直线与圆的位置关系3.切线长定理

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切线的判定

.
A
.O
.
B
l
.O
.
切点A
l
.O
l
二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系t; r
r d ┐ l
2、直线和圆相切
d = r
．ｏ d r ┐
l
3、直线和圆相交
d < r
．O d r ┐
l
三.切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
推理格式
.O l
∵L与⊙ O 相切于A点
∵AD∥OC，∴∠1＝∠3， ∠2＝∠4 ∴∠3＝∠4． • ∵OD＝OB，OC＝OC， • ∴△ODC≌△OBC． D • ∴∠ODC＝∠OBC． 2 ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切线．
4 A1 3 O B C
∴OA⊥l
A
切点
切线的画法过圆O上一点A画圆O的切线. 分析:
过圆O上一点A的切线l与半径OA有什么关系? 据切线的性质定理, l ⊥OA, 由此受到启发,过点A作一条直线l与OA垂直,
作法:
⑴连结OA;
O· · A l
⑵过点A作直线l与OA垂直.
直线l就是所求作的切线,如图
探究新知：
切线的判定定理
经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
推理格式
.O l
∵OA ⊙ O 的半径，且 OA⊥l ∴L是⊙ O 的切线
A
切点
例1
直线AB经过圆O上的C，并且 OA=OB，AC=BC，
求证：直线AB是圆O 的切线
O
A
B
C
规律总结:
• 证明一条直线是圆的切线,常常要添加辅助线,如果直线与圆有一个公共点,则连接公共点和圆心,证明直线垂直于经过这点的半径即可.

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

AB与⊙O相切，d=r。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。

（d为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质：（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。

直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。

圆的切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。

九年级数学直线和圆的位置关系

定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
要点、考点
3.切线长及弦切角的定义. (1)切线长：过圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长如图中的PA、PB. (2)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆相切的角
C y E H A P o B F x
A.155° C.135° B.145° D.115°
随堂练习
2.下列命题中，正确的命题有( B ) ①圆的切线垂直于半径 ②垂直于切线的直径必过圆心 ③经过圆心且垂直于切线的直线过切点 ④如果圆的两条切线平行，那么过两切点的直线必过圆心 ⑤三角形的内心不一定在三角形的内部 ⑥多边形的内切圆圆心到各边的距离相等
第二课时：直线和圆的位置关系
要点、考点
1.直线和圆的位置关系. 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和⊙O d ＜r (2)直线l和⊙O d=r (3)直线l和⊙O d ＞r 2、切线的判定和性质定理及推论. (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质定理及其推论.
要点、考点
4.切线长定理及弦切角定理. (1)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. (2)弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
要点、考点 5.三角形的内切圆和四边形的内切圆.
(1)三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆.
A.2个 C.4个 B.3个 D.5个
随堂练习
3.等腰梯形外切于⊙O，⊙O的直径为6 cm，等腰梯形的腰长为8 cm，则梯形的面积为( B ) A.24 cm2 B.48 cm2 C.36 cm 2 D.无法计算

人教版初中九年级上册数学课件《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)

A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章圆
直线和圆的位置关系
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形．【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm，求△PEF的周长．

自学初中数学资料-直线与圆的位置关系、切线、切线长定理(资料附答案)(1)

