考研数学二必背公式及知识点(自己精心总结整理)

[基础知识]
n -b n =(a -b)( a n−1+a n−2b+…+ab n−2+b n−1) ( n 为正偶数时)a n -b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…+ab n−2-b n−1) ( n 为正奇数时)a n +b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…-ab n−2+b n−1)
+b)n =∑C n k a k b
n−k
n k=0
(1) a,b 位实数，则
○
12|ab |≤a 2+b 2；○2|a ±b |≤|a |+|b |；○3|a |−|b |≤|a −b |. (2) a 1,a 2,…,a n >0, 则 ○1a 1+a 2+⋯+a n n ≥√a 1a 2⋯a n n
＜[x]≤x
和差化积;积化和差(7)：
sin α+sin β=2(sin α+β2)(cos
α−β2) sin αcos β=12(sin
α+β2+cos
α−β2)
sin α-sin β=2(cos
α+β
2)(sin
α−β
2) cos αcos β=12
(cos α+β
2
+cos
α−β
2
)
cos α+cos β=2(cos α+β
2)(co s
α−β2) sin αsin β=-1
2(cos
α+β2
-cos
α−β2
)
cos α-cos β=2(sin
α+β
2
)(sin
α−β
2
)
1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2α
sin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1
tan (α±β)=tanα±tanβ
1∓tanαtan β cot (α±β)=
1∓cot αcot β
cot α+cot β
tanα
2=1−cosα
sinα
=sinα
1+cosα
=±√1−cosα
1+cosα
cotα
2
=sinα
1−cosα
=1+cosα
sinα
=±√1+cosα
1−cosα
万能公式：u=tan x
2(−π<x<π)，则sin x=2u
1+u2
，cos x=1−u
2
1+u2
函数图像
sec(x) csc(x) cot(x)
arcsin(x) arccos(x)
arctan(x) arc cot(x)
[极限]
函数极限x→•：（6）
lim
x→x0
f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<|x- x0|< δ时，恒有|f(x)-A|< E.
lim
x→x0+
f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<(x- x0)< δ时，恒有|f(x)-A|<E.
lim
x→x0−
f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<( x0- x)< δ时，恒有|f(x)-A|< E.
lim
x→∞
f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<E.
lim
x→∞+
f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|< E.
lim
x→∞−
f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当-x>X时,恒有|f(x)-A|< E.
数列极限n→∞：
lim
n→∞
f(x)=A: ∀E>0, ∃N>0,当n>N时,恒有|X n-A|< E.
(1)唯一性:设lim
x→x0f(x)=A，lim
x→x0
f(x)=B，则A=B.
(2)局部有界性：若lim
x→x0
f(x)存在，则存在δ>0,使f(x)在U={x｜0<｜x-x0｜<δ内有界.
(3)局部保号性：○1(脱帽)若lim
x→x0
f(x) =A>0,则存在x0的一个去心邻域，在该邻域内恒有f(x)>0.
○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内
f(x)>(≥)0，且lim
x→x0
f(x)=A(∃)，则A≥0.
极限四则运算：设lim x→x 0
f(x)=A(∃),lim x→x 0
f(x)=B(∃),则
○
1lim x→x 0 [f (x )±g (x )]=A±B. ○2lim x→x 0
[f (x )g (x )]=A⋅B. ○3lim x→x 0
f(x)g(x)=A
B
(B≠0). 等价无穷小（9）
sin x 1−cos x ~1
2x 2 arc sin x a x −1~lna ⋅x
tan x (1+x )α−1~αx ~x
arctan x
ln (1+x )
e x −1
lim n→∞
√n n =1 , lim n→∞
√a n
=1, (a>0) ,
lim x→0
+
x δ(ln x )k =0 ,lim x→+∞
x k e −δx =0 (δ>0,k >0) lim n→∞
√a 1
n +a 2n +⋯+a m n
n =max {a i }i =1,2,…,m;a i >0
洛必达法则：“0
0”型：○
1lim x→x 0
f(x)=0, lim x→x 0
g(x)=0; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0 ○
3lim x→ x 0f′(x)
g′(x)=A 或为∞.
