四川省泸州市2016届高三第三次教学质量诊断性考试数学(文)
四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题(解析版)
a四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3}，A={A||A|≤2}，则A∩A=()A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】B【解析】解：∵集合A={1,2，3}，A={A||A|≤2}，∴A∩A={1,2}．故选：B．直接利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(1+AA)(1+A)是纯虚数，则实数A=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵(1+AA)(1+A)=(1−A)+(1+A)A是纯虚数，1−A=0，即A=1．∴{1+A≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：甲队677877乙队6767972A. 16B. 13C. 12D. 1【答案】B【解析】解：甲组数据为：6，7，7，8，7，7；乙组数据为：6，7，6，7，9，7；所以甲组数据波动较小，方差也较小；计算它的平均数为A=7，方差为A2=16×[(−1)2+0+0+12+0+0]=13．故选：B．根据两组数据的波动性大小判断方差大小，再计算平均数与方差的值．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作A A(A=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩A A，(1≤A≤60) k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的AA为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆(如图)，则这个几何体的内切球的体积为()A. √2A3B. √3A3C. 4A3D. 2A【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3；其正视图为等腰三角形，且内切圆的半径满足1 2A(3+3+2)=12⋅2⋅√32−12，解得A=√22；∴几何体的内切球体积为A=4A3×(√22)3=√2A3．故选：A．由三视图知该几何体是圆锥，结合图中数据求出圆锥内切球的半径，再计算内切球的体积．本题考查了由三视图求几何体的内切球体积的应用问题，是基础题．6.若函数A(A)=2sin(2A+A)(|A|<A)的图象向左平移A个单位长度后关于y轴对称，则函数A(A)在区间[0,A2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数A(A)=2sin(2A+A)(|A|<A2)的图象向左平移A12个单位长度后图象所对应解析式为：A(A)=2sin[2(A+A12)+A]=2sin(2A+A6+A)，由A(A)关于y轴对称，则A6+A=AA+A2，A=AA+A3，A∈A，又|A|<A2，所以A=A3，即A(A)=2sin(2A+A3)，当A∈[0,A2]时，所以2A+A3∈[A3,4A3]，A(A)AAA=A(4A3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：A(A)=2sin[2(A+A12)+A]=2sin(2A+A 6+A)，由A(A)关于y轴对称，则A6+A=AA+A2，A=AA+A3，A∈A，又|A|<A2，所以A=A3，由三角函数在区间上的最值得：当A∈[0,A2]时，所以2A+A3∈[A3,4A3]，A(A)AAA=A(4A3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．7.若函数A(A)=√A−A A(A>0,A≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log A711+log A1114=()A. −2B. −1C. 0D. 1【答案】B【解析】解：因为A (A )为[0,1]上的递减函数， 所以A (0)=1，A (1)=0，即{√A −1=1√A −A =0，解得A =2 ∴log 2711+log 2 1114=log 2(711×1114)=−1故选：B ．根据函数A (A )的单调性得A (0)=1，A (1)=0，解得A =1，再代入原式可得． 本题考查了函数的值域，属中档题．8. 在△AAA 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A cos A +A cos A =4sin A ，则△AAA 的外接圆面积为( )A. 16AB. 8AC. 4AD. 2A【答案】C【解析】解：设△AAA 的外接圆半径为R ， ∵A cos A +A cos A =4sin A ，∴由余弦定理可得：A ×A2+A 2−A 22AA+A ×A 2+A 2−A 22AA=2A 22A=A =4sin A ，∴2A =Asin A =4，解得：A =2，∴△AAA 的外接圆面积为A =AA 2=4A ． 故选：C ．设△AAA 的外接圆半径为R ，由余弦定理化简已知可得A =4sin A ，利用正弦定理可求2A =Asin A =4，解得A =2，即可得解△AAA 的外接圆面积． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9. 若正实数x ，y 满足A +A =1，则4A +1+1A的最小值为( ) A. 447B. 275C. 143D. 92【答案】D【解析】解：∵A >0，A >0，A +A =1， ∴A +1+A =2，4A +1+1A=A +1+A 2⋅(4A +1+1A)=12(1+4+4AA +1+A +1A)≥12(5+2√4)=92(当接仅当A =13，A =23取等号)，故选：D．将A+A=1变成A+1+A=2，将原式4A+1+1A=A+1+A2⋅(4A+1+1A)=12(1+4+4A A+1+A+1A)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．10.在正方体AAAA−A1A1A1A1中，点M，N分别是线段AA1和A1A上不重合的两个动点，则下列结论正确的是()A. AA1⊥AAB. A1A//AAC. 平面AAA//平面A1AA1D. 平面AAA⊥平面A1A1A1A1【答案】A【解析】解：在正方体中，易证AA1⊥平面A1AAA1，又AA⊂平面A1AAA1，∴AA1⊥AA，故选：A．利用线面垂直的判定方法易证AA1⊥平面A1AAA1，在用线面垂直的性质定理可得AA1⊥AA．此题考查了线面垂直的判定和性质，属容易题．11.已知A(3,2)，若点P是抛物线A2=8A上任意一点，点Q是圆(A−2)2+A2=1上任意一点，则|AA|+|AA|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：抛物线A2=8A的焦点A(2,0)，准线l：A=−2，圆(A−2)2+A2=1的圆心为A(2,0)，半径A=1，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知|AA|=AA|，则|AA|+|AA|≥|AA|+|AA|−A=|AA|+|AA|−1，∴当A、P、B三点共线时|AA|+|AA|取最小值，∴|AA|+|AA|≥|AA|+|AA|−1≥(3+2)−1=4．即有|AA|+|AA|取得最小值4．故选：B．求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义和当A、P、B三点共线时|AA|+|AA|取最小值，结合图象即可求出．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，注意运用抛物线的定义和圆的性质，考查转化能力，计算能力，属于中档题．12.设函数A(A)是定义在(0,A2)上的函数，是函数A(A)的导函数，若，A(A6)=1，(A为自然对数的底数)，则不等式A(A)<2sin A 的解集是()A. (0,A6) B. (0,12) C. (A6,A2) D. (12,A2)【答案】A【解析】解：令A(A)=A(A)sin A，A∈(0,A2)，则A′(A)=A′(A)sin A−A(A)cos Asin2A>0，故A(A)在(0,A2)递增，而A(A6)=A(A6)sin A6=2，故A(A)<2sin A，即A(A)<A(A6)，故0<A<A，故选：A．令A(A)=A(A)sin A，A∈(0,A2)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sin A=4，则cos2A=______．【答案】−725【解析】解：∵sin A=4，则cos2A=1−2sin2A=1−2×16=−7，．故答案为：−725代入运算求得结果．直接利用利用二倍角的余弦公式cos2A=1−2sin2A，把sin A=45本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题．14.已知A∈A，向量A⃗⃗⃗⃗ =(A−1,1)，A⃗⃗⃗⃗ =(A,−2)，且A⃗⃗⃗⃗ ⊥A⃗⃗⃗⃗ ，则A=______．【答案】−1或2【解析】解：∵向量A⃗⃗⃗⃗ =(A−1,1)，A⃗⃗⃗⃗ =(A,−2)，且A⃗⃗⃗⃗ ⊥A⃗⃗⃗⃗ ，∴A⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =A(A−1)−2=0则A=−1或2故答案为：−1或2．由已知及向量的数量积的性质可知A⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.若关于x的方程3|A−2|+A cos(2−A)=0只有一个实数解，则实数k的值为______．【答案】−1【解析】解：由3|A−2|+A cos(2−A)=0可得3|A−2|=−A cos(2−A)，∴函数A=3|A−2|与A=−A cos(2−A)的函数图象只有一个交点．又两函数的对称轴均为直线A=2，∴两函数的交点必在对称轴上，即为(2,1)，∴−A=1，即A=−1．故答案为：−1．根据函数A=3|A−2|与A=−A cos(2−A)的对称性和交点个数得出交点坐标，从而得出k的值．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．16. 已知双曲线A 2A2−A 2A2=1(A >0,A >0)右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠AAA =A6，则双曲线的离心率e 的值是______．【答案】1+√3【解析】解：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AA ⊥AA ， 在AA △AAA 中，|AA |=A ， ∴|AA |=2A ，在直角三角形ABF 中，∠AAA =A6，可得|AA |=2A sin A6=A ，|AA |=2A cos A 6=√3A ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形， ，∴A =AA =2√3−1=√3+1．故答案为：√3+1．运用三角函数的定义可得|AA |=2A sin A6=A ，|AA |=2A cos A6=√3A ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3A −A =2A ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知等差数列{A A }是递增数列，且A 1A 5=9，A 2+A 4=10．(1)求数列{A A }的通项公式； (2)若A A =1AA ⋅A A +1(A ∈A ∗)，求数列{A A }的前n 项和A A ．【答案】解：(1)设首项为A 1，公差为d 的等差数列{A A }是递增数列， 且A 1A 5=9，A 2+A 4=10． 则：{A 1(A 1+4A )=9A 1+A +A 1+3A =10，解得：A 1=1或9，A 5=9或1， 由于数列为递增数列， 则：A 1=1，A 5=9． 故：A =2则：A A=1+2(A−1)=2A−1．(2)由于A A=2A−1，则：A A=1A A⋅A A+1=1(2A−1)(2A+1)，=14A2−1=1(2A+1)(2A−1)，=12(12A−1−12A+1)．所以：A A=A1+A2+⋯+A A，=12[1−13+13−15+⋯+12A−1−12A+1]，=12(1−12A+1)，=A2A+1．【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240,260)组的概率．【答案】解：(1)由直方图的性质得：(0.002+0.0095+0.011+0.0125+A +0.005+0.0025)×20=1， 解方程得A =0.0075， ∴直方图中A =0.0075． 年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5， ∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则：(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(220)=0.5， 解得A =224，∴年平均销售量的中位数为224．(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有：0.0125×20×100=25， 年平均销售量为[240,260)的农贸市场有：0.0075×20×100=15， 年平均销售量为[260,280)的农贸市场有：0.0025×20×100=5， ∴抽取比例为：1125+15+10+5=15，∴年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3家， 年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2家，年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1家，故年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．(3)由(2)知年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动， 基本事件总数A =A 62=15，恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数A=A31A31=9，∴恰有1家在[240,260)组的概率A=AA=915=35．【解析】(1)由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数．(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有25，年平均销售量为[240,260)的农贸市场有15，年平均销售量为[260,280)的农贸市场有5，由此利用分层抽样能求出年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家．(3)年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家.设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数A=A62=15，恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数A=A31A31=9，由此能求出恰有1家在[240,260)组的概率．本题考查频率、众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，在三棱柱AAA−A1A1A1中，四边形AA1A1A是长方形，A1A1⊥AA，AA1=AA，AA1∩A1A=A，AA1∩A1A=A，连接EF．(1)证明：平面A1AA⊥平面AA1A1；(2)若AA=3，A11A=4√3，∠A1AA=2A3，D是线段A1A上的一点，且A1A=4AA，试求A A1−AAAA A−AAA的值．【答案】证明：(1)∵在三棱柱AAA−A1A1A1中，AA//A1A1，A1A1⊥AA，∴A1A1⊥A1A1，又在长方形AAA1A1中，A1A1⊥AA1，A1A1∩AA1=A1，∴A1A1⊥平面AA1A1A，∵四边形AA1A1A与四边形AA1A1A均是平行四边形，第8页，共17页且AA1∩A1A=A，AA1∩A1A=A，连结EF，∴A为A1A的中点，F为A1A的中点，EF为△A1AA的中位线，∴AA//AA，又AA//A1A1，∴AA//A1A1，又A1A1⊥平面AA1A1A，∴AA⊥平面AA1A1A，AA1⊂平面AA1A1A，∴AA⊥AA1，又在平行四边形A1AAA1中，AA1=A1A1，∴平行四边形A1AAA1是菱形，由菱形的性质得对角线A1A⊥AA1，AA∩A1A=A，∴AA1⊥平面A1AA，又AA1⊂平面AA1A1，∴平面A1AA⊥平面AA1A1．解：(2)由(1)知AA1⊥平面A1AA，A1A⊥平面AA1A1，∴AA的长为三棱锥A−AAA的高，A1A的长为三棱锥A1−AAA的高，∵在菱形AAA1A1中，A1A=4√3，∠A1AA=2A3，∴在△A1AA中，由余弦定理得AA=AA1=AA1=4，∴A1A=12A1A=2√3，AA=12AA1=12AA=2，又在AA△A1AA中，A△A1AA =12×4√3×3=6√3，∵A1A=4AA，∴A△AAA=1A△A1AA=3√3，∴A A−AAA=13×3√32×2=√3，又在AA△AA1A1中，A△AA1A1=1×4×3=6，又∵A，F分别为AA1，AA1中点，∴A△AAA=14A△AA1A1=32，∴A A1−AAA =13×32×2√3=√3，∴A A1−AAAA A−AAA =√3√3=1．【解析】(1)推导出A1A1⊥A1A1，A1A1⊥AA1，从而A1A1⊥平面AA1A1A，连结EF，推导出AA//AA，从而AA//A1A1，推导出AA⊥平面AA1A1A，从而AA⊥AA1，进而平行四边形A1AAA1是菱形，由菱形的性质得对角线A1A⊥AA1，从而AA1⊥平面A1AA，由此能证明平面A1AA⊥平面AA1A1．(2)AA1⊥平面A1AA，A1A⊥平面AA1A1，得AE的长为三棱锥A−AAA的高，A1A的长为三棱锥A1−AAA的高，由余弦定理得AA=AA1=AA1=4，从而第8页，共17页A 1A =12A 1A =2√3，AA =12AA 1=12AA =2，推导出A △AAA =14A △A 1AA =3√32，由此能求出A A 1−AAAA −AAA 的值． 本题考查空间位置关系、锥体的体积公式及其应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知，椭圆C 过点A (32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】解：(1)由题意A =2，可设椭圆方程为A 2A 2+A 2A 2=1，∴{254A 2+94A 2=1A 2=A 2+4，解得A 2=10，A 2=6，∴椭圆的方程为A 210+A26=1， 证明(2)设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，设直线AE 的方程为A =A (A −32)+52，代入A 210+A 2=1得(3A 2+5)A 2+3A (5−3A )A +3(−32A +32)2−30=0，∴A 1=3A (3A −5)3A 2+5−32， ∴A 1=AA 1−32A +52，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以−A 代k ，可得A 2=9A 2+30A −156A 2+10−32， ∴A 2=AA 2−32A +52， ∴直线EF 的斜率A =A 2−A 1A2−A 1=−A (A 1+A 2)+3AA 2−A 1=1【解析】(1)由题意A =2，可设椭圆方程为A 22+A 22=1，可得{254A 2+94A 2=1A 2=A 2+4，解得即可，(2)设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，设直线AE 的方程为A =A (A −32)+52，代入A210+A 26=1，求出点E 的坐标，再将k 换为−A ，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，弦的斜率问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识．21.已知A(A)=A(ln A)2+ln AA．(1)求A(A)在(1,0)处的切线方程；(2)求证：当A≥1时，A(A)+1≥0．【答案】解：(1)A′(A)=(2A ln A+1)−[A(ln A)2+ln A]A2，故A′(1)=1，故切线方程是：A−A−1=0；(2)令A(A)=A−ln A−1，A′(A)=1−1A，令A′(A)>0，解得：A>1，令A′(A)<0，解得：0<A<1，故A(A)在(0,1)递减，在(1,+∞)，故A(A)极小值=A(1)=0，故A≥ln A+1，∵A≥1，∴A(A)+1=A(ln A)2+ln A+AA ≥(ln A)2+ln A+AA≥(ln A)2+ln A+ln A+1A ≥(ln A+1)2A≥0，故A≥1时，A(A)+1≥0．【解析】(1)求出函数的导数，计算A′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出A≥ln A+1，由放缩法求出A(A)+1≥0即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线A1的参数方程为{A=2AA=2A2(其中t为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线A2的极坐标方程为A sin(A−A4)=−√22．(1)把曲线A1的方程化为普通方程，A2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线A1，A2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P作曲线A2的垂线交曲线A1于E，F两点，求|AA||AA|⋅|AA|．【答案】解：(1)曲线A1的参数方程为{A=2AA=2A2(其中t为参数)，转换为直角坐标方程为：A2=2A．曲线A2的极坐标方程为A sin(A−A4)=−√22．转换为直角坐标方程为：A−A−1=0．(2)设A(A1,A1)，A(A2,A2)，且中点A(A0,A0)，联立方程为：{A2=2AA−A−1=0，整理得：A2−4A+1=0所以：A1+A2=4，A1A2=1，由于：A0=A1+A22=2，A0=1．所以线段AB的中垂线参数方程为{A=2−√22AA=1+√22A(A为参数)，代入A2=2A，得到：A2+4√2A−6=0，故：A1+A2=−4√2，A1⋅A2=−6，所以：AA=|A1−A2|=√(A1+A2)2−4A1A2=2√14，|AA||AA|=|A1⋅A2|=6故：|AA||AA|⋅|AA|=2√146=√143．【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数A(A)=|A−A|，A(A)=|A+A|，其中A>0，A>0．(1)若函数A(A)的图象关于直线A=1对称，且A(A)=A(A)+|2A−3|，求不等式A(A)>2的解集．(2)若函数A(A)=A(A)+A(A)的最小值为2，求1A +1A的最小值及其相应的m和n的值．【答案】解：(1)函数A(A)的图象关于直线A=1对称，∴A=1，∴A(A)=A(A)+|2A−3|=|A−1|+|2A−3|，①当A≤1时，(A)=3−2A+1−A=4−3A>2，解得A<23，②当1<A<32时，A(A)=3−2A+A−1=2−A>2，此时不等式无解，第8页，共17页②当A≥32时，A(A)=2A−3+A−1=3A−4>2，解得A>2，综上所述不等式A(A)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵A(A)=A(A)+A(A)=|A−A|+|A+A|≥|A−A−(A+A)|=|A+ A|=A+A，又A(A)=A(A)+A(A)的最小值为2，∴A+A=2，∴1 A +1A=12(1A+1A)(A+A)=12(2+AA+AA)≥12(2+2√AA⋅AA)=2，当且仅当A=A=1时取等号，故1A +1A的最小值为2，其相应的A=A=1．【解析】(1)先求出A=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出A+A=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。