自学资料一、直线与圆的位置关系及相应的数量关系【知识探索】年份题量分值考点题型2015114圆内接四边形的性质；点与圆的位置关系选择、简答201613圆周角定理；填空2017219弧长面积；切线的性质；圆周角定理选择、填空、简答201824圆周角定理；填空2019216扇形面积；切线长定理；圆心角、圆周角、垂径定理填空、解答第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【错题精练】例1．如图，直线与坐标轴交于AB两点，点是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线相切时，m的值为__________ ．【解答】【答案】例2．已知：点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线L 的距离均为2，则半径r的取值范围是（）A. r＞1B. r＞2C. 2＜r＜2D. 1＜r＜5第2页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】解：根据题意可知，若使圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则当圆与直线l相离时，r＞1；当圆与直线l相交时，r＜5；所以1＜r＜5．故选：D．【答案】D例3．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E，若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（）A. r＞52； B. 52＜r≤4；C. 32＜r≤4； D. 32＜r≤125．【答案】D例4．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED=∠C．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC=8，cos∠BED=45，求AD的长．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】解：（1）AC与圆O相切．证明如下：∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠2=90°∵∠C=∠BED=∠2，∴∠AOC+∠C=90°，即∠CAO=90°，∴AC与⊙O相切；（2）∵∠BED=∠C，∴直角△AOC中，cosC=ACOC =os∠BED=45，∴OC=ACcos∠C =845=10，∴AO=√OC2−AC2=√102−82=6，又∵S△AOC=12AC•OA=12OC•AF，∴AF=AC•OAOC =8×610=245．∵OC⊥AD，∴AC=2AF=485．例5．已知：在△ABC中，∠A=90∘，AB=6，AC=8，点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．（1）求⊙P半径；（2）求sin∠PBC．【解答】（1）解：如图所示：过P作PE⊥BC，第4页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵⊙P与AB，BC都相切，∴BA=BE=6，PA=PE，∵在△ABC中，∠A=90∘，AB=6，AC=8，∴△ABC的面积=12AB×AC=12AB×PA+12BC×PE，即12×6×8=12×6×PA+12×10×PA，解得：PA=3，即⊙P半径=3；（2）解：在Rt△BPE中，BP=√BE2+PE2=√62+32=3√5，∴sin∠PBC=PEBP =33√5=√55．【答案】（1）3；（2）√55．例6．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点D是AE的中点，连接OD并延长交⊙O于点M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．（1）求的度数；（2）求证：BC是⊙的切线；（3）求弧AM的长度．【答案】例7．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D 作DE⊥AC，垂足为点E．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）【答案】例8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．第6页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】试题分析：（1）由弦切角定理、圆周角定理即可证明∠ABC=∠ACB，从而得到答案；（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，有EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．试题解析：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∵∠AHE=∠AFE，∠AEH=∠AEF，AE=AE，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∵∠ABH=∠ACF，∠AHB=∠AFC，AB=AC，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF，∴BH=CE+EH．【举一反三】1．已知Rt△ABC的斜边AB=6cm，直角边AC=3cm．（1）以C为圆心，2cm长为半径的圆和AB的位置关系是______；（2）以C为圆心，4cm长为半径的圆和AB的位置关系是______；（3）如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为______．【答案】（1）相离（2）相交（3）2．在平面直角坐标系中，以点A（﹣2，3）为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为．【答案】3或√13．3．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t 秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=__________ ．第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】4．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．第8页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】二、圆的切线【知识探索】1．圆的切线上一点与切点间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2．（1）定理1（切线长定理）：从圆外一点作圆的两条切线，切线长相等．（2）定理2：从圆外一点作圆的两条切线，它们的夹角被这一点与圆心的连线平分．【错题精练】例1．如图，A，B为⊙O上的两点，AC切⊙O于点A，BC过圆心O，若∠B=20∘，则∠C=（）A. 70°；B. 60°；C. 50°；D. 40°．【答案】C例2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 2.5B. 1.6C. 1.5D. 1【解答】解：连接OD、OE，设AD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠A=∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴ADOE =OD BE，∴x4−x =4−x x+2，解得x=1.6，故选：B．【答案】B例3．如图，正六边形ABCDEF中，P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，若AF=1，则PQ的长度为______．【解答】解：连接PF，QF，作QH⊥EF于H，第10页共25页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∵六边形ABCDEF正六边形，∴∠BAF=∠AFE=∠FED=120°，AB=BC=DC=DE，∴∠BAC=∠DEC=30°，∠AFC=∠EFC=60°，∴∠CAF=∠CEF=90°，∴△ACF和△ECF为全等的直角三角形，CE=√3EF=√3，CF=2EF=2，∵P，Q两点分别为△ACF，△CEF的内心，∴GH为Rt△CEF的内切圆的半径，QH=EF+CE−CF2=1+√3−22=√3−12，FQ平分∠EFC，PF平分∠AFC，∴∠PFC=30°，∠QFC=30°，∴∠PFQ=60°，∵△FCA≌△FCE，∴FP=FQ，∴△FPQ为等边三角形，在Rt△FQH中，FQ=2QH=√3-1，∴PQ=√3-1．故答案为√3-1．【答案】√3-1例4．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB=60°，求⊙O的半径．【答案】解：连接OA，OP，则OA⊥PA，根据题意可得：CA=CE，DE=DB，PA=PB，∵PC+CE=DE+PD=18，∴PC+CA+DB+PD=18，∴PA=×18=9（cm），∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠APO=∠APB=30°，在Rt△AOP中，PO=2AO，AO＞0，故OA2+92=（2AO）2，解得：OA=，故⊙O的半径为：cm．例5．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．【答案】（1）证明：连接OE，∵∠B的平分线BE交AC于D，∴∠CBE=∠ABE．∵EF∥AC，∴∠CAE=∠FEA．∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，∴∠FEA=∠OEB．∵∠AEB=90°，∴∠FEO=90°．∴EF是⊙O切线．（2）解：在△FEA与△FBE中，∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，∴△FEA∽△FBE，∴AFEF =EFBF=AEBE，∴AF•BF=EF•EF ，∴AF×（AF+15）=10×10，解得AF=5．∴BF=20．∴1020=AEBE ，∴BE=2AE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE 2+BE 2=152，∴AE 2+（2AE ）2=225，∴AE=3√5．例6．