 2(x ∈R)，g(x)=1x (x <0)，ℎ(x)=2elnx ．有下列命题： ①F(x)=f(x)−g(x)在x ∈√23 0)内单调递增；②f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为−4；③f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(−4, 0]； ④f(x)和ℎ(x)之间存在唯一的“隔离直线”y =2√ex −e ． 其中真命题的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知不等式ax 2−5x +b >0的解集为{x|−3<x <2}，则不等式bx 2−5x +a >0的解集为________．等比数列{a n }中，a 1=2，a 8=4，函数f(x)=x(x −a 1)(x −a 2)…(x −a 8)，则f′(0)=________．设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f(x −2)=f(x +2)且当x ∈[−2, 0]时，f(x)=(12)x −1，若在区间(−2, 6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________．设函数f(x)=e 2x 2+1x ,g(x)=e 2x e，对任意x 1、x 2∈(0, +∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 满足：cosAcosC +sinAsinC +cosB =32，且a 、b 、c 成等比数列．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若atanA +ctanC =2btanB ，a =2，判断三角形形状．在等差数列{a n }中，2a 1+3a 2=11，2a 3=a 2+a 6−4，其前n 项和为S n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b n =1S n +n，求数列{b n }的前n 项和T n ．已知函数f(x)=cos(2x −π3)+sin 2x −cos 2x +√2． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在t ∈[π12,π3brack 满足[f(t)]2−2√2f(t)−m >0，求实数m 的取值范围．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4＝28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 12a n ，S n ＝b 1+b 2+...+b n ，对任意正整数n ，S n +(n +m)a n+1<0恒成立，试求m 的取值范围．已知函数f(x)=e x −1−ax ，(a ∈R)．(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)试探究函数F(x)=f(x)−xlnx 在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．(3)若g(x)=ln(e x −1)−lnx ，且f （g(x)）<f(x)在x ∈(0, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα (t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB|的最小值．参考答案与试题解析2018年吉林省四平市高考数模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据补集与并集的定义，写出B∪(∁U A)即可．【解答】解：全集U={x|x<4, x∈N}，A={0, 1, 2}，B={2, 3}，则∁U A={x|x<4, x∈N且x≠0, 1, 2}=3，所以B∪(∁U A)={2, 3}．故选C.2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数的周期性及其求法【解析】化简y=cos2ax−sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．【解答】解：函数y=cos2ax−sin2ax=cos2ax，它的周期是2π|2a|=π，a=±1.显然“a=1”可得“函数y=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π”，后者推不出前者.故选A．3.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断出x、y、z与0、的大小关系即可得到答案．【解答】∵x=lnπ>1，y=log12π<0，z=e−12∈(0, 1)，∴y<z<x，4.【答案】 A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】分别验证a =−1，1，12，3知当a =1或a =3时，函数y =x a 的定义域是R 且为奇函数． 【解答】解：当a =−1时，y =x −1的定义域是x|x ≠0，且为奇函数； 当a =1时，函数y =x 的定义域是R 且为奇函数；当a =12时，函数y =x 12的定义域是x|x ≥0且为非奇非偶函数． 当a =3时，函数y =x 的定义域是R 且为奇函数． 故选A ． 5.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由数量积的定义计算出a →⋅b →=3x +2y ，设z =3x +2y ，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】∵ 向量a →=(3, 2)，b →=(x, y)， ∴ a →⋅b →=3x +2y ，设z =3x +2y ，作出不等式组对于的平面区域如图： 由z =3x +2y ，则y =−32x +z2，平移直线y =−32x +z2，由图象可知当直线y =−32x +z2， 经过点B 时，直线y =−32x +z2的截距最大，此时z 最大， 由{x =y 2x −y =1 ，解得{x =1y =1 ，即B(1, 1)， 此时z max =3×1+2×1=5，经过点A 时，直线y =−32x +z2的截距最小，此时z 最小， 由{x =y 2x +2y =1 ，解得{x =14y =14 ，即A(14, 14)， 此时z min =3×14+2×14=54， 则54≤z ≤56.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】根据数列{a n}为等差数列可知2a7=a3+a11，代入2a3−a72+2a11=0中可求得a7，再根据{b n}是等比数列可知b6b8=b72=a72代入log2(b6b8)即可得到答案．