四川省泸州市2016-2017学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解析
四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{0，1} D．{0，1，2}2．复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=π4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）A．B．C．D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．97．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A ．[1，25]B ．[4，25]C ．[1，4]D ．[5，24]9．下列命题正确的是（ ）A ．“b 2=ac”是“a，b ，c 成等比数列”的充要条件B ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＞0”C ．“若a=﹣4，则函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D ．“函数f （x ）=lnx 2与函数g （x ）=的图象相同”10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0=______．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为______．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是______．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x=______．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n =______．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD （其中AB=BC=CD=6米），靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；（2）当BC ∥l ，且AD ＞BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣x ≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）A ．∅B ．{0}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A ，再求A∩B．【解答】解：集合A={x|x 2﹣x ≤0}={x|x （x ﹣1）≤0}={x|0≤x ≤1}=[0，1]B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C ．2．复数z=（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】复数求模．【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==， 故选：B ．3．函数f （x ）=sin （x+）图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x=﹣B ．x=C ．x=D ．x=π 【考点】正弦函数的对称性．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f （x ）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数f （x ）=sin （x+），令x+=k π+，求得 x=k π+，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为 x=， 故选：B ．4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（ ）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1不满足条件n＞5，S=1+，n=2不满足条件n＞5，S=1++，n=3不满足条件n＞5，S=1+++，n=4不满足条件n＞5，S=1++++，n=5不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150【考点】分层抽样方法．【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，即可得出结论．【解答】解：∵从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，∴该次测验中90分以下抽取的人数是500﹣100﹣250=150．∴该次测验中90分以下的人数是150．即抽样比k=，则该次测验中90分以下的人数是1500×=450．故选：B．6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥．【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6．∴四面体的体积V==36．故选C．7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算．【解答】解：∵|+2|=，∴（+2）2=7，即+4+4=7，∵==1，∴=，∴cos＜＞==，∴向量，夹角为60°．故选：C．8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A．[1，25] B．[4，25] C．[1，4] D．[5，24]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣2），联立，解得B（3，4），化目标函数Z=3x+4y为y=．由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件B．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2＞0”C．“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D．“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确．【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；B错误，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2≤0”C错误，“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x ﹣1只有唯一一个零点，则a=﹣4”，为假命题，比如a=0，f（x）=0的根是；D 正确，函数f （x ）=lnx 2是分段函数，分x ＞0和x ＜0分段可得函数g （x ）=．故选：D ．10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．【解答】解：由程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0故函数f （x ）=x 2+（1+a ）x+1+a+b 图象开口方向朝上又∵方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案：二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0= 3 ．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3．故答案为：3．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为 2 ．【考点】基本不等式．【分析】因为2a 与2b 均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴，当且仅当2a =2b ，即时“=”成立．所以2a +2b 的最小值为．故答案为．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1B 1CD 的距离．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），D （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面A 1B 1CD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得，∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是：d===．∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是．故答案为：．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x= ．【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．【解答】解：∵向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，∴3cos 2x ﹣5sinx ﹣1=0，即 3sin 2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，则cos2x=1﹣2sin 2x=1﹣2×=，故答案为：．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．【考点】等比数列的性质．【分析】由题意，数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，数列{a n }a 1=1，a 2=2，公比为2，设数列{b n }的公比为q′，{a n +b n }的公比为q ，则2+q′=2q，4+q′2=2q 2，∴q 2﹣4q+4=0∴q=2，∴数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，∴S n ==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表格的合计数据计算，（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率．【解答】解：（1）m=98﹣23﹣55=20，n=m+17=37．（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78．∴该校学生上课时间使用手机的概率P==0.39．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．【解答】证明：（1）如图连接GH ，∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H ，∴A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∵BB 1BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥BB 1，∵H 是BC 1的中点，G 是CC 1的中点，∴HG ∥BC ，由∠B 1BC =90°知，BB 1⊥B C ，∴BB 1⊥HG∵A 1H∩HG =H ，∴BB 1⊥平面A 1HG ，∴BB 1⊥A 1G ；解：（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由∠BB 1C 1=90°得，HE ⊥B 1C 1，∵A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥B 1C 1，∵A 1H∩HE =H ，∴B 1C 1⊥平面A 1HE ，∴B 1C 1⊥A 1E ，∵H 是BC 1的中点，E 是B 1C 1的中点，∴HE ∥BB 1，且HE=1，在△A 1HE 中，A 1E==2，∴=•B 1C 1AB•A 1EBC==2，设C 到平面A 1B 1C 1的距离为h ，由=V A 得，×A 1E ×=×h ×，则2×2=h ×2，解得h=，∴C 到平面A 1B 1C 1的距离是．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的图象可知，f'（x ）=0的两个根为﹣1，2，根据根与系数的关系即可求出a ，b 的值，并由图象得到单调区间；（2）求出函数f （x ）的极大值和极小值，由函数f （x ）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，∴f′（x ）=x 2+2ax+b ，∵f′（x ）=0的两个根为﹣1，2，∴，解得a=﹣，b=﹣2，由导函数的图象可知，当﹣1＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＜﹣1或x ＞2时，f′（x ）＞0，函数单调递增，故函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．（2）由（1）得f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+c ，函数f （x ）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上是增函数，在（﹣1，2）上是减函数，∴函数f （x ）的极大值为f （﹣1）=+c ，极小值为f （2）=c ﹣．而函数f （x ）恰有三个零点，故必有，解得：﹣＜c ＜．∴使函数f （x ）恰有三个零点的实数c 的取值范围是（﹣，）19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过将点P （a n ，a n+1）代入函数方程f （x ）=3x 化简可知a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n =n3n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，∴a n+1=3a n ，又∵a 1=3，∴数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n =3n ；（2）由（1）可知b n =na n =n3n ，∴S n =1×3+2×32+…+n3n ，3S n =1×32+2×33+…+（n ﹣1）3n +n ×3n+1，错位相减得：﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n ×3n+1=3×﹣n ×3n+1=×3n+1﹣，∴S n =×3n+1+．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】（1）由f （3）=5得出aln3=﹣5，再求出f （）的值．（2）alnx≥﹣x2．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求﹣得最大值或最小值问题．【解答】解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==．（2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2．①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=，∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e．③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0．综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC⊥CD时，求AD的长；（2）当BC∥l，且AD＞BC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，∴OD==3，∴AD=AO+OD=3+3；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），S′=36（2cosα﹣1）（cosα+1），∴0＜α＜，S′＞0，，＜α＜π，S′＜0，∴α=，S取得最大值27．。
四川省成都市2016届高三第三次诊断考试数学(文)答案
