2015届深圳二模文科数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科） 2015.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+$$$的系数公式：1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑$
，
a y bx =-$$，其中x ，y 是数据的平均数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位，复数11i
+在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于
A ．4
B ．4-
C ．1-
D ．2
3.已知集合{}
10A x x =->，{}
21x
B x =>，则A B =I
A ．∅
B ．{}01x x <<
C ．{}0x x <
D ．{}
1x x >
4.命题0:0p x ∃>，00
1
2x x +=，则p ⌝为 A ．0x ∀>，12x x +
= B ．0x ∀>，12x x +≠ C ．0x ∀>，12x x +≥ D ．0x ∃>，1
2x x
+≠
5.已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是
A.l α⊥，//l β
B.//l α，//l β
C.α⊥γ，γβ⊥
D.//αγ，//γβ 6.已知某路口最高限速50km /h ，电子监控测得连续6辆汽车的速
度如图1的茎叶图（单位：km /h ）．若从中任取2辆，
则恰好有1辆汽车超速的概率为 A.415 B.25 C.815 D.35 7.将函数π
()sin(2)3
f x x =+的图象向右平移ϕ个单位，得到的图象关于原点对称，则ϕ的
最小正值为
A ．
π6 B ．π3 C ．5π12 D ．7π12
8.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆03422=+-+y y x 相切，则
此双曲线的离心率等于 A ．
1
2
B.2
C.3 D ．2 9.如图2所示的程序框图的功能是求2+2+2+2+2的值，则框图中的①、②两处应 分别填写
A ．5?i <，2S S =+
B ．5?i ≤，2S S =+
C ．5?i <，2S S =+
D ．5?i ≤，2S S =+
10.定义在[+t ∞，）上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，
存在12x x <，使得12()()f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[+t ∞，）上的“追逐函数”.
已知2()f x x =，下列四个函数：①()g x x =；②()ln 1g x x =+；③()21x g x =-；④1
()2g x x
=-
.其中是()f x 在[1+∞，）上的“追逐函数”的有 A ．1个 B.2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为
必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．
（图2） 输出 开始
否
是 2,1
S i ==S 结束 1
i i =+①
②
（图1）
3 8
44 1 3 6
5 5 8
俯视图 2 2 主视图 2 2 左视图 图3
俯视图
11.等差数列{}n a 中，44a =，则1592a a a ++= ．
12.若实数,x y 满足2221x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，则22x y +的最小值为 ．
13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的
得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s
y s =+⎧⎨=-⎩
（s 为参数）与
曲线C ：2
3x t y t =+⎧⎨=⎩
（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 、AC 是⊙O 的两条
切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=︒，6BC =， 则⊙O 的半径为 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知π11sin(
)214A +=,1
cos(π)2
B -=-. （1）求sin A 与B 的值；
（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值.
（图4）
⋅A B C
O
PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；
（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$； （3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时
PM2.5的浓度为多少（保留整数）？
时间 周一
周二
周三
周四
周五
车流量x （万辆）
50
51 54 57 58 PM2.5的浓度y （微克/立方米）
69 70 74 78 79
50 52 54 56 58
72 70
74 76 78
80 y x
O
如图5，ABC ∆是边长为4的等边三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （1）证明：//DE 平面ABC ；
（2）证明：AD ⊥BE .
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*n ∈N ）. （1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由.
D
C A B
E （图5）
已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，122
1
k k m =-
(1m >)，动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径； ②过点N ；③直径2AB NB =．求m 的取值范围． 21．（本小题满分14分）
已知函数()ln (,)R b f x x ax a b x =-+∈，且对任意0x >，都有0)1
()(=+x
f x f . （1）求a ，b 的关系式；
（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围并证明0)2
(2
>a
f ；
（3）在（2）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由．。