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a7=a3+a11，∵2a3−a72+2a11=0，∴4a7−a72=0，∵a7≠0，∴a7=4，∵数列{b n}是等比数列，∴b6b8=b72=a72=16，∴log2(b6b8)=log216=4.故选B.7.【答案】A【考点】微积分基本定理定积分【解析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可．【解答】∵y=√x(2−x)，∴(x−1)2+y2=1表示以(1, 0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分∫1√x(2−x)dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分∫10√x(2−x)dx=π4，8.【答案】D【考点】等差中项数列与不等式的综合【解析】运用等差数列的中项性质和对数的运算性质可得x+y=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【解答】解：x >0，y >0，若xlg2,lg √2,ylg2成等差数列， 可得2lg √2=xlg2+ylg2， 即为x +y =1，则1x +9y =(x +y)(1x +9y )=10+yx +9x y≥10+2√yx ⋅9x y=16，当且仅当y =3x =34时，上式取得等号， 则1x +9y 的最小值为16. 故选D . 9. 【答案】 A【考点】 正弦定理 【解析】由条件利用正弦定理可得2b =3c ，再由S △ABC =3√32=12bc ⋅sinA ，求得bc ，从而求得b和c 的值．再由余弦定理求得a ，从而得到三角形的周长． 【解答】在△ABC 中，角A =60∘，∵ 2sinB =3sinC ，故由正弦定理可得 2b =3c ， 再由S △ABC =3√32=12bc ⋅sinA ，可得 bc =6，∴ b =3，c =2．再由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA =7， 解得：a =√7．故三角形的周长a +b +c =5+√7， 10.【答案】 C【考点】三角形的形状判断 向量在几何中的应用 【解析】根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB →2=AB →2+CA →⋅CB →，得CA →⋅CB →=0．结合向量数量积的运算性质，可得 CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形． 【解答】解：∵ △ABC 中，AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →, ∴ AB →2=AB →⋅AC →−AB →⋅BC →+CA →⋅CB →=AB →(AC →−BC →)+CA →⋅CB →=AB →⋅AB →+CA →⋅CB →, 即AB →2=AB →2+CA →⋅CB →，得CA →⋅CB →=0, ∴ CA →⊥CB →即CA ⊥CB ， 可得△ABC 是直角三角形, 故选C . 11.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．注意−x 2+x −1<0是恒成立问题． 【解答】xf′(x)+f(x)≤−x 2+x −1<0，函数y =f(x)在(0, +∞)上非负且可导， 可得函数y =xf(x)在(0, +∞)上是减函数，所以0<a <b ，f(a)>f(b)>0，可得af(b)≤bf(a)， 于是有：af(a)≥bf(b)≥0①1a 2>1b 2>0②， ①②两式相乘得：f(a)a≥f(b)b≥0⇒af(b)≤bf(a)，12.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①求出F(x)=f(x)−g(x)的导数，检验在x ∈√23 0)内的导数符号，即可判断；②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y =kx +b ，x 2≥kx +b 对一切实数x 成立，即有△1≤0，又1x ≤kx +b 对一切x <0成立，△2≤0，k ≤0，b ≤0，根据不等式的性质，求出k ，b 的范围，即可判断②③；④存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值． 【解答】解：①∵ F(x)=f(x)−g(x)=x 2−1x ，∴ x ∈√23 0)，F′(x)=2x +1x 2>0，∴ F(x)=f(x)−g(x)在x ∈√23 0)内单调递增，故①对；②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y =kx +b ，则x 2≥kx +b 对一切实数x 成立，即有Δ1≤0，k 2+4b ≤0，又1x≤kx+b对一切x<0成立，则kx2+bx−1≤0，即Δ2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤−4b且b2≤−4k，k4≤16b2≤−64k⇒−4≤k≤0，同理⇒−4≤b≤0，故②对，③错；④函数f(x)和ℎ(x)的图象在x=√e处有公共点，因此存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y−e=k(x−√e)，即y=kx−k√e+e，由f(x)≥kx−k√e+e(x∈R)，可得x2−kx+k√e−e≥0当x∈R恒成立，则Δ≤0，只有k=2√e，此时直线方程为：y=2√ex−e，下面证明ℎ(x)≤2√ex−e，令G(x)=2√ex−e−ℎ(x)=2√ex−e−2elnx，G′(x)=2√e(x−√e)x，当x=√e时，G′(x)=0，当0<x<√e时G′(x)<0，当x>√e时G′(x)>0，则当x=√e时，G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值．所以G(x)=2√ex−e−g(x)≥0，则g(x)≤2√ex−e当x>0时恒成立．∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2√ex−e，故④对．故选C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】{x|x<−13x>12}【考点】一元二次不等式的应用【解析】由不等式ax2−5x+b>0的解集为{x|−3<x<2}，根据三个二次之间的对应关系，我们易得a，b的值，代入不等式bx2−5x+a>0易解出其解集．