成都市高２０１３级高中毕业班第三次诊断性检测数学(文史类)参考答案及评分意见第Ⅰ卷㊀(选择题㊀共５０分)一㊁选择题:(本大题共１０小题,每小题５分,共５０分)１．C ;㊀２．D ;㊀３．A ;㊀４．B ;㊀５．C ;㊀６．B ;㊀７．A ;㊀８．D ;㊀９．B ;㊀１０．A．第Ⅱ卷㊀(非选择题㊀共１００分)二㊁填空题:(本大题共５小题,每小题５分,共２５分)１１．１２;㊀１２．１;㊀１３．３＋２２;㊀１４．５;㊀１５．②③④．三㊁解答题:(本大题共６小题,共７５分)１６．解:(Ⅰ)f x ()＝３s i n ２x ＋s i n２x ＋π２æèçöø÷＋３＝３s i n ２x ＋c o s ２x ＋３＝２s i n２x ＋π６æèçöø÷＋３． ３分由２k π－π２ɤ２x ＋π６ɤ２k π＋π２(k ɪZ ),得k π－π３ɤx ɤk π＋π６(k ɪZ )．ʑ函数f x ()的单调递增区间为k π－π３,k π＋π６éëêêùûúúk ɪZ ()． ６分(Ⅱ)由(Ⅰ),f A ()＝１＋３,即s i n２A ＋π６æèçöø÷＝１２．由０＜A ＜π⇒π６＜２A ＋π６＜１３π６．ʑ２A ＋π６＝５π６,即A ＝π３． ８分ȵs i n B ＝２s i n C ,ʑb ＝２c ．１０分ȵa ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ,ʑb ＝２３． １２分１７．解:(Ⅰ)由已知,在三棱台D E F －A B C 中,A B ＝２D E ,ʑD E A B ＝E F B C ＝F D C A ＝１２．)页４共(页１第案答)文(题试考 诊三 学数ȵG,H分别为A C,B C的中点,ʑA BʊG H,E FʊB H,E F＝B H．ʑB EʊH F．ȵA B⊄平面G H F,B E⊄平面G H F,㊀G H⊂平面G H F,H F⊂平面G H F,ʑA Bʊ平面G H F,B Eʊ平面G H F． ３分又A BɘB E＝B,A B,B E⊂平面A B E D．ʑ平面A B E Dʊ平面G H F． ６分(Ⅱ)设棱锥F－A B H G的体积为V．ȵV＝１３S梯形A B H G F C,S梯形A B H G＝SәA B C－SәG H C,B C＝C F＝１２A B＝１,ʑS梯形A B H G＝SәA B C－SәG H C＝１２ˑ１ˑ３－１２ˑ１２ˑ３２＝３３８．１０分ʑV＝１３S梯形A B H G F C＝１３ˑ３３８ˑ１＝３８． １２分１８．解:(Ⅰ)用A表示 从这２０名参加测试的学生中随机抽取一名,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生 ．()名．ȵ语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有６＋nʑP A()＝６＋n２０＝２５,解得n＝２．ʑm＝４． ６分(Ⅱ)用B表示 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取２名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生 ．ȵ从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取２名有３６种情况,没有逻辑思维能力优秀的学生的情况有１５种, １０分ʑP B()＝１－１５３６＝７１２． １２分１９．解:(Ⅰ)ȵ３S n＋a n－３＝０, ①ʑ当n＝１时,３S１＋a１－３＝０,a１＝３４．又当nȡ２,nɪN∗时,３S n－１＋a n－１－３＝０, ②由①－②,得３a n＋a n－a n－１＝０,即a n＝１４a n－１．ʑ数列a n{}是以３４为首项,１４为公比的等比数列． ４分)页４共(页２第案答)文(题试考 诊三 学数ʑa n ＝３４ˑ１４æèçöø÷n －１＝３４n n ɪN ∗()． ６分(Ⅱ)由已知及(Ⅰ),得１－S n ＋１＝１３a n ＋１＝１４n ＋１．ʑb n ＝１２l o g ２１４n ＋１＝１２l o g ２２－２n ＋２()＝－n －１． ８分ʑ１b n b n ＋１＝１n ＋１()n ＋２()＝１n ＋１－１n ＋２． １０分ʑT n ＝１２－１３æèçöø÷＋１３－１４æèçöø÷＋ ＋１n ＋１－１n ＋２æèçöø÷＝１２－１n ＋２＝n ２n ＋４． １２分２０．解:(Ⅰ)ȵ抛物线C :y ２＝２px p ＞０()的焦点为p ２,０æèçöø÷, ２分ʑ直线l :x ＝p２．ʑMN ＝２p ＝４．４分ʑ抛物线C 的方程为y ２＝４x ．５分(Ⅱ)易知直线l １,l ２的斜率存在且不为０．设直线l １的斜率为k ,A x １,y １(),B x ２,y ２()．则直线l １的方程为y ＝k x －１(),P x １＋x ２２,y １＋y ２２æèçöø÷．由y ２＝４x y ＝k x －１(){消去y ,得k ２x ２－２k ２＋４()x ＋k ２＝０．Δ＝２k ２＋４()２－４k ４＝１６k ２＋１６＞０．ʑx １＋x ２＝２＋４k ２,y １＋y ２＝k x １＋x ２－２()＝４k ．ʑP １＋２k ２,２k æèçöø÷．同理可得Q １＋２k ２,－２k ()． ９分当k ＝１或－１时,直线P Q 的方程为x ＝３;当k ʂ１且k ʂ－１时,直线P Q 的斜率为k１－k ２．ʑ直线P Q 的方程为y ＋２k ＝k １－k２x －１－２k ２(),即k ２－１()y ＋x －３()k ＝０．ʑ直线P Q 过定点R ,其坐标为３,０()．综上所述,直线P Q 过定点R ３,０()．１３分)页４共(页３第案答)文(题试考 诊三 学数２１．解:(Ⅰ)f ᶄx ()＝e x x ２＋a ＋２()x －a －３[]＝e xx －１()x ＋a ＋３()． ２分①当a ＝－４时,ȵf ᶄx ()＝e xx －１()２ȡ０,ʑf x ()在R 上单调递增．②当a ＞－４时,由f ᶄx ()＞０,解得x ＜－a －３或x ＞１．ʑf x ()在－ɕ,－a －３(),１,＋ɕ()上单调递增;由f ᶄx ()＜０,解得－a －３＜x ＜１．㊀ʑf x ()在－a －３,１()上单调递减．③当a ＜－４时,由f ᶄx ()＞０,解得x ＞－a －３或x ＜１．ʑf x ()在－ɕ,１(),－a －３,＋ɕ()上单调递增．由f ᶄx ()＜０,解得１＜x ＜－a －３．㊀ʑf x ()在１,－a －３()上单调递减．综上所述,当a ＝－４时,f x ()在R 上单调递增;当a ＞－４时,f x ()在－ɕ,－a －３(),１,＋ɕ()上单调递增;在－a －３,１()上单调递减;当a ＜－４时,f x ()在－ɕ,１(),－a －３,＋ɕ()上单调递增;在１,－a －３()上单调递减．７分(Ⅱ)ȵx ɪ０,１[],由(Ⅰ),可知①当a ɤ－４时,f x ()在x ɪ０,１[]上单调递增．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf x ()m i n ＝f ０()＝－２a －３＞e ,解得a ＜－３２－e２．而－３２－e２＞－４,ʑa ɤ－４．②当－４＜a ＜－３时,０＜－a －３＜１．ʑf x ()在０,－a －３()上单调递增,在－a －３,１()上单调递减．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf ０()＝－２a －３＞e f １()＝－a －２()e ＞e{,而－３２－e２＞－３,解得－４＜a ＜－３．③当a ȡ－３时,f x ()在x ɪ０,１[]上单调递减．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf x ()m i n ＝f １()＝－a －２()e ＞e ,无解．综上所述,满足条件的实数a 的取值范围为－ɕ,－３()． １４分)页４共(页４第案答)文(题试考 诊三 学数。
2016届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学(理)试题(解析版)
2016届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学（理）试题一、选择题1．设集合2{|60}M x x x =--<，{|10}N x x =->，则M N = （ ） A ．（1,2） B ．（1,3） C ．（-1,2） D ．（-1,3） 【答案】B【解析】试题分析：因}1|{},32|{>=<<-=x x N x x M ,故{|13}M N x x =<< ,应选B 。
【考点】集合的交集运算。
2．若命题0:x R ρ∃∈，002lg x x ->，则ρ⌝是（ ） A ．0x R ∃∈，002lg x x -≤ B ．0x R ∃∈，002lg x x -< C ．x R ∀∈，2lg x x -< D ．x R ∀∈，2lg x x -≤【答案】D【解析】试题分析：因存在性命题的否定是全称命题,故应选D 。
【考点】含一个量词的命题的否定。
3．已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ-的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．45- D ．35-【答案】D【解析】试题分析：因44sin cos θθ-532cos cos sin 22-=-=-=θθθ，故应选D 。
【考点】三角变换及运用。
4．圆2240x y x +-=的圆心到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2C ．【答案】A【解析】试题分析：因双曲线的一条渐近线为03=-y x ，故圆心)0,2(C 到这条直线的距离1132=+=d ，应选A 。
【考点】圆与双曲线的标准方程及运用。
5．执行如图所示的程序框图，若输入的,x y R ∈，则输出t 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】C【解析】试题分析：因x y 几何意义是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥421y x y x 表示区域内的动点),(y x P 与坐标原点O 连线段的斜率。
2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科)(解析版)
四川省泸州市2016年高考数学三诊试卷（文科）（解析版）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合M={x|（x﹣3）（x+2）＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（）A．（1，2）B．（1，3）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．﹣D．﹣4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π5．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（）A．1 B．3 C．2 D．07．设a，b∈R，那么“ln＞0”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为（）A．4m B．5m C．6m D．7m9．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[﹣2，0] D．[﹣，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．lg20+lg5=．12．复数z=（i为虚数单位）的虚部是．13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣，则f（﹣4）=．14．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于．15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=e x上不同两点，且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．其中正确命题的序号为（填上所有正确命题的序号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第1、5组中随机抽取6名学生进行跟踪调研，求第1、5组每组抽取的学生人数；（3）在（2）的前提下，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求抽取的2名学生均来自第5组的频率．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=CD．（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；（2）求多面体ABCDE的体积．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+bsinC．（1）求C的值；（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），且AM⊥AN，证明直线l过定点．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：；（3）设g（x）=f（x）+e x﹣1，当x≥1时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合M={x|（x﹣3）（x+2）＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（）A． C．【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式解得：﹣2＜x＜3，即M=（﹣2，3），由N中不等式解得：x＞1，即N=（1，+∞），则M∩N=（1，3），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0．故选：A．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值．【解答】解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ﹣cos2θ）（sin2θ+cos2θ）=sin2θ﹣cos2θ=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣，故选：C．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π【分析】根据三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据和公式求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．且表面积是底面积与半球面积的和，其表面积S==3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．5．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心为（2，0），半径为2，双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，可得圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为：d==1．故选：A．【点评】本题考查圆心到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（）A．1 B．3 C．2 D．0【分析】分析框图可知，本题是求可行域内，目标函数t=最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值即可．【解答】解：由程序框图知：本题是求可行域内，t=的最大值，画出可行域如图：由于t=为经过可行域的一点与原点的直线的斜率，可得当直线经过OA时斜率最大，由，解得，A（1，3），此时，t===3．故选：B．【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．7．设a，b∈R，那么“ln＞0”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】由a＞b＞0，可得＞1，于是ln＞0，反之不成立，可举例说明．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞1，∴ln＞0，反之不成立，例如a=﹣2，b=﹣1．∴“ln＞0”是“a＞b＞0”的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为（）A．4m B．5m C．6m D．7m【分析】根据表格确定函数的最大值和最小值以及周期，求出A，h，ω的值，进行求解即可．【解答】解：由表格知函数的最大值是7，最小值是3，则满足，得A=2，h=5，相邻两个最大值之间的距离T=15﹣3=12，即=12，则ω=，此时y=2sin（t）+5，当t=11时，y=2sin（×11）+5=2sin（2π﹣）+5=﹣2sin+5=﹣2×+5=4，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的应用问题，根据条件求出A，h，ω的值是解决本题的关键．9．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意得直线恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，=4﹣2×2×cos＜＞，可得当AB⊥OC时，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得的最小值．【解答】解：直线ax+y﹣a+1=0可化为y+1=﹣a（x﹣1），恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，∴==（﹣）==4﹣2×2×cos＜＞，当AB⊥OC时，＜，＞最小，cos＜，＞取最大值，此时=4﹣4cos＜，＞取最小值，此时OC的斜率为﹣1，由垂直关系可得﹣a=1，解得a=﹣1，故此时直线方程为y+1=x﹣1，即y=x﹣2，联立，解得，或，∴＜，＞取最小值，cos＜＞取最大值0，此时=4﹣4cos＜，＞取最小值4．故选：D．【点评】本题考查直线和圆相交的性质，涉及向量的数量积的最值和三角函数，属中档题．10．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[﹣2，0] D．[﹣，0]【分析】求得f（x）的值域，讨论当x≤0时，当x＞0时，求出导数，判断单调性可得范围，令t=g（x），则f（t）＞e，即有t≤0，则＞e，解得t＜﹣1，即﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1＜﹣1，由指数函数的值域和二次函数的最值的求法，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x≤0时，f（x）=≥0，f（x）的导数为f′（x）=＜0，即f（x）递减，则f（x）≥0；当x＞0时，f（x）=的导数为，当x＞e时，f（x）递减；当0＜x＜e时，f（x）递增．则x=e处取得极大值，且为最大值，即有f（x）≤．令t=g（x），则f（t）＞e，即有t≤0，则＞e，即e t+1+t＜0，由y=e t+1+t在t≤0递增，且t=﹣1时，y=0，可得t＜﹣1．可得g（x）＜﹣1恒成立，即有﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1＜﹣1，即有﹣4x+a2x+1+a2+a＜0，当a＞0时，y=﹣（2x﹣a）2+2a2+a＜0，由2x＞0，可得2x=a时，取得最大值2a2+a，可得2a2+a＜0不成立；当a≤0时，y=﹣（2x﹣a）2+2a2+a＜0，由2x＞0，﹣a≥0，y＜a2+a，可得a2+a≤0，解得﹣1≤a≤0．综上可得a的范围是[﹣1，0]．故选：A【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分段函数的值域，以及换元法，考查单调性的运用和不等式的解法，综合性较强，难度较大．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．lg20+lg5=2．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=lg5+（lg5+2lg2）=2（lg5+lg2）=2lg10=2故答案为：2．【点评】熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题．12．复数z=（i为虚数单位）的虚部是1．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到复数的标准形式，得到虚部．【解答】解：∵复数z==∴复数z的虚部是1，故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的标准形式，进而得到复数的虚部．13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣，则f（﹣4）=﹣．【分析】先根据奇函数的定义把所求问题转化，再代入对应的解析式即可求出结论．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣4）=﹣f（4）；∵当x＞0时，f（x）=﹣，∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣2+=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质应用．解决这类问题的关键在于熟练掌握：奇函数：f（﹣x）=﹣f（x）；偶函数：f（﹣x）=f（x）．14．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于3．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=e x上不同两点，且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．其中正确命题的序号为①③（填上所有正确命题的序号）．【分析】考虑一次函数，求出导数，可得φ（A，B）=0，即可判断①；求出A，B的坐标，求得φ（A，B），即可判断②；求出f（x）的导数，运用不等式的性质，可得φ（A，B）≤2a，即可判断③；求出函数的导数，运用新定义求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范围，即可判断④．【解答】解：对于①，当函数f（x）=kx+b（k≠0）时，f′（x）=k，φ（A，B）===0，故①正确；对于②，由题意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，可得φ（A，B）===＜，故②不正确；对于③，函数f（x）=ax2+b的导数为f′（x）=2ax，即有φ（A，B）===≤2a，故③正确；对于④，由y=e x得y′（x）=e x，由A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，可得φ（A，B）==，由tφ（A，B）＜1恒成立，可得t＜，由＞1，可得t≤1，故④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查导数的运用：求切线的斜率，不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第1、5组中随机抽取6名学生进行跟踪调研，求第1、5组每组抽取的学生人数；（3）在（2）的前提下，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求抽取的2名学生均来自第5组的频率．【分析】（1）求出第1组的频数，第2组的频率，（2）因利用分层抽样，求解第1，5组分别抽取人数．（3）设第1组的2位同学为a，b，第5组的2位同学为1，2，3，4，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，再找到2名学生均来自第5组的基本事件数，根据概率计算即可．【解答】解：（1）由题可知，第1组的频数为0.15×100=15人，第2组的频率为=0.300．即①处的数据为15，②处的数据为0.300．（2）因为第1组共有10名学生，第5组有20人，利用分层抽样从第1，5组中随机抽取6名学生，第1组应抽取6×=2人，第5组中应抽取6﹣2=4人（3）设第1组的2位同学为a，b，第5组的2位同学为1，2，3，4，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，分别为：ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，共有15种不同的取法，2名学生均来自第5组的基本事件数是：12，13，14，23，24，34共6种不同的取法，故抽取的2名学生均来自第5组的频率P==【点评】本题考查分层抽样，古典概型概率的求法，考查计算能力．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分公比q是否为1两种情况讨论，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知分两种情况讨论，进而求出{b n}的通项公式，计算即得结论．