则lim
x→x 0
f(x)
g(x)
=lim
x→x0 f′(x)
g′(x)
“∞
∞”型：○
1lim x→x 0
f(x)=∞, lim x→x0
g(x)=∞; ○
2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0
○3lim x→x 0 f′(x)
g′(x)
=A 或为∞.
则lim
x→x 0
f(x)
g(x)
=lim
x→x 0 f′(x)
g′(x)
[注]洛必达法则能不能用，用了再说.
数列极限存在准则： 1. 单调有界数列必收敛
2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)满足下列条件： (1) g(x)≤f(x)≤h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A, 则limf(x)存在，且limf(x)=A .
两种典型放缩：○1max{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }; ○2n∙min{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }
选取的依据是谁在和式中去决定性作用
海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (x 0,δ)内有定义，则
lim x→x 0
f(x)=A 存在⟺对任何以x 0为极限的数列{x n }（x n ≠x 0），极限lim n→∞
f(x n )=A
存在.
连续的两种定义：
（1） lim Δx→0Δy =lim Δx→0
[f (x 0+Δx )−f (x 0)]=0
（2） lim x→x 0
f (x )=f (x 0)
间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡
[一元微分学]
导数定义式：f’ (x 0)=dy
dx ｜x=x0=lim
Δx→0
f (x 0+Δx )−f(x 0)
Δx
=lim
x→x 0
f (x )−f(x0)x−x 0
微分定义式：若Δy=A Δx +o(Δx ),则dy=A Δx . 可导的判别:
(1) 必要条件:若函数f(x)在点x 0处可导,则f(x)在点x 0处连续.
(2) 充要条件:f ′(x
0)f +(x 0)′,f −(x 0)′都存在，且f +(x 0)′=f −(x 0)′
.
[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断. 可微的判别：
lim
Δx→0
Δy−AΔx Δx
=0，则f(x)可微。

（一元函数可微即可导）
几个不常见的求导公式：(arccos x)’=-√
2
(arccot x)’=-1
1+x 2
莱布尼茨公式：(uv )(n)= C n 0u (n)v+ C 1 n u (n-1)v’+…+C n
n uv (n)
常见初等函数n 阶导数：(a x )(n)=a x ⋅ln n a (1
ax+b ) (n)=(−1)n a n n!
(ax+b )n+1
[sin (ax+b )](n)=a n sin (ax+b+nπ
2) [cos (ax+b )](n)=a n cos (ax+b+nπ2)
[ln (ax+b )] (n)=
(−1)n−1a n (n−1)!
(ax+b )n
(n≥1)
构造辅助函数：要证f′(x)+φ′(x)⋅f(x)=0,只要构造F(x)=f(x)⋅ⅇφ(x)，证明
F′(x)=0.
最值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则m≤f(x)≤M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值和最大值.
介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m,M是f(x)在该区间上的最小值和最大值，则对任意的μ∈[m,M],∃ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ.
零点定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且满足f(a)⋅f(b)<0,∃ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.
费马引理：
设f(x)满足在x0点处{(1)可导
(2)取极值
则f′(x0)=0.
罗尔：
设f(x)满足{(1)[a,b]上连续
(2)(a,b)内可导
(3)f(a)=f(b)
则∃ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0拉格朗日中值：
设f(x)满足{(1)[a,b]上连续
(2)(a,b)内可导
则∃ξ∈(a,b)，
使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),或者写成f′(ξ)=f(b)−f(a)
b−a
柯西中值：
设f(x),g(x)满足{(1)[a,b ]上连续
(2)(a,b )内可导(3)g ′(x )≠0.
则∃ξ∈(a,b )，
使得f (b )−f (a )g (b )−g(a)=f ′(ξ)
g ′(ξ).
泰勒公式：
(1)带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式
设f(x)在点x 0的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x 均有
f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x −x 0)+…+1
n!f (n )(x 0)(x −x 0)n +
f n+1(ξ)
(n+1)!
(x −x 0)n+1,其中ξ介于x , x 0之间，
(2)带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式
设f(x)在点x 0处n 阶可导，则存在x 0的一个邻域，对于该邻域中的任一点，f(x)=f(x 0)+f ′(x 0)(x −x 0)+…+1
n!f (n )(x 0)(x −x 0)n +ο((x −x 0)n ).
麦克劳林：（9）
e x =1+x+12!
x 2+…+1
n!