已知：如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分∠CBF ，过点A 作AD ⊥BF 于点D ．（1）求证：DA 为⊙O 的切线；（2）若BD=1，tan∠BAD =12，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明：连接OA ；∵BC 为⊙O 的直径，BA 平分∠CBF ，AD ⊥BF ，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA ；∵∠OAC=∠OCA ，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA 为⊙O 的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠BAD =12， ∴AD=2，∴AB=√22+12=√5，∴cos∠DBA=√55；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos∠CBA =√5√55=5．∴⊙O的半径为2.5．例7．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6，⊙O的半径为10，求BF的长．【答案】（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥OE．又∵DE⊥AC，∴AE∥OD．∴∠2=∠ADO，∵OA=OD，∴∠1=∠ADO．∴∠1=∠2，即AD平分∠ABC；（2）解：作DH⊥AB于H，∵∠1=∠2，∠E=90°，∴DH=DE=6，∵OD=10，∴由勾股定理得：OH=8，∴AH=10+8=18，AB=20，∵FB是⊙O的切线，∴∠FBA=90°，∴DH⊥AB，∴DH∥BF，∴△AHD∽△ABF，∴DHBF =AH AB，∴6BF =18 20，∴BF=203．【举一反三】1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则OAPA的值是（）A. 213√13 B. 125C. 32D. 23【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，∴PA=32r，则OAPA 的值是：r32r=23．故选：D．【答案】D2．图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（）A. √63B. 23C. 13D. √1010【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F∵AB，AE都为圆的切线∴AE=AB∵OB=OE，AO=AO∴△ABO≌△AEO（SSS）∴∠OAB=∠OAE∴AO⊥BE在直角△AOB里AO2=OB2+AB2∵OB=1，AB=3∴AO=√10易证明△BOF∽△AOB∴BO：AO=OF：OB∴1：√10=OF：1∴OF=√1010sin∠CBE=OFOB =√1010故选：D．【答案】D3．直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，一个圆与这个直角三角形的斜边相切，与两条直角边所在的直线相切，则这个圆的半径为______．【解答】解：当⊙O在△ABC内部时，设切点分别为E、F、D．由切线长定理可知，AE=AD，CF=CD，BE=BF，易知四边形BFOE是正方形，∴OE=BE=AB+BC−AC2=a+b−c2．当⊙O在△ABC外部时，设切点为E、D、F．则四边形OEBF是正方形．由切线长定理可知OE=BE=AB+BC+AC2=a+b+c2，故答案为a+b−c2或a+b+c2．【答案】a+b−c2或a+b+c24．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP与⊙O相切；（2）如果PD=√3，求AP的长．【答案】（1）证明：连接AO，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=OD=R，OP=√3+R，∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA，即√3+R=2R，解得R=√3，∴OA=√3，OP=2√3，∴PA=√OP2−OA2根据勾股定理得，AP=√OP2−OA2=√（2√3）2−（√3）2=3．5．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点M为△ABC的内心．（1）求证：BC=√2DM；（2）若DM=5√2，AB=8，求OM的长．【答案】（1）证明：连结MC、DC、BD，如图，∵点M为△ABC的内心，∴MC平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BAD=∠CAD=12∴∠DBC=∠BCD=45°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BC=√2DC，又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM，而∠DCM=∠BCD+∠BCM，∴∠DMC=∠DCM，∴DC=DM，∴BC=√2DM；（2）解：作MF⊥BC于F，ME⊥AC于E，MH⊥AB于H，如图，∵DM=5√2，∴BC=√2DM=10，而AB=8，∴AC=√BC2−AB2=6，设△ABC的内切圆半径为r，∵点M为△ABC的内心，∴MH=ME=MF=r，∴四边形AHME为正方形，∴AH=AE=r，则CE=CF=6-r，BH=BF=8-r，而BF+FC=BC，∴8-r+6-r=10，解得r=2，∴MF=2，CF=6-2=4，∵OC=5，∴OF=5-4=1，在Rt△OMF中，OM=√MF2+OF2=√5．6．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2√2，求线段EF的长．【答案】解：（1）∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAO；（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC=∠DAO=105°，∵∠E=30°，∴∠OCE=45°；②作OG⊥CE于点G，则CG=FG=OG，∵OC=2√2，∠OCE=45°，∴CG=OG=2，∴FG=2，在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=2√3，∴EF=GE−FG=2√3−2．7．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=1，求AE的长．3【答案】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB．∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=13，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=√OD2−OA2=2√2．∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA．∴DCAD =DEDC，即22√2=ED2．解得：DE=√2．∴AE=AD-DE=√2．1．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA 为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解答】解：∵32+42=52，∴AB 2+AC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；作DM ⊥BC 于M ，如图所示：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴DM=DA ，∴⊙D 与直线BC 相切，∴②正确；∵∠BAC=∠DMC=90°，在Rt △BDM 和△BDA 中，{BD =BD DM =DA， ∴Rt △BDM ≌△BDA （HL ），∴MB=AB=3，∴CM=BC-MB=2，∵∠C=∠C ，∴△CDM ∽△CBA ，∴DM AB =CM AC ，即DM 3=24，解得：DM=32，∴DF=DE=32，∴BD=√AB 2++AD 2=√32+（32）2=3√52， ∴BE=BD-DE=3√52-32，BF=BD+DF=3√52+32， ∵EF 2=9，BF•BE=（3√52+32）（3√52-32）=9，∴EF 2=BF•BE ，∴点E 是线段BF 的黄金分割点，③正确；∵tan ∠CDF=tan ∠ADB=AB AD =332=2，∴④正确；正确的有4个．故选：A ．【答案】A2．已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（）A. 0＜x≤1B. 1≤x＜√2C. 0＜x≤√2D. x＞√2【解答】解：当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，∵∠A=45°，∠ODA=90°，OD=1，∴AD=OD=1，由勾股定理得：AO=√2，即此时x=√2，所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x≤√2，故选：C．【答案】C3．在△ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC 的切点，设BD=BC．（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；（2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长．【答案】解（1）①连接OB、OF，∵点O是△BDC的内心，∴OB平分∠DBC，∵CD与⊙O相切，∴OF⊥CD，∵BD=BC，∴B、O、F三点共线，∴DF=CF，∵DC=2AD，∴AD=DF，∵BD与⊙O相切，∴由切线长定理可知：DE=DF，∴AD=DE=DF，∴A、E、F三点共圆，且圆心为D∵AF是⊙D的直径，∴∠AEF=90°，∴AE⊥EF，②∵O是△BDC的内心，∴DO平分∠BDC，∴∠EDF=2∠EDO，∵∠EDF=∠DAE+∠DEA，∴2∠EDO=2∠DEA，∴∠EDO=∠DEA，∴AE∥DO，（2）设DO与EF相交于点G，由（1）可知：DE=DF，DO平分∠EDF，∴DO⊥EF，∵AD=DF=CF，AC=6，∴DF=2，∵OF=1，∴由勾股定理可求得：OD=√5，∵12DF•OF=12OD•FG，∴FG=2√55，由垂径定理可知：EF=2FG=4√55，∵AF=2DF=4，∵∠AEF=90°，∴由勾股定理可求得：AE=8√55．。

