第二章第五讲微分与微分应用

′ = −3e 1− 3 x , (cos x )′ = − sin x . Q (e ) ∴ dy = cos x ⋅ ( −3e 1− 3 x )dx + e 1− 3 x ⋅ ( − sin x )dx = − e 1− 3 x ( 3 cos x + sin x )dx .
1− 3 x
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一般地,如果函数 满足一定条件,则函数的增量 一般地 如果函数y=f(x)满足一定条件 则函数的增量 ∆y 可表示 如果函数 满足一定条件 为
∆y = A∆x + o( ∆x )
其中A是不依赖于∆x 的常数 因此 A∆x 是∆x 的线性函数 且它与 的常数,因此 ∆ 的线性函数,且它与 其中 是不依赖于 ∆y 之差
即函数 f ( x )在点 x 0可导, 且A = f ′( x 0 ).
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(2) 充分性 Q函数 f ( x )在点 x 0 可导,
∆y ∴ lim = f ′( x 0 ), ∆x → 0 ∆ x
即
∆y = f ′( x 0 ) + α, ∆x
从而 ∆y = f ′( x 0 ) ⋅ ∆x + α ⋅ ( ∆x ), Q α → 0 ( ∆x → 0),
= f ′( x 0 ) ⋅ ∆x + o( ∆x ),
Q函数 f ( x )在点 x 0可微, 且 f ′( x 0 ) = A.
可 ⇔ 微 ∴ 导 可. A f′(x ). = 0
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例6
在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立. 使等式成立.
(1) d(
) = xdx
( 2 ) d(
解 (1)
) = cos ωtdt
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Q d ( x 2 ) = 2 xdx 1 x2 ∴ xdx = d ( x 2 ) = d ( ) 2 2 2 x 即 d ( ) = xdx 22 x 为任意常数) 为任意常数 一般地,有 + C ) = xdx (C为任意常数 一般地 有 d ( 2 泰山医学院信息工程学院 刘照军
x∆ 0 x
x 0
= 2 x 0 ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 .
() 1
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(2 )
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( ): ∆ 的 性 数 为A 主 部 ; 1 x 线 函 ,且 ∆ 的 要 分 (2 : ∆ 的 阶 穷 ,当 x很 时 忽 . ) x 高 无小 ∆ 小 可略
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d (a x ) = a x ln adx d (e x ) = e x dx 1 1 d (log a x ) = dx d (ln x ) = dx x ln a x 1 1 d (arcsin x ) = dx d (arccos x ) = − dx 2 2 1− x 1− x 1 1 d (arctan x ) = dx d (arc cot x ) = − dx 2 2 1+ x 1+ x
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4、应用
例1、 求函数 y = x 2在x = 1和x = 3处的微分 、 Q dy = 2 xdx 解
∴ 在 x = 1处的微分
dy = ( x 2 )′
在x = 3处的微分
x =1
∆x = 2∆x;
∆x = 6 ∆ x
dy = ( x 2 )′
x=3
函 y= f(x 在 意 x 微 , 称 函 的 数= y ) 任 点的 分 为 数 微 , 记 d 或f(x , 即y= f′(x ∆ . 分 作y d ) d ) x
例2、 求函数 y = x 3 当 x = 2, ∆x = 0.02时的微分 . 、 解
Q dy = ( x 3 )′ ∆x = 3 x 2 ∆x .
∴ dy
x=2 ∆x = 0.02
= 3 x 2 ∆x
x=2 ∆x = 0.02
= 0.24.
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常 自 量的 量 x 为 变 的 分 通 把 变 x 增 ∆称 自 量 微, 作x d x 记 d , 即x=∆ .
的微分，记作dy， 量 ∆x 的微分，记作 ，即 dy = A∆x
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说明: 说明:
(1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数;
( 2) ∆y − dy = o( ∆x )是比∆x高阶无穷小;
( 3) 当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小 ;
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第五节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 六、作业
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一、微分的定义
1、问题的提出 、 一块正方形金属薄片受温度变化的影响， 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由
∴ dy = cos udu = cos( 2 x + 1)d ( 2 x + 1)
= cos( 2 x + 1) ⋅ 2dx = 2 cos( 2 x + 1)dx .
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例4 设 y = ln(1 + e ), 求dy .
x2
解
dy = d ln(1 + e ) =
o
y= f(x = )
M
d ∆ y y
o( ∆ x )
x ∆
）
α
x0
x0 + ∆x
x
当 ∆x 很小时 , 在点M的附近 , 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
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三、基本初等函数的微分公式与微分 运算法则
函数的微分的表达式 d = f′(x d y )x 求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 1.基本初等函数的微分公式
∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
可表示为
∆ y = A ∆ x + o( ∆ x )
其中A是不依赖于 的常数， 其中 是不依赖于 ∆x 的常数，而 o( ∆x ) 是比∆x 高阶的无穷小，那么称 高阶的无穷小，那么称y=f(x)在点 x0 是可微的， 在点 是可微的，
∆ 叫做函数y=f(x)在点 x0 相应于自变量增 而 A∆x 叫做函数 在点
d (C ) = 0 d (sin x ) = cos xdx
d ( x µ ) = µx µ − 1 dx d (cos x ) = − sin xdx
d (tan x ) = sec 2 xdx d (cot x ) = − csc 2 xdx d (sec x ) = sec x tan xdx d (csc x ) = − csc x cot xdx

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四、微分在近似计算中的应用**** 微分在近似计算中的应用
1 函数的近似计算
若y = f ( x )在点x0处的导数 f ′( x0 ) ≠ 0, 且 ∆x 很小时 , 我们有
∆y ≈ dy = f ′( x0 )∆x
(4) (5)
这个式子也可以写为
函数和、 2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u ± v ) = du ± dv d ( uv ) = vdu + udv
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d (Cu ) = Cdu u vdu − udv d( ) = ( v ≠ 0) 2 v v
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3. 复合函数的微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下: 可推导如下 都可导, 设 y = f (u) 及 u = ϕ ( x ) 都可导 则复合函数 y = f [ϕ ( x )] 的 微分为 dy = f ′( u)ϕ ′( x )dx = f ′( u)du 上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变 自变量还是中间变量其微分形式不变, 上式说明无论是 自变量还是中间变量其微分形式不变 这一 性质称为微分形式不变性 微分形式不变性. 性质称为微分形式不变性 例3 设 y = sin( 2 x + 1), 求dy . 解 Q y = sin u, u = 2 x + 1.
∆y o( ∆x ) Q = 1+ → 1 ( ∆x → 0). dy A ⋅ ∆x
( 4) A是与 ∆x无关的常数 , 但与 f ( x )和x 0 有关;
(5) 当 ∆x 很小时 , ∆y ≈ dy (线性主部 ).
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3、可微的充要条件 定理： 定理：y=f(x)在 x0 可微的充分必要条件是 在 可微的充分必要条件是f(x)在 x0 处 在 可导，且当 可导，且当f(x)在点 x0 可微时，其微分一定是 在点 可微时，
x2
1
x2
=
例5 解
ex
2
1+ e
x2
1+ e 2 2 xe x dx ⋅ 2 xdx = x2 1+ e
d (1 + e ) =
x2
1 1+ e
x2