+ο(x n )
sinx=x −
x 3
3!+…+(−1)n x 2n+1
(2n+1)!
+ο(x 2n+1
) arcsinx=x+x 33!…+x 2n+1
(
2n+1)
!
+ο(x 2n+1
) tanx=x+x 33
+215x 5+ο(x 5) arctanx=x −x 3
3
+ο(x 3) cosx=1−
x 22!+x 4
4!−…+(−1)n x
2n
(2n )!
+ο(x 2n )
1
1−x
=1+x+x2+ …+x n+ο(x n)
1
1+x
=1−x+x2+ …+(−1)n x n+ο(x n)
ln(1+x)=x−x2
2+x3
3
−…+(−1)n x n+1
n+1
+ο(x n+1)
(1+x)a=1+αx+α(α−1)
2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)
n!
+ο(x n)
函数性态
单调判定：
若y=f(x)在区间I上有f′(x)>0,则y=f(x)在I上严格单调增加；
若y=f(x)在区间I上有f′(x)<0,则y=f(x)在I上严格单调减少。

零点问题（方程根问题）：
○1零点定理（存在性）
○2单调性（唯一性）
○3几何意义
○4罗尔中值（构造辅助函数→F′(ξ)=0）
○5拉格朗日、柯西中值（ξ即为定理方程的根）
○6费马定理（取原函数F(x)→找极值→f(x)=0）
○7罗尔原话若f(n)(x)=0至多k个根，则f(n−1)(x)=0至多k+1个根
极值判定：（3）
第一充分条件：设f(x)在x=x0处连续，在x0某去心领域(x0,δ)可导
{在x0的左邻域f′(x)<0,右邻域f′(x)>0,则f(x0)是极小值在x0的左邻域f′(x)>0,右邻域f′(x)<0,则f(x0)是极大值
第二充分条件：设f(x)在x=x 0处二阶可导，且f ′(x )=0，f ′′(x 0)≠0 {若f ′′(x 0)<0,则f(x)在x 0取得极大值若f ′′(x 0)>0,则f (x )在x 0取得极小值
第三充分条件：设f(x)在x=x 0处n 阶可导，且f (m )(x 0)=0(m=1,2,…, n-1), f (n )(x 0)≠0 (n ≥2)则n 为偶数时 {f (n )(x 0)<0时,f (x )在x 0取得极大值f
(n )
(
x 0)>0时,f(x)在x 0取得极小值
凹凸性判定：设f(x)在I 上二阶可导, {若在I 上f ′′(x )>0,则f (x )在I 上是凹的
若在I 上f ′′(x )<0,则f (x )在I 上是凸的 补充定义：设f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b)内任意两点x 1,x 2,λ∈(0,1),有f[λx 1+(1- λ) x 2]≥λf(x 1)+(1- λ)f(x 2),则称f(x)在(a,b)内是凸的;…≤…则…是凹的. 拐点判定：（3）
第一充分条件：设f(x)在点x=x 0处连续,在点x=x 0的某去心邻域 (x 0,δ)内二阶导数存在,且在该点的左右邻域内f ′′(x )变号,则点(x 0,f(x 0))为曲线上的拐点. 第二充分条件：设f(x)在x=x 0处三阶可导，且f ′′(x 0)=0,f ′′′(x 0)≠0,则（x 0,f(x 0))为拐点.
第三充分条件：设f(x)在x=x 0处n 阶可导，且f (m)(x 0)=0 (m=2,…,n -1), f (n)(x 0)≠0(n ≥2),则当n 为奇数时，(x 0,f(x 0))为拐点.
微分几何应用
曲率：y=y(x)在(x,y(x))处的曲率公式为k =
|y ′′|
(1+y ′2
)3
2
曲率半径：R =
1k
曲率圆：(X −α)2
+(Y −β
)2
=R 2
，α=x −
y ′(1+y ′2
)y ′′
2，β=y +
1+y ′2
y ′′
2
[一元积分学]
定义：设函数f(x)定义在某区间I 上，若存在可导函数F(x),对于该区间上任一点都有F ′(x )=f (x )成立，则称F(x)在区间I 上的一个原函数，称∫f (x )dx =F(x)+C 为f(x)在区间I 上的不定积分。

原函数存在定理：连续函数f(x)必有原函数F(x)；若间断函数有原函数，也只能为振荡间断。

定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若存在定积分，则定积分∫f (x )dx a
b 的值为曲边梯形的面积(x 轴上方取正，下方取负。

定积分的精确定义：∫f (x )dx a
b =lim n→∞
∑
f (a +
b−a n
i)
b−a n
.n i=1
[注]任意切分，任意取高
定积分存在(可积)定理： ○1充分条件 {
f (x )在区间[a,b ]上连续 f (x )在区间[a,b ]上有界，且只有有限个间断点
,则∫f (x )dx b
a 存在.