直线和圆的位置关系知识全解

《直线与圆的位置关系》知识全解课标要求了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.知识结构在本小节主要研究直线和圆的不同位置关系以及切线的判定和性质，切线长定理等，其中切线的判定和性质是本节的重点内容.其中直线与圆的位置关系与前一节点与圆的位置关系有类似的地方，还是要抓住“数量”与“位置”之间的对应关系.本节先介绍切线的判定，再学习切线的性质，掌握切线的判定方法是一个基础知识点，我们往往是先判定一条直线是圆的切线，然后再利用圆的切线的性质得出新的结论.切线长定理也是圆中一个重要的定理，它是进行证明或计算的一个重要依据，在切线长定理的基础上，学习三角形的内切圆，引出三角形的内心，内心与外心的性质要避免概念的混淆.内容解析直线与圆的位置关系：相切、相交、相离，位置关系决定圆心到直线的距离；反过来，圆心到直线的距离也决定直线与圆的位置关系.同样具备一种等价关系：相交⇔d＜r；相切⇔d=r；相离⇔d＞r.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.这个定理的题设是：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径.这两个条件缺一不可，证明“垂直”是判定切线的一个重要途径.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.运用切线的判定定理与性质定理时，往往需要添加辅助线.有以下几种情况：（1）当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，则半径垂直于切线.（2）当要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径.一般地，判定切线有三种方法：（1）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质有三个：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线；（5）过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线长定理的证明用到圆的轴对称性，这个定理为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它也是本节的一个重点内容.重点难点重点：直线与圆的关系，切线的判定与性质，切线长定理.难点：切线的判定与性质的运用.教法导引本节内容较多，要循序渐进，多举例，多练习.学法建议对各个知识点要梳理清楚，有条理地把握，通过对比区别易混淆的知识，加强练习.。

