2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2、降次——解一元二次方程课件22
人教版九年级数学上册21.2.1解一元二次方程(第1课时)一等奖优秀教学设计

人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
21.2.1解一元二次方程(第1课时)教学设计
一、教材分析
1、地位作用:本节为一元二次方程解法的起始课。
一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分,而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法,它看似简单,却不容忽视。
首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础;其次,求解二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法;同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比”等重要的数学思想方法。
因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课,更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
2、教学目标:①了解形如x2=a (a≥0)和(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法;
②会用直接开平方法解一元二次方程;
③了解转化、降次思想在解方程中的运用。
3、教学重、难点
教学重点:①解形如x2=a和(mx+n)2=p(p≥0)的方程;
②通过本节课的学习体会换元和转化思想。
教学难点:①解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程。
突破重难点的方法:直接开平方法适用一元二次方程类型的探究,通过根据平方根的意义解形如x2=a (a≥0),知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程,做好合适的铺垫,引导学生发现运用直接开平方法解一元二次方程的求解途径,引导学生运用换元、转化思想探求一元二次方程如何用直接开平方法来解,提高探究能力。
二、教学准备:多媒体课件、导学案、
三、教学过程。
数学:人教版九年级上-.-降次解一元二次方程(疑难解析)

(1) (2)
解:(1) ,
( 2)因式分解,得
于是得 或
评注:掌握好一元二 次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键.因式分解法求根,解答过程较简单,但并 不具有普遍意义 .解一元二次方 程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
例题选讲
例1. 用配 方法解下列方程 :
(1) (2)
解:(1 )移项,得
配方
由此可得
.
(2)移项,得
二次项系数化为1,得
配方 即
∴ ∴
评注:运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1”的形式,然后在方程的左右两边同时加上 一次项系数一半的平方,把方程化为 的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一ห้องสมุดไป่ตู้项系数一半的平方.
22.2降次——解一元二次方程
疑难分析
1.通过配成完全平方形式来解一元二次方 程 的方法,叫做配 方法.可以看出,配方是为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 .
2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当 ,将a,b,c代入式子 就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程 的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实 现降次,这种解法叫做因式分解 法.
4. 配方法要先 配方,再降次;通过配方 法可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等 于0.配方法、公式法适用于所有一元 二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方 程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
人教版九年级数学上册课件:21.2.1降次解一元二次方程

开平方得: x 3 4
∴原方程的解为:x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0 吗?
解:二次项系数化为1得:x2 1 x 3 0
2
移项得: x2 1 x 3
2
配方得:x2 1 x (1)2 3 (1)2
x 5,
这种解法叫做什么?
直接开平方法
即 x1 5,x2 5
可以验证,5和-5是方程的根,但是棱长不能是负值, 所以正方体的棱长为5dm.
把此方程“降次”, 转化为两个一元 一次方程
怎样解方程(2x1)2 5及 方程 x2 6x 9 2?
方程 x2 6x 9 2的左边是完全平方形式,
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(4) x2 共同点:
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
合作交流探究新知
问题: 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且 面积为16m2, 场地的长和宽应各是多少?
• 难点: 从实际问题中抽象出一元二次方程,
把一元二次方程化为一般形式并能正确识 别一般式中的项和系数。
完全平方公式:
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2 (3) y2 5y (__52_)_2 _ ( y __52 _)2
人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(4)》

【应用】
例:不解方程,判定方程根的情况
(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0
(3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0
分析:不解方程,判定根的情况,只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可.
过程
方法
从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
情感
态度
价值观
继续体会由未知向已知转化的思想方法.
教学重点
理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况.
教学难点
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0(a≠0)的根的应用.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
学校教学设计九年级数学
章课题
一元二次方程
主备教师
参备教师
授课教师
课题
21.2降次——解一元二次方程(4)
教
学
目
标
知识
技能
掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实根,反之也成立;b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,反之也成立;b2-4ac<0,ax2+bx+c=0(a≠0)没实根,反之也成立;及其它们关系的运用.
二、探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题,我们已经知道b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在你把这个问题一般化,从求根公式的角度来分析来得出结论。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1直接开平方法教案 新人教版