○
2必要条件 可积函数必有界.
定积分的性质：(6)
○1可拆性：无论a,b,c 的大小，∫f (x )dx b a =∫f (x )ⅆx c a +∫f (x )dx b c
○2保号性：若在[a,b]上f(x)≤g(x),则有∫f (x )dx a b ≤∫g (x )dx a b
特殊地，有|∫f (x )dx b
a |≤∫|f (x )|dx b
a .
○
3估值定理：设m,M 分别是f(x)在[a,b]上的最小最大值，则有 m(b-a) ≤∫f (x )dx b a ≤M(b-a)
○
4中值定理：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得∫f (x )dx b
a =f (ξ)(b-a).
∫f (t )ⅆt x
a 、f (x )、f ′(x )的奇偶,周期,有界,单调关系 （1） 奇偶性
可导f (x )奇，则f ′(x )偶；可导f (x )偶，则f ′(x )奇
可积f (x )奇，则F (x )={∫f (t )dt x
0偶∫f (t )dt x a 偶；可积f (x )偶，则F (x )={∫f (t )dt x
0奇
∫f (t )dt x a 不定
（2） 周期性
可导f (x )以T 为周期，则f ′(x )以T 为周期；
可积f (x )以T 为周期，则F (x )=∫f (t )dt x
a 以T 为周期⇔∫f (x )ⅆx T
0=0 （3） 有界性
若f ′(x )在有限区间(a,b)内有界，则f (x )在(a,b)内有界 （4） 单调性 无明确结论
定义：当定积分的上限变化、下限变化或上下限都变化时，称该积分为变限积分.
变限积分的性质：
(1) f(x)在[a,b]上可积，则F(x)= ∫f (t )dt x
a 在[a,b]上连续. (2) f(x)在[a,b]上连续，则F(x)= ∫f (t )dt x
a 在[a,b]上可导. (即只要变限积分F(x)= ∫f (t )dt x
a 存在，就必然连续.)
变限积分求导公式：
F ′(x )=d dx [∫f (t )dt φ2(x )
φ1
(x )]=f [φ2(x )]φ2′(x )-f [φ1(x)]φ1′
(x ).
(x 为”求导变量”，t 为”积分变量”)
通俗理解：{
破坏积分区间[a,b]的有界性破坏f(x)在[a,b]上的有界性
无穷区间上的反常积分的概念和敛散性： ∫f (x )dx +∞a =lim b→+∞∫f (x )d (x )b
a {
若∃,则收敛
若不∃,则发散
∫f (x )dx b −∞=lim a→−∞∫f (x )d (x )b
a {
若∃,则收敛 若不∃,则发散
∫f (x )dx +∞
−∞=∫f (x )dx c
−∞+∫f (x )dx +∞
c (○
3=○1+○2) {○
1○2均收敛,则○3收敛否则,○
3发散
无界函数的反常积分的概念和敛散性：
若b 是f(x)的唯一奇点,则
∫f (x )dx b a =lim ε→0+∫
f (x )dx b−ε
a {若∃,则收敛
若不∃,则发散
若c ∈(a,b)是f(x)的唯一奇点，则
∫f (x )dx b
a =∫f (x )dx c
a +∫f (x )dx b
c (○3=○1+○2) {○
1○2均收敛,则○3收敛否则,○
3发散
基本积分公式：（24） 凑微分：（复杂处理方法）
换元法：（三角代换）（倒代换）（整体代换） 不定积分 分部积分：（推广） 有理函数积分：
N-L 公式：（有原函数） 分部积分：
换元法： 定积分 华氏(点火)公式： 区间再现公式： 变限积分求导公式：
均值：设x ∈[a,b ],函数y(x)在[a,b ]上的平均值为y ̅=1
b−a ∫y (x )dx b