3.4(4)切线长定理

A P
C
●
O
B
例题解析
例4、如图，已知：P为⊙O外一点，PA,PB是 ⊙O的两条切线，A,B是切点，点C是 AB 上任意一点，过点C的切线分别交PA,PB与点D,E. （1）若PA=4,求：△PDE的周长；（2）若∠P=40°，求∠DOE的度数。
DA P C
●
O
E B
做一做
4
切线的画法
• 1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗?
●
●
A

2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?
结论: 1、经过圆上一点能确定圆的一条切线； 2、经过圆外一点能画圆的两条切线。
挑战自我10 已知：AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的两条弦， EF是过点B的⊙O的切线。试说明：∠CBE和∠A的关系，并说明理由。
九年级数学(上)第3章：对圆的进一步认识
3.4直线和圆的位置关系(3) ——切线长定理
1、什么叫直线与圆相切？ 2、圆的切线的判定方法是什么？
3、圆的切线的性质是什么？问题：经过圆外一点P能画圆的几条切线？
A P B
●
O
PA=PB吗？
新知探索
1.已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点. 求证：PA=PB
F O ●
A
B
四、弦切角定理：
C
E
1、弦切角：圆的切线与过切点的弦所夹的角叫弦切角。
2、弦切角定理：圆的弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
A E
●
D
O C
B
例题解析
例2、如图，已知：P为⊙O外一点，PA,PB是 ⊙O的两条切线，A,B是切点，BC是⊙O的直径。（1）求证：AC∥OP；（2）如果∠APB=70°，求 AC 的度数。

直线与圆的位置关系》教案

直线与圆的位置关系》教案直线与圆的位置关系》教案教学目标：1、认识和理解直线与圆的三种位置关系，能够用定义来判断直线与圆的位置关系。

2、掌握圆的切线的判定方法和性质，能够判断一条直线是否是圆的切线，培养逻辑推理能力。

3、了解切线长的概念和定理，能够应用切线长的知识解决简单问题。

教学重点：1、直线和圆的三种位置关系。

2、切线的性质定理和判定定理。

3、切线长定理。

教学难点：1、直线和圆的位置关系的性质与应用。

2、运用切线的判定定理解决问题。

3、应用切线长定理。

教学过程：一、直线和圆的三种位置关系1、复导入、回顾旧知回顾点和圆的位置关系，以及判断方法。

2、创设情境，提出问题通过唐诗和观察太阳升起的过程，引出直线和圆的位置关系。

3、探究发现，建构知识练一：在纸上画圆，利用直尺移动直线，观察直线和圆的位置关系，得出相离、相切、相交的定义和判别依据。

练二：利用所学知识判断直线和圆的位置关系，并进行数量分析。

练三：复点到直线的距离和垂线段的概念。

二、圆的切线1、复导入、回顾旧知回顾圆的性质和定理。

2、创设情境，提出问题通过实例引出圆的切线的概念和判定方法。

3、探究发现，建构知识练一：通过实验和观察，得出圆的切线的性质和定理。

练二：运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的性质解决问题。

练三：介绍切线长的概念和定理，并应用切线长的知识解决简单问题。

三、课堂练和作业练一：判断直线和圆的位置关系。

练二：判断一条直线是否是圆的切线。

作业：应用所学知识解决相关问题。

通过以上教学过程，学生能够掌握直线和圆的位置关系、圆的切线的判定方法和性质，以及切线长的概念和定理，并能够应用所学知识解决相关问题。

例1如图24-43，Rt△ABC的斜边AB=10cm，∠A=30°。

求以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切。

另外，以点C为圆心、半径分别为4cm和5cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？解：（1）过点C作边AB上的高CD。

人教版九年级上册数学作业课件第二十四章圆直线和圆的位置关系切线长定理

10．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( C ) A．EF>AE＋BF B．EF<AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
11．(2020·永州)如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③ 四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
15．(黄石中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为 △ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得 BD＝DF，连接CF，BE. (1)求证：DB＝DE； (2)求证：直线CF为⊙O的切线．
解：(1)∵E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC， ∵ ∠ BED ＝ ∠ BAE ＋ ∠ EBA ， ∠ DBE ＝ ∠ EBC ＋ ∠ DBC ， ∠ DBC ＝ ∠EAC，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE
3．(邵阳中考)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是 ⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( D ) A.15° B．30° C．60° D．75°
4．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若刻度尺，三角板都与圆相切且测得PA＝5 cm(点P为切点)，求铁环的半径．
解：(1)由切线长定理可得CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴C△PCD ＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝12，则PA的长为6