【解答】解：（1）①当公比q=1时，∵a3=，S3=，∴a n=；②当q≠1时，∵a3=，S3=，∴a1q2=，=，解得：a1=6，q=﹣，此时a n=6×；综上所述，数列{a n}的通项公式a n=或a n=6×；（2）①当a n=时，b n=log2=2，故T n=2n；②当a n=6×时，b n=log2=2n，此时T n=2=n（n+1）；综上所述，T n=2n或T n=n（n+1）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=CD．（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；（2）求多面体ABCDE的体积．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得CD⊥DE，结合AD⊥CD得出CD⊥平面ADE，从而平面CDE⊥平面ADE；（2）作EG⊥AD，则可证明EG⊥平面ABCD，于是多面体体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）∵CD=DE，CE=CD，∴CD2+DE2=CE2，∴CD⊥DE，又CD⊥AD，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE=D，∴CD⊥平面ADE，又CD⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ADE．（2）过E作EG⊥AD，垂足为G，∵CD⊥平面ADE，GE⊂平面ADE，∴CD⊥GE，又GE⊥AD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD∩CD=D，∴GE⊥平面ABCD．∵△ADE是等边三角形，DE=2a，∴GE=．=（AB+CD）AD=（a+2a）2a=3a2．∵S梯形ABCD===a3．∴多面体ABCDE的体积V=V E﹣ABCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+bsinC．（1）求C的值；（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC；（2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）．【解答】解：（1）∵a=ccosB+bsinC，∴sinA=sinCcosB+sinBsinC，即sin（B+C）=sinCcosB+sinBsinC，∴sinBcosC=sinBsinC，∴tanC=．∴C=．（2）在△ABC中由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7，∴c=．由余弦定理得cosB===．∴sinB==．∵cos∠BCD=，∴sin∠BCD==．∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB==．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的关系，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），且AM⊥AN，证明直线l过定点．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立方程组，设M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，得到，7m2+16km+4k2=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点．【解答】解：（1）由题意可得e==，又a2﹣b2=c2，且+=1，解得a=2，c=1，b=，可得椭圆的方程为+=1；（2）证明：由，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即4k2＞m2﹣3，由AM⊥AN，可得=﹣1，即为（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，即有（k2+1）+（mk﹣2）（﹣）+m2+4=0，化简可得7m2+16km+4k2=0，m=﹣k或m=﹣2k，满足判别式大于0，当m=﹣k时，y=kx+m=k（x﹣）（k≠0），直线l过定点（，0）；当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）．由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意，当直线的斜率不存在时，也成立．根据以上可得：直线l过定点，且为（，0）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：；（3）设g（x）=f（x）+e x﹣1，当x≥1时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，根据x=是函数f（x）的一个极值点，得到e﹣a=0，求出a的值即可；（2）求出切线l的方程，得到a═﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，令m（x）=lnx﹣1+﹣，根据函数的单调性证明即可；（3）先求出g（x）的导数，得到g′（x）在[1，+∞）单调递增，再通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=﹣a，∵x=是函数f（x）的一个极值点，∴f ′（）=e ﹣a=0，解得：a=e ，经检验，a=e 符合题意；（2）∵过原点所作曲线y=f （x ）的切线l 与直线y=﹣ex +1垂直，∴切线l 的斜率为k=，方程是y=x ，设l 与y=f （x ）的切点为（x 1，y 1），∴，∴a=﹣，且lnx 1﹣1+﹣=0，令m （x ）=lnx ﹣1+﹣，则m ′（x ）=﹣+， ∴m （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，若x 1∈（0，1），∵m （）=﹣2+e ﹣＞0，m （1）=﹣＜0，∴x 1∈（，1），而a=﹣在x 1∈（，1）递减，∴＜a ＜， 若x 1∈（1，+∞），∵m （x ）在（1，+∞）递增，且m （e ）=0，则x 1=e ，∴a=﹣=0（舍），（3）∵g （x ）=f （x ）+e x ﹣1=lnx ﹣a （x ﹣1）+e x ﹣1，∴g ′（x ）=﹣a +e x ﹣1，①0＜a ≤2时，∵e x ﹣1≥x ，∴g ′（x ）=﹣a +e x ﹣1，≥ +x ﹣a ≥2﹣a ≥0，∴g （x ）在[1，+∞）单调递增，g （x ）≥g （1）=1恒成立，符合题意；②当a ＞2时，∵g ″（x ）=≥0，∴g′（x）在[1，+∞）递增，∵g′（1）=2﹣a＜0，易知存在x0∈[1，+∞），使得g′（x0）=0，∴g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，∴x∈（1，x0）时，g（x）＜g（1）=1，∴g（x）≥1不恒成立，不符合题意；综上可知所求实数a的范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了导数的应用，考查曲线的切线方程问题，是一道综合题．。
四川省泸州市高2016级第三次教学质量诊断性考试数学理科试卷
泸州市高2016级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内；作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将 本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设集合A ={x |y =ln (x −1)},B ={y|y =2x }，则A ∩B = A. [)+∞,0 B.()+∞,0 C.[)+∞,1 D.()+∞,12. 已知复数z 满足i z+=11，则|Z|的值为 A.21B. 2C.22D. 2 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35,351==S a ，则数列{}n a 的公差为 A.-2 B.2 C.4 D.74.双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为3，则其渐近线方程为A. x y 3±=B. x y 2±=C.x y 22±=D.x y 23±= 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.1616-π B.88-π C.1636-π D.3232-π6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是 A.14-=n n a S B.12+=n n a S C.12-=n n a S D. 34-=n n a S7. 设m,n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m =λn ”是“m ∙n >0”的 A. 既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 充分不必要条件8.四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是 A. 12 B.16 C.20 D. 8 9.将函数182cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx y 的图像向左平移()0>m m 个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为 A.3π B.4π C.2πD.π 10.已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线y =k(x −p2)(k >0)与C 分别相交于点A,M 与C 的准线相交于点N ，若|AM |=|MN|,则k = A.3 B.2√23C. 2√2D. 1311已知函数()[]x x x f -=，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是 A. ()x f 的值域是[]1,0 B.()x f 是奇函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 是增函数12.三棱锥S -ABC 的各个顶点都在求O 的表面上，且△ABC 是等边三角形，SA ⊥底面ABC ， SA =4,AB =6,若点D 在线段SA 上，且AD=2SD,则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为 A.3π B. 4π C. 8π D. 13π第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. (2)本部分共10个小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13. (ax 2−1x )6展开式中x 3项系数为160，则a 的值为___________.14.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+2133x x y y x ，则x y z =的最小值为___________.15.设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+=-121,2log 112x x x x f x ，则f (−2)+f (log 23)=___________.16.过直线4x +3y −10=0上一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是___________三、解答题：共70分。
四川省泸州市届高三三诊考试文数试题Word版含答案
泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1}U x x =>，集合{(1)(3)0}A x x x =--<，则U C A =（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,3)2.复数1iz i=+（其中i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1 B ．12i C ．12D ．-13.已知等比数列{}n a 的公比12q =，28a =，则其前3项和3S 的值为（ ）A ．24B ．28C ．32D ．164.已知平面向量(2,1)a =-，(1,2)b =，则2a b -的值是（ ）A ．1B ．5CD 5.某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程5y x a =+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（ ）A ．9.2B ．9.8C ．9.8D ．10 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线与抛物线C 的准线交于点B ，则线段FB 的长为（ ）A ．10B ．6C ．8D ．4 7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（2πϕ<）的图象沿x 轴向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=B ．3x π=-C ．6x π=-D ．3x π=8. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音g èng ，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．310.已知Rt ABC ∆中，3,1AB AC ==，2A π∠=，以,B C 为焦点的双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）经过点A ，且与AB 边交于点D ，若AD BD的值为（ ）A ．72 B ．3 C ．92D ．4 11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．17πB ．16πC ．8πD ．20π 12.已知函数()ln f x x x =+与21()12g x ax ax =+-（0a >）的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为（ ）A ．12(,)23B ．2(,1)3C ．3(,2)2D ．3(1,)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知24113log log a a+=，则a = ． 14.设不等式组020x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ． 15.若函数2,2()log ,2a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[1,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-. （1）求证：2A B =；（2）若53b c =，a =BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率. 19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FMEM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论； （2）求三棱锥E BDF -的体积E BDF V -.20. 设1F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，M 是C 上一点，且1MF 与x 轴垂直，若132MF =，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以椭圆C 的左顶点A 为Rt ABD ∆的直角顶点，边,AB AD 与椭圆C 交于,B D 两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数()(1)x f x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）函数2()()(1)g x f x ax ex =-++的的导函数为'()g x ，若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2xx y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2. （1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD二、填空题13. 2 14.4π 15. [3,)+∞ 16. 2n n n a =三、解答题17.解：（1）因为2cos b c b A =-， 所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即sin sin()B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，sin A =设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =18.解：（1）因为甲机床为优品的频率为32821005+=， 乙机床为优品的频率约为296710020+=， 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为27,520；（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为1(4016052100820)114.4100⨯+⨯-⨯=元 所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元所以甲机床某天生产50件零件的利润为50114.45720⨯=元 （3）由题意知，甲机床应抽取125230⨯=，乙机床应抽取185330⨯=， 记甲机床的2个零件为,A B ，乙机床的3个零件为,,a b c ，若从5件中选取2件分别为,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc 共10种取法 满足条件的共有3种，分别为,,ab ac bc ， 所以，这2件都是乙机床生产的概率310P =. 19. 解： （1）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O =，连接FO ，因为1AD BC ==，060ADC ∠=，所以2DC =，又1AB =，//AB DC 因此:2:1CO AO =， 所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；（2）连接OE ，过点B 作BG AC ⊥于点G ，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，所以BG ⊥平面ACFE ，即BG 为点B 到平面ACFE 的距离， 因为1AB BC ==，0120ABC ∠=，所以12BG =又因为DA AC ⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以DA ⊥平面ACFE ， 即DA 为点D 到平面ACFE 的距离，1111(1)322E BDF B OEF D OEF V V V ---=+=⨯⨯+=20.解：（1）因为点1(,0)F c -，1MF 与x 轴垂直，所以2(,)b M c a -或2(,)b M c a--， 则22223212b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，即21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）点(2,0)A -，设直线AB 的方程为直线(2)y k x =+（0k >）， 代入椭圆方程消去y 得：2222(34)1616120k x k x k +++-=，设1(,0)A x ，则2121612234k x k --=+，所以2128634k x k -+=+，212862234k AB x k -+=+=+=+直线AD 的方程为直线1(2)y x k=-+，同理可得23AD k =+ 所以ABD ∆的面积：211721122312()1ABD S AB AD k k k k k∆=∙==++++令1t k k =+，因为0k >，则12t k k =+≥， 1()12f t t t =+在[2,)+∞上单增，所以49()2f t ≥，所以14449ABD S ∆≤,ABD ∆面积的最大值为14449.21.解：（1）因为函数()(1)x f x e a x =++，所以'()(1)x f x e a =++， 故直线l 的斜率为0'0()(1)x f x e a =++，点00(,())x f x 的切线l 的方程为000()((1))()x y f x e a x x -=++-， 因直线过(0,0)，所以000()((1))()x x e a x -=++-， 即0000(1)((1))x x e a x e a x ++=++ 解之得，01x =（2）令2()(1)1xg x e ax a e x =-+-+-， 所以'()21xg x e ax a e =-+-+， 设()21x k x e ax a e =-+-+， 则'()2x k x e a =-，因为函数'()2x k x e a =-在(0,1)上单增， 若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，则'()2x k x e a =-在(0,1)有一个零点ln(2)(0,1)x a =∈， 所以122e a <<， ∴()k x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增， 所以()k x 在(0,1)上有最小值(ln(2))k a ，因为(ln(2))22ln(2)(1)32ln(2)1k a a a a e a a a a e =----=-+-（122ea <<）， 设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-（1x e <<），则'1()ln 2x x ϕ=-， 令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕ递增，x e <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以max ()10x e ϕ-<， ∴(ln(2))0k a <恒成立，若()k x 有两个零点，则有(ln(2))0k a <，(0)0k >，(1)0k >， 由(0)20k a e =+->，(1)10k a =->，得1e a a -<<， 综上，实数a 的取值范围是(2,1)e -. 22.解：（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：22(2)14x y -+=， 又''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入上式可知： 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+（(,)26ππθ∈-）， ∴122cos 2cos()3OA OB πρρθθ+=+=++)6πθ=+， 因为()(,)633πππθ+∈-， 所以OA OB +的取值范围是23.解：（1）①当12a ->-时，即2a >时，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =或2a =-（舍）； ②当12a -<-时，即2a <时，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =（舍）或2a =- ③当12a -=-时，即2a =，()31f x x =+， 此时min ()0f x =，不满足条件，综上所述，6a =或2a =-；（2）由题意知，6m n +=，∵222()2m n m n mn +=++2222()()m n m n ≤+++222()m n =+当且仅当3m n ==时取“=”， ∴2218m n +≥，所以22m n +的最小值为18。
