华东师大版八年级数学初二上册第13章全等三角形检测题及答案解析

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八年级数学上册第13章全等三角形单元综合测试含解析华东师大版

第13章全等三角形一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中,正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H,BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD;④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是(）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2,则CE=．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F 分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=．5．如图,在正方形ABCD中，如果AF=BE,那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上,∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论:①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．(请写出正确结论的序号)．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D 作DE⊥AF，垂足为点E．(1）求证：DE=AB．(2）以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AC=AD．10．如图,AC=DC，BC=EC,∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C，D在线段AE上,AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG,DE ⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系,并说明理由．13．已知:如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD,其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2)OA=OD．14．如图,已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点,AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明;（2）如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是,请说明理由．15．如图,正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上,且AE=DF，连接BE,AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N 分别在AB，AC边上,AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处,BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形"．如图，四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O,OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF,AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中,正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF,即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE,∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF,∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定,勾股定理等知识点的综合运用,综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点,BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE;②BG=4GE;③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE,再证△ADH≌△CDH,求得∠HAD=∠HCD,推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°;最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan ∠EAG=,得到AG=BG，GE=AG,于是得到BG=4EG,故②正确；根据AD∥BC,求出S△BDE=S△CDE,推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD,故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD,故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°,在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∵在△ADH和△CDH中，,∴△ADH≌△CDH(SAS），∴∠HAD=∠HCD,∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°﹣90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵tan∠ABE=tan∠EAG=，∴AG=BG,GE=AG,∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC,∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD,∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE,∴∠AHB=∠EHD,故④正确；故选:D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式,解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图,在△ABC中，已知∠1=∠2,BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3,故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E,F 分别是线段AB，AD上的点,连接CE,CF．当∠BCE=∠ACF,且CE=CF 时，AE+AF=．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解:过点F作FG⊥AC于点G,如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=,∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图,在正方形ABCD中，如果AF=BE,那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ODA与∠BAE的关系,根据余角的性质,可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解:由ABCD是正方形，得AD=AB,∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E,∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB,∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22。

第13章全等三角形华东师大版八年级数学上册单元测试(含答案)

第13章　全等三角形(90分钟　100分)一、选择题(每小题3分,共24分)1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=( )A.2B.3C.4D.52.(2024·泉州期末)下列命题的逆命题是真命题的是( )A.全等三角形的对应角相等B.对顶角相等C.若x>y,则x-y>0D.若C是线段AB的中点,则AC=BC3.(2024·南通质检)如图,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,则∠E=( )A.35°B.45°C.55°D.无法计算4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是( )5.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连结BE,CD.下列命题中,假命题是( )A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBCB.若∠DCB=∠EBC,则CD=BEC.若BD=CE,则∠DCB=∠EBCD.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为( )A.8 cmB.12 cmC.12 cm或6 cmD.12 cm或8 cm7.如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC都经过点E,则图中全等的三角形共有对( )A.3B.4C.5D.68.(2024·天津期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④连结OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有( )A.①⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤二、填空题(每小题4分,共24分)9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是.10.检测房梁是否水平,可以采用下面的方法:在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端拴一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的顶点,则可以判断房梁是水平的.这样做的根据是:.11.如图,D在BC边上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,则∠B的度数为.12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DEA的度数是.13.(2023·重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为.14.如图,∠BOC=60°,A是BO的延长线上一点,OA=10 cm,动点P从点A出发,沿AB 以3 cm/s的速度移动,动点Q从点O出发沿OC以2 cm/s的速度移动,若点P,Q 同时出发,当△OPQ是等腰三角形时,移动的时间是.三、解答题(共52分)15.(6分)(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.16.(8分)(2024·北京期中)下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程:已知:如图,点P在直线l上.求作:直线PQ,使PQ⊥l.作法:①以点P为圆心,任意长为半径画弧,交直线l于A,B两点,AB长为半径画弧,两弧在直线l上方交于点Q,②分别以A,B为圆心,大于12③作直线PQ.直线PQ即为所求的垂线.(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.()(填推理的依据)17.(8分)如图,在长方形纸片ABCD中,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C 落在点E处,PE,DE分别交AB于点G,F,且GF=GP.(1)求证:△GEF≌△GBP;(2)若PC=2,求BF的长.18.(8分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A 为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连结DE,DF.(1)求证:△ADE≌△ADF;(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.19.(10分)已知,如图,AD为△ABC的角平分线,且AD=AC,E为AD延长线上的一点,AE=AB.(1)求证:△ABD≌△AEC;(2)求证:BE=EC.20.(12分)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.(1)若点D是AC的中点,如图1,则线段AD与CE的数量关系是;(2)若点D不是AC的中点,如图2,试判断AD与CE的数量关系,并证明你的结论;(提示:过点D作DF∥BC,交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上,(2)中的结论是否仍成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.【附加题】(10分)(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边△ABD和△BCE.①连结AE,CD,如图1,求证:∠BCD=∠AEB;②若AB⊥BC,延长AB交DE于点M,求证:点M为DE的中点;(2)如图3,HE⊥CE于点E,∠BEH=30°,点G在EH上运动,以BG为边作等边△BGF,当BF的长最小时,求∠FBE的度数.第13章　全等三角形(90分钟　100分)一、选择题(每小题3分,共24分)1.△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=(A)A.2B.3C.4D.52.(2024·泉州期末)下列命题的逆命题是真命题的是(C)A.全等三角形的对应角相等B.对顶角相等C.若x>y,则x-y>0D.若C是线段AB的中点,则AC=BC3.(2024·南通质检)如图,已知△ABC≌△DEC,∠ACB=100°,∠D=35°,则∠E=(B)A.35°B.45°C.55°D.无法计算4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,要求用圆规和直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是(B)5.(2023·台州中考)如图,锐角三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,连结BE,CD.下列命题中,假命题是(A)A.若CD=BE,则∠DCB=∠EBCB.若∠DCB=∠EBC,则CD=BEC.若BD=CE,则∠DCB=∠EBCD.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,线段PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若以A,B,C为顶点的三角形与以A,P,Q为顶点的三角形全等,则AP的值为(C)A.8 cmB.12 cmC.12 cm或6 cmD.12 cm或8 cm7.如图,OE是∠AOB的平分线,BD⊥OA,AC⊥OB,垂足分别为D,C,BD,AC都经过点E,则图中全等的三角形共有对(B)A.3B.4C.5D.68.(2024·天津期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④连结OC,OC平分∠AOE;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有(D)A.①⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤二、填空题(每小题4分,共24分)9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是　有两个角互余的三角形是直角三角形　.10.检测房梁是否水平,可以采用下面的方法:在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端拴一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的顶点,则可以判断房梁是水平的.这样做的根据是:　等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合　.11.如图,D在BC边上,△ABC≌△ADE,∠EAC=44°,则∠B的度数为　68°　.12.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DEA的度数是　85°　.13.(2023·重庆中考A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE =4,CF =1,则EF 的长度为　3　.14.如图,∠BOC =60°,A 是BO 的延长线上一点,OA =10 cm,动点P 从点A 出发,沿AB 以3 cm/s 的速度移动,动点Q 从点O 出发沿OC 以2 cm/s 的速度移动,若点P ,Q 同时出发,当△OPQ 是等腰三角形时,移动的时间是　2 s 或10 s .三、解答题(共52分)15.(6分)(2023·云南中考)如图,C 是BD 的中点,AB =ED ,AC =EC.求证:△ABC ≌△EDC.【解析】∵C 是BD 的中点,∴BC =DC ,在△ABC 和△EDC 中,AB =ED AC =EC BC =DC,∴△ABC ≌△EDC (S.S.S.).16.(8分)(2024·北京期中)下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程:已知:如图,点P 在直线l 上.求作:直线PQ ,使PQ ⊥l.作法:①以点P 为圆心,任意长为半径画弧,交直线l 于A ,B 两点,②分别以A ,B 为圆心,大于12AB 长为半径画弧,两弧在直线l 上方交于点Q ,③作直线PQ.直线PQ即为所求的垂线.(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合)(填推理的依据)【解析】(1)补全的图形如图所示:【解析】(2)连结AQ,BQ,∵根据作法,有AQ=BQ,AP=BP,∴PQ⊥AB,即PQ⊥l.(等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合)17.(8分)如图,在长方形纸片ABCD中,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C 落在点E处,PE,DE分别交AB于点G,F,且GF=GP.(1)求证:△GEF≌△GBP;【解析】(1)∵纸片ABCD为长方形,∴∠B=∠C=90°,由折叠的性质得,∠E=∠C,∴∠E=∠B,在△GEF 和△GBP 中,∠E =∠B ∠EGF =∠BGP GF =GP,∴△GEF ≌△GBP (A.A.S.);(2)若PC =2,求BF 的长.【解析】(2)由△GEF ≌△GBP 得GE =GB ,∵GF =GP ,∴BF =GB +GF =GE +GP =PE ,由折叠的性质得,PE =PC =2,∴BF =2.18.(8分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD 为△ABC 的角平分线.以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,与AB ,AC 分别交于点E ,F ,连结DE ,DF.(1)求证:△ADE ≌△ADF ;【解析】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠BAD =∠CAD.由作图知:AE =AF.在△ADE 和△ADF 中,AE =AF ∠BAD =∠CAD AD =AD,∴△ADE ≌△ADF (S.A.S.);(2)若∠BAC =80°,求∠BDE 的度数.【解析】(2)∵∠BAC =80°,AD 为△ABC 的角平分线,∴∠EAD =12∠BAC =40°,由作图知:AE =AD ,∴∠AED =∠ADE ,∴∠ADE =12×(180°-40°)=70°,∵AB =AC ,AD 为△ABC 的角平分线,∴AD ⊥BC ,∴∠BDE =90°-∠ADE =20°.19.(10分)已知,如图,AD 为△ABC 的角平分线,且AD =AC ,E 为AD 延长线上的一点,AE =AB.(1)求证:△ABD≌△AEC;【证明】(1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,在△ABD与△AEC中,AB=AE∠BAD=∠EAC AD=AC,∴△ABD≌△AEC(S.A.S.); (2)求证:BE=EC.【证明】(2)∵AD=AC,AE=AB,∴∠ACD=∠ADC=180°-∠DAC2,∠ABE=∠AEB=180°-∠BAD2,∴∠ACD=∠ADC=∠ABE=∠AEB,∵∠BDE=∠ADC,∴∠BDE=∠BED,∴BD=BE,∵△ABD≌△AEC,∴BD=EC,∴BE=EC.20.(12分)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.(1)若点D是AC的中点,如图1,则线段AD与CE的数量关系是AD=CE;【解析】(1)AD=CE,理由如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC.∵点D为AC的中点,∴∠DBC=30°,AD=DC,∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=∠E=30°,∴CD=CE,又∵AD=DC,∴AD=CE.(2)若点D不是AC的中点,如图2,试判断AD与CE的数量关系,并证明你的结论;(提示:过点D作DF∥BC,交AB于点F)【解析】(2)AD=CE,理由如下:如图,过点D作DF∥BC,交AB于点F,则∠ADF=∠ACB=60°,∵∠A=60°,∴△AFD是等边三角形,∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°,∵DF∥BC,∴∠FDB=∠DBE=∠E,在△BFD和△DCE中,∠FDB=∠E∠BFD=∠DCE BD=DE,∴△BFD≌△DCE(A.A.S.),∴DF=EC,又∵AD=DF,∴AD=CE;(3)若点D在线段AC的延长线上,(2)中的结论是否仍成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.【解析】(3)结论仍成立,理由如下:如图,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,则∠ABC=∠APD=60°,∠ACB=∠ADP=60°,∵∠A=60°,∴△APD是等边三角形,∴AP=PD=AD,∴∠DCE=∠ACB=∠P,∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC,∴∠PDB=∠DEC,在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠CED ∠P=∠DCE BD=DE,∴△BPD≌△DCE(A.A.S.),∴PD=CE,又∵AD=PD,∴AD=CE.【附加题】(10分)(1)已知△ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边△ABD和△BCE.①连结AE,CD,如图1,求证:∠BCD=∠AEB;②若AB⊥BC,延长AB交DE于点M,求证:点M为DE的中点;【解析】(1)①∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴BD=BA,BC=BE,∠DBA=∠EBC=60°,∴∠DBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC,即∠DBC=∠ABE,在△DBC和△ABE中,BD=BA∠DBC=∠ABE BC=BE,∴△DBC≌△ABE(S.A.S.),∴∠BCD=∠AEB;②如图,过点E作AD的平行线,交AM的延长线于点F,∵AD∥EF,∴∠DAM=∠AFE=60°,∵AB⊥BC,∴∠EBF=180°-∠ABC-∠CBE=30°,∴∠BEF=90°,在△ABC与△FEB中,∠BAC=∠EFB ∠ABC=∠FEB BC=EB,∴△ABC≌△FEB(A.A.S.),∴AB=EF=AD,在△MAD与△MFE中,∠AMD=∠FME ∠DAM=∠EFM AD=FE,∴△MAD≌△MFE(A.A.S.),∴DM=EM,即点M为DE的中点;(2)如图3,HE⊥CE于点E,∠BEH=30°,点G在EH上运动,以BG为边作等边△BGF,当BF的长最小时,求∠FBE的度数.【解析】(2)当BF的长最小时,即BG最小,则BG⊥HE,当以BG为边在BG左侧作等边△BGF时,如图所示:可得∠GBE=180°-∠BEH-∠BGE=60°,∵△FBG为等边三角形,∴∠FBG=60°,∴∠FBE=∠FBG+∠GBE=120°;当以BG为边在BG右侧作等边△BGF时,如图所示:此时点F在BE上,∴∠FBE=0°,综上所述,∠FBE=0°或120°.。