a 平面曲线弧长 (1)平面光滑曲线L 由y =y (x )(a ≤x ≤
b )给出，
则L =∫√1+[y ′(x )]2dx b
a
(2) 平面光滑曲线L 由参数式{x =x(t)y =y(t) ,(α≤t ≤β)给出，
则L =∫√[x ′(t )]2+[y ′(t )]2dt β
α
(3)平面光滑曲线L 由r =r (θ)(α≤θ≤β)给出， 则L =∫√[r (θ)]2+[r ′(θ)]2dθβ
α
(4)平面光滑曲线L 由θ=f (r ) (a ≤r ≤b)给出， 则 L =∫√1+[r ⋅f ′(r )]2dr b
a
平面图形面积：(1) S =∫|y 1(x )−y 2(x )|dx b
a
(2) S =1
2
∫|r 12(θ)−r 22(θ)|dθβ
α 旋转曲面面积：(1)曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x 轴旋转一周所得
到的旋转曲面的面积 S =2π∫|y (x )|√1+[y ′(x )]2dx b
a
(2)曲线 {x =x(t)
y =y(t)
(α≤t ≤β,x ′(t )≠0)在区间[α,β]上的曲线
弧段绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积
S =2π∫|y (t )|√x ′2(t )+[y ′(t )]2dt β
α
(3) 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕y 轴旋转一周所得
到的旋转曲面的面积 S =2π∫x√1+[y ′(x )]2dx b
a
旋转体体积： (1)曲线y=y(x)与x=a,x=b(a ＜b)及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴
旋转一周所得到的旋转体的体积
V =∫πy 2(x )dx b
a
(2) 曲线y=y 1(x)≥0与y=y 2(x )≥0及x=a,x=b(a ＜b)所及x 轴
围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到的旋转体的体积
V =π∫|y 12(x )−y 22(x )|dx b
a
(3)曲线y=y(x)与x=a,x=b (0≤a ＜b)及x 轴围成的曲边梯形绕y
轴旋转一周所得到的旋转体的体积
V =2π∫x |y (x )|dx b
a
(4)曲线y=y 1(x)与y=y 2(x )及x=a,x=b(0≤a ≤b)所围成的图形
绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积
V =2π∫x |y 1(x )−y 2(x )|dx b a
[多元微分]
1.极限的存在性：若二元函数f(x,y)在(x 0,y 0)的去心领域内有定义，且(x,y )以任意方式(不考虑无定义点)趋于(x 0,y 0)时，f(x,y)均趋向于A ，则lim x→x 0
y→y 0
f (x )=A .
2.连续性：如果lim x→x 0
y→y 0
f (x )=f (x 0,y 0)，则称f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续.
3.偏导数存在性：f x ′(x 0,y 0)=lim
Δx→0
f (x 0+Δx,y 0)−f (x 0,y 0)
Δx
f y ′(x 0,y 0)=lim
Δy→0
f (x 0,y 0+Δy )−f (x 0,y 0)
Δy
4.可微：全增量Δz =f (x 0+Δx,y 0+Δy )−f (x 0,y 0) 线性增量dz =AΔx +BΔy 若极限lim
Δy→0
2()2
=0,则称z =f (x,y )在(x 0,y 0)处可微.