直线与圆的位置关系切线长定理

直线与圆的位置关系切线长定理在几何学中，直线与圆的位置关系一直是一个重要的研究课题。

其中，切线长定理是直线与圆的位置关系中的一个重要定理，它在解决直线与圆的位置关系问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍切线长定理的定义、推导过程及其应用。

一、切线长定理的定义切线长定理是指直线与圆的位置关系中，一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度关系。

具体来说，切线长定理可以表述为：一条直线与圆相切时，切线与切点之间的长度平方等于切点到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。

切线长定理可以用公式表示为：PT^2 = PC^2 - r^2其中，PT表示切线与切点之间的长度，PC表示切点到圆心的距离，r表示圆的半径。

二、切线长定理的推导切线长定理的推导可以通过几何方法和代数方法来进行。

这里我们将介绍一种代数方法的推导过程。

假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆的半径。

直线的方程为y = kx + c，其中k为直线的斜率，c为直线的截距。

首先，我们要找到直线与圆相切的条件。

直线与圆相切的条件是直线与圆的切点只有一个，也就是直线与圆的方程组有且只有一个解。

将直线方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程：(x-a)^2 + (kx+c-b)^2 = r^2解这个方程，得到直线与圆相切的条件：Δ = (k^2+1)(c-b)^2 - (1+k^2)(a^2+b^2-r^2) = 0其中，Δ为方程的判别式。

当Δ=0时，直线与圆相切。

接下来，我们要求出切线与切点之间的长度。

设直线与圆的切点为P(x0, y0)，则切点到圆心的距离为：PC^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2切线与切点之间的长度为：PT^2 = (x-x0)^2 + (y-y0)^2将直线方程代入PT^2的表达式中，得到：PT^2 = (x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2将PT^2和PC^2代入切线长定理的公式中，得到：(x-x0)^2 + (kx+c-y0)^2 = (x0-a)^2 + (y0-b)^2 - r^2 化简上式，得到切线长定理的公式：PT^2 = PC^2 - r^2三、切线长定理的应用切线长定理在解决直线与圆的位置关系问题时起着重要作用。

直线与圆的位置关系及切线的判定与性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第05讲直线与圆的位置关系及切线的判定与性质1. 了解直线与圆的三种位置关系；2. 了解圆的切线的概念；3. 掌握直线与圆位置关系的性质。

知识点1 直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；知识点2 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

知识点3 切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠知识点4 三角形的内切圆和内心1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2c b a -+ 。