第13章全等三角形华东师大版数学八年级上册素养检测(含解析)

第13章全等三角形素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2023山东青岛五十三中期末)下列语句属于命题的是( )A.你今天打卡了吗?B.请戴好口罩!C.画出两条相等的线段D.同位角相等2.【教材变式·P106T19】如图,AC与BD相交于点O,∠D=∠C,添加下列哪个条件后,仍无法证明△ADO≌△BCO( )A.AD=BCB.AC=BDC.OD=OCD.∠ABD=∠BAC3.(2023海南东方期末)下列命题中是假命题的是( )A.同旁内角互补,两直线平行B.若直线a⊥b,则a与b的夹角为直角C.如果两个角互补,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角D.若a∥b,a⊥c,则b⊥c4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm5.(2022广西百色中考)如图,根据尺规作图痕迹,下列结论不一定成立的是( )A.∠B=45°B.AE=EBC.AC=BCD.AB⊥CD6.【教材变式·P99T4】如图,E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA 于点C,ED⊥OB于点D,连结CD,若∠ECD=25°,则∠AOB=( )A.50°B.45°C.40°D.25°7.(2022四川南充期末)如图,点B,C,E在同一直线上,且AC=CE,∠B=∠D=90°,AC⊥CD,下列结论不一定成立的是( )A.∠A=∠2 B.∠A+∠E=90°C.BC=DE D.∠BCD=∠ACE8.【尺规作图】(2023山东泰安泰山期末)如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是( )A.AF=BFB.∠AFD+∠FBC=90°C.DF⊥ABD.∠BAF=∠CAF9.【易错题】如图,已知点P是射线OD上一动点(不与O重合),∠AOD=30°,当△AOP为等腰三角形时,∠A的度数为( )A.120°B.30°或75°C.30°或75°或120°D.120°或75°或45°或30°10.【规律探究题】如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,……,若∠A=70°,则∠A n-1A n B n-1的度数为( )A.70°2n -1B.70°2n +1C.70°2nD.70°2n +2二、填空题(每小题3分,共24分)11.【新独家原创】命题“若a =2,则a=4”的逆命题是 .12.【分类讨论思想】将一条长为24 cm 的细线围成一边长为9 cm 的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为 .13.【开放型试题】(2023北师大附中月考)如图,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,使得△ABD ≌△ACD,添加的条件可以为 .(添加一个即可)14.(2023福建泉州永春五中期中)如图,在△ABC 中,∠C=90°,ED ⊥AB 于点D,BD=BC,若AC=10 cm,则AE+DE= .15.(2022山东潍坊昌乐期中)如图,△ABC 中,∠B=32°,∠BCA=78°,根据尺规作图的作图痕迹,得∠α= .16.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图所示的是由6个边长相等的正方形组成的图形,∠1+∠2+∠3= .17.(2022福建福州延安中学期中)如图,△ABC中,AB=AC=10 cm,BC= 8 cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B 点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动,当点Q的运动速度为时,能够使△BPD与△CQP全等.18.(2023吉林长春吉大附中月考)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD=6,E是AC边的中点,M是AD边上的动点,则EM+CM 的最小值是 .三、解答题(共46分)19.【新考法】(2023北师大附中月考)(6分)马小虎在整理八年级的数学资料时,找到了一张残缺的试卷,剩下的部分如图1所示,他发现△ABC只留下一条完整的边BC和一个完整的角∠B,请你帮助他还原△ABC.要求在图2中尺规作图,保留作图痕迹,保留作法.图1 图220.(2023吉林长春南关期末)(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证:△BED是等腰三角形;(2)若∠A=36°,直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形.21.【手拉手模型】(6分)如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,点B,D,E在同一条直线上.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系,并证明;(3)当AD∥EC时,直接写出α的度数.22.【燕尾型】(2023吉林长春一零八学校期中)(8分)如图,点P是∠BAC 的平分线AD上的一点,AC=9,AB=5,PB=3,求PC长的取值范围.23.(2022山西太原期末)(9分)如图,直线l与m分别是△ABC的边AC 和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB于点D和点E.(1)若AB=10,则△CDE的周长是多少?为什么?(2)若∠ACB=125°,求∠DCE的度数.24.(11分)(1)【问题发现】如图①,在△ABC中,AC=BC,D、E分别在AC、BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连结AE、BD,则∠AEB、∠C、∠CAE之间的数量关系是 ,AD与BE的数量关系是 ;(2)【类比探究】如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系;(3)【拓展延伸】如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请猜想∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由; (4)【解决问题】在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,求四边形ABEC的面积.图①图②图③答案全解全析一、选择题1.D　A是疑问句,未作出判断,不是命题;B是祈使句,未作出判断,不是命题;C是描述性语句,未作出判断,不是命题;D符合命题的概念,故本选项正确.故选D.2.B　添加AD=BC,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO;添加AC=BD,不能证明△ADO≌△BCO;添加OD=OC,根据A.S.A.可证明△ADO≌△BCO;添加∠ABD=∠BAC,得OA=OB,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO.故选B.3.C　如果两个角互补,那么这两个角可能都为90°,所以C选项中命题为假命题.故选C.4.B　∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,∴EC=DE,∴AE+DE=AE+EC=AC=3 cm.故选B.5.A　由作图痕迹得直线CD是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,AC=BC,AB⊥CD.故B、C、D选项中的结论成立.无法得到∠B=45°,故A选项中的结论不一定成立.故选A.6.A　∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=25°,∵∠ODE=∠OCE=90°,∴∠ODC=∠OCD=65°,∴∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=50°,故选A.7.D　∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°,∵∠B=90°,∴∠1+∠A=90°,∴∠2=∠A,故A 中结论成立.在△ABC 和△CDE 中,∠B =∠D ,∠A =∠2,AC =CE ,∴△ABC ≌△CDE(A.A.S.),∴BC=DE,∠1=∠E,∵∠2+∠E=90°,∴∠A+∠E=90°,故B,C 中结论成立.无法得到∠BCD=∠ACE,故D 中结论不一定成立.故选D.8.D 由作图痕迹可知DF 垂直平分线段AB,BE 平分∠ABC,∴FA=FB,DF ⊥AB,∠FBC=∠FBD,∴∠AFD=∠BFD,∵∠FBD+∠BFD=90°,∴∠AFD+∠FBC=90°,故选项A,B,C 中说法正确,由已知条件无法得到∠BAF=∠CAF,故选项D 中说法不一定正确.故选D.9.C 解决此题时易因没有考虑等腰三角形腰的情况而漏解.分三种情况:①当OA=OP 时,∠A=∠OPA=12(180°-∠O)=12×(180°-30°)=75°;②当AO=AP 时,∠APO=∠O=30°,∴∠A=180°-∠O-∠APO=120°;③当PO=PA 时,∠A=∠O=30°.综上所述,当△AOP 为等腰三角形时,∠A=30°或75°或120°.故选C.10.A ∵∠A=70°,AB=A 1B,∴∠BA 1A=∠A=70°,∵A 1A 2=A 1B 1,∴∠B 1A 2A 1=∠A 1B 1A 2,∵∠BA 1A 是△A 1A 2B 1的外角,∴∠B 1A 2A 1=∠B A 1A 2=70°2,同理可得∠B 2A 3A 2=12∠B 1A 2A 1=70°22,∠B 3A 4A 3=12∠B 2A 3A 2=70°23,……∴∠A n-1A n B n-1=70°2n -1.故选A.二、填空题11.答案　若a=4,则a =2解析　将原命题的条件、结论互换位置即可.12.答案　9 cm 或7.5 cm解析　分两种情况:当9 cm 为等腰三角形的腰长时,底边长=24-9×2=6 cm,∴三角形的三边长分别为9 cm,9 cm,6 cm,能组成三角形;当9 cm 为等腰三角形的底边长时,腰长=12×(24-9)=7.5 cm,∴三角形的三边长分别为7.5 cm,7.5 cm,9 cm,能组成三角形.综上所述,该等腰三角形的腰长为9 cm 或7.5 cm.13.答案　AB=AC(答案不唯一)解析　添加AB=AC,在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(S.A.S.).(答案不唯一) 14.答案　10 cm解析　∵DE⊥AB于点D,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中,BE=BE, BD=BC,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(H.L.),∴ED=CE,∴AE+DE=AE+CE=AC=10 cm.15.答案　81°解析　∵∠B=32°,∠BCA=78°,∴∠BAC=70°,由作图痕迹可知,AD是∠BAC的平分线,直线EF是线段BC的垂直平分线,∴∠CAD=12∠BAC=35°,BF=CF,∴∠BCF=∠B=32°,∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=46°,∴∠α=∠CAD+∠ACF=81°.16.答案　135°解析　如图,根据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC,∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°,∴△CGF为等腰直角三角形,∴∠2=45°,在△ABC 和△CED 中,AB =CE ,∠ABC =∠CED ,BC =ED ,∴△ABC ≌△CED(S.A.S.),∴∠1=∠DCE,∵∠DCE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.17.答案　3 cm/s 或 154 cm/s解析　设点Q 的运动速度为x cm/s,运动的时间为t s,则BP=3t cm,CQ=xt cm,∴PC=(8-3t)cm,∵点D 为AB 的中点,∴BD=5 cm,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴当BD=CP,BP=CQ 时,△BDP ≌△CPQ,即5=8-3t,3t=xt,解得t=1,x=3;当BD=CQ,BP=CP 时,△BDP ≌△CQP,即5=xt,3t=8-3t,解得t=43,x =154.综上所述,点Q 的运动速度为3 cm/s 或154 cm/s.18.答案　6解析　∵三角形ABC 是等边三角形,AD ⊥BC,∴BD=CD,∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线,连结BM,如图所示,则BM=CM,∴EM+CM=EM+BM,根据“两点之间,线段最短”可知,当B,M,E三点共线时,EM+BM的值最小,为BE的长.∵E是AC的中点,∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高,∴BE=AD=6,∴EM+BM的最小值为6,即EM+CM的最小值是6.三、解答题19.解析　分别以点B、C为圆心,大于1BC长为半径画圆弧,两弧相交2于两点,连结这两个点,交∠B的边(非BC所在的边)于一点A,连结AC,△ABC即为所求,如图所示:20.解析　(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED,∴△BED是等腰三角形.(2)△ABC,△BDC,△AED是顶角为锐角的等腰三角形.理由:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°,∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=72°,∠ADE=∠C=72°,∴∠AED=∠ADE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△ABC,△BDC,△AED是顶角为锐角的等腰三角形.21.解析　(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=α,∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠1=∠CAE,在△ABD和△ACE中,AB=AC,∠1=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.).(2)∠3=∠2+∠1.证明:∵△ABD≌△ACE,∴∠2=∠ABD,∵∠3=∠ABD+∠1,∴∠3=∠2+∠1. (3)∵AD∥EC,∴∠3=∠BEC,∵AD=AE,∴∠3=∠AED,∴∠DAE=180°-2∠3,∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC=180°-∠3,∴∠BEC=∠AEC-∠AED=180°-2∠3=∠DAE=α,∴∠AED=∠3=∠BEC=∠DAE=α,∵∠3+∠AED+∠DAE=180°,∴3α=180°,∴α=60°.22.解析　在AC上截取AE=AB,连结PE,如图,∵AC=9,∴CE=AC-AE=AC-AB=9-5=4,∵点P是∠BAC的平分线AD上的一点,∴∠CAD=∠BAD,在△APE和△APB中,AE=AB,∠EAP=∠BAP, AP=AP,∴△APE≌△APB(S.A.S.),∴PE=PB=3,∵4-3<PC<4+3,∴1<PC<7.23.解析　(1)△CDE的周长为10.理由:∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线,∴AD=CD,BE=CE,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10.(2)∵AD=CD,BE=CE,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,∵∠ACB=125°,∴∠A+∠B=180°-125°=55°,∴∠ACD+∠BCE=55°,∴∠DCE=∠ACB-(∠ACD+∠BCE)=125°-55°=70°.24.解析　(1)∠AEB=∠C+∠CAE;AD=BE.(2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(S.A.S.).∴∠ADC=∠BEC,AD=BE,∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.(3)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE, CD=CE,∴△ACD≌△BCE(S.A.S.).∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.∵△DCE是等腰直角三角形,CM⊥DE,∴三角形CDM 与三角形CEM 都是等腰直角三角形,∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM.(4)由(3)知∠AEB=90°,AE=BE+2CM,∴AE=10,∴四边形ABEC 的面积=△ACE 的面积+△ABE 的面积=12AE·CM+12AE·BE=12×10×3+12×10×4=35.。

