11动量定理
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第11章 动量定理
11-1 汽车以36 km/h 的速度在平直道上行驶。设车轮在制动后立即停止转动。问车轮对地面的动滑动摩擦因数f 应为多大方能使汽车在制动后6 s 停止。
解:将汽车作为质点进行研究,制动后汽车受重力W ,地面约束反力F N 和与运动方向相反的摩擦阻力F 作用,以汽车运动方向为Ox 轴,如图(a )。
根据动量定理在x 轴的投影式,有
x Ox x I mv mv =-
其中 m/s 10km/h 36,0===O x x v v
f Wt t fF Ft I x -=-=-=N
当t = 6 s 时,有
6100⋅=⋅-fW g
W , f =0.17
11-3 图示浮动起重机举起质量m 1=2 000 kg 的重物。设起重机质量m 2=20 000 kg ,杆长OA =8 m ;开始时杆与铅直位置成60°角,水的阻力和杆重均略去不计。当起重杆OA 转到与铅直位置成30°角时,求起重机的位移。
解:取浮动起重机与重物为研究对象,由于不受水平方向外力
作用且系统原来静止,故其质心的水平坐标不变,取坐标系
xy O ',其中y O '轴通过船体中心的初位置。设起重机位移为
x ,船宽一半为a ,由质心坐标公式得
1)起重杆OA 与铅直线成60°角时(图b )
)60sin 8()60sin (2
112111︒++=++︒=a m m m m m a A O m x C 2)起重杆OA 与铅直线成30°角时(图a )
)30sin 8()30sin (2
1121212︒+++=++︒++=
a m m m x m m x m A O a x m x C 21C C x x = m 266.020
2)2123(28)30sin 60(sin 8211=+-⨯=︒-︒+=m m m x 故起重机位置向左移动了0.266 m 。
11-5 平台车质量kg 5001=m ,
可沿水平轨道运动。平台车上站有一人,质量kg 702=m ,车与人以共同速度0v 向右方运动。如人相对平台车以速度m/s 2r =v 向左方跳出,不计平台车水平方向的阻力及摩擦,问平台车增加的速度为多少?
解:以车与人为质点系进行研究,因为质点系在水平方向不受外力作用,见图(a ),故系统在水平方向动量守恒。设以水平向右为x 轴正向,人跳出时平台车速度为v ,则有
)()(r 21021v v m v m v m m -+=+
代入数据解得
246.00+=v v
m/s 246.00=-=∆v v v
11-7 图示椭圆规尺AB 的质量为2m 1,曲柄OC 的质量为m 1,而滑块A 和B 的质量均为m 2。已知:OC=AC=CB=l ;曲柄和尺的质心分别在其中点上;曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常数。当开始时,曲柄水平向右,求此时质点系的动量。
解:将质点系统分为两部分,第一部分为尺AB 和滑块A 、B ,由于对称其质心在C 点,第二部分为曲柄OC ,其质心在OC 的中点C 1上,根据质点系的动量计算式,有
1121)22(C C m m m v v p ++=
因为v C 和v C 1均垂直于OC 曲柄,故动量p 也垂直于OC 。将ωl v v C C ==12 代入上式得 )45(2
21m m l p +=ω (方向如图)
11-9 求题11-4中三棱柱A 运动的加速度及地面的支持力。
解:1)水平方向外力为零,设A 的加速度为a A ,由图(a ),
r e a a a B +=
)cos (33,r e B A B B A A e =-+==θa a m a m m m a a
即 θc o s 4r B A B a m a m =,θcos 4r A a a = (1)
2)B 块受力和加速度分析如图(b )
a r 方向:)cos (sin e r B B θθa a m g m -=
式(1)代入上式,即 θθ
θcos cos 4sin A a a g A -=
θθθ2A cos 4cos sin aA a g -= (2)
θ
θθθθθ22sin 3cos sin cos 4cos sin +=-=g g a A (3) 3)图(a ),N F 方向 θsin 3r B N B B a m F g m g m =-+ (4)
式(3)代入式(1),得 θ
θθ2A r cos 4sin 4cos 4-==g a a 代入式(4)得: θ
θθθ2B 2B 22B B N sin 312sin 334cos 4sin 44+=+=--=g m g m g m g m F
11-11 在图示曲柄滑杆机构中曲柄以等角速度ω绕O 轴转动。开始时,曲柄OA 水平向右。已知:曲柄的质量为m 1,滑块A 的质量为m 2,滑杆的质量为m 3,曲柄的质心在OA 的中点,l OA =;滑杆的质心在点C ,而2
l BC =。求:(1)机构质量中心的运动方程;(2)作用点O 的最大水平力。
解:1)以整个系统为研究对象,建立如图所示直角坐标Oxy 。求得系统的质心坐标为
t l m m m m m m m m t l m t l m y t l m m m m m m m m m l m m m m l t l m t l m t l m x C C ωωωωωωωsin )
(22sin sin 2cos )(222)(2)2cos (cos cos 2321213212132132132133
21321+++=+++⋅=+++++++=+++++=
2)以整个系统为研究对象,其受力分析如图(a ),在x 方向系统只受O 点反力Ox F 作用,根据质心运动定理在x 轴上的投影式得: C Ox a m m m F )(321++=
其中 t l m m m m m m x
a C C ωωcos )
(2222321321++++-== 则 t l m m m F Ox ωωcos 2
222321++= 故作用在O 处最大水平反力 2321max 222ωl m m m F Ox ++=
11-13 水流以速度v 0=2 m/s 流入固定水道,速度方向与水平面成︒90角,如图所示。水流进口截面积为0.02 m 2,出口速度v 1=4 m/s ,它与水平面成︒30角。求水作用在水道壁上的水平和铅直的附加压力。
解:将水道中的水流作为研究对象,由教材例12-2知管壁对于流体的附加动反力为
)(01v v F -=ρV q (1)
3
kg/m 1000=ρ
由不可压缩流体的连续性定律知
1100A v A v q V ==
将式(1)参照题图向x ,y 轴投影,得 []ρρ
)(30sin 30cos 0100100v v A v F v A v F y x --︒-=⋅︒-=-
将 ,m 02.0 ,m/s 2200==A v m/s 41=v 代入,得
N 139=x F (方向向左), 0=y F 水对管壁作用的附加压力
N 139='x F (方向向右)
,0='y F x F '方向与x F 方向相反。