北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的极值-课件

x f′(x) f(x)
(0，e) ＋ 增加↗
e 0 极大值
(e，＋∞) － 减少↘
1 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有 e 极小值点．
2．(2012· 陕西高考)设函数f(x)＝xex，则
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
问题1：观察y＝f(x)的图像，在区间(a，b)内，函
数值f(x0)有何特点？
提示：f(x0)在(a，b)内最大．
二、新课探析 1．函数的极值: 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的 值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值 与极小值统称极值.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x) f(x)
(－∞，－1)
＋ 增加↗
－1
0 极大 值
(－1,3)
－ 减少↘
3
0 极小 值
(3，＋∞)
＋ 增加↗
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝ 10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22. ln x (2)函数f(x)＝ x 的定义域为(0，＋∞)， 1－ln x 且f′(x)＝ ， x2 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
(2)不可导点也可能是极值点.
例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极 小值点.
例2:
3 2 求 y x x 18 x 24 的单调区间和极值. 2
3
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´ (x) =－3x² + 3x + 18 (3) 令 f ´ (x) = 0得 x1 =－2, x2 =3 (4) 列表讨论，如下： x (－∞,－2) －2 3 (3 , + ∞) (－2 , 3) f´ (x) － － 0 + 0 f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少 函数在 x = －2处取得极小值－62
一、复习: 利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域;
②求函数的导数 f ( x ) ; ③解不等式 f ( x )>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x )<0得f(x)的单调递减区间.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函 数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.
[例1]
求下列函数的极值：
3 2
(1)f(x)＝x －3x －9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
[思路点拨] 首先确定函数的定义域，然后求出
函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点 ，进而求出极值．
[精解详析]
(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定
义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0 ，得x1＝－1，x2＝3.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点 不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能 在区间的内部,也可能在区间的端点.
[精解详析]
(1)∵当x＝1时，函数有极大值3，
f′(x)＝3ax2＋2bx，
f′1＝0， ∴ f1＝3. 3a＋2b＝0， ∴ a＋b＝3.
解之得a＝－6，b＝9.
函数的极值注意事项：
(1) 导数为零的点不一定是极值点！
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小
0, f ( x ) 那么 0, (1):如果在x0附近的左侧 f ( x) 右侧 , f(x0)是极大值; 0, f ( x ) 那么 0, (2):如果在x0附近的左侧 f ( x) 右侧 , f(x0)是极小值.
要注意以下两点: (1)可导函数的极值点一定是导数为零的点, 导数为零的点,不一定是该函数的极值点. 例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
a
X1
X2
X3
X4
b
x
请注意以下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着 它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与 最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或 定义域内极大值或极小值可以不止一个.
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X的极值
y
f ( x0 ) 0
y
f ( x ) 0
o a X0
f ( x ) 0
f ( x ) 0
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
x
0
b
x
o
a
X0
b
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是 极大(小)值的方法是:
(
)
解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的
极小值点．
答案：D
[例2]
已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3. (1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的极小值．
[思路点拨]
利用函数在x＝1处取得极大值3建立关于a，b的方程组 即可求解．
区间而言的,在函数的整个定义域可能有多 个极大值或极小值, 不唯一!
(3) 极大值不一定比极小值大! (4)函数的不可导点也可能是极值点; (5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点;
在 x = 3处取得极大值16.5
总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(1)求函数的定义域 (2).求导数 f ( x ).
(3).求方程 f ( x ) 0的根.
用方程 f ( x ) 0的 根 顺 次 将 函 数 的 定 义 域 分 成 若 干 个 小 区 间成 列表 格
(4)检查 f ( x )在方程根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;