5.偏导数连续性 :○1用定义法求f x ′(x 0,y 0), f y ′(x 0,y 0) ○2用公式法求f x ′(x,y ), f y ′(x,y ),
并计算lim
x→x0
y→y0f x′(x,y)，lim
x→x0
y→y0
f y′(x,y)
○3若○1=○2，则z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数连续。

6.f(x,y0)在x=x0处连续⇒lim
x→x0
f(x,y0)存在;
f(x0,y)在y=y0处连续⇒lim
y→y0
f(x0,y)存在
多元函数微分遵循链式法则
隐函数求导法
设函数F(x,y,z)在P0(x0,y0,z0)的某邻域内有连续偏导数，并且F(x0,y0,z0)= 0，F z′(x0,y0,z0)≠0，则F(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内恒能确定唯一的连续函数z=f(x,y)，且满足:○1z0=f(x0,y0);
○2F(x,y,f(x,y))≡0 ;
○3z=f(x,y)有连续偏导数，且
ðz ðx =−F x′(x,y,z)
F z′(x,y,z)
; ðz
ðy
=−F y
′(x,y,z)
F z′(x,y,z)
必要条件：设z=f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数，则必有f x′(x0,y0)=0,f y′(x0,y0)=0
充分条件：设z=f(x,y)在点(x0,y0)有二阶连续偏导数，并设(x0,y0)是f(x,y)的驻点，记A=f xx′′(x0,y0)，B=f xy′′(x0,y0),C=f yy′′(x0,y0)
则∆=B2−AC
{<0⇒极值{
A<0⇒极大值
A>0⇒极小值>0⇒非极值
=0⇒不能确定，方法失效
条件极值：求z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值
(1) 构造拉格朗日函数F (x,y,λ)=f (x,y )+λφ(x,y )
(2) 构造方程组{F x ′=0F y ′
=0F λ′=0
，解出所有的(x,y)
(3) 求备选点，其中最大值、最小值即为所求最值
在某区域D 上的最值：
（1） 求出f(x,y)在D 内所有可疑点处的函数值； （2） 求出f(x,y)在D 的边界上的最值； （3） 比较所有的函数值，得出最值
[常微分方程]
1.未知函数是一元函数的是常微分方程，多元函数的是偏微分方程
2.未知函数导数的最高阶数为微分方程的阶
3.通解和特解通解中的独立常数个数与阶数相同，不含任意常数的解是特解
4.线性微分方程：通解=全部解；非线性:通解≠全部解
5.对于二阶线性齐次方程，设y 1(x ),y 2(x ),y 3(x )是该方程的解,则C 1y 1(x )+C 2y 2(x )+C 3y 3(x )也是该方程的解的充要条件是C 1+C 2+C 3=0； 对于二阶线性非齐次方程，设y 1(x ),y 2(x ),y 3(x )是该方程的解,则C 1y 1(x )+C 2y 2(x )+C 3y 3(x )也是该方程的解的充要条件是C 1+C 2+C 3=1
变量可分离型：dy
dx =f (x )g (y ) 可化为变量可分离型： (1)
dy dx
=f (ax +by +c )，解法为：令u=ax +by +c ,则
du dx
=a +b
dy dx
，
代入原方程得du
dx =a +bf (u ).
(2)形如dy dx =φ(y x )或dx dy =φ(x y )这样的齐次微分方程，解法为：令u =y
x ,
则y =ux ⇒dy
dx =du
dx ⋅x +u =f (u ).
一阶线性微分方程：A (x )y ′+B (x )y =C (x )化成标准形式y ′+p (x )y =q (x ) 则通解为y =e −∫p (x )dx [∫q (x )e ∫p (x )dx dx +C]
隐式通解：当ⅆy
ⅆx 很难求解时，可以换位思考即x ⇌y , 求出x (y )
可降为一阶：（1）y ′′=f (x,y ′) ，令y ′=p ,则y ′′=p ′ （2）y ′′=f (y,y ′) ，令y ′=p ,则y ′′=dp
dy ⋅p 二阶常系数齐次线性微分方程：y ′′+py ′+qy =0
其特征方程为λ2+pλ+q =0
通解{y (x )=C 1e λ1x +C 2e λ2x 特征方程有两个不同的实根λ1,λ2 y (x )=(C 1+C 2x )e λx 特征方程有两个相同实根λ1=λ2=λy (x )=e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ) 特征方程有一对共轭复根α±βi
二阶常系数非齐次线性微分方程：y ′′+py ′+qy =f (x )
特解：（1）f (x )=P n (x )e αx 则 y ∗=x k Q n (x )e αx
其中{
e αx 照抄Q n (x )为与P n (x )同次的一般多项式
k ={0 α和λ1,λ2都不相等
1 α和其中一根相等
2 α=λ1=λ2 （2）f (x )=[P n (x )cos βx +Q m (x )sin βx ]e αx
则y ∗=x k [M l (x )cos βx +N l (x )sin βx ]e αx
其中
{
e αx 照抄l =max {m,n}
k ={
0,α±βi 不是特征根1，α±βi 是特征根。