华师大版初中数学八年级上册《第13章全等三角形》单元测试卷(含答案解析

华师大新版八年级上学期《第13章全等三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（）A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒2．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE3．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去5．如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．斜三角形6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为（）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD 8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°9．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°二．填空题（共2小题）11．下列命题中，其逆命题成立的是．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．12．所谓尺规作图中的尺规是指：．三．解答题（共11小题）13．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．14．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．求证：△ECG≌△GHD；15．如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．16．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，且OC=OD，AE=BF，E、F分别在OA、OB上．（1）求证：OE=OF；（2）若E、F分别是OA、OB延长线上两点，其余条件不变，则（1）中结论还成立吗？请画出图形并证明你的结论．17．如图，AD平分∠BAC，点E在射线AD上，∠BED=∠CED，求证：AB=AC．18．如图，点G在CA的延长线上，AF=AG，∠ADC=∠GEC．求证：AD平分∠BAC．19．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．（1）CO是△BCD的高吗？为什么？（2）求∠5、∠7的度数．21．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE=AF．23．如图在△ABC中，∠ABC=90°．（1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长．华师大新版八年级上学期《第13章全等三角形》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（）A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒【分析】首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时间，得出符合题意答案．【解答】解：∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，∴两车的速度为：=（m/s），∵AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，∴分别通过AB，BC，CD所用的时间为：=96（s），=120（s），=168（s），∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，∴当每次绿灯亮的时间为50s时，∵=1，∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A错误；∴当每次绿灯亮的时间为45s时，∵=3，∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B错误；∴当每次绿灯亮的时间为40s时，∵=5，∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C错误；∴当每次绿灯亮的时间为35s时，∵=2，=6，=10，=4，=8，∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D正确；则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒．故选：D．【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意得出汽车行驶每段所用的时间，进而由选项分析是解题关键．2．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A．AB=AC B．∠BAE=∠CAD C．BE=DC D．AD=DE【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．3．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．【解答】解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO=A′O，BO=B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【分析】根据三角形全等的判定方法ASA，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．5．如果一个三角形一条边上的中点到其它两边距离相等，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．斜三角形【分析】本题根据已知条件可以通过证明三角形全等得出三角形的形状，注意：有效利用“等角对等边”．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠DFC=90°，∵在△BDE和△CDF，BD=CD，DE=DF，∴△DBE≌△DFC（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴这个三角形一定是等腰三角形．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定；解题中两次运用了全等三角形的判定与性质及等量加等量和相等是比较关健的．6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．故选：B．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．7．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为（）A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD【分析】根据AB=AC，判断出∠B=∠C=30°，从而求出∠BAC=120°，然后根据∠BAD=90°，求出∠1=30°，得到DC=AD，然后根据30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180﹣30°×2=120°，又∵BAD=90°，∴∠1=120°﹣90°=30°，∴∠1=∠C=30°，∴DC=AD，∵在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD=BD，则CD=BD．∴BD=2CD．故选：B．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形和等腰三角形的性质，知道30度的角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD=∠CAB=25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA=90°﹣25°=65°．【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及直角三角形的性质．关键是掌握直角三角形两锐角互余．9．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°B．直角三角形有一个锐角大于45°C．直角三角形的每个锐角都大于45°D．直角三角形有一个锐角小于45°【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．二．填空题（共2小题）11．下列命题中，其逆命题成立的是①④．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，正确；②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．故答案为①④．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．12．所谓尺规作图中的尺规是指：没有刻度的直尺和圆规．【分析】本题考的是尺规作图的基本概念．【解答】解：由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规．【点评】本题考查的是尺规作图的基本概念，尺规作图指的是没有刻度的直尺和圆规．三．解答题（共11小题）13．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．【分析】根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题；【解答】证明∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．14．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．求证：△ECG≌△GHD；【分析】依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD．【解答】证明：∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG 平分∠CAB，∴∠CAG=∠FAG，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG．∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∵F 是AD 的中点，FG∥AE，∴H 是ED 的中点∴FG 是线段ED 的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD．（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．15．如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果⊗、⊗，那么⊗”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．【分析】（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E=∠F，CE=BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD，等式左右两边都减去BC，得到AB=CD，得证．【解答】解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF；若选择如果①③，那么②，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，且OC=OD，AE=BF，E、F分别在OA、OB上．（1）求证：OE=OF；（2）若E、F分别是OA、OB延长线上两点，其余条件不变，则（1）中结论还成立吗？请画出图形并证明你的结论．【分析】首先利用全等三角形的判定定理易求出△AOC≌△BOD，如图可得1中结论仍然成立，还是要证明△AOC≌△BOD．【解答】解：（1）∵OC=OD，AC∥BD，∴∠ODB=∠OCA．又∵∠COA=∠DOF，∴△COA≌△DOB．又∵AE=BF，BD=AC，∠CAE=∠FBD，∴△AOC≌△BOD．∴OE=OF．（2）同理可证得△AOC≌△BOD．∵OC=OD，AC∥BD，∴△COA≌△BOD．∴AC=DB．又∵AE=BF，∠EAC=∠FBD，∴△EAC≌△FBD∴OE=OF．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．17．如图，AD平分∠BAC，点E在射线AD上，∠BED=∠CED，求证：AB=AC．【分析】根据角平分线定义得出∠BAE=∠CAE，根据三角形外角性质和已知求出∠C=∠B，根据AAS推出△AEB≌△AEC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵∠BED=∠CED，∠BED=∠BAE+∠B，∠CED=∠CAE+∠C，∴∠C=∠B，在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC，∴AB=AC．【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AEB≌△AEC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．18．如图，点G在CA的延长线上，AF=AG，∠ADC=∠GEC．求证：AD平分∠BAC．【分析】根据等腰三角形性质可得∠G=∠GFA；根据平行线的判定方法可得AD ∥GF，运用平行线的性质得角的关系求证．【解答】证明：∵AF=AG，∴∠G=∠GFA．∵∠ADC=∠GEC，∴AD∥GE．∴∠BAD=∠GFA，∠DAC=∠G．∴∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC．【点评】此题考查等腰三角形的性质及平行线的判定与性质，难度中等．19．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠BCD=∠ECD，由DE∥BC可得出∠EDC=∠BCD，进而可得出∠EDC=∠ECD，再利用等角对等边即可证出DE=CE；（2）由（1）可得出∠ECD=∠EDC=35°，进而可得出∠ACB=2∠ECD=70°，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质找出∠EDC=∠ECD；（2）利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质求出∠ACB=∠ABC=70°．20．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．（1）CO是△BCD的高吗？为什么？（2）求∠5、∠7的度数．【分析】（1）由BC⊥CD，则∠DCB=90°，可得∠1=∠2=∠3=45°，即CD=CB，所以，CO是等腰直角△DCB的角平分线，则可得CO⊥BD；（2）在△ACD中，由∠1=∠3=45°，∠4=60°，根据三角形的内角和定理，可求得∠5=30°，又∠5=∠6，所以，在直角△AOB中，即可得出∠7的度数；【解答】解：（1）CO是△BCD的高．理由如下：∵BC⊥CD，∴∠DCB=90°，∴∠1=∠2=∠3=45°，∴△DCB是等腰直角三角形，∴CO是∠DCB的角平分线，∴CO⊥BD（等腰三角形三线合一）；（2）∵在△ACD中，∠1=∠3=45°，∠4=60°，∴∠5=30°，又∵∠5=∠6，∴∠6=30°，∴在直角△AOB中，∠7=180°﹣90°﹣30°=60°．【点评】本题主要看考查了等腰三角形的判定与性质，熟记等腰三角形的三线合一，是正确解答本题的关键．21．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【分析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．【解答】解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE=AF．【分析】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．【解答】（1）证明：连接BD，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．23．如图在△ABC中，∠ABC=90°．（1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长．【分析】（1）经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，据此进行作图；（2）连接CD，设AD=x，则CD=x，BD=4﹣x，在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长．【解答】解：（1）如图所示，直线DE即为所求；（2）如图，连接CD，∵△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴利用勾股定理可得AC=5，设AD=x，则CD=x，BD=4﹣x，Rt△BCD中，x2=32+（4﹣x）2，解得x=，即AD的长为．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是在直角三角形中利用勾股定理列方程求解．。