【解答】∵ax2−5x+b>0的解集为{x|−3<x<2}，∴ax2−5x+b=0的根为−3、2，即−3+2=5a−3×2=b a解得a=−5，b=30则不等式bx2−5x+a>0可化为30x2−5x−5>0解得{x|x<−13x>12}【答案】4096【考点】导数的运算等比数列的通项公式【解析】通过f′(0)推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可．【解答】因为函数f(x)=x(x−a1)(x−a2)…(x−a8)，f′(x)=(x−a1)(x−a2)…(x−a8)+x[(x−a1)(x−a2)...(x−a8)]′则f′(0)=a1⋅a2...a8=(a1a8)4=84=4096．【答案】(√43, 2)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数，且周期为4，将方程f(x)−log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y=−log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】∵对于任意的x∈R，都有f(x−2)=f(2+x)，∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[−2, 0]时，f(x)=(12)x−1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(−2, 6]内关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f(x)与y=log a(x+2)在区间(−2, 6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f(−2)=f(2)=3，则对于函数y=log a(x+2)，由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即log a4<3，且log a8>3，由此解得：√43<a<2，【答案】k≥1【考点】函数恒成立问题【解析】当x>0时，f(x)=e2x2+1x =e2x+1x，利用基本不等式可求f(x)的最小值，对函数g(x)求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g(x)的最大值，由g(x1)k ≤f(x2)k+1恒成立且k>0，则g(x)maxk ≤f(x)mink+1，可求【解答】∵当x>0时，f(x)=e2x2+1x =e2x+1x≥2√e2x⋅1x=2e∴x1∈(0, +∞)时，函数f(x1)有最小值2e ∵g(x)=e2xe x∴ g ′(x)=e 2⋅(e x −xe x )e 2x=e 2(1−x)e x当x <1时，g′(x)>0，则函数g(x)在(0, 1)上单调递增 当x >1时，g′(x)<0，则函数在(1, +∞)上单调递减 ∴ x ＝1时，函数g(x)有最大值g(1)＝e则有x 1、x 2∈(0, +∞)，f(x 1)min ＝2e >g(x 2)max ＝e ∵g(x 1)k ≤f(x 2)k+1恒成立且k >0，∴ ek ≤2ek+1∴ k ≥1故答案为k ≥1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】（1）∵ cosAcosC +sinAsinC +cosB =32， ∴ 2sinAsinC =32．又∵ b 2=ac ⇒sin 2B =sinAsinC ， ∴ 2sin 2B =32．而a ，b ，c 成等比数列，所以b 不是最大，故B 为锐角，所以B =60∘． （2）由atanA +ctanC =2btanB ，可得 acosAsinA +ccosC sinC=2bcosB sinB ，所以cosA +cosC =2cosB =1，又因为A +C =2π3，∴ A =C =π3， 所以三角形ABC 是等边三角形， 【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】（1）化简条件可得2sinAsinC =32，再由b 2=ac 求得2sin 2B =32．根据b 不是最大边，可得B 为锐角，从而求得B 的值． （2）由条件可得 acosAsinA +ccosC sinC=2bcosB sinB，cosA +cosC =2cosB =1，求得 A =C =π3，可得三角形为等边三角形．【解答】（1）∵ cosAcosC +sinAsinC +cosB =32， ∴ 2sinAsinC =32．又∵ b 2=ac ⇒sin 2B =sinAsinC ， ∴ 2sin 2B =32．而a ，b ，c 成等比数列，所以b 不是最大，故B 为锐角，所以B =60∘． （2）由atanA +ctanC =2btanB ，可得 acosAsinA +ccosC sinC=2bcosB sinB，所以cosA+cosC=2cosB=1，又因为A+C=2π3，∴A=C=π3，所以三角形ABC是等边三角形，【答案】设等差数列{a n}的公差为d，由2a1+3a2=11，2a3=a2+a6−4，得2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11①，2a3=a2+a6−4，即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d−4②，联立①②解得d=2，a1=1，∴a n=a1+(n−1)d=1+(n−1)×2=2n−1；S n=na1+12n(n−1)d=n×1+12n(n−1)×2=n2，b n=1S n+n =1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=(11−12)+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．【考点】数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和S n=n2，代入b n=1Sn+n =1n2+n=1n(n+1)，然后利用裂项相消法数列{b n}的前n项和T n．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，由2a1+3a2=11，2a3=a2+a6−4，得2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11①，2a3=a2+a6−4，即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d−4②，联立①②解得d=2，a1=1，∴a n=a1+(n−1)d=1+(n−1)×2=2n−1；S n=na1+12n(n−1)d=n×1+12n(n−1)×2=n2，b n=1S n+n =1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=(11−12)+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．