21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a (ex+f )2+c=0型的一元二次方程.重难点关键1.重点:运用开平方法解形如(x+m )2=n (n ≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x 2=n ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m )2=n (n ≥0)的方程.教学过程一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题问题1.填空(1)x 2-8x+______=(x-______)2;(2)9x 2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x 2+px+_____=(x+______)2.问题2.如图,在△ABC 中,∠B=90°,点P 从点B 开始,沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动,点Q 从点B 开始,沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,如果AB=6cm ,BC=12cm ,•P 、Q 都从B 点同时出发,几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2? BCAQ P 老师点评:问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)(2p )2 2p . 问题2:设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x,BQ=2x依题意,得:12x·2x=8x2=8根据平方根的意义,得x=±22即x1=22,x2=-22可以验证,22和-22都是方程12x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.所以22秒后△PBQ的面积等于8cm2.二、探索新知上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±22,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±22即2t+1=22,2t+1=-22方程的两根为t1=2-12,t2=-2-12例1:解方程:x2+4x+4=1分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.解:由已知,得:(x+2)2=1直接开平方,得:x+2=±1即x+2=1,x+2=-1所以,方程的两根x1=-1,x2=-3例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.分析:设每年人均住房面积增长率为x.•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方,得1+x=±1.2即1+x=1.2,1+x=-1.2所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.•我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练习教材练习.四、应用拓展例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,•那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31把(1+x)当成一个数,配方得:(1+x+12)2=2.56,即(x+32)2=2.56x+32=±1.6,即x+32=1.6,x+32=-1.6方程的根为x1=10%,x2=-3.1因为增长率为正数,所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.五、归纳小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=p,达到降次转化之目的.六、布置作业1.教材复习巩固1、2.2.选用作业设计:一、选择题1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().A.p=4,q=2 B.p=4,q=-2 C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2 2.方程3x2+9=0的根为().A.3 B.-3 C.±3 D.无实数根3.用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是().A.(x-13)2=89,x=13±22B.(x-13)2=-89,原方程无解C.(x-23)2=59,x1=23+53,x2=253-D.(x-23)2=1,x1=53,x2=-13二、填空题1.若8x2-16=0,则x的值是_________.2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.3.如果a、b34a+2-12b+36=0,那么ab的值是_______.三、综合提高题1.解关于x的方程(x+m)2=n.2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),•另三边用木栏围成,木栏长40m.(1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗?(2)鸡场的面积能达到210m2吗?3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,•并说明你制作的理由吗?答案:一、1.B 2.D 3.B二、1.±2 2.9或-3 3.-8三、1.当n≥0时,x+m=n x1n,x2n.当n<0时,无解2.(1)都能达到.设宽为x,则长为40-2x,依题意,得:x(40-2x)=180整理,•得:•x2-20x+90=0,x110x210同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20.(2)不能达到.同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,b2-4ac=400-410=-10<0,无解,即不能达到.3.因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。
九年级数学上册 21.2 降次—解一元二次方程 你能避开求根公式解“年份”类型的一元二次方程吗素材

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你能避开求根公式解“年份”类型的一元二次方程吗?众所周知,解一元二次方程的基本方法是通过求根公式来求得它的两个根,但是不少一元二次方程由于系数的绝对值较大,因此如用求根公式来解,则将不胜其烦.例如,有这样两道题:(1)解方程:(1997x)2—1996×1998x-1=0.(2)解方程:(x-1994)·(x—1995)=1996×1997.你准备用什么方法来解?其实,第1题可通过十字相乘法来解.事实上,原方程即为19972·x2—(1997—1)·(1997+1)x-1=0.因此由19972-1=(1997—1)·(1997+1)易知可把原方程改写为(19972x+1)·(x-1)=0.至于第2题,如能注意到:1994+1997=1995+1996,1994-1996=1995—1997,并且一元二次方程最多只有两个实根,则可有一个特殊的简捷解法:∴由①式可得x=1994+1997=3991.∴由②式可得x=-1996+1994=-2.由于一元二次方程最多只有两个实根,∴原方程的解为x1=3991,x2=-2.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
21.2 降次——解一元二次方程(3)

21.2 降次——解一元二次方程(3)
学习目标
1.知道一元二次方程根的判别式的概念.
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况
及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取
值范围.(重点)
3.经历求根公式的推导过程并会用公式法解
简单的一元二次方程.(难点)
情景引入
老师写了4个一元二次方程让同学们判断
为一般形式
Δ = b2 − 4ac = 0
有两个相等的实数根
ax2+bx+c=0
Δ = b2 − 4ac < 0
没有实数根
例2 若关于 x 的一元二次方程 ( − 1)x2 − 2x +3 = 0 有
两个不等的实数根,则 的取值范围是 ( B )
A. m
C. m
4
>
3
4
<
3
B. m <
4
3
D. m>
典例分析
例3 用公式法解下列方程:
x2 − 4x − 7 = 0.
解:∵ = 1, = −4, = −7.
则 ∆= 2 − 4 = (−4)2 −4 × 1 × (−7) = 44 > 0
∴原方程有两个不相等的实数根.
∴ =
−± ∆
2
=
−(−4)± 44
2
= 2 ± 11
两个不等
方程有________的实数根;
当 b2-4ac = 0 时,
方程有________的实数根;
两个相等
当 b2-4ac < 0 时,
无实数根
方程_________.
布置作业
见精准作业单!
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案