华师大版数学八年级上册第十三章全等三角形测试卷(含答案)

第十三章测试卷全等三角形一、选择题(每小题3分，共30分)1.判断命题“如果 n <1,那么 n²−1<0"是假命题，只需举出一个反例，反例中的n 可以为 ( )A.−2B.−12 C.0 D.122.下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧 △ABC 一定全等的是( )A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙3.若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.2 或44.如图,DE 是. △ABC 的边AB 的垂直平分线,点 D 为垂足,DE 交AC 于点 E,且 AC =8,BC =5,则 △BEC 的周长是 ( )A.12B.13C.14D.155.如图，在 △ABC 中， ∠C =90∘,AC =8,DC =13AD,BD 平分 ∠ABC,则点 D 到AB 的距离等于( ) A.4 B.3 C.2 D.16.三个等边三角形的摆放位置如图，若 ∠1+∠2=120°,则 ∠3的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.30°7.如图,∠C=∠D=90°,补充下列条件后不能判定△ABC≌△BAD 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠3 =∠4 C. AC=BD D. AD=BC8.下列选项所给条件能画出唯一△ABC 的是 ( ) A. AC=3,AB=4,BC=8 B.∠A=50°,∠B=30°,AB=2C.∠C=90°,AB=90D. AC=4,AB=5,∠B=60°9.如图,在△ABC 和△A'B'C 中,△ABC≌△A'B'C,AA'∥BC,∠ACB =α,∠BCB'=β,则αβ满足关系 ( )A.α+β=90°B.α+2β=180°C.2α+β=180°D.α+β=180°10. 如图,∠C =90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,有下列结论:①CD=ED;②AC + BE = AB;③DA 平分∠CDE;④∠BDE = ∠BAC;⑤S ABD:S ACD=AB:AC,其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题(每小题3分，共15分)11.把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：12. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,要使△ABD≌△ACD,若根据“H. L.”判定,还需要加条件.13.如图,已知△ABC的周长是20,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=2,则△ABC的面积是 .14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC 的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 .15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 .三、解答题(本大题共9个小题，满分75 分)16.(7分)如图,已知△ABC中,点 D 为BC 边上一点,∠B=∠4,∠1=∠2=∠3.求证：BC=DE.17.(7分)如图，小明站在堤岸的点A处，正对他的点S处停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达点 C.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于点 D 处.那么C、D两点间的距离就是在点 A处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗?18.(7 分)如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,，AB的垂直平分线交 BC于点M,交AB 于点 E,AC 的垂直平分线交 BC 于点 N,交AC于点 F，则MN的长为多少?19.(7 分)如图,已知∠ABC,求作:(1)∠ABC的平分线BD(写出作法，并保留作图痕迹)；(2)在BD上任取一点 P,作直线PQ,使PQ⊥AB (不写作法,保留作图痕迹).20.(8分)如图,已知AB=AC,AD=AE, BD和CE相交于点O.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)判断△BOC的形状，并说明理由.21.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点 D、E、F 分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=44°时,求∠DEF的度数.22.(9分)已知：如图，点 D 是等边三角形 ABC 的边 BC 延长线上的一点，∠EBC=∠DAC,CE‖AB.(1)求∠AHB的度数；(2)求证:△CFG是等边三角形.23.(10分)如图1,AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,，垂足分别为点A、点B，AC=5cm .点 P 在线段AB上以2cm/s的速度由点 A 向点B运动，同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为ts (当点P运动结束时，点Q运动随之结束).(1)若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图2,若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA",点 Q 的运动速度为xcm/s,，其他条件不变，当点 P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值.24.(11分)已知等边△ABC和点 P,设点 P 到△ABC三边 AB、AC、BC 的距离分别为ℎ₁、ℎ₂、ℎ₃,△ABC的高为h.(1)若点 P 在一边 BC 上(如图1),此时ℎ₃=0,求证：ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃=ℎ;(2)当点 P 在△ABC内(如图2)，以及点 P 在△ABC外(如图3)这两种情况时，上述结论是否成立? 若成立，请予以证明；若不成立，ℎ₁、ℎ₂、ℎ₃与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由.第十三章测试卷全等三角形1. A2. B3. C4. B5. C6. B7. B8. B9. C 10. A 11.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 12. AB=AC 13.2014.2a+3b 15.69°或21°16.证明:∵∠ADC=∠ADE+∠3=∠1+∠B,∠1=∠3,∴∠ADE=∠B.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.∵∠B=∠4,∴AB=AD.在△ABC 和△ADE 中, {∠BAC =∠DAEAB =AD,∠B =∠ADE,∴△ABC≌△ADE(A. S.A.),∴BC=DE.17.解:在△ABS 与△CBD 中, {∠A =∠C =90∘,AB =CB,∠ABS =∠CBD,∴ △ABS≌△CBD(A. S. A.),∴ AS =CD，即C 、D 两点间的距离就是在点A 处小明与游艇的距离.18.解：如图，连结AM ，AN.根据线段垂直平分线的性质，得 BM = AM,CN = AN,∴ ∠MAB = ∠B,∠CAN =∠C.∵ ∠BAC=120°,AB=AC,∴ ∠B=∠C =30°,∴∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN 是等边三角形,∴AM = AN = MN,∴ BM = MN = NC.∵ BC =6 cm,∴MN=2cm.19.解:(1)作法:①以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 BA 、BC 于点 M 、N;②再分别以点 M 、N 为圆心，以大于线段MN 长的一半为半径画弧，两弧在∠ABC 内相交于点 D,作射线BD,BD 为所作. (2)如图,PQ 为所作.20.(1)证明:∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).(2)解:△BOC 是等腰三角形.理由如下:∵ △ABD≌△ACE,∴∠ABD = ∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABC = ∠ACB,∴ ∠ABC --∠ABD = ∠ACB --∠ACE,∴ ∠OBC =∠OCB,∴BO=CO,∴△BOC 是等腰三角形.21.(1)证明:∵ AB=AC,∴∠B=∠C.在△DBE 和△ECF 中, {BD =CE,∠B =∠C,BE =CF,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF 是等腰三角形.(2)解∵ ∠A =44∘,∠B =∠C,∴∠B =∠C =12(180∘−∠A )=12×(180∘−44∘)=68∘. 由(1)知△DBE≌△ECF,∴∠BDE=∠CEF.∵ ∠DEC =∠BDE+∠B,∴∠CEF + ∠DEF=∠BDE+∠B,∴∠BDE+∠DEF=∠BDE+∠B,∴∠DEF=∠B=68°.22.(1)解:∵ △ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°.在△BCF 和△AHF 中,∵∠EBC=∠DAC,∠BFC=∠HFA,∴∠AHB=∠ACB=60°,(2)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°.∵CE∥AB,∴∠ECD=∠ABC=60°,∴∠ACG=180°-∠ACB -∠ECD=60°.在△BCF 和△ACG 中, {∠EBC =∠DAC,BC =AC,∠BCF =∠ACG,∴△BCF≌△ACG(A. S. A.),∴FC=GC.∵∠ACG=60°,∴△CFG 是等边三角形.23.解:(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°.∵AP=BQ=2×1=2( c m),AB=7cm,AC=5cm,∴BP=5cm=AC.在△ACP 和△BPQ 中,AC=BP,∠A =∠B,AP = BQ,∴△ACP≌△BPQ (S. A. S.),∴ ∠C =∠BPQ,又∵∠C+∠APC=90°,∴∠BPQ+∠APC=90°,∴∠CPQ=90°,∴PC⊥PQ. (2)∵ ∠CAB = ∠DBA,∴ 要使△ACP 与△BPQ 全等,必须△ACP≌△BPQ 或△ACP≌△BQP.①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得5=7-2t,2t= xt,解得x=2,t=1;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,可得5= xt,2t=7-2t,解得x=207,t=74.综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x的值为2 或207.24.解:(1)如图1,连结AP,则S ABC=S ABP+S ACP.∴12BC⋅AM=12AB⋅PD+12AC.PE,即-12BC⋅ℎ=12AB⋅ℎ1+12AC⋅ℎ2.又∵ △ABC 是等边三角形,∴BC =AB =AC,∴.ℎ=ℎ₁+ℎ₂.又∵ℎ₃=0,∴ℎ=ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃.(2)当点 P 在△ABC 内时,ℎ=ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃.理由如下:如图2,连结AP、BP、CP,则S ABC=S ABP+S ACP+S BcP::12BC⋅AM=12AB⋅PD+12AC⋅PE+12BC⋅PF,即12BC⋅ℎ=12AB⋅ℎ1+12AC⋅ℎ2+12BC⋅ℎ3.又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC.∴ℎ=ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃.当点P在△ABC外时,ℎ=ℎ₁+ℎ₂−ℎ₃.理由如下:如图3,连结AP、BP、CP,则S ABC=ΔABP+S ACP−S BcP,∴12BC⋅AM=12AB⋅PD+12AC⋅PE−12BC⋅PF I12BC⋅ℎ=12AB⋅ℎ1+12AC⋅ℎ2−12BC⋅ℎ3.∵ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC,∴ℎ=ℎ₁+ℎ₂−ℎ₃.。