四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题(1)
一、单选题1. 某单位组织全体员工登录某网络培训平台进行学习并统计学习积分，得到的频率分布直方图如图所示，已知学习积分在（单位：万分）的人数是64人，并且学习积分超过2万分的员工可获得“学习达人”称号，则该单位可以获得该称号的员工人数为（）．A ．8B ．16C ．32D ．1602. 中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．3.在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是A．B．C ．平面D ．平面4. 在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫（“榫”，即指木质构件利用凹凸方式相连接的部分）的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是（）A ．6B ．8C ．12D ．165. 在中，，则是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6. 在中，，，，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（ ）四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题(1)四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题(1)二、多选题三、填空题A．B．C．D．8. 已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．9. 新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x 为原始分，y 为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（ ）A ．若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分B ．若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数C ．该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同D ．该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分10. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．平面B．C．，，，四点共面D ．平面平面11. 甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如下：甲的环数710761097879乙的环数7879878989则下列说法正确的是（ ）A ．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B ．甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数C ．甲、乙成绩的众数都是7D ．乙的成绩更稳定12. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）A ．若回归方程为，则变量与负相关B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心C ．若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数13. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．四、解答题14.若集合，则=_______________.15.在三角形中，，且角、、满足，三角形的面积的最大值为，则______．16.已知正项数列的前项和为，且，.数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，，，若，，的面积为，求边长的值．18.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且.（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.(1)求证：；(2)若是边长为2的等边三角形，点满足，且平面与平面夹角的正切值为，求三棱锥的体积.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，.(1)当时，函数有极小值，求；(2)证明：恒成立；(3)证明：.。
【全国市级联考】四川省泸州市2016届高三第三次教学质量诊断性考试文数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|(3)(2)0}M x x x =-+<，{|10}N x x =->，则MN =（ ）A ．（1,2）B ．（1,3）C ．（-1,2）D ．（-1,3） 【答案】B 【解析】考点：集合的交集运算.2.命题0:x R ρ∃∈，002lg x x ->，则ρ-是（ ）A ．0x R ∃∈，002lg x x -≤B ．0x R ∃∈，002lg x x -<C ．x R ∀∈，2lg x x -<D ．x R ∀∈，2lg x x -≤ 【答案】D 【解析】试题分析：因存在性命题的否定是全称命题,故应选D. 考点：含一个量词的命题的否定. 3.已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ-的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．45- D ．35-【答案】D 【解析】试题分析：因44sin cos θθ-532cos cos sin 22-=-=-=θθθ,故应选D. 考点：三角变换及运用.4.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．3πB ．2πC ．πD ．4π【答案】A 【解析】考点：三视图及球的面积公式的运用.5.圆2240x y x +-=的圆心到双曲线2213x y -=渐近线的距离为（ ）A B ．2 C ．1 D ． 【答案】C 【解析】试题分析：因双曲线的一条渐近线为03=-y x ,故圆心)0,2(C 到这条直线的距离1132=+=d ,应选C.考点：圆与双曲线的标准方程及运用.6.执行如图所示的程序框图，若输入的,x y R ∈，则输出t 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．0【答案】B 【解析】考点：算法流程图及线性规划的知识的综合运用. 7.设,a b R ∈，那么“ln0ab>”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 试题分析：因当ln 0a b >,则1>b a ,但未必有0a b >>;反之,若0a b >>,则1>b a ,即ln 0ab>成立,所以应选C.考点：充分必要条件及判定.8.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.若该港口的水深()y m 和时刻(024)t t ≤≤的关系可用函数sin()y A t h =ω+（其中0A >，0ω>，0h >）来近似描述，则该港口在11:00的水深为（ ）A ．4mB ．5mC ．6mD ．7m 【答案】A 【解析】考点：三角函数的图象和性质在实际生活中的运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象和性质为背景设置了一道求函数解析表达式为sin()y A t h =ω+的实际应用问题.解答本题时,首先要求确定其中的未知参数h A ,,ω的值,然后再求11=t 时的函数值.体现了三角函数的图象和性质等有关知识的在实际问题中的运用价值.解答过程中先求h A ,,ω的值时,充分利用题设中提供的数表信息,通过建立方程组,从而求出h A ,,ω的值,进而使得问题获解.9.若直线10()ax y a a R +-+=∈与圆224x y +=交于A B 、两点（其中O 为坐标原点），则AO AB 的最小值为（ ）A ． 1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：因为圆心)0,0(O 到直线10()ax y a a R +-+=∈的距离是1|1|2+-=a a d ,所以222228488)121cos 2(44cos 44d d AOB AOB -=⨯-=-∠-=∠-=⋅-=⋅ ,而1)1()1|1|(22222+-=+-=a a a a d ,令11+=⇒=-t a t a ,故1221222222++=++=tt t t t d ,所以当211-=t ,即2-=t 时,1222++tt 取最小值为2,212max =d ,所以AO AB 取最小值为448=-,应选D. 考点：直线与圆的位置关系及综合运用.【易错点晴】直线和圆的位置关系是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以两条平行直线与圆的位置关系为背景,设置了一道求圆方程中的参数a 的取值范围的问题.求解时充分借助题设条件“直线10()ax y a a R +-+=∈与圆224x y +=有两个不同的交点”,然后依据弦心距与圆的半径弦长之间的数量关系求出2228d -=⋅-=⋅,再转化为1)1()1|1|(22222+-=+-=a a a a d 的最大值,也就是求1222++t t 的最小值问题.最后通过求得当211-=t ,即2-=t 时,1222++t t取最小值为2,212max =d ,求得AO AB 取最小值为448=-,使得问题简捷巧妙获解. 10.已知函数,0,()ln ,0x xx e f x x x x⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，12()421()x x g x a a a a R +=-+++-∈，若(())f g x e >对x R ∈恒成立（e 是自然对数的底数），则a 的取值范围是（ ） A.[1,0]- B ．（-1,0） C ．[2,0]- D ．1[,0]2- 【答案】A 【解析】只需02≤+a a ,即01≤≤-a 时不等式恒成立;当1≥a 时,只需0212<+++-a a a ,但这不可能;当10<<a 时,则只需02222<+++-a a a a ,这也不可能.所以综上实数a 的取值范围是01≤≤-a ,应选A.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对函数,0,()ln ,0xxx e f x x x x⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩的分类求其导数,借助导数与函数的单调性的关系从细微的角度研究函数的图象和性质.搞清函数的图象的大概形状,从而将不等式(())f g x e >化为1)(-<x g ,再借助函数的)(x f 的图象,将问题进一步转化为几不等式02242<++⋅+-a a a x x 在]0,(-∞恒成立问题,然后分类求出满足题设条件的实数a 的取值范围,从而使得问题获解.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.lg 20lg 5+的值是_____________. 【答案】2 【解析】考点：对数的运算性质及运用． 12.复数21iz i=-（i 是虚数单位）的虚部是_______. 【答案】1 【解析】 试题分析：因21i z i =-i i i +-=+=12)1(2,故其虚部为1,应填1. 考点：复数的概念与运算．13.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，2()f x x=，则(4)f -=__________. 【答案】23- 【解析】试题分析：因23212)4()4(-=+-=-=-f f ,故应填23-. 考点：函数基本性质及综合运用．14.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =_____________. 【答案】3 【解析】考点：抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】抛物线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用抛物线的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点),(00y x Q 的问题.解答时充分运用题设条件4FP FQ =建立方程组,然后通过解方程组求得点),(00y x Q 的横坐标为10=x .再应用抛物线的定义求得32||0=+=x QF .借助抛物线的定义进行转化是解答好本题的关键.15.函数()f x 图像上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，||AB 为A B 、 两点间距离，定义||(,)||A B k k A B AB ϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则点A 与点B 之间的“曲率”(,)A B ϕ>③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 “曲率” (,)2A B a ϕ≤；④设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞.其中正确命题的序号为_____________(填上所有正确命题的序号). 【答案】①③ 【解析】考点：函数的图象性质及导数等有关知识的综合运用．【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以定义新的概念“||(,)||A Bk kA BABϕ-=为曲线()f x在点A与点B之间的“曲率””为背景精心设置了一道选择填空形式的问题.重在考查推理判断的推理论证能力,求解时要充分借助题设中新定义的新的信息,对所给的四个命题进行逐一检验和推断,最后通过推理和判断得出命题①③是真命题,命题②④是假命题,从而获得本题的正确答案为①③.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（Ⅱ）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第1、5组中随机抽取6 名学生进行跟踪调研，求第1、5组每组抽取的学生人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求抽取的2名学生 均来自第5组的概率.【答案】(Ⅰ) 15，0.300；(Ⅱ)2，4；（Ⅲ）52. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件频率分布表中的数据求解；(Ⅱ)运用分层抽样方法及有关知识求解；（Ⅲ）借助题设条件运用列举法和古典概型的计算公式求解. 试题解析：（Ⅲ）第1组的学生记为a b 、，第5组的学生记为1、2、3、4，从这6名学生中随机抽取2名学生，基本事件数是,1,2,3,4,1,2,3,4ab a a a a b b b b ，12,13,14,23,24,34共15种不同取法；……………………10分 2名学生均来自第5组的基本事件数是：12,13,14,23,24,34共6中不同取法；…………………………11分 所以对应的概率为62155P ==．…………………………12分 考点：频率分布表盒古典概型的计算公式等有关知识的综合运用． 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332a =，392S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2216log n n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ)32n a =或116()2n n a -=⨯-；(Ⅱ)(1)n T n n =+. 【解析】（Ⅱ）当32n a =时，222162log ()log (6)23n n b a +==⨯=，…………………………7分 所以2n T n =，…………………………8分 当116()2n n a -=⨯-时，2222166log ()log ()216()2n nn b n a +===⨯-，…………………………10分故数列{}n b 为等差数列，所以(1)n T n n =+．…………………………12分 考点：等比数列等差数列等有关知识的综合运用． 18.（本小题满分12分）如图，在空间多面体ABCDE 中，四边形ABCD 为直角梯形，//AB DC ，AD CD ⊥，ADE ∆是正三 角形，22CD DE AB a ===，CE =.（Ⅰ）求证：平面CDE ⊥平面ADE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)23a .【解析】（Ⅱ）过E 作EG AD ⊥，垂足为G ，因为CD ⊥平面ADE ,所以CD EG ⊥，又AD CD D =，所以EG ⊥平面ABCD ，…………………………8分因为2AD a =，所以EG =，…………………………9分因为ABCD 是梯形，且CD AD ⊥，所以多面体ABCDE 的体积为：ABCDE E ABCD V V -=…………………………10分13ABCD S EG =梯形112(2)332a a a a =+，……………………11分3=．…………………………12分考点：空间直线与平面的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的综合运用.19.（本小题满分12分）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin B b C =+.（Ⅰ）求C 的值；（Ⅱ）若D 是AB 边上的点，已知13cos 14BCD ∠=，2a =，3b =，求sin BDC ∠的值. 【答案】(Ⅰ)3C π=；(Ⅱ)14213. 【解析】cos sin sin B C B C =，因为sin 0B ≠，cos 0C ≠，所以tan C =5分因为0C π<<，即3C π=；……………………6分考点：正弦定理余弦定理和三角变换等有关知识的综合运用．20.（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2P ，其离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的右顶点为A ，直线l 交C 于两点M N 、（异于点A ），且AM AN ⊥，证明直线l 过定 点.【答案】(Ⅰ)22143x y +=；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立方程求解推证.试题解析： （Ⅰ）由已知得2222212191,4c a ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩：…………………………3分解之得：2a =，b =，所以椭圆C 的方程22143x y +=；…………………………4分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，因为90MAN ∠=，所以0AM AN =，即：1212(2)(2)0x x y y --+=，…………………………9分 所以222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-++--++=++，…………………………10分 整理得：2241670k km m ++=， 所以72m k =-或2m -，均满足(*)，…………………………11分 当72m k =-时，直线l 的方程为72()27m y x =--，直线l 过定点2(,0)7；…………………………12分 当直线l 的斜率不存在时，也符合， 当2m k =-时，直线l 的方程为1(2)2y m x =--，直线l 过定点(2,0)，不合题意； 综上知，直线l 过定点2(,0)7．