【答案】∵f(x)=12cos2x+√32sin2x+sin2x−cos2x+√2=12cos2x+√32sin2x−cos2x+√2=sin(2x−π6)+√2，∴函数f(x)的最小正周期T=π．∵由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，∴单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3brack(k∈Z)．当t ∈[π12,π3brack 时，可得：2t −π6∈[0,π2brack ， 解得：f(t)=sin(2t −π6)+√2∈[√2,√2+1brack⇒F(t)=[f(t)brack 2−2√2f(t)=[f(t)−√2brack 2−2∈[−2,−1brack ． 存在t ∈[π12,π3brack ，满足F(t)−m >0的实数m 的取值范围为(−∞, −1)． 【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x −π6)+√2，由周期公式可求函数f(x)的最小正周期，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，即可解得单调递增区间．（2）当t ∈[π12,π3brack 时，可得：2t −π6∈[0,π2brack ，解得：f(t)=sin(2t −π6)+√2∈[√2,√2+1brack ，利用二次函数的性质即可得解． 【解答】∵ f(x)=12cos2x +√32sin2x +sin 2x −cos 2x +√2=12cos2x +√32sin2x −cos2x +√2=sin(2x −π6)+√2，∴ 函数f(x)的最小正周期T =π．∵ 由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，得kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)， ∴ 单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3brack(k ∈Z)． 当t ∈[π12,π3brack 时，可得：2t −π6∈[0,π2brack ， 解得：f(t)=sin(2t −π6)+√2∈[√2,√2+1brack⇒F(t)=[f(t)brack 2−2√2f(t)=[f(t)−√2brack 2−2∈[−2,−1brack ． 存在t ∈[π12,π3brack ，满足F(t)−m >0的实数m 的取值范围为(−∞, −1)． 【答案】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ． 依题意，有2(a 3+2)＝a 2+a 4， 代入a 2+a 3+a 4＝28， 得a 3＝8．∴ a 2+a 4＝20． ∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8解之得{q =2a 1=2 ，或{q =12a 1=32又{a n }单调递增，∴ q ＝2，a 1＝2，∴ a n ＝2n ， b n ＝2n ⋅log 122n ＝−n ⋅2n ，∴ −S n ＝1×2+2×22+3×23++n ×2n ① −2S n ＝1×22+2×23++(n −1)2n +n ⋅2n+1② ①-②得，S n ＝2+22+23++2n −n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1＝2n+1−2−n ⋅2n+1由S n +(n +m)a n+1<0，即2n+1−2−n ⋅2n+1+n ⋅2n+1+m ⋅2n+1<0对任意正整数n 恒成立， ∴ m ⋅2n+1<2−2n+1． 对任意正整数n ， m <12n −1恒成立．∵ 12n −1>−1，∴ m ≤−1．即m 的取值范围是(−∞, −1]． 【考点】等比数列的性质 数列的应用 数列递推式 【解析】（1）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据2(a 3+2)＝a 2+a 4，可求得a 3．进而求得a 2+a 4＝20．两式联立方程即可求得a 1和q 的值，最后根据等比数列的通项公式求得a n ．（2）把（1）中的a n 代入b n ，再利用错位相减法求得S n ，再由S n +(n +m)a n+1<0恒成立进而求得m 的范围． 【解答】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ． 依题意，有2(a 3+2)＝a 2+a 4， 代入a 2+a 3+a 4＝28， 得a 3＝8．∴ a 2+a 4＝20． ∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8解之得{q =2a 1=2 ，或{q =12a 1=32又{a n }单调递增，∴ q ＝2，a 1＝2，∴ a n ＝2n ， b n ＝2n ⋅log 122n ＝−n ⋅2n ，∴ −S n ＝1×2+2×22+3×23++n ×2n ① −2S n ＝1×22+2×23++(n −1)2n +n ⋅2n+1② ①-②得，S n ＝2+22+23++2n −n ⋅2n+1 =2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1＝2n+1−2−n⋅2n+1由S n+(n+m)a n+1<0，即2n+1−2−n⋅2n+1+n⋅2n+1+m⋅2n+1<0对任意正整数n恒成立，∴m⋅2n+1<2−2n+1．对任意正整数n，m<12n−1恒成立．∵12n−1>−1，∴m≤−1．即m的取值范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵f(x)=e x−1−ax，(x∈R, a∈R)，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，则∀x∈R有f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(−∞, +∞)单调递增；②当a>0时，f′(x)>0⇒x>lna，f′(x)<0⇒x<lna∴函数f(x)的单调增区间为(lna, +∞)，单调减区间为(−∞, lna)．综合①②的当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(−∞, +∞)；当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(lna, +∞)，单调减区间为(−∞, lna)．