华东师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》单元测试(含答案解析)

2020年~2021年最新第13章全等三角形一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG 与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE=∠DCE ，再证△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD=∠HCD ，推出∠ABE=∠HAD ；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan ∠ABE=tan ∠EAG=，得到AG=BG ，GE=AG ，于是得到BG=4EG ，故②正确；根据AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；由∠AHD=∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD ，故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点， ∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE 和△CDE 中 ∵，∴△BAE ≌△CDE （SAS ）， ∴∠ABE=∠DCE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH 和△CDH 中，，∴△ADH ≌△CDH （SAS ）， ∴∠HAD=∠HCD ， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD ，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG ⊥BE ，故①正确； ∵tan ∠ABE=tan ∠EAG=， ∴AG=BG ，GE=AG ， ∴BG=4EG ，故②正确； ∵AD ∥BC ，∴S △BDE =S △CDE ，∴S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确； ∵△ADH ≌△CDH ， ∴∠AHD=∠CHD ， ∴∠AHB=∠CHB ， ∵∠BHC=∠DHE ，∴∠AHB=∠EHD ，故④正确；故选：D ．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=，∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA 与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG 与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4 cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是①②．（请写出正确结论的序号）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS 证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中∴△ABC≌△EFD（SAS）∴BC=FD．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．【解答】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，在△AOB和△EOD中，，∴△AOB≌△EOD（AAS），∴OA=OE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．18．们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；新定义．【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。

八年级数学上册《第十三章-全等三角形》单元测试卷及答案-华东师大版

八年级数学上册《第十三章全等三角形》单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟总分：100分）一、选择题1．△ABC 中，∠A=45°，∠B=63°，则∠C=（）A ．72°B ．92°C ．108°D ．180°2．如图，已知AD BC =，添加下列条件仍不能判定ABD BAC ≌的是（）A ．AC BD =B ．DAB CBA ∠=∠C ．CAB DBA ∠=∠D ．90C D ∠=∠=︒3．等腰三角形周长为17cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的腰长为（）A ．6cmB ．7cmC ．5cm 或6cmD ．5cm4．如图//AB DC 以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作圆弧两条弧交于点G ，作射线AG 交CD 于点H ，若120C ︒∠=，则AHD ∠=（）A ．120︒B ．30︒C ．150︒D ．60︒5．到三角形三条边的距离都相等的点是（）A ．两条中线的交点B ．两条高的交点C ．两条角平线的交点D ．两条边的垂直平分线的交点6．如图AB MN ⊥，CD MN ⊥垂足分别为B 和D ，BE 和DF 分别平分ABN ∠和CDN ∠．下列结论：①AB CD ；②12∠=∠；③CD EF ⊥；④180E F ∠+∠︒＝．其中结论正确的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．③④7．如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．HL8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，下列结论不一定正确的是（）A ．AD ⊥BCB ．AB ＝BC C ．AD 平分∠BAC D ．∠B ＝∠C9．观察图中尺规作图痕迹，下列结论不正确的是（）A ．PQ 为APB ∠的平分线 B ．PA PB =C ．点A 、B 到PQ 的距离不相等D ．AQ BQ =10．如图AE CD ，AC 平分BCD ∠，23560D ∠=︒∠=︒，则B ∠=（）A ．52︒B ．50︒C ．45︒D ．25︒二、填空题11．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式是．12．如图，ABC DEC ≌点B ，C ，D 在同一条直线上，且1CE =，2CD =则AE 的长是．13．已知等腰ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是．14．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，∠B=∠ADB ．若AB=4，则DC 的长是。

华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形达标测试卷(含答案)

华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题是假命题的是()A．两点确定一条直线B．角平分线上的点到角两边的距离相等C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形D．角的边越长，角就越大2．如图，已知AC＝DB，AB＝DC，你认为证明△ABC≌△DCB应该用() A．“边边边” B．“边角边” C．“角边角” D．“角角边”3．如图，已知△ABC的六个元素，图(1)(2)(3)中的三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是()A．(2) B．(3) C．(1)和(2) D．(2)和(3)4．“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是()A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线B．作已知角的平分线C．过直线外一点作已知直线的垂线D．作一个角等于已知角5．已知△ABC≌△A′B′C′，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A′C′等于() A．5 B．6 C．7 D．86．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若AB＝10 cm，AC＝6 cm，则BE的长度为()A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm7．如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为()A．20°B．30°C．35°D．55°8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED 的面积分别为27和16，则△EDF的面积为()A．11 B．5.5 C．7 D．3.59．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画()条．A．3 B．4 C．5 D．610．如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到△ADE 的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连结EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD 为等边三角形．其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题(每题3分，共30分)11．把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为_________________________________________________________________ _______．12．如图，两个三角形全等，根据图中所给的条件可知∠α＝________．13．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是：________．(填上你认为适当的一个条件即可)14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是30 cm和20 cm，则AB＝________ cm.15．如图，已知P A⊥ON于A，PB⊥OM于B，且P A＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．16．已知等腰三角形ABC的周长为18 cm，BC＝8 cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′的腰长等于________．17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝70°，∠ABD＝40°，AB＝DC，则∠BAC＝________．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为________．19．如图，AB＝12 m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4 m．点P从点B开始以1 m/min的速度向点A运动；点Q从点B开始以2 m/min的速度向点D运动．P，Q两点同时出发，运动________后，△CAP≌△PBQ.20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的邻补角的平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠F AE＝180°；④∠BAC＝90°.其中正确的有____________．(填序号)三、解答题(21，22题每题6分，23，24题每题8分，25，26题每题10分，27题12分，共60分)21．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P.按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P应建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出(不写作法但保留作图痕迹)．22．如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE ＝DF.连结EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D 为垂足，连结EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC的长．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F 在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.25．如图，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发在河岸上画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使E，C，A三点在同一直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请你说明道理．26．如图①，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作ED ⊥AC，FB⊥AC，AB＝CD.(1)若BD与EF交于点G，求证：BD平分EF；(2)若将△DEC沿AC方向移动到图②的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．27．如图a，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图b，线段CF，BD所在直线的位置关系为________，线段CF，BD的数量关系为________；②当点D在线段BC的延长线上时，如图c，①中的结论是否仍然成立，并说明理由．(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C，F不重合)？并说明理由．答案一、1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.C7．A点拨：在Rt△DBC中，∠DCB＝90°，∠1＝35°，∴∠DBC＝55°.由折叠的性质可知△DBC≌△DBC′，∴∠DBC′＝∠DBC＝55°.又∵DC∥AB，∴∠DBA＝∠1＝35°.∴∠2＝∠DBC′－∠DBA＝20°.故选A.8．B9．B点拨：假设AB＝AC＝4，BC＝6，如图，当CD＝AC＝4时，直线AD符合要求．当BE＝AB＝4时，直线AE符合要求．作线段AC的垂直平分线交BC于点F，则AF＝FC，直线AF符合要求．作线段AB的垂直平分线交BC 于点G，则AG＝BG，直线AG符合要求．∴这样的直线最多可以画4条．故选B.10．B二、11.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等12．51°13．∠B＝∠C(答案不唯一)14．1015.55°16.8 cm或5 cm17．80°18.419.4 min20．①②③三、21.解：如图．22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.23．解：(1)∵DE垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ECD＝∠A＝36°.(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵∠ECD＝36°，∴∠ECB＝72°－36°＝36°.∴∠BEC＝180°－∠ABC－∠ECB＝180°－72°－36°＝72°.∴∠B＝∠BEC，∴BC＝CE＝5.24．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝DC，∠C＝∠DEB＝90°.又∵BD＝DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.)，∴CF＝EB.(2)由(1)可知DE＝DC，又∵AD＝AD，∠C＝∠AED＝90°，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE (H.L.)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .点拨：(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得CD ＝DE .进而证得Rt △CDF ≌Rt △EDB ，得CF ＝EB .(2)利用角平分线的性质证明Rt △ADC ≌Rt △ADE ，得AC ＝AE ，再将线段AB 进行转化．25．解：∵E ，C ，A 三点在同一直线上，B ，C ，D 三点在同一直线上，∴∠ACB ＝∠ECD .∵DE ∥AB ，∴∠A ＝∠E .在△ABC 与△EDC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠E ，∠ACB ＝∠ECD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△EDC (A.A.S.)．∴AB ＝DE .26．(1)证明：∵ED ⊥AC ，FB ⊥AC ，∴∠DEG ＝∠BFE ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (H.L.)．∴BF ＝DE .在△BFG 和△DEG 中，⎩⎨⎧∠BGF ＝∠DGE ，∠BFG ＝∠DEG ＝90°，BF ＝DE ，∴△BFG ≌△DEG (A.A.S.)．∴FG ＝EG ，即BD 平分EF .(2)解：BD 平分EF 的结论仍然成立．理由：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，即AF ＝CE .∵ED ⊥AC ，FB ⊥AC ，∴∠AFB ＝∠CED ＝90°.在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (H.L.)．∴BF ＝DE .在△BFG 和△DEG 中，⎩⎨⎧∠BGF ＝∠DGE ，∠BFG ＝∠DEG ＝90°，BF ＝DE ，∴△BFG ≌△DEG (A.A.S.)．∴GF ＝GE ，即BD 平分EF ，结论仍然成立．点拨：本题综合考查了三角形全等的判定方法．(1)先利用H.L.判定Rt △ABF ≌Rt △CDE ，得出BF ＝DE ；再利用A.A.S.判定△BFG ≌△DEG ，从而得出FG ＝EG ，即BD 平分EF .(2)中结论仍然成立，证明过程同(1)类似．27．解：(1)①CF ⊥BD ；CF ＝BD②当点D 在线段BC 的延长线上时，①中的结论仍然成立．理由如下：由正方形ADEF 得AD ＝AF ，∠DAF ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠DAF ＝∠BAC ，∴∠DAB ＝∠F AC ，又∵AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC ，∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠ABD .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACF ＝45°，∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°，即CF ⊥BD .(2)当∠ACB＝45°时，CF⊥BC(如图)．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°－∠ACB，∴∠AGC＝90°－45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴△AGC是等腰直角三角形，∴AC＝AG.又∵∠DAG＝∠F AC(同角的余角相等)，AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BC.。