………………………………13分 考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件建立方程组2222212191,4c a ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩,然后求得椭圆的标准方程为22143x y +=.第二问的求解过程中,先将直线m kx y l +=:与椭圆方程22143x y +=联立方程组,消去变量y 求得222(34)84(3)0k x kmx m +++-=,再利用0AM AN =,求出2241670k km m ++=解得72m k =-或2m -,进而推证得直线m kx y l +=:过定点2(,0)7.从而使得问题获解.21.（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，（其中0a >，e 是自然对数的底数）. （Ⅰ）若1x e=是函数()f x 的一个极值点，求a 的值; （Ⅱ）若过原点所作曲线()y f x =的切线l 与直线1y ex =-+垂直，证明：211e e a e e--<<； （Ⅲ）设1()()x g x f x e -=+，当1x ≥时，()1g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)a e =；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)(0,2].【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用导数的知识求解；(Ⅱ)借助题设条件运用导数的知识推证；(Ⅲ)依据题设条件运用导数的知识求解.试题解析：（Ⅰ）因为()ln (1)f x x a x =--，所以'1()f x a x =-，………………………………1分 因为1x e=是函数的极值点， 所以0e a -=，所以a e =，…………………………2分经检验a e =符合条件；…………………………3分令11()ln 1m x x x e =-+-，则'211()m x x x=-+， 所以()m x 在（0,1）上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e=-<， 所以11(,1)x e∈，…………………………7分 而111a x e =-在11(,1)x e∈上单调递减，所以211e e a e e --<<. 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， 所以1110a x e=-=（舍去）.…………………………8分 综上可知，211e e a e e--<<；……………………………9分 （Ⅲ）因为11()()ln (1)x x g x f x ex a x e --=+=--+， 所以'11()x g x a e x-=-+.考点：导数在研究函数的单调性和最值等方面的有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助极值点的定义建立了含a 的方程0e a -=,从而求得e a =；第二问中借助导数,运用导数的几何意义建立方程1111ln 10x x e-+-=,然后构造函数11()ln 1m x x x e =-+-,运用导数进行推证；第三问的求解中则借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.高考一轮复习：。
2019届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试数学(文)试题(解析版)
2019届四川省泸州市高三第三次教学质量诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}10A x x =->，{}2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．[)0,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】先化简集合A ，B ，再求解A B I . 【详解】已知{}{}101A x x x x =->=>，{}{}20xB y y y y ===>，所以则A B =I {}1x x > 故选;D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ）A ．12BC ．2D ．2【答案】C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以2z == 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 3．若m ，n R ∈则“0-=m n ”是“1nm=”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义求解.0m n ==时，1n m =不成立，1nm=，则有m n =成立. 【详解】因为0-=m n ，所以m n =，当0m n ==时，推不出1nm=，故不充分， 因为1nm=，所以m n =，故必要. 故选：B 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，属于基础题.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．7【答案】B【解析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6．已知某高中的一次测验中，甲乙两个班的九科平均分的雷达图如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．甲班的政治、历史、地理平均分强于乙班B ．甲班的物理、化学、生物平均分低于乙班C ．学科平均分分差最小的是语文学科D ．学科平均分分差最大的是英语学科 【答案】C【解析】根据雷达图，比较离中心位置的距离即可. 【详解】A. 甲班的政治、历史、地理平均分都在乙班的雷达圈之外，故正确.B. 甲班的物理、化学、生物平均分都在乙班的雷达圈之内，故正确.C. 地理学科离中心距离差最大，故错误.D. 英语学科离中心距离差最大，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查样本估计总体雷达图的应用，读懂图的几何意义是关键，属于基础题. 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C【解析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．1616π-B ．88π-C ．3616π-D ．3232π-【答案】A【解析】该几何体外部为一个圆柱，内部挖去一个长方体，分别求出圆柱的体积与长方体的体积，相减即为答案. 【详解】该几何体外部为一个圆柱，内部挖去一个长方体由图可知，该圆柱的体积为2212416V r h πππ==⋅⋅=，该长方体的体积为222416V =⨯⨯=所以该几何体的体积为121616V V V π=-=- 故选：A 【点睛】本题考查由三视图还原立体图形求体积，属于基础题. 9．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B【解析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称 故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.10．已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若120NMF ∠=︒，则MF =（ ）A ．23B ．23C ．43D ．43【答案】C【解析】根据抛物线的定义，结合平面几何知识求解. 【详解】 如图所示：因为点M 在抛物线上，由抛物线的定义得：MN MF = 又因为120NMF ∠=︒所以30MNF NFM NFK ∠=∠=∠=o所以23tan 3023MNK y ==⨯=o 所以13M x =所以423M pMF x =+=故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及平面几何知识，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数【答案】C【解析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误； 选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12．已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8，母线12SA =，点B 在SA 上，且3SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（ ） A ．27π B ．36πC ．54πD ．81π【答案】A【解析】设球的球心为O ，半径为R ，根据圆锥的高为8，母线12SA =，求得外接圆的半径9R =，再取SA 的中点N ，利用点B 在SA 上，且3SB BA =求得2236OB ON BN =-=，然后利用截面面性质，当截面面积最小时，则 OB ⊥截面，即点B 为截面圆的圆心求解. 【详解】 如图所示：设球的球心为O ，半径为R ， 则228,,45SM OA R AM SA SM ===-=，所以222OA OM AM =+， 即()(222845RR =-+，解得9R =，取SA 的中点N ，则3BN =， 所以2235ON R AN =-=，226OB ON BN =-=设点C 为截面圆周上一点，若截面面积最小，则 OB ⊥截面，此时截面圆半径为223r BC R OB ==-=所以截面面积的最小值为227r ππ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查球的截面面积的求法以及截面的性质，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,2a =r ，()2,b k =r ，若a b ⊥r r，则k =______.【答案】-1【解析】利用平面向量垂直的坐标公式求解. 【详解】已知向量()1,2a =r，()2,b k =r ，若a b ⊥r r，则1220k ⨯+⨯=解得1k =- 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查平面向量的垂直运算，要熟记公式，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足约束条件3312x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩，则yz x =的最小值为______.【答案】12【解析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，观察图形斜率最小在点B 处，联立32x y x +=⎧⎨=⎩，解得点B 坐标，即可求得答案.【详解】作出满足约束条件3312x y y x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩的可行域，该目标函数00y y z x x -==-视为可行解(),x y 与()0,0点的斜率，故OB OA k z k ≤≤由题可知，联立312y x x =-⎧⎨=⎩得()2,5A ,联立32x y x +=⎧⎨=⎩得()2,1B 所以51,22OA OB k k ==，故1522z ≤≤ 所以z 的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 15．设函数()()211log 2,121x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()22log 12f f -+=______.【答案】9【解析】根据分段函数的定义域，分别求解()()22,log 12-f f ，再求和. 【详解】因为函数211log (2),1()21x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，所以()221log 43f -=+=， 因为22log 12log 21>=， 所以()22log 121log 62lo 2622g 1-===f ，所以()()22log 129-+=f f . 故答案为：9 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，对数的运算，要熟记性质法则，属于基础题. 16．已知圆221x y +=的圆心为O ，点P 是直线:3320l mx y m -+-=上的动点，若该圆上存在点Q 使得30QPO ∠=︒，则实数m 的最大值为______. 【答案】4【解析】根据从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两线均为切线时，夹角最大，利用存在点Q 使得30QPO ∠=︒，转化为CPQ CPR ∠≤∠求解. 【详解】从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两线均为切线时，夹角最大， 如图所示：过点P 作圆C 的切线PR ，切点为R ，则CPQ CPR ∠≤∠， 所以1sin sin 30sin CR CPQ CPR CP CP∠=≤∠==o， 所以2CP ≤有解，所以min 2CP ≤，即圆心到直线的距离23229m d m -=≤+，解得845m -≤≤. 所以实数m 的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题17．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222sin 3A b a c =+-. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若5c =，1cos 7B =，求b . 【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）8【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即可求出A , （Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出. 【详解】（Ⅰ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 所以2222cos b c a bc A +-=，1sin 2cos 2bc A bc A =，即tan A = 因为0A π<<， 所以3A π=；（Ⅱ）因为1cos 7B =，所以sin B =， 因为()sin sin C A B =+，sin cos cos sin A B A B =+1172=+=， 由正弦定理得sin sin b c B C =，所以sin 8sin cb B C=⋅=. 【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.18．下表是某公司2018年5~12月份研发费用x （百万元）和产品销量y （万台）的具体数据：（1）根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系，用线性相关系数说明y 与x 之间的相关性强弱程度（2）求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计当研发费用为20（百万元）时该产品的销量. 参考数据：1347ni ii x y==∑，211308n i i x ==∑，2193ni i y ==∑84.50≈参照公式：相关系数ni ix y nx yr -=∑，其回归直线y b x a ∧∧∧=+中的1221ni ii nii x y nx yb xnx∧==-=-∑∑【答案】（1）y 与x 之间的具有强相关关系；（2）5.12万台.【解析】（1）估计相关系数ni ix y nx yr -=∑，先求得x ，y ，再结合提供的数据代入公式求解.（2）根据（1）的数据，求得1221830.244340ni ii nii x y nx yb xnx ∧==-==≈-∑∑，得到ˆˆ30.244110.32ay bx =-=-⨯=，写出回归方程，再将20x =代入回归方程求解. 【详解】（1）因为2361021131518881188x+++++++===，112 2.56 3.5 3.5 3.5 4.524388y++++++++===，所以122211ni iin ni ii ix y nx yrx nx y n y===-=⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()130881219389=-⨯-⨯830.9884.50340217140====⨯，所以y与x之间的具有强相关关系；（2）因为1221830.244340ni iiniix y nx ybx nx∧==-==≈-∑∑，所以ˆˆ30.244110.32a y bx=-=-⨯=，所以0.240.32y x=+r，当20x=时，ˆ0.24200.32 5.12y=⨯+=，所以当研发费用为20（百万元）时，该产品的销量约为5.12万台.【点睛】本题主要考查线性相关程度的判定和回归直线方程的求法及样本估计总体，还考查了数据分析处理的能力，属于中档题.19．如图，四棱锥E ABCD-中，平面ABCD⊥平面BCE，若2BCEπ∠=，四边形ABCD是平行四边形，且AE BD⊥.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若点F 在线段AE 上，且EC P 平面BDF ，60BCD ∠=︒，2BC CE ==，求三棱锥F BDE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）连接AC ，根据2BCE π∠=，得到BC CE ⊥，再由平面ABCD ⊥平面BCE ，得到EC ⊥平面ABCD ，则EC BD ⊥，又AE BD ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面AEC ，从而BD AC ⊥，再根据菱形的定义得证.（2）设AC 与BD 的交点为O ，根据//EC 平面BDF ，平利用线面平行的性质定理，得到//FO EC ，根据EC ⊥平面ABCD ，则 FO ⊥平面ABCD ，即为平面ABCD 上的高，然后利用F BDE E ABCD E BCD F ABD V V V V ----=--求解. 【详解】 （1）如图所示：连接AC ，因为2BCE π∠=，所以BC CE ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BCE ，所以EC ⊥平面ABCD ，所以EC BD ⊥，因为AE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，所以BD AC ⊥， 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以四边形ABCD 是菱形；（2）设AC 与BD 的交点为O ，因为//EC 平面BDF ，平面AEC I 平面BDF OF =， 所以//FO EC ，因为O 是AC 中点，所以F 是AE 的中点，因为EC ⊥平面ABCD ，//EC FO ，所以FO ⊥平面ABCD ，因为60BCD ∠=︒，2BC CE ==，所以三棱锥F BDE -的体积为：F BDE E ABCD E BCD F ABD V V V V ----=--()1111122sin 60222sin 60222sin 60133232⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒︒︒=. 【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化以及几何体体积的求法，还考查了转化化归思想和推理论证的能力，属于中档题.20．已知定圆()22:18M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程（2）若轨迹C 上存在两个不同点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求AOB V 面积的最大值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2212x y +=；（2）2【解析】（1）根据()1,0F 在圆()22:18M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M，则有=NM NF，即NM NF MF +=>，根据椭圆的定义，可知点N 的轨迹C 是椭圆再求解.（2）根据A ，B 关于直线12y mx =+对称，直线AB 的方程为1y x n m=-+，与椭圆方程联立22121x y y x nm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102nx x n m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，根据直线1y x n m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，224220n m ∆=-++>，AB 的中点2222,22mn m n M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭在直线12y mx =+上，得到m 的取值范围，再利用 ()12=⋅⋅S t AB d 求解.