(2)函数F(x)=f(x)−xlnx定义域为(0, +∞)，又F(x)=0⇒a=e x−1x−lnx,x>0，令ℎ(x)=e x−1x−lnx,x>0，则ℎ′(x)=(e x−1)(x−1)x2,x>0，∴ℎ′(x)>0⇒x>1，ℎ′(x)<0⇒0<x<1，∴函数ℎ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．∴ℎ(x)≥ℎ(1)=e−1由(1)知当a=1时，对∀x>0，有f(x)>f(lna)=0，即e x−1>x⇔e x−1x>1∴当x>0且x趋向0时，ℎ(x)趋向+∞随着x>0的增长，y=e x−1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x2的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢．故当x>0且x趋向+∞时，ℎ(x)趋向+∞．得到函数ℎ(x)的草图如图所示故①当a>e−1时，函数F(x)有两个不同的零点；②当a=e−1时，函数F(x)有且仅有一个零点；③当a<e−1时，函数F(x)无零点；(3)由(2)知当x>0时，e x−1>x，故对∀x>0，g(x)>0，先分析法证明：∀x>0，g(x)<x要证∀x>0，g(x)<x只需证∀x>0,e x−1x<e x即证∀x>0，xe x−e x+1>0构造函数H(x)=xe x−e x+1，(x>0)∴H′(x)=xe x>0，∀x>0故函数H(x)=xe x−e x+1在(0, +∞)单调递增，∴H(x)>H(0)=0，则∀x>0，xe x−e x+1>0成立．①当a≤1时，由(1)知，函数f(x)在(0, +∞)单调递增，则f（g(x)）<f(x)在x∈(0, +∞)上恒成立．②当a>1时，由(1)知，函数f(x)在(lna, +∞)单调递增，在(0, lna)单调递减，故当0<x<lna时，0<g(x)<x<lna，∴f（g(x)）>f(x)，则不满足题意．综合①②得，满足题意的实数a的取值范围(−∞, 1]．【考点】利用导数研究函数的单调性复合函数的单调性【解析】直接对f(x)求导，讨论a≤0和a>0时，f′(x)=e x−a的正负即可确定函数f(x)单调区间；对F(x)=f(x)−xlnx进行化简，构造函数ℎ(x)=e x−1x−lnx,x>0，研究函数ℎ(x)的单调性和最小值，从而画出ℎ(x)的简图，即可确定F(x)=f(x)−xlnx在定义域内是否存在零点；构造函数H(x)=xe x−e x+1，(x>0)，求其导数，利用导数研究函数H(x)的单调性，从而确定H(x)的最值，可得到H(x)>H(0)=0，然后讨论a的取值即可确定实数a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x)=e x−1−ax，(x∈R, a∈R)，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，则∀x∈R有f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(−∞, +∞)单调递增；②当a>0时，f′(x)>0⇒x>lna，f′(x)<0⇒x<lna∴函数f(x)的单调增区间为(lna, +∞)，单调减区间为(−∞, lna)．综合①②的当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(−∞, +∞)；当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(lna, +∞)，单调减区间为(−∞, lna)．(2)函数F(x)=f(x)−xlnx定义域为(0, +∞)，又F(x)=0⇒a=e x−1x−lnx,x>0，令ℎ(x)=e x−1x−lnx,x>0，则ℎ′(x)=(e x−1)(x−1)x,x>0，∴ℎ′(x)>0⇒x>1，ℎ′(x)<0⇒0<x<1，∴函数ℎ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增．∴ℎ(x)≥ℎ(1)=e−1由(1)知当a=1时，对∀x>0，有f(x)>f(lna)=0，即e x−1>x⇔e x−1x>1∴当x>0且x趋向0时，ℎ(x)趋向+∞随着x>0的增长，y=e x−1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x2的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢．故当x>0且x趋向+∞时，ℎ(x)趋向+∞．得到函数ℎ(x)的草图如图所示故①当a>e−1时，函数F(x)有两个不同的零点；②当a=e−1时，函数F(x)有且仅有一个零点；③当a<e−1时，函数F(x)无零点；(3)由(2)知当x>0时，e x−1>x，故对∀x>0，g(x)>0，先分析法证明：∀x>0，g(x)<x要证∀x>0，g(x)<x只需证∀x>0,e x−1x<e x即证∀x>0，xe x−e x+1>0构造函数H(x)=xe x−e x+1，(x>0)∴H′(x)=xe x>0，∀x>0故函数H(x)=xe x−e x+1在(0, +∞)单调递增，∴H(x)>H(0)=0，则∀x>0，xe x−e x+1>0成立．①当a≤1时，由(1)知，函数f(x)在(0, +∞)单调递增，则f（g(x)）<f(x)在x∈(0, +∞)上恒成立．②当a>1时，由(1)知，函数f(x)在(lna, +∞)单调递增，在(0, lna)单调递减，故当0<x<lna时，0<g(x)<x<lna，∴f（g(x)）>f(x)，则不满足题意．综合①②得，满足题意的实数a的取值范围(−∞, 1]．【答案】解：(1)因为ρsin2θ=4cosθ，所以(ρsinθ)2=4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．(2)将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α−4tcosα−4=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=4cosαsin2α，t1t2=−4sin2α，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√16cos2αsin4α+16sin2α=4sin2α.因为0απ，所以当α=π2时，|AB|取得最小值4．【考点】抛物线的极坐标方程直线与抛物线结合的最值问题参数方程与普通方程的互化【解析】（1）利用极坐标方程与普通方程的互化公式即可得出；（2）直线l的参数方程代入抛物线方程，可得根与系数的关系，利用|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2即可得出．【解答】解：(1)因为ρsin2θ=4cosθ，所以(ρsinθ)2=4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．(2)将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α−4tcosα−4=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=4cosαsin2α，t1t2=−4sin2α，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√16cos2αsin4α+16sin2α=4sin2α.因为0απ，所以当α=π2时，|AB|取得最小值4．。