华东师大八年级上《第13章全等三角形》综合能力检测试卷含答案

第13章综合能力检测卷一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共3分）1 下列命题中，是真命题的是（）A. 若a·b>0，则a>0，b>0B. 若a·b<0，则a<0，b<0C. 若a·b=0，则a=0且b=0D. 若a·b=0，则a=0或b=02 如图,∠MAN=63°,进行如下操作:以射线AM上一点B为圆心,以线段BA的长为半径作弧,交射线AN于点C,连接BC,则∠BCN的度数是()A. 54°B. 63°C. 117°D. 126°3 如图,已知MB=ND,∠MNA=∠NDC,下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A. ∠M=∠NB. AM∥CNC. AB=CDD. AM=CN4 在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC，垂足为D，若△ABC的周长为36 cm，△ADC的周长为30 cm，则AD的长为（）A. 6 cmB. 8 cmC. 12 cmD. 20 cm5 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=3,AB=5,BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A . 17B . 18C . 19D . 206 如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AD =BD ,AB =ED ,BC =BE ，则∠ACB 等于（）A . ∠EDB B . ∠BEDC . 21∠AFBD . 2∠ABF 7 如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ,AD ⊥BC ，垂足为D ，E ,F 分别是CD ,AD 上的点，且CE =AF .如果∠AED =62°，那么∠DBF = （）A . 62°B . 38°C . 28°D . 26°8 如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，EF ∥AC ，交CD 于点F ，下列结论一定成立的是（）A . AB =BF B . AE =EDC . AD =DC D . ∠ABE =∠DFE9 如图，在∠MON 的两边上截取OA =OB ,CO =DO ，连接AD ,BC ，AD 与BC 交于点P ，则下列结论：①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③P在∠AOB的平分线上.其中正确的是（）A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. 只有①②③10 已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则最多可画这样的直线（）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条二、真空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）11 如图，AC和BD相交于点O，若OA=OD，则用“S.A.S”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是____________.12 如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S=____________________.△CAO13 如图，在△P AB中，P A=PB，M,N,K分别是P A,PB,AB上的点，且AM=BK,BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为__________°.14 如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=90°，AB=AD，BC=2，AC=6，则四边形ABCD的面积为_____________.15 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.给出以下五个结论：①AD=BE，②PQ∥AE，③AP=BQ，④DE=DP，⑤∠AOB=60°，其中恒成立的是_______________________.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16 （6分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建五个货站P，使货站P到两条公路OA,OB的距离相等，且至两工厂C,D的距离相等，用尺规作图作出货站P的位置.（不写作法，保留作图痕迹）17 （8分）如图，已知∠ABC=90°，点D是AB延长线上一点，AD=BC，过点A作AF⊥BD，连接CD,DF，求证：CD⊥DF.18 （10分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O.（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数.19 （10分）如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC的延长线于点F.求证：DE=DF.20 （10分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F.证明：CE=DF.21 （10分）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD,CE是高，BD与CE相交于点O..（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，天津市∠BOC的度数。

八年级数学上册第13章全等三角形检测题新版华东师大版(含参考答案)

八年级数学上册：第13章检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题的逆命题中是假命题的是( B )A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形B．对顶角相等C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等D．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上2．(2016·黔西南州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( C )A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC第2题图第3题图第5题图3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下面结论中错误的是( C )A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC C．△ABO≌△COD D．△AOD≌△BOC4．用尺规作图：“已知底边和底边上的高，求作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA＝h，连结AB，AC.这样作法的根据是( A )A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．等角对等边D．等腰三角形的对称性5．(2016·恩施州)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( A )A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm6．(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( D )A ．50°B ．51°C ．51.5°D ．52.5°第6题图第7题图第8题图7．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是( B )A ．BD ＋ED ＝BCB ．∠B ＝2∠DAC C ．AD 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD8．如图，在等边三角形ABC 中，中线AD ，BE 交于F ，则图中共有等腰三角形( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝60°，把△ADC 沿直线AD 折过来，点C 落在C ′位置，当BC ＝4时，BC ′的长( A )A ．等于2B ．大于2C ．小于2D ．大于2且小于4第9题图第10题图10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法：①AD 是△ABC 的角平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3，其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__A ．S.A.__．第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知∠α和线段m、n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α.作法的合理顺序为__②③①④__．(填序号)①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作角∠DBC＝∠α；④连结AC，△ABC就是所求作的三角形．13．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝__60__度．14．(2016·济宁)如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：__AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(只要符合要求即可)__，使△AEH≌△CEB.15．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝__27°__．16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则它的一个底角的度数是__22.5°或67.5°__．17．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAO的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为__4__．第17题图第18题图18．如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM，下列结论：①AP＝CE；②∠PME＝60°；③BM平分∠AME；④AM＋MC＝BM.其中正确的有__①②③④__．(填序号)三、解答题(共66分)19．(8分)(2016·重庆)如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB ＝CE ，AC ＝CD.求证：∠B ＝∠E.证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ECD.在△ABC 和△CED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CE ∠BAC ＝∠ECD AC ＝CD，∴△ABC ≌△CED (S.A.S.)∴∠B ＝∠E.20．(9分)如图，在△ABC 中，点D 是∠BAC 的角平分线上一点，BD ⊥AD 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E.试判断△BED 的形状，并说明理由．解：△BED 是等腰三角形．理由：∵DE ∥AC ，∴∠CAD ＝∠EDA.∵∠CAD ＝∠DAE ，∴∠EDA ＝∠EAD.∵∠EAD ＋∠EBD ＝90°，∠EDA ＋∠EDB ＝90°，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∴△BED 是等腰三角形．21．(8分)有公路l 1同侧、l 2异侧的两个城镇A ，B ，如图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路l 1、l 2的距离也必须相等，发射塔C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点．(保留作图痕迹，不要求写出作法)解：如图.点C 1，C 2就是符合条件的点．22．(9分)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．(1)求证：BE ＝CE ；(2)如图②，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC ＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF ≌△BCF.证明：(1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAC.在△ABE 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠EAC ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ACE (S.A.S.)，∴BE ＝CE.(2)∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，∴△ABF 为等腰直角三角形，∴AF ＝BF.∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF ＋∠C ＝90°.∵BF ⊥AC ，∴∠CBF ＋∠C ＝90°.∴∠EAF ＝∠CBF.在△AEF 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF ＝∠CBF ，AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∴△AEF ≌△BCF (A.S.A.)23．(10分)如图，已知△ABC 中BC 边的垂直平分线DE 与∠BAC 的平分线交于点E ，EF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，EG ⊥AC 交AC 于点G.求证：(1)BF ＝CG ；(2)AF ＝12(AB ＋AC)．证明：(1)连结BE ，CE.∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，EG ⊥AC ，∴EF ＝EG ，∵DE 垂直平分BC ，∴EB ＝EC.在Rt △EFB 和Rt △EGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，EB ＝EC ，∴Rt △EFB ≌Rt △EGC (H.L.)，∴BF ＝CG.(2)∵BF ＝CG ，∴AB ＋AC ＝AB ＋BF ＋AG ＝AF ＋AG.又易证Rt △AEF ≌Rt △AEG (H.L.)，∴AF ＝AG ，∴AF ＝12(AB ＋AC )．24．(10分)如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA.(1)求证：DE 平分∠BDC ；(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD.解：(1)∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，∠CAB ＝∠CBA ＝45°.又∠CAD ＝∠CBD ＝15°，∴∠DAB ＝∠DBA ＝30°，∴DA ＝DB.又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△BCD (S.S.S.)，∴∠ACD＝∠BCD ＝12∠ACB ＝45°.∵∠CDE ＝∠CAD ＋∠ACD ＝15°＋45°＝60°，∠BDE ＝∠DAB ＋∠DBA ＝30°＋30°＝60°，∴∠CDE ＝∠BDE ，即DE 平分∠BDC.(2)连结CM ，由(1)知，∠CDE ＝60°，又DC ＝DM ，∴△CDM 是等边三角形，∴CM ＝CD ，∠CMD ＝60°.∵CE ＝CA ，∴∠E ＝∠CAD ＝15°，∴∠ECM ＝∠CMD －∠E ＝60°－15°＝45°，∴∠ECM ＝∠BCD ＝45°.又CE ＝CA ＝CB ，∴△BCD ≌△ECM (S.A.S.)，∴EM ＝BD.25．(12分)已知△ABC 是边长为4 cm 的等边三角形，现有两动点P 、Q ，其中点P 从顶点A 出发，沿射线AB 运动，点Q 从顶点B 同时出发，沿射线BC 运动，且它们的速度都为1 cm /s ，经过A 、Q 的直线与经过C 、P 的直线交于点M ，(1)当点P 在线段AB 上移动时，如图，①试判定线段AP 与BQ 的数量关系；(直接写出结果)②试说明△ABQ ≌△CAP ；(2)试探索：在P 、Q 运动的过程中，∠CMQ 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．解：(1)①AP ＝BQ.②∵等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠CAP ＝60°，又由条件得AP ＝BQ ，∴△ABQ ≌△CAP (S.A.S.)．(2)①当点P 在线段AB 上移动时，这时，点Q 在线段BC 上移动．如图①，∠CMQ 的大小不变．∵△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∴∠CMQ ＝∠ACP ＋∠CAM ＝∠BAQ ＋∠CAM ＝∠BAC ＝60°.②当点P 在线段AB 的延长线上移动时，点Q 在线段BC 的延长线上移动．如图②，∠CMQ 的大小也不变．求法同①，此时∠CMQ ＝120°.。