【详解】(1)因为()1,0F 在圆()22:18M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，所以=NM NF即NM NF MF +=>，所以点N 的轨迹C 是以()1,0M -和()1,0F为焦点，长轴长为的椭圆，因为2a =，1c =，所以1b =，所以点C 的轨迹方程为：2212x y +=；（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x n m=-+， 由22121x y y x nm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222112102nx x n m m ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 因为直线1y x n m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以224220n m ∆=-++>，① 所以AB 中点2222,22mn m n M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入直线方程12y mx =+，解得2222m m n +=-，②由①②解得3m <-，或3m >，令1t m ⎛⎫⎛=∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U，则22AB t =+，且O 到直线AB的距离为21t d +=，设AOB V 的面积为()S t ，所以()122=⋅⋅=≤S t AB d ，当且仅当212t =时，等号成立，所以AOB V 面积的最大值为2. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系和面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()()2xf x x e ax =-+（1）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程 （2）讨论关于x 的方程()ln f x a x =只有一个实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）()2120e x y +-+=；（2）a e =-或0a ≥【解析】（1）先根据2x =是()f x 的一个极值点，即()20f '=，解得2e a =，再求得()02f =，()20e 1f '=+，写出切线方程.（2）根据()ln f x a x =，将()ln f x a x =只有一个实数根，转化为()2e ln -=-x x a x x只有一个实数根，令()()2e ln -=-x x h x x x，转化为两函数图象交点问题求解. 【详解】（1）因为()()2e x f x x ax =-+，则()()1e xf x x a '=-+因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()20f '=，即()212e 0a -+=，所以2e a =，因为()02f =，()20e 1f '=+，则直线方程为()2e 21y x -=+，即()2120e x y +-+=； （2）因为()ln f x a x =，所以()2e ln 0xx a x ax -+-=，所以()()2e ln xx a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()110g x x x'=->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，故()()110g x g <=-<，所以()()2eln xx a h x x x-==-，所以()()()221e ln 1ln x x x x x h x x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭'=-， 设()2ln 1m x x x x =+--，则()()()22211121m x x x x x x'=--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数，所以()()22ln 20m x m >=->，所以当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 在()0,1上是减函数， 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上是增函数， 因为01x <<时，()0h x <，()1e h =-，()20h =， 所以，当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知点(P ，曲线C：2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，x 轴正半轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 6πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值. 【答案】（Ⅰ）点P 在直线l上；见解析（Ⅱ）11PA PB+=【解析】（Ⅰ）直线l：2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin θρθ+=线ly +=0+=，所以点P 在直线l 上；（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得. 【详解】（Ⅰ）直线l：2cos 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin θρθ+=，所以直线ly +=0+=， 所以点P 在直线l 上；（Ⅱ）直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的普通方程为22124x y +=， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得251240t t +-=， 设两根为1t ，2t ，所以12125t t +=-，11405t t ⋅=-<， 故1t 与2t 异号，所以125t t A P P B =-==+， 121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-=，所以11PA PB PA PB PA PB++==⋅【点睛】本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.23．已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）证明：22a b +=．（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值． 【答案】（1）2；（2）92【解析】分析：（1）将()2f x x a x b =++-转化为分段函数，求函数的最小值 （2）分离参数，利用基本不等式证明即可． 详解：（Ⅰ）证明：2ba -<Q()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解很关键，属于中档题．。
四川省泸州市高2016级（2019届）高三年级第三次教学质量诊断性考试数学（文科）试卷（解析版）
四川省泸州市⾼2016级（2019届）⾼三年级第三次教学质量诊断性考试数学（⽂科）试卷（解析版）2019年四川省泸州市⾼考数学三诊试卷（⽂科）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.设集合A={x|x-1＞0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满⾜，则|z|的值为（）A. B. C. D. 23.若m，n∈R，则“m-n=0”是“”成⽴的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S5=35，则数列{a n}的公差为（）A. B. 2 C. 4 D. 75.双曲线=1（a＞0，b＞0）的离⼼率为，则其渐近线⽅程为（）A. B. C. D.6.已知某⾼中的⼀次测验中，甲⼄两个班的九科平均分的雷达图如图所⽰，则下列判断错误的是（）A. 甲班的政治、历史、地理平均分强于⼄班B. 甲班的物理、化学、⽣物平均分低于⼄班C. 学科平均分分差最⼩的是语⽂学科D. 学科平均分分差最⼤的是英语学科7.已知等⽐数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，且公⽐为2，则S n与a n的关系正确的是（）A. B. C. D.8.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积是（）A. B. C. D.9.将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，得到的图象关于坐标原点对称，则m的最⼩值为（）A. B. C. D.10.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过C上⼀点M作其准线的垂线，垂⾜为N，若∠NMF=120°，则|MF|=（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=x-[x]，其中[x]表⽰不超过x的最⼤正整数，则下列结论正确的是（）A. 的值域是B. 是奇函数C. 是周期函数D. 是增函数12.已知圆锥SO1的顶点和底⾯圆周均在球O的球⾯上，且该圆锥的⾼为8，母线SA=12，点B在SA上，且SB=3BA，则过点B的平⾯被该球O截得的截⾯⾯积的最⼩值为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.已知向量=（1，2），=（2，k），若⊥，则k=______．14.已知实数x，y满⾜约束条件，则的最⼩值为______．15.设函数f（x）=，则f（-2）+f（log212）=______．16.已知圆x2+y2=1的圆⼼为O，点P是直线l：mx-3y+3m-2=0上的动点，若该圆上存在点Q使得∠QPO=30°，则实数m的最⼤值为______三、解答题（本⼤题共7⼩题，共70.0分）17.在三⾓形ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求⾓A（Ⅱ）若，，求b．18.如表是某公司2018年5～12⽉份研发费⽤（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：间的相关性强弱程度（Ⅱ）求出y与x的线性回归⽅程（系数精确到0.01），并估计当研发费⽤为20（百万元）时该产品的销量参考数据：，，，参照公式：相关系数r=，其回归直线=x中的=19.如图，四棱锥E-ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯BCE，若∠，四边形ABCD是平⾏四边形，且AE⊥BD．（Ⅰ）求证：四边形ABCD是菱形；（Ⅱ）若点F在线段AE上，且EC∥平⾯BDF，∠BCD=60°，BC=CE=2，求三棱锥F-BDE的体积．20.已知定圆M：（x+1）2+y2=8，动圆N过点F（1，0）且与圆M相切，记动圆圆⼼N的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的⽅程（Ⅱ）若轨迹C上存在两个不同点A，B关于直线对称，求△AOB⾯积的最⼤值（O为坐标原点）．21.已知函数f（x）=（2-x）e x+ax．（Ⅰ）已知x=2是f（x）的⼀个极值点，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线⽅程；（Ⅱ）讨论关于x的⽅程f（x）=a ln x只有⼀个实数根，求a的取值范围．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知点，，曲线：为参数．以原点为极点，x轴正半轴建⽴极坐标系，直线l的极坐标⽅程为．（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线与曲线C的两个交点分别为A，B，求的值．23.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x-b|的最⼩值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成⽴，求实数t的最⼤值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＞1}，B={y|y＞0}；故选：D．可求出集合A，B，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，指数函数的值域，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：由，得z=，则|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由得n=m，即m-n=0，即必要性成⽴，反之当m=0时，满⾜m-n=0但不成⽴，即“m-n=0”是“”成⽴的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．⽐较基础．4.【答案】B【解析】解：∵a1=3，S5=35，∴5×3+=35，解得d=2．故选：B．利⽤等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：∵双曲线的离⼼率为e==，即双曲线的渐近线⽅程为y=±x=±x，故选：A．根据双曲线离⼼率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进⾏求解即可．本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离⼼率的定义以及渐近线的⽅程是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：由雷达图可知：选项A、B、D均正确，⼜由图可知学科平均分分差最⼩的是地理学科，即C错误，故选：C．先对图表信息的分析、处理，再结合简单的合情推理逐⼀检验即可得解．本题考查了对图表信息的分析及简单的合情推理，属中档题．7.【答案】D【解析】解：因为数列{a n}是等⽐数列，且a1=1，公⽐为2，所以S n===2n-1=2×2n-1-1=2a n-1．故选：D．根据等⽐数列的前n项和公式将S n表⽰成a n的算式即可．本题考查了等⽐数列的前n 项和以及等⽐数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得该⼏何体为⼀个圆柱挖去⼀个四棱柱所得的组合体，圆柱的底⾯半径为2，棱柱的底⾯棱长为2，两个柱体的⾼均为4，故组合体的体积V=（π?22-2×2）×4=16π-16，故选：A．由已知中的三视图可得该⼏何体为⼀个圆柱挖去⼀个四棱柱所得的组合体，代⼊柱体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表⾯积，圆柱的体积和表⾯积，简单⼏何体的三视图，难度中档．9.【答案】B【解析】解：将函数=cos（x+）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，可得y=cos（x+m+）的图象，根据到的图象关于坐标原点对称，可得m+=kπ+，求得m=kπ+，k∈Z，则m的最⼩值为，利⽤函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三⾓函数的图象的对称性，求得m 的最⼩值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三⾓函数的图象的对称性，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点（1，0），过C上⼀点M作其准线的垂线，垂⾜为N，若∠NMF=120°，|MF|=|MN|，∠NFO=30°，∴DF=2，∴|NF|=，解得|MF|==．故选：C．利⽤抛物线定义，结合已知条件，求出NF，然后求解|MF|即可．本题考查了抛物线的定义标准⽅程及其性质、三⾓形的解法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由[x]表⽰不超过x的最⼤整数，对于A，函数f（x）=x-[x]∈[0，1），A错误；对于B，函数f（x）=x-[x]为⾮奇⾮偶的函数，B错误；对于C，函数f（x）=x-[x]是周期为1的周期函数，C正确；对于D，函数f（x）=x-[x]在区间[0，1）上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，D错误．故选：C．根据[x]表⽰不超过x的最⼤整数，分别判断函数f（x）=x-[x]的值域、奇偶性、周期性、单调性，即可得出结论．本题考查了函数的值域、单调性、奇偶性和周期性应⽤问题，正确理解新定义是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：设球半径为R，如图，SO交AM于点M，则SM=8，OA=R，AM==4，由勾股定理得：OA2=OM2+AM2，∴R2=（R-8）2+（4）2，解得R=9．取AS中点N，则BN=3，ON==3，∴OB==3，∴当截⾯圆最⼩时，OC=R=9，截⾯圆半径r=BC==3，∴过点B的平⾯被该球O截得的截⾯⾯积的最⼩值为：S min=π×r2=27π．故选：A．设球半径为R，SO交AM于点M，则SM=8，OA=R，AM=4，由勾股定理得R=9．取AS中点N，则BN=3，ON=3，从⽽OB=3，当截⾯圆最⼩时，OC=R=9，截⾯圆半径r=BC==3，由此能求出过点B的平⾯被该球O截得的截⾯⾯积的最⼩值．本题考查截⾯⾯积的最⼩值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．13.【答案】-1【解析】解：∵=（1，2），=（2，k），且，故=2+2k=0，解得k=-1，故答案为：-1本题考查向量垂直的充要条件，属基础题．14.【答案】【解析】解：，则k得⼏何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平⾯区域如图：则由图象可知OA的斜率最⼩，由，解得A（2，1），则OA得斜率k=，故答案为：．作出不等式组对应得平⾯区域，利⽤的⼏何意义即可得到结论．本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应⽤，根据z的⼏何意义，利⽤数形结合是解决本题的关键．15.【答案】9【解析】解：由函数f（x）=，可得f（-2）+f（log 212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．由条件利⽤指数函数、对数函数的运算性质，求得f（-2）+f（log212）的值．本题主要考查分段函数的应⽤，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题．16.【答案】4【解析】解：直线l的⽅程可化为（x+3）m-（y+2）=0，令，得，即直线l过定点（-3，-2），因为该圆上存在点Q使得∠QPO=30°，故，即OP≥2，所以OP=≤2，解得，故填：4若该圆上存在点Q使得∠QPO=30°，则sin∠QPO≥sin30°，根据圆⼼到直线的距离公式得，O到直线的距离d≤2，即可得到m 的范围．本题考查了点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，圆和直线上的动点问题等，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）在三⾓形ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A，∵，∴2bc cos A=bc sin A，∴tan A=，∵0＜A＜π，∴A=，（Ⅱ）∵cos B=，∴sin B=，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=，由正弦定理可得b=?sin B=8．（Ⅰ）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，即可求出A，（Ⅱ）根据同⾓的三⾓函数的关系和两⾓和的正弦公式和正弦定理即可求出．本题考查了正弦余弦定理的应⽤，考查了运算能⼒和转化能⼒，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵，，∴r===，∴y与x之间具有较强的相关关系；（Ⅱ）∵==，∴，∴．当x=20时，．∴当研发费⽤为20（百万元）时该产品的销量为5.12万台．【解析】（Ⅰ）由已知求得与，代⼊相关系数公式求r值，则答案可求；（Ⅱ）求出与的值，得到线性回归⽅程，取x=20求得y值，则答案可求．本题考查线性回归⽅程与相关系数的求法，考查计算能⼒，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：连接AC，∵∠，∴BC⊥CE，∵平⾯ABCD⊥平⾯BCE，∴EC⊥平⾯ABCD，则EC⊥BD，∵AE⊥BD，且AE∩EC=E，∴BD⊥平⾯AEC，∴BD⊥AC，∵四边形ABCD为平⾏四边形，∴四边形ABCD是菱形；（Ⅱ）解：设AC与BD的交点为O，∵EC∥平⾯BDF，平⾯AEC∩平⾯BDF=OF，∴FO∥EC，∵O是AC的中点，∴F是AE的中点，∴FO⊥平⾯ABCD，∵∠BCD=60°，BC=CE=2，∴三棱锥F-BDE的体积为：V F-BDE=V E-ABCD-V E-BCD-V F-ABD=．【解析】（Ⅰ）连接AC，由已知得BC⊥CE，再由平⾯ABCD⊥平⾯BCE结合⾯⾯垂直的性质可得EC⊥平⾯ABCD，得到EC⊥BD，⼜AE⊥BD，可得BD⊥平⾯AEC，从⽽得到BD⊥AC，结合四边形ABCD为平⾏四边形，可得四边形ABCD是菱形；（Ⅱ）设AC与BD的交点为O，证明F是AE的中点，再证明FO⊥平⾯ABCD，然后利⽤V F-BDE=V E-ABCD-V E-BCD-V F-ABD求解．本题考查空间中直线与直线、直线与平⾯位置关系的判定及应⽤，考查空间想象能⼒与思维能⼒，训练了利⽤等积法求多⾯体的体积，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：|NM|+|NF|=2＞|MF|=2，∴动圆圆⼼N的轨迹C是以点M（-1，0）和F（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设椭圆的标准⽅程为：+=1，（a＞b＞0）．