-将现实问题抽象为一元二次方程,并运用所学知识解决。
举例解释:
-配方法中的移项和加、减同一个数以形成完全平方的过程,如将x²-6x+9转化为(x-3)²;
-在公式法中,对于方程2x²-5x+2=0,学生需要计算判别式Δ=(-5)²-4*2*2=25-16=9,并理解Δ>0时方程有两个不同实数根;
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调一元二次方程的四种解法:直接开平、配方法、公式法和因式分解法。对于难点部分,如配方法和公式法,我会通过具体方程的求解过程来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过图形的折叠和剪裁,学生可以直观地理解配方法中的完全平方概念。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案:
1.掌握一元二次方程的一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0);
2.了解求解一元二次方程的四种方法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法;
我也观察到,在总结回顾环节,有些学生对所学知识的掌握并不牢固,可能需要更多的复习和练习。因此,我计划在接下来的课程中,增加一些巩固性的练习,特别是针对那些难度较大的解法,以确保学生能够扎实掌握。
最后,我认识到,教学过程中要不断关注学生的反馈,根据他们的学习情况调整教学策略。在今后的教学中,我会更加注重因材施教,针对不同学生的学习能力和兴趣,设计更加个性化的教学活动。同时,我也会鼓励学生提出自己的疑问,并及时给予解答,帮助他们克服学习中的困难。
21.2降次—解一元二次方程(6)

例2 解方程:x2 + 6x - 7 = 0.
解:因式分解得
x2 6x 7 (x 7)(x 1) 步骤: (x + 7)(x − 1) = 0.
x 7
x·
×
1
x 7x 6x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘,积相加 ③检验确定,横写因式
(3) (x+1 )(x-1)= 0.
x1 = -1,x2 = 1.
(4) (x + 6)(2x - 4) = 0;
x1 = -6,x2 = 2.
例1 解下列方程:
1 x x 2 x 2 0;
25x2 2x 1 x2 2x 3.
解:(1)因式分解,得
(2) 移项、合4并得
4
(x - 2)(x+1) = 0. ∴ x - 2 = 0,或 x+1 = 0.
(2) x2 + 4x − 5 = 0;
x 5
x·
×
1
x 5x 4x
解:分解因式,得
(x + 5)(x − 1) = 0,
解得 x1 = −5,x2 = 1.
(3) (x + 3)(x − 1) = 5;
解:整理得 x2 + 2x − 8 = 0,
x4
x 2
2x 4x 2x
分解因式,得 (x + 4)(x − 2) = 0, 解得 x1 = −4,x2 = 2.
∴ x + 7 = 0, 或 x − 1 = 0.
∴ x1= −7, x2 = 1.
简记口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中.
练一练2 解下列方程:
21.2 降次—解一元二次方程(5)

b2-4ac的值的符号.
一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的
判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b2-4ac.
计算判别式的值,判断方程根的情况
• 例1:不解方程,判断方程2x2-6x=7的根的情况是( C
• A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
• C.有两个不相等的实数根
显然此时方程有实数根.
(ⅱ)当方程为二次方程,且方程有实数根,须∆≥0
即(-6)2-4×(k-1)×9≥0
解得,k≤2
综上所述,k的取值范围为k≤2.
(2)由于方程有两个实数根,所以方程为一元二次方程.
欲使此方程有两个实数根,须∆≥0
即(-6)2-4×(k-1)×9≥0
解得,k≤2
∴当方程有两个实数根时,k的取值范围为k≤2.
D.无法确定
变式1:下列一元二次方程有实数根的是(
)
A.x2+2=0
B.2x2-x+1=0
C.x2-2x+2=0
D.x2+3x-2=0
)
归纳:
1、一元二次方程的根的判别式内容:
∆=b2-4ac
2、运用前提:
把一元二次方程化为一般式
3、运用一:
在不解方程的情况下判断方程的根的情况
【例2】已知关于x的方程(k-1)x2-6x+9=0
Δ>0↔方程有两个不等的实数根
与根的关系
Δ=0↔方程有两个相等的实数根
Δ<0↔方程没有实根
根的判别式
Δ=b2-4ac
不解方程确定方程根的情况
应用
由根的情况确定字母的值或范围
作业布置
见精准作业单
谢谢观看
(人教版)九年级数学上册课件:21.2.1降次——解一元二次方程(配方法)