华师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》章节测试含答案

八年级数学华师版全等三角形章节测试学校（满分 100分，考试时间班级60分钟）姓名一、选择题（每题 3 分，共 21 分）1. 如图，在△ ABC 和△ BDE 中，点 C 在边 BD 上，边 AC 交边 BE 于点 F ．若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ ACB=（）A ．∠ EDBB ．∠ BEDC ． 1AFBD ．2∠ABF2AEAAFCPBC DODBBDC第 1 题图第 2 题图第 4 题图2. 尺规作图作∠ AOB 的均分线的方法以下：以点 O 为圆心，随意长为半径画弧，交 OA ， OB 于点 C ，D ，再分别以点 C ， D 为圆心，大于 1 CD 长为2 半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点≌△ ODP 的依据是（）A ．SASB ．ASAP ，作射线C ． AASOP ．由以上作法得△D ．SSSOCP3. 以下命题是假命题的是（）A ．角均分线上的点到角两边的距离相等B ．有两个角和此中一个角的均分线对应相等的两个三角形全等C ．有两条边和此中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有两条边和此中一条边上的高对应相等的两个三角形全等4. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 为 BC 中点，∠ BAD=35 °，则∠ C 的度数为（）A ．35 °B ．45 °C ． 55 °D ．60 °5. 如图，在△ PBC 中，D 为 PB 上一点， PD=PC ，延B长 PC 到点 A ，使得 PA=PB ，连结 AD 交 BC 于点 DO ，连结 PO ，则图中的全等三角形共有（）OA ．1 对B ． 2 对C ． 3 对D ． 4 对PCA6. 如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ，BA 和 CD 的延伸线交于E点 E ，若点 P 使得 S △ PAB△PCD ，则知足此条件的点 P （）S AA ．有且只有 1 个 DB ．有且只有 2 个C ．构成∠ E 的角均分线D ．构成∠E 的角均分线所在的直线（ E 点除外） B C7. 已知△ ABC 的三边长分别为 3，4，5，△DEF 的三边长分别为 3，3x- 2，2x+1，若这两个三角形全等，则 x 的值为（）A ．2B ． 2或7C ．7或3D ． 2或 7或33323 2二、填空题（每题4 分，共 28 分）8. 如图， B ， C ，F ，E 在同向来线上，∠ 1=∠2，BF=EC ，若加上一个条件，则△ ABC ≌△ DEF ，原因是．AAB1FEC2DBDC第 8 题图第 9 题图9. 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC 的均分线交 BC 于点 D ，BD=3，则 BC的长为．10. 如图，直线 a ，b ，c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有个．cAAEFbEDPaBDC CB第 10 题图第 11 题图第 12 题图11. 如图，在等边三角形 ABC 中，点 D ，E 分别在边 BC ， AC 上，且 BD=CE ，AD 与 BE 订交于点 P ，则∠ APE 的度数为．12. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °，BC=3cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点 E 使EC=BC ，过点 E 作 EF ⊥AC 交 CD 的延伸线于点F ．若 EF=5cm ，则 AE=．13.如图为正方形 ABCD，若在正方形的边上找一点 P 使△ ABP 为等腰三角形，则知足条件的点P 共有个．AA DE PFBC B CD第 13 题图第 14 题图14.如图，在等腰△ ABC 中， AB=AC，点 D 是 BC 的中点，连结 AD，点 P 在 AD上，过点 D 作 DE⊥ BP， DF⊥ CP，则以上结论中：① BD=CD；②△ ABD≌△ACD；③△ BPC 是等腰三角形；④ DE=DF ．正确的有．三、解答题（本大题共 5 小题，满分51 分）15.（6 分）已知线段 a 和 b，∠α，尺规作图（保存作图印迹）：作一个△ ABC，使 AB=a，BC=b，∠ ABC=2∠α．abα16.（6 分）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，能够从 B 出发，沿河岸画一条射线 BF，在 BF 上截取 BC=CD ，过 D 作DE∥ AB ，使A，C，E 位于同向来线上，则 DE 的长就是 A，B 之间的距离．请你说明其中道理．AB C D FE17.（12 分）如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM，△ CBN 是等边三角形，连结 AN 交 CM 于点 E，连结 BM 交 CN 于点 F．求证：（ 1）△ CAN≌△ CMB；（2）△ CEN≌△ CFB．NMFEA C B18.（12 分）如图，在△ ABC 中，点 E 在 AB 边上， AE=AC，连结 CE，G 为 CE的中点，连结AG 并延伸，交BC 于点D，连结DE，过点E 作EF∥BC，交AC 于点 F ．求证： EC 均分∠ DEF．AE FGB D C19.（15 分）如图 1，已知四边形 ABCD 中， AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD， DC （或它们的延伸线）于点E， F．（1）当∠ MBN 绕 B 点旋转到AE=CF 时，求证： AE+CF=EF．（2）如图 2，当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，上述结论： AE+CF=EF 是否建立？若建立，请赐予证明；若不建立，线段AE，CF，EF 又有如何的数量关系？请写出你的猜想并证明．（3）当∠ MBN 绕 B 点旋转到如图 3 所示的地点时，请直接写出线段AE，CF， EF 之间的数目关系．AE MBDC N F图 1ABE MC F DN图 2ABF DCNEM图 3。