∴2=2a，c=1，b2=a2-c2．解得a=，c=1，b2=1．∴椭圆的标准⽅程为：+y2=1．（II）由题意可知m≠0，可设直线AB的⽅程为：y=-x+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．联⽴，化为：（+）x2-x+n2-1=0．由直线与椭圆相交于不同的两点，∴△=-4（+）（n2-1）＞0．∴x1+x2=，∴线段AB的中点（，），代⼊直线的⽅程可得：n=-，代⼊△＞0，可得：m＜-，或m＞．两t=∈（-，0）∪（0，）．则|AB|=?，点O到直线AB的距离d=．则△AOB的⾯积S（t）=d|AB|=≤，当且仅当t2=时取等号．∴S（t）的最⼤值为：．【解析】（I）由题意可得：|NM|+|NF|=2＞|MF|=2，∴动圆圆⼼N的轨迹C是以点M （-1，0）和F（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．（II）由题意可知m≠0，可设直线AB的⽅程为：y=-x+n，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆⽅程联⽴化为：（+）x2-x+n2-1=0．由直线与椭圆相交于不同的两点，可得△＞0．利⽤根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式即可得出三⾓形⾯积计算公式，再利⽤⼆次函数的单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系弦长公式、点到直线的距离公式、三⾓形⾯积计算公式、⼆次函数的单调性，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=-e x+（2-x）e x+a=（1-x）e x+a．∵x=2是f（x）的⼀个极值点，∴f′（2）=0，得-e2+a=0得a=e2，∵f（0）=2，f′（0）=1+e2，∴线f（x）在（0，2）处的切线⽅程⽅程为y-2=（1+e2）x，即y=（1+e2）x+2．（Ⅱ）∵f（x）=a ln x得（2-x）e x+ax=a ln x，即（x-2）e x+a ln x-ax=0，则（x-2）e x=-a（ln x-x），设g（x）=ln x-x，x＞0，则g′（x）=-1，（x＞0），则g（x）在（0，1）上是增函数，则（1，+∞）上是减函数，则g（x）＜g（1）=-1＜0，∴a=h（x）=，则h′（x）=，设m（x）=x+-ln x-1，则m′（x）=1--=，则m（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，∴m（x）＞m（2）=2-ln2＞0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数，当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上是增函数，∵0＜x＜1时，h（x）＜0，h（1）=-e，h（2）=0，∴当a=-e或a≥0时，⽅程有1个实根，【解析】（Ⅰ）求函数的导数，利⽤x=2是f（x）的⼀个极值点，得f′（2）=0建⽴⽅程求出a的值，结合导数的⼏何意义进⾏求解即可．（Ⅱ）利⽤参数法分离法得到a=h（x）=，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利⽤数形结合转化为图象交点个数进⾏求解即可．本题主要考查导数的综合应⽤，结合导数的⼏何意义以及利⽤参数分离法转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较⼤，有⼀定的难度．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l：2ρcos（θ-）=，即ρcosθ+ρsinθ=，所以直线l的直⾓坐标⽅程为+y-=0，因为，所以点P在直线l上．（Ⅱ）直线l的参数⽅程为（t为参数）曲线C的普通⽅程为+=1，将直线l的参数⽅程代⼊曲线C的普通⽅程得5t2+12t-4=0，设A，B对应的参数为t1，t2，所以t1+t2=-，t1t2=-＜0，故t1与t2异号．所以|PA|+|PB|=|t1-t2|==，|PA|?|PB|=|t1||t2|=-t1t2=，∴+==．【解析】（Ⅰ）直线l：2ρcos（θ-）=，即ρcosθ+ρsinθ=，所以直线l的直⾓坐标⽅程为+y-=0，因为，所以点P在直线l上．（Ⅱ）根据参数的⼏何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.【答案】（1）证明：，∵且，∴，当时取等号，即f（x）的最⼩值为，∴，．（2）解：∵a+2b≥tab恒成⽴，∴恒成⽴，，当时，取得最⼩值，∴，即实数t的最⼤值为．【解析】（1）根据不等式的性质求出f（x）的最⼩值，证明结论即可；（2）求出恒成⽴，根据不等式的性质求出t的最⼤值即可．本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是⼀道中档题．。
四川省泸州市2020届高三第三次教学质量诊断性考试数学(文)试题 Word版含解析
（1）函数 在 上是减函数；
（2）当 ,且 时, ,则 ；
（3）函数 （其中 ）的最小值为 .
其中正确结论的个数为（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数图像的变换求解 ,再根据三角函数的单调区间、对称性判断(1)(2),求导分析函数的单调性与最值判断(3)即可.
【详解】对于A选项，每天新增疑似病例数由小到大依次为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，中位数为 ，A选项正确；
对于B选项，由于共统计了 天，则在对新增确诊病例的统计中，样本容量为 ，B选项正确；
对于C选项，从 月 日至 月 日中每天新增确诊与新增疑似病例之和分别为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 , ,则 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次不等式的方法求解集合 ,再求解 即可.
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由奇函数定义域关于原点对称可求得 ，由奇函数的性质即可求得结果.
【详解】函数 是定义在 上的奇函数，则 ，解得： ，
则 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
四川省泸州市届高三三诊考试文数试题Word版含答案
泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1}U x x =>，集合{(1)(3)0}A x x x =--<，则U C A =（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,3)2.复数1iz i=+（其中i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1 B ．12i C ．12D ．-13.已知等比数列{}n a 的公比12q =，28a =，则其前3项和3S 的值为（ ）A ．24B ．28C ．32D ．164.已知平面向量(2,1)a =-，(1,2)b =，则2a b -的值是（ ）A ．1B ．5CD 5.某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程5y x a =+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（ ）A ．9.2B ．9.8C ．9.8D ．10 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线与抛物线C 的准线交于点B ，则线段FB 的长为（ ）A ．10B ．6C ．8D ．4 7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（2πϕ<）的图象沿x 轴向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=B ．3x π=-C ．6x π=-D ．3x π=8. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音g èng ，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．310.已知Rt ABC ∆中，3,1AB AC ==，2A π∠=，以,B C 为焦点的双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）经过点A ，且与AB 边交于点D ，若AD BD的值为（ ）A ．72 B ．3 C ．92D ．4 11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．17πB ．16πC ．8πD ．20π 12.已知函数()ln f x x x =+与21()12g x ax ax =+-（0a >）的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为（ ）A ．12(,)23B ．2(,1)3C ．3(,2)2D ．3(1,)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知24113log log a a+=，则a = ． 14.设不等式组020x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ． 15.若函数2,2()log ,2a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[1,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-. （1）求证：2A B =；（2）若53b c =，a =BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率. 19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FMEM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论； （2）求三棱锥E BDF -的体积E BDF V -.20. 设1F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，M 是C 上一点，且1MF 与x 轴垂直，若132MF =，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以椭圆C 的左顶点A 为Rt ABD ∆的直角顶点，边,AB AD 与椭圆C 交于,B D 两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数()(1)x f x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）函数2()()(1)g x f x ax ex =-++的的导函数为'()g x ，若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2xx y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2. （1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD二、填空题13. 2 14.4π 15. [3,)+∞ 16. 2n n n a =三、解答题17.解：（1）因为2cos b c b A =-， 所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即sin sin()B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，sin A =设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =18.解：（1）因为甲机床为优品的频率为32821005+=， 乙机床为优品的频率约为296710020+=， 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为27,520；（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为1(4016052100820)114.4100⨯+⨯-⨯=元 所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元所以甲机床某天生产50件零件的利润为50114.45720⨯=元 （3）由题意知，甲机床应抽取125230⨯=，乙机床应抽取185330⨯=， 记甲机床的2个零件为,A B ，乙机床的3个零件为,,a b c ，若从5件中选取2件分别为,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc 共10种取法 满足条件的共有3种，分别为,,ab ac bc ， 所以，这2件都是乙机床生产的概率310P =. 19. 解： （1）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O =，连接FO ，因为1AD BC ==，060ADC ∠=，所以2DC =，又1AB =，//AB DC 因此:2:1CO AO =， 所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；（2）连接OE ，过点B 作BG AC ⊥于点G ，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，所以BG ⊥平面ACFE ，即BG 为点B 到平面ACFE 的距离， 因为1AB BC ==，0120ABC ∠=，所以12BG =又因为DA AC ⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以DA ⊥平面ACFE ， 即DA 为点D 到平面ACFE 的距离，1111(1)322E BDF B OEF D OEF V V V ---=+=⨯⨯+=20.解：（1）因为点1(,0)F c -，1MF 与x 轴垂直，所以2(,)b M c a -或2(,)b M c a--， 则22223212b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，即21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）点(2,0)A -，设直线AB 的方程为直线(2)y k x =+（0k >）， 代入椭圆方程消去y 得：2222(34)1616120k x k x k +++-=，设1(,0)A x ，则2121612234k x k --=+，所以2128634k x k -+=+，212862234k AB x k -+=+=+=+直线AD 的方程为直线1(2)y x k=-+，同理可得23AD k =+ 所以ABD ∆的面积：211721122312()1ABD S AB AD k k k k k∆=∙==++++令1t k k =+，因为0k >，则12t k k =+≥， 1()12f t t t =+在[2,)+∞上单增，所以49()2f t ≥，所以14449ABD S ∆≤,ABD ∆面积的最大值为14449.21.解：（1）因为函数()(1)x f x e a x =++，所以'()(1)x f x e a =++， 故直线l 的斜率为0'0()(1)x f x e a =++，点00(,())x f x 的切线l 的方程为000()((1))()x y f x e a x x -=++-， 因直线过(0,0)，所以000()((1))()x x e a x -=++-， 即0000(1)((1))x x e a x e a x ++=++ 解之得，01x =（2）令2()(1)1xg x e ax a e x =-+-+-， 所以'()21xg x e ax a e =-+-+， 设()21x k x e ax a e =-+-+， 则'()2x k x e a =-，因为函数'()2x k x e a =-在(0,1)上单增， 若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，则'()2x k x e a =-在(0,1)有一个零点ln(2)(0,1)x a =∈， 所以122e a <<， ∴()k x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增， 所以()k x 在(0,1)上有最小值(ln(2))k a ，因为(ln(2))22ln(2)(1)32ln(2)1k a a a a e a a a a e =----=-+-（122ea <<）， 设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-（1x e <<），则'1()ln 2x x ϕ=-， 令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕ递增，x e <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以max ()10x e ϕ-<， ∴(ln(2))0k a <恒成立，若()k x 有两个零点，则有(ln(2))0k a <，(0)0k >，(1)0k >， 由(0)20k a e =+->，(1)10k a =->，得1e a a -<<， 综上，实数a 的取值范围是(2,1)e -. 22.解：（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：22(2)14x y -+=， 又''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入上式可知： 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+（(,)26ππθ∈-）， ∴122cos 2cos()3OA OB πρρθθ+=+=++)6πθ=+， 因为()(,)633πππθ+∈-， 所以OA OB +的取值范围是23.解：（1）①当12a ->-时，即2a >时，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =或2a =-（舍）； ②当12a -<-时，即2a <时，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =（舍）或2a =- ③当12a -=-时，即2a =，()31f x x =+， 此时min ()0f x =，不满足条件，综上所述，6a =或2a =-；（2）由题意知，6m n +=，∵222()2m n m n mn +=++2222()()m n m n ≤+++222()m n =+当且仅当3m n ==时取“=”， ∴2218m n +≥，所以22m n +的最小值为18。
泸州市高高三第三次教学质量诊断性考试
高中物理学习材料金戈铁骑整理制作泸州市高2016届高三第三次教学质量诊断性考试理科综合物理理科综合共300分，考试用时．150分钟。
物理试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分，第一部分1至2页，第二部分3 至4页，共110分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试题卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回，试题卷自留。
预祝各位考生考试顺利!第一部分选择题共42分注意事项：1．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2．第一部分共7小题，每小题6分，共42分。
每个小题所给出的四个选项中，1-5题只有一个符合题目要求，6-7题有多个符合题目要求。
全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分。
1．下列说法中正确的是A．次声波比人耳能听见的声波更易发生衍射B．红光由空气进入水中，波长变长、颜色不变C．根据麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场周围一定能产生电磁波,D．真空中的光速在不同惯性参考系中是不同的2．为保证用户电压U3稳定在220V，变压器需适时进行调压，如图为变压器输电示意图。
保持输入电压U l 不变，当滑动触头P上下移动时可改变输出电压U2，变压器到用户之间的导线电阻为R。
则：A ．随着用户的增多，电流表示数减小；为使用户电压U 3稳定在220V ，应将P 适当下移B ．随声用户的增多，电流表示数增大；为使用户电压U 3稳定在220V ，应将P 适当上移C ．随着用户的增多，电流表示数减小；为使用户电压U 3稳定在220V ，应将P 适当上移D ．随着用户的增多，电流表示数增大；为使用户电压U 3稳定在220V ，应将P 适当下移3．沿x 轴正向传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形如图所示，M 为介质中x=1．2m 处的一个质点，该波的传播速度为l0m ／s ，则在t=0．15s 时A ．质点M 对平衡位置的位移沿y 轴正方向B ．质点M 的加速度方向与速度方向相同C ．质点M 的速度方向与对平衡位置的位移方向相同D ．质点M 的加速度方向与对平衡位置的位移方向相同4．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200km 和l00km ，运动速率分别为1v 和2v ，且：121819v v =，则月球半径约为 A ．800km B ．1100km C ．1700km D ．2000km5．如图所示，一均匀导线弯成边长为l 的正三角形闭合回路。