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吉林省2018届高考第四次模拟数学理科试题含答案吉林省2018届高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）试题第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知N 是自然数集，集合N}16{∈+=x x|A ，{}01234,,,,B =，则A B =I （）A ．{}02,B ．{}012,,C ．{}23,D ．{}024,,（2）已知复数5i12i z =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）已知()πα,0∈,且5cos 13α=-,则sin()tan 2παα-⋅=（）A ．1213B ．513-C .1213-D ．135（4）某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）A ．9种B ．18种 C.12种D ．36种（5）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)f x +=()f x ，当[]2,0x ∈-时，()2x f x =-，则(1)f +(4)f 等于（）A ．32B ．1C ．−1D ．−32（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A .1.2B .1.6C .1.8D .2.4（7）已知函数()()()()sin 2cos 20f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（）A .6πB .3πC .6π或56πD .3π或23π（8）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()835mod6≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A.2019B.2023C.2031D.2047（9）如图，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内；若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B.32C.53 D.34（10）已知满足若2z x y =+有最大值4，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．（11）已知点2F 、P 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若()212OM OP OF =+u u u r u u u r u u u r ，2222OF F M =u u u r u u u u r ，且22222OF F M a b ⋅=+uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（）A ．12+B ．3C ．D ．（12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（）A ．1eB ．41e + C.41e +D ．41e +第Ⅱ卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）若0,0a b >>，且()ln 0a b +=，则11a b +的最小值是__________（14）若()2018220180122018(12)x a ax a x a x x R +=++++∈L ，则12a -+222a −332a +…+201820182a 的值为（15）已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，AC =，60ABC ∠= ，且棱锥O ABC -O 的表面积为___________（16）已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且BO BA BC λμ=+uu u r uu r uu u r .若60ABC ∠= ，则λμ+的最大值为__________三．解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分）（17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；（Ⅱ）证明：当2n ≥时，（18）（本小题满分12某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，将日需求量按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（Ⅰ）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率；（Ⅱ）该经销商计划每日进货300公斤或400公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据.他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠= ，E F，分别是BC PC ，的中点．（Ⅰ）证明:AE PD ⊥；（Ⅱ）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为值．（20）(本小题满分12分)已知圆C ：224x y +=与x 轴交于1F ，2F (2F 在原点右侧)两点，动点P 到1F ，2F 两点的距离之和为定值()22a a >，且12cos F PF ∠的最小值为−13．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过2F 且斜率不为零的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，若存在点E ，使得2EA EA AB +⋅u u r u u r u u u r 是与直线l 的斜率无关的定值，则称E 为“恒点”．