华师大版八年级上学期第13章全等三角形检测题含答案解析

第13章全等三角形检测题【本检测题满分：100分，时间：90分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠一定（）A.小于直角B.等于直角C.大于直角D.不能确定3.已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（）A.23B.34C.32D.6 A.∠1=50°，∠2=40°B.∠1=50°，∠2=50°C.∠1=∠2=45°D.∠1=40°，∠2=40° A.垂直B.两条直线C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线6.如图，在△ABC 中，>AB AC ，∥DE BC ，12=DE BC ,点F 在BC 边上，连结DF ，EF ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（）A.∥EF ABB.=BF CFC.∠=∠A DFED.∠∠=B DEF7.如图，在△ABC 中，=AB AC ，∠ABC ，∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于点O ，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△≌△BCD CBE ；②△≌△BAD BCD ；③△≌△BDA CEA ；④△≌△BOE COD ；⑤△≌△ACE BCE .上述结论一定正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④8.已知：如图，B ，C ，E 三点在同一条直线上，AC CD =，B ∠=90E ∠=︒，AC CD ⊥，则不正确的结论是（） A.A ∠与D ∠互为余角 B.2A ∠=∠C.ABC CED △≌△D.∠1=∠2第8题图9.如图，点B ，C ，E 在同一条直线上，ABC △与CED △都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.ACE BCD △≌△B.BGC AFC △≌△C.DCG ECF △≌△D.ADB CEA △≌△第7题图① ②第9题图第10题图10.（•山东泰安中考）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中=ACB ∠90CED ∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒．把DCE △绕点C 顺时针旋转15°得到11D CE △，如图②，连结1D B ，则11E D B ∠的度数为（）A.10°B. 20°C.7.5°D.15°二、填空题（每小题3分，共24分）12.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒， 2 cm BC =，CD AB ⊥，在AC 上取一点E ，使EC BC ＝，过点E 作EF AC ⊥交CD 的延长线于点F ，若 5 cm EF ＝，则AE ＝ cm. 14.如图，已知ABC △的周长是21，BO ，CO 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于点D ，且3OD =，则ABC △的面积是．第12题图第14题图第15题图15.如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是ABC △的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中①DA 平分EDF ∠；②AE AF =，DE DF =；③AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有： .16.如图，已知等边ABC △中，BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则APE ∠= 度.17.如图，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= .18.（•浙江湖州中考改编）如图，已知在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 是BC 边的中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连结BE ，则下列结论：①ED BC ⊥；②A ∠EBA =∠；③EB 平分AED ∠；④12ED AB =中，一定正确的是（填写正确选项的序号）.第16题图第17题图第18题图三、解答题（共46分）（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？（2）垂线段最短，对吗？（3）等角的补角相等．（4）两条直线相交只有一个交点．（5）同旁内角互补．（6）邻补角的角平分线互相垂直.20.（8分）已知：如图，AB AE =，∠1=∠2，B E ∠=∠.求证：BC ED =. 21.（8分）如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，求DFB ∠和DGB ∠的度数．第21题图第22题图第23题图22.（8分）如图，P 是BAC ∠内的一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，AE AF =．求证：（1）PE PF =；（2）点P 在BAC ∠的平分线上．23.（8分）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =.证明：（1）CF EB =；（2）2AB AF EB =+．第20题图24.(8分)已知：在ABC∠=︒，点D是AB的中点，点E是AB边ACB=，90△中，AC BC上一点．（1）BF垂直CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE CG=.（2）AH垂直CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．①②第24题图第13章全等三角形检测题参考答案2.C 解析：因为在ABC △中，180ABC ACB ∠+∠<︒，所以119022ABC ACB ∠+∠<︒，所以90BOC ∠>︒.故选C.3.C 解析：设面积为3的直角三角形斜边上的高为h ，则1432h ⨯=，∴ 32h =. 5.D 解析：题设是两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行.故选D.6.C 解析：A.∵ EF AB ∥，∴ BD F EFD ∠=∠.∵ DE BC ∥，∴ BFD ED F ∠=∠.又∵ DF DF =，∴ BFD EDF △≌△，故本选项可以判定BFD △与EDF △全等．B.∵ 12DE BC BF ==，ED F BFD ∠=∠，DF DF = ，∴ BFD EDF △≌△，故本选项可以判定BFD △与EDF △全等．C.由A DFE ∠=∠证不出BFD △与EDF △全等，故本选项不可以判定BFD △与EDF △全等．D.∵ B DEF ∠=∠，ED F BFD ∠=∠，DF DF =，∴ BFD EDF △≌△，故本选项可以判定BFD △与EDF △全等．故选C ．7.D 解析：∵AB AC =，∴ ABC ACB ∠=∠．∵ BD 平分ABC ∠，CE 平分ACB ∠，∴ ABD CBD ACE BCE ∠=∠=∠=∠．又BC CB =,∴ ①BCD CBE △≌△（A.S.A.）.由①可得BE CD =，∴ AB BE AC CD -=-，即AE AD =.又A A ∠=∠，∴ ③BDA △≌CEA △（S.A.S.）.由①可得BE CD =，BEO CDO ∠=∠，又EOB DOC ∠=∠，∴ ④BOE COD△≌△（A.A.S.）．故选D.8.D 解析：∵ B ，C ，E 三点在同一条直线上，且AC CD ⊥，∴ ∠1+∠2=90°. ∵ 90B ∠=︒，∴ 190A ∠+∠=︒，∴ 2A ∠=∠.故B 选项正确.在ABC △和CED △中，902,,B E A AC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABC CED △≌△，故C 选项正确.∵ 290D ∠+∠=︒，∴ 90A D ∠+∠=︒，故A 选项正确.∵ AC CD ⊥，∴ 90ACD ∠=︒，∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等,故D 选项错误．故选D ．9.D 解析：∵ ABC △和CDE △都是等边三角形，∴ BC AC =，CE CD =，60BCA ECD ∠=∠=︒，∴ BCA ACD ECD ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠.在BCD △和ACE △中，,,,BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ BCD ACE △≌△，故A 成立.∵ BCD ACE △≌△，∴ DBC CAE ∠=∠.∵ 60BCA ECD ∠=∠=︒，∴ 60ACD ∠=︒.在BGC △和AFC △中，,,60,CAF CBG AC BC GCB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ BGC AFC △≌△，故B 成立.∵ BCD ACE △≌△，∴ CDB CEA ∠=∠.在DCG △和ECF △中，,,60CDG CEF CD DE GCD FCE =⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∠∠∠∠∴ DCG ECF △≌△，故C 成立.故选D ．10.D 解析：∵ 90CED ∠=︒，30D ∠=︒，∴ 60DCE ∠=︒．∵ DCE △绕点C 顺时针旋转15°，∴ 115BCE ∠=︒，∴ 1601545BCD ∠=︒-︒=︒，∴ 1BCD A ∠=∠．在ABC △和1D CB △中，11AC BC A BCD AB D C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴ 1ABC CD B △≌△（S.A.S.），∴ 145BD C ABC ∠=∠=︒，∴ 11111453015E D B BD C CD E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．点拨：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出ABC △和1D CB △全等是解题的关键．11.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等假12.3 解析:由条件易判定ABC FCE △≌△，所以 5 cm AC EF ==，则AE AC CE =-=523(cm)EF BC --=＝.14.31.5 解析：作OE AC ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，连结OA .∵ BO ，CO 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥，∴ OD OE OF ==.∴ ABC OBC OAC OAB S S S S =++△△△△ =111222OD BC OE AC OF AB ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =1()2OD BC AC AB ⨯⨯++ =132131.52⨯⨯=． 15.①②③④ 解析：在ABC △中，AB AC =，AD 是ABC △的角平分线，已知DE AB ⊥，DF AC ⊥，可证ADE ADF △≌△.故有EDA FDA ∠=∠，AE AF =，DE DF =，①②正确.AD 是ABC △的角平分线，在AD 上可任意取一点M ，可证BDM CDM △≌△， ∴ BM CM =，∴ AD 上的点到B ，C 两点的距离相等，③正确.根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．故填①②③④． 16.60 解析：∵ ABC △是等边三角形，∴ ABD C ∠=∠，AB BC =.∵ BD CE =，∴ ABD BCE △≌△，∴ BAD CBE ∠=∠.∵ 60ABE EBC ∠+∠=︒，∴ 60ABE BAD ∠+∠=︒，∴ 60APE ABE BAD ∠=∠+∠=︒．17.55︒ 解析：在ABD △与ACE △中，∵ 1CAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠，∴ 1CAE ∠=∠.又∵ AB AC =，AD AE =，∴ ABD ACE △≌△.∴ 2ABD ∠=∠.∵ 3112ABD ∠=∠+∠=∠+∠，125∠=︒，230∠=︒，∴ 355∠=︒．18.①②④ 解析：根据作图过程可知EB EC =．∵ D 为BC 的中点，∴ ED 垂直平分BC ，∴ ①ED BC ⊥正确.∵ 90ABC ∠=︒，∴PD AB ∥，∴ E 为AC 的中点，∴ EC EA =，④12ED AB =正确. ∵ EB EC =，∴ EB EA =，②A EBA ∠=∠正确；③EB 平分AED ∠错误．故正确的有①②④．点拨：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．20.分析：要证BC ED =,需证ABC AED △≌△.证明：因为12∠=∠，所以12BAD BAD ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠.又因为AB AE =，B E ∠=∠，所以ABC AED △≌△，所以BC ED =.21.分析：由ABC ADE △≌△，可得1()2DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠，根据三角形外角性质可得DFB FAB B ∠=∠+∠.由FAB FAC CAB ∠=∠+∠，即可求得DFB ∠的度数；根据三角形外角性质可得DGB DFB D ∠=∠-∠，即可得DGB ∠的度数．解：∵ ABC ADE △≌△，∴ 11()(12010)5522DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴ 10552590DFB FAB B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒，902565DGB DFB D ∠=∠-∠=︒-︒=︒．22.证明：（1）连结AP ，因为AE AF =，AP AP =,PE AB ⊥,PF AC ⊥,所以Rt Rt APE APF △≌△，所以PE PF =.（2）因为Rt Rt APE APF △≌△，所以FAP EAP ∠=∠，所以点P 在BAC ∠的平分线上.23.分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB 的距离=点D 到AC 的距离，即CD DE =．再根据Rt Rt CDF EDB △≌△，得CF EB =.（2）利用角平分线性质证明ADC ADE △≌△，∴ AC AE =，再将线段AB 进行转化．证明：（1）∵ AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DC AC ⊥，∴ DE DC =．又∵ BD DF =，∴ Rt Rt CDF EDB △≌△，∴ CF EB =.（2）∵ AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DC AC ⊥，∴ ADC ADE △≌△，∴ AC AE =，∴ 2AB AE BE AC EB AF CF EB AF EB =+=+=++=+．24.（1）证明：因为垂直CE 于点F ,所以90CFB =︒∠，所以90ECB CBF ∠+∠=︒.又因为90ACE ECB ∠+∠=︒，所以ACE CBF ∠=∠.因为AC BC =,90ACB =︒∠，所以45A CBA ∠=∠=︒.又因为点D 是AB 的中点，所以45DCB =︒∠.所以DCB A ∠=∠.因为ACE CBF∠∠，AC BC=，∠=∠，DCB A=所以CAE BCG△≌△，所以AE CG=.(2)解：BE CM=.证明如下：在ABCACB∠=︒，△中，因为AC BC=,90所以45∠+∠=︒.ACH BCECAB CBA∠=∠=︒，90因为CH AM⊥，即90∠,CHA=︒所以90∠=∠.ACH CAM∠+∠=︒,所以BCE CAM因为CD为等腰直角三角形斜边上的中线,所以CD AD∠=︒.ACD=，45在BCE∠=∠，CBE ACM∠=∠,=，BCE CAM△和CAM△中,BC CA所以CAM BCE=.△≌△,所以BE CM。

2022年华东师大版八年级数学上册第十三章【全等三角形】检测题附答案解析

2022年八年级数学上册第十三章【全等三角形】检测题一．选择题（共10小题，满分30分）1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，AB，CD相交于O，△OCA≌△OBD，AO＝6，BO＝4，则CD的长为（）A．9B．10C．11D．123．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL4．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、4或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、2或2、4去就可以了5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（）A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．AB∥DE D．AD＝CF6．如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（）A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD7．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．一个锐角和一条斜边分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．两个锐角分别对应相等8．如图，△ABC≌△DEF，若∠A＝80°，∠F＝30°，则∠B的度数是（）A．80°B．70°C．65°D．60°9．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝7，CF＝4，则BD的长是（）A．5B．4C．3D．210．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS二．填空题（共8小题，满分24分）11．如图，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，则CF＝．12．如图，△ABC≌△ADE，若∠B+∠C＝110°，则∠DAE＝度．13．如图，在网格中（每个小正方形的边长为1）有一个格点△ABC（三角形的顶点都在格点上），则∠1﹣∠2＝°．14．已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5cm，BD＝3cm，则ED的长为cm．15．已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，则AD＝．16．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为．17．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是米．18．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，则BC边上的中线AM的长的取值范围是．三．解答题（共8小题，满分66分）19．图中所示的是两个全等的五边形，∠β＝115°，d＝5，指出它们的对应顶点•对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．20．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．21．如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．22．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．（1）求证：∠CAE＝∠BAD；（2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度数．23．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF ＝AD，∠ACF＝∠ADF．（1）求证：AE＝FD；（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于F．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：AF平分∠BAC．25．如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB＝CD，AC＝CE．求证：△ACE是直角三角形．26．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、形状相同的两个图形大小不一定相等，所以，不是全等图形，故本选项错误；B、周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误；C、面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误；D、能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项正确．故选：D．2．解：∵△OCA≌△OBD，AO＝6，BO＝4，∴AO＝DO＝6，CO＝BO＝4，∴DC＝DO+CO＝6+4＝10．故选：B．3．解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．4．解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，故选：C．5．解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，∴当添加AC＝DF或AD＝CF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．故选：D．6．解：添加AC＝BD，理由如下：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），故选：D．7．解：A、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意．故选：D．8．解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D＝30°，∠B＝∠E＝80°，∠C＝∠F，∵∠D+∠E+∠F＝180°，∴∠F＝70°．故选：B．9．解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝4，∵AB＝7，∴DB＝AB﹣AD＝7﹣4＝3．故选：C．10．解：∵O是AA′、BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分）11．解：∵BE＝5，BF＝1，∴EF＝BE﹣BF＝4，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝3，∴CF＝BC﹣BF＝3，故答案为：3．12．解：在△ABC中，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝70°，故答案为：70．13．解：∵AB2＝AC2＝22+32＝13，BC2＝12+52＝26，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴90°﹣∠2+45°+∠1＝180°，∴∠1﹣∠2＝45°，故答案为：45．14．解：在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（ASA），∴CD＝DE，∵CB＝5cm，BD＝3cm，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2（cm），∴DE＝CD＝2cm，故答案为：2．15．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，∵D是BC的中点，∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，∴1＜AD＜3，又∵AD是整数，∴AD＝2，故答案为：2．16．解：如图所示：由题意可得：△ACB≌△ECD，则∠1＝∠DEC，∵∠2+∠DEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90°．17．解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝20．故答案为：20．18．解：延长AM至D，使DM＝AM，连接BD，如图：∵AM是BC边上的中线，∴CM＝BM，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS）．∴AC＝BD＝5．在△ABD中，AB﹣BD＜AD＜AB+BD．即9﹣5＜2AM＜9+5，∴2＜AM＜7．故答案为：2＜AM＜7．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H，对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；∵两个五边形全等，∴a＝12，c＝8，b＝10，e＝11，α＝90°．20．证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．21．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（AAS），∴AC＝AE．22．（1）证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠D＝∠B，∵∠AFD＝∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD＝180°，∠B+∠EFB+∠BED＝180°，∴∠BED＝∠BAD，∵∠BAD＝35°，∴∠BED＝35°．23．（1）证明：∵∠ACF＝∠ADF，∴∠B+∠A＝∠B+∠F，∴∠A＝∠F，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，在△ADE和△FBD中，，∴△ADE≌△FBD（ASA），∴AE＝FD；（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，∴∠F＝30°，∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．24．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）．（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝AD，在Rt△AEF和Rt△ADF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴∠EAF＝∠DAF，∴AF平分∠BAC．25．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴∠1＝∠3，∵∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠ACE＝90°，∴△ACE是直角三角形．26．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．。