（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。

C【题型1 直线与圆的位置关系的判定】【典例1】（2023•滨江区二模）已知⊙O 的直径为4，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O （）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【变式1-1】（2022秋•江汉区校级期末）已知⊙O 半径为4cm ，若直线上一点P 与圆心O 距离为4cm ，那么直线与圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【变式1-2】（2022秋•洪山区校级期末）圆的半径是6.5cm ，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm ，那么该直线和圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切P BAO B O A D【变式1-3】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定【题型2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】【典例2】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-1】（2023•西湖区校级二模）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O 上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD 的长为（）A．2B．4C．D．【变式2-2】（2023•九龙坡区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（）A．2B．2C．3D．3【变式2-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，，则线段AB的长是（）A．B．C．3D．6【典例3】（2023•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC上一点，以AD为直径的半圆O恰好切CB于点B．连接BD，若∠CBD＝21°，则∠C 的度数为（）A．42°B．45°C．46°D．48°【变式3-1】（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-2】（2023•浙江二模）如图，AC与⊙O相切于点A，B为⊙O上一点，BC经过圆心O，若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．40°C．25°D．50°【变式3-3】（2023•泰安三模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠E＝40°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠CDB等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【题型3切线的判定】【典例4】（2023•东莞市校级模拟）如图，∠AOB＝60°，以OB为半径的⊙O 交OA于点C，且OC＝CA，求证：AB是⊙O的切线．【变式4-1】（新疆期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB为直径的⊙O与BC相交于点E．在AC上取一点D，使得DE＝AD．求证：DE是⊙O的切线．【变式4-2】（昭通期末）如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD ＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【变式4-3】（大名县期末）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．求证：CD是⊙O的切线．【题型4 切线的性质与判定的综合运用】【典例5】（2023•牧野区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O 的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．【变式5-1】（2023•广西）如图，PO平分∠APD，P A与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求P A的长．【变式5-2】（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．【变式5-3】（2023•德庆县二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于点D，交边AB于点E，且BC＝BE．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半径．【题型5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】【典例6】（2022秋•金东区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7B．8C．9D．16【变式6-1】（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【变式6-2】（2022秋•林州市期中）如图，P A，PB分别切⊙O于点A，B，CD 切⊙O于点E，且分别交P A，PB于点C，D，若P A＝6，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．12D．10【变式6-3】2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝8，则△PCD 的周长为（）A．8B．12C．16D．20【题型6 三角形的内切圆与内心】【典例7-1】（2023•炎陵县模拟）如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A ＝70°，则∠BOC的度数是（）A．140°B．135°C．125°D．110°【典例7-2】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步B．5步C．6步D．8步【变式7-1】（2023•娄底一模）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【变式7-2】（2022秋•丰宁县校级期末）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C ＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（）（结果保留π）A．πB．2πC．3πD．4π【变式7-3】（2022秋•南开区校级期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．21．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．45°2．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交P A于点P，则∠P的度数是（）A．25°B．35°C．40°D．50°4．（2023•滨州）如图，P A，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为．5．（2023•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为．6．（2023•浙江）如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是．7．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．（1）求证：四边形ABOH为矩形．（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．8．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．9．（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC 交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．1．（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定2．（2022秋•广阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内B．直线BC与⊙A相离C．点C在⊙A上D．直线BC与⊙A相切3．（2023•绿园区校级模拟）将一个含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点O与⊙O的圆心重合，一条直角边AB与⊙O相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C．则∠OCB为（）A．60°B．65°C．85°D．90°4．（2023•船营区一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC＝PC，则∠P的度数是（）A．15°B．20°C．30°D．45°5．（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC ＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断6．（2022秋•聊城期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°7．（2023•婺城区模拟）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC ＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．13cm B．8cmC．6.5cm D．随直线MN的变化而变化8．（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．9．（2022•南安市一模）如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．10．（2022秋•越秀区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线．11．（2022秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线．12．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．13．（2023•零陵区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上，BE平分∠ABC，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝4，求⊙O的半径长．14．（2023•新抚区模拟）如图，AC为⊙O的直径，CB是⊙O的切线，CB＞AC，D为AB的中点，E在BC上，CE＜BE，连接DE，DE＝BC．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若CE＝2，EB＝8，求⊙O的半径．。

直线与圆的位置关系知识点

直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.注：证明直线是圆的切线的方法：已知点在圆上，连半径证垂直；未知点在圆上，作垂直证垂线段的长度等于圆的半径。

※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.[补充]（只做了解）1.圆的外切四边形两组对边和相等2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角4.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等5.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.二、练习题一、选择题 1、（2013济宁）、如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 A ．4 B ．33C ．6D ．322、(20XX 年山东东营)如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD ，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论：①AE=DF ；②FH ∥AB ；③△DGH ∽△BGE ；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF ．其中正确结论的个数是（ D ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43、(20XX 年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为，则图中弓形的面积为（）A 。

直线与圆切线长定理弦切角

直线与圆切线长定理弦切角直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么（1）直线l和圆O相交d2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径。

3. 切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心5. 关于切线的性质主要有五个①切线和圆只有一个公共点②切线和圆心的距离等于圆的半径③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径例题讲解例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝6 cm，直角边AC＝3 cm.（1）若以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（2）若以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（3）若以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________；（4）若以C为圆心的圆与边AB有一个交点，则圆的半径r的取值范围____________；（5）若以C为圆心的圆与边AB没有交点，则圆的半径r的取值范围______________. 变式练习：1. 已知∠AOB＝30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动，则当OM=_______________ cm时，⊙M与OB相切.第1题第2题第3题2. 如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．3. 如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为______． 4. 如图，直线y3x＋3与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆3P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（） A．2B．3C．4D． 5如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是_____________．5. 在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m,0)，半径是2，如果⊙M与y轴相切，那么m=_____；6. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离7. ⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP＝5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是______. 8. 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为_________.9. 如图，P为正比例函数y3x上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y) 2(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标；(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围.10. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm.问：当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？．．11. 如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．A二、切线长定理：1. 切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 4. 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．三、弦切角定理：1. 弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3. 弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．例1：已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13cm，PED的周长为24cm，APB40，求：（1）⊙O的半径；（2）EOD的度数．例2：如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交AM 于D，交BN于C，设AD x,BC y．（1）求y与x的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t30t m0的两根，求x、y的值．（3）求COD的面积．M2巩固练习1. 下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．过圆直径外端点的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．到圆心的距离等于半径的直线2. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（） A．点(0，3)B．点(2，3) C．点(5，1)D．点(6，1)第2题第3题第4题3. 如图，在△ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是（） A．4.75B．4.8C．5D．4. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=M与轴相交于点A(2，5. 如图，与轴相切于点C，则圆心M的坐标是． 0)，B(8，0)，6. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B，较短边AB＝8cm.若读得BC 长为acm，则用含a的代数式表示r为 .7. 如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．B8. 已知：如图，是O上一点，半径OC的延长线与过点的直线交于点，OC BC，1AC OB．（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD45°，OC2，求弦CD2的长．9. 如图，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。