问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．（21）(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求b a 的最小值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程D已知曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩(θ为参数).以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为()cos 6ρθθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2,()3f x x g x x m =-=-++()m R ∈（Ⅰ）解关于x 的不等式()20(R)f x a a +->∈；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）答案一．选择题123456789101112B C AB D B DC B B AD 二．填空题13.414.-115.48π16.三．解答题18.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．.....4分（Ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y 1可取－100，700，1500，此时Y 1的分布列为：Y 1－1007001500P 0.10.20.7此时利润的期望值E (Y 1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；当每日进货400公斤时，利润Y 2可取－400，400，1200，2000，此时Y 2的分布列为：Y 2－40040012002000P0.10.20.30.4此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．......12分19.证明：20．【解析】(1)由已知，22x y +=4与x 轴交于1F (−2，0)，2F (2，0)，则|1F 2F |=4，由题意知|P 1F |+|P 2F |=2a ，cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-=22121212(||||)||2||||PF PF F F PF PF +-−1=2124162||||a PF PF -−1≥224162a a -−1=1−28a =−13，当且仅当|P 1F |=|P 2F |=a 时等号成立，因而2a =6，由椭圆的定义知，P 的轨迹为椭圆，且1F ，2F 分别为其左、右焦点，2b =2a −2c =2，所以所求轨迹方程为26x +22y =1 (6)分(2)如图，设直线l 的方程为x =my +2，A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由2221x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+3)y 2+4my −2=0，则1y +2y =−243m m +，1y 2y =−223m +．（8分）假设存在这样的“恒点”E (t ，0)，则2EA EA AB +⋅ =EA EB ⋅ =(1x −t ，1y )·(2x −t ，2y )=(m 1y +2−t ，1y )·(m 2y +2−t ，2y )=(m 2+1)1y 2y +(2−t)m (1y +2y )+(2−t )2=2222224(2)33m t m m m ----++++(2−t )2=2222(6)312103t m t t m -+-++．若2EA EA AB +⋅ 是与直线l 的斜率无关的定值，则其为与m 无关的定值，则32t −18=32t −12t +10，得t =73，此时定值为(73)2−6=−59，“恒点”为(73，0)．（12分）21.【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'1g x a x=-，①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减…4分（Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数，∴()'1F x e a =+-，0x >，当a e ≤时，()'0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()'10F x e a x =+-=，得1x a e =-,∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤，当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()'0F x >，()F x 单调递增，当1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，()'0F x <，()F x 单调递减，∴当1x a e =-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭，∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，∴()()1ln a e b a e a a---≥>，令()()1ln x e G x x ---=，x e >，()()()()()'221ln ln x x e x e x e e x e G x x x e x -++-----==-令()()()ln H x x e x e e =---，()()'ln 1Hx x e =-+，由()'0H x =，得1x e e =+，当1,x e e ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 是增函数，当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0H x <，()H x 是减函数，∴当1x e e =+时，()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =，∴当(),2x e e ∈时，()'0G x <，()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 是增函数，∴2x e =时，()G x 取最小值，()11122G e e e --==-，∴b a 的最小值为1e -…12分。