24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理

C
证明：延长PO交⊙O于点C，连接AC、BC，
典例精析
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点 D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为，则 △PDE的周长为______，∠DOE的度数为______．
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
C
A
B
r
O
D
解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm)
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
3
知识点
三角形的内心的性质
问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？

直线与圆的位置关系-切线长定理

·
O
P
A
B

切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
·
·
切线和切线长
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
O
P
A
B
比一比
O A B P 思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 折一折
130°
画一画
01
02
O
。
A
B
P
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP= °,连接OP，可知A、B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
90
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
”
01
02
03
04
05
06
07
08
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA
OA=3
牛刀再试
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
E
A
Q
P
F
B
O
易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB
∴ PE+EQ=PA=12cm
24.2.2(3)直线与圆的位置关系(三) 切线长定理
202X
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演讲人姓名
50°
1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？

九年级数学下直线与圆的位置关系-第二讲切线长定理、弦切角

切线长定理【知识要点】1、切线长的概念．如图,P 是⊙Ｏ外一点,PA,ＰB 是⊙O 的两条切线，我们把线段P Ａ，ＰＢ叫做点P 到⊙O 的切线长.２、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.３、切线长定理的基本图形研究如图，ＰＡ，PB 是⊙O 的两条切线，A,Ｂ为切点.直线ＯP 交⊙O 于点D,E,交A Ｐ于C (１)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3）写出图中所有的相似三角形; (４)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础．【典型例题】：例1．如图所示,过半径为５cm 的⊙O 外一点P 引⊙O 的切线ＰA 、P Ｂ，连结PO 交⊙O 于点M,过M 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于点E 、D ，如果OP=13c ｍ,则PED 的周长为例2.已知：如图,P 为⊙O 外一点,PA ，ＰB 为⊙O 的切线, Ａ和B 是切点，ＢC 是直径.求证：AC ∥O Ｐ．例3.如图所示，在梯形A ＢC Ｄ中,ＡB ∥CD,AD ＝3，B Ｃ=2,半圆O 与ＡＤ、DC 、BC 都相切，且圆心O 在AB 上，则A Ｂ＝．· A PE M DBOADCB· O例４．如图所示,已知过⊙O 的直径AB 的两端及A Ｂ上任一点E 作⊙O 的三条切线A Ｄ、B Ｃ和CD ，它们分别交于D 、C 两点．求证:BC AD •为定值.例５．如图，已知A Ｄ是⊙Ｏ的直径，AB 、D Ｃ是⊙O 的两条切线,且ＡB+CD=B Ｃ,求证：BC 与⊙O 相切【典型练习】一、填空题1．如图１,AB 、ＡC 是⊙O 的切线,将OB 延长一倍到D ，若∠D ＡC=︒60，则∠D= . 2.如图2，PC 为⊙O 的切线，Ｃ是切点，P Ｏ交⊙O 于点Ａ，过A 的切线交P Ｃ于点Ｄ，ＣD:ＤP ＝1:2,ＡＤ＝2ｃm ，则⊙O 的半径长为 cm.3．如图3，⊙O 内切于等腰梯形A ＢＣD ，圆的半径r=5ｃｍ,等腰梯形的中位线长=12cm ，则梯形的周长为ｃm ，面积为 2cm4.如下图1,ABC ∆外切于⊙Ｏ,Ｄ、E 、F 为切点,AB ＝5,B Ｃ=７，AC=８，则AD ＝ ,BE ＝，CF= .5．如下图2，ＰA 、P Ｂ是⊙O 的切线，A 、B 为切点，若⊙O 的半么为5,A Ｂ=８，则P Ａ= .·ADO BCE· AB CDO· ABODC图1 · AOD C P 图2· AODBC图3二、选择题。

切线及切线长定理(解析版)

切线及切线长定理（解析版）【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.要点二、切线的性质和判定定理1．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线判定：过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。

要点三、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.【同步训练】类型一、切线的判定与性质1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．【答案与解析】证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．∵ AD 平分∠BAC，∴ DF＝BD．∴ AC 与⊙D 相切．2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵ AC 是圆 O 的直径，∴ ∠ADC=90°.∴ △CDB 是直角三角形.∵ E 是 BC 的中点，∴ DE=EB=EC，∴ ∠ECD=∠EDC。