问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李明 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗? 解:设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表 面积为6x2dm2, 依题意得 10×6x2=1500 ① 即 x2=25 x1=5,x2=-5
棱长不能是负值,所以正方体的 棱长为5dm。
2
由此可得
x
1 x1 1, x 2 . 2
3x 3
移项,得
2
2
6x 4 0
3x 6 x 4,
二次项系数化为1,得 4 2 x 2x , 3 配方
4 x 2 2 x 12 12 , 3
1 因为实数的平方不会是负数,所以 x取 2 x 1 . 2 任何实数时,(x-1) 都是非负数,上式 3 都不成立。 即原方程无实数根。
2
解:移项,得
3 1 3 3 x x , 2 2 4 4
2 2 2
2x2-3x=-1,
二次项系数化为1,得4
3 1 x x , 2 2
2
方程的二次项系数不 是1时,为便于配方, 可以让方程的各项除 以二次项系数.
21.2 降次——解一元二次方程
21.2.1
配方法
复习旧知
1、你学过的整式方程有哪些?它们是如 何求解? 方程
一元一次方程
二元一次方程组
类比 消元 降次 猜想
一元二次方程
复习旧知 2、关于X的一元二次方程的一般形 式是什么? 2
ax bx c 0(a 0)
3、你还记得完全平方和公式和完全 平方差公式是什么么?
移项
二次项的系数
(移常数项到等号右边)
九年级数学上册21.2降次—解一元二次方程一元二次方程的解法总析素材新人教版

一元二次方程的解法总析一元二次方程的基本解法包括:直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法。
直接开平方法和分解因式法,虽然简便,但并非所有的方程都可采用.配方法适用于任何一个一元二次方程,但过程比较麻烦.而公式法是在配方法的基础上,利用其导出的求根公式直接求解,比配方法简单很多,但又不如直接开平方法和分解因式法快捷.那么,在解一元二次方程时,为了提高解题的速度和准确率,根据题目特点,如何选择适当的方法就值得我们来归纳总结一番。
下面就此结合具体实例进行阐述.一、直接开平方法例1:方程2(1)9x +=的解是( )A .2x =B .4x =-C .122,4x x ==-D .122,4x x =-=解:两边开平方,得13x +=±∴122,4x x ==-故选C 。
小结:直接开平方法适合于解形如2()x m n +=(n ≥0)形式的一元二次方程.二、配方法例2:解方程22120x x --=解:在方程两边都加上21(一次项系数2-的一半的平方),得222211120x x -+--=即 2(1)13x -=开平方,得1x -=∴1x -=或1x -=∴13x =23x =小结:用配方法解一元二次方程的关键是通过配成完全平方式的方法,将方程转化为2()x m n +=的形式,这中间,转化过程没有一定的程序。
配方法通常适用于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方程。
三、公式法例3:解方程2523x x +=解:移项,得23520x x --=∵3,5,2a b c ==-=-224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>∴56x ±= 即 12x =213x =- 小结:公式法的意义在于,对于任意的一元二次方程,只要将方程化成一般形式,就可以直接代入公式求解。
实际解题过程中,通常是在上述四种方法中的其它三种不很好解时,再选用公式法.四、分解因式法例4:解方程3(1)22x x x -=-解:变形,得3(1)2(1)x x x -=--移项,得3(1)2(1)0x x x -+-=∴(1)(32)0x x -+=∴10x -=或320x +=∴11x = 223x =- 小结:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就用分解因式的方法来解。
九年级数学上册 21.2 降次—解一元二次方程 直接开平方法解一元二次方程教案 新人教版(2021

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21。
2.1直接开平方法解一元二次方程一、教材分析新课标要求,理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题。
本节是九年级上册21. 2.1内容,一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分,而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法,它看似简单,却不容忽视。
首先“直接开平方法解一元二次方程"是配方法解一元二次方程的基础;其次,在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法;同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。
因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课,更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
二、学情分析根据已学的平方根的意义来解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程,然后迁移到解(mx+n)2=p(p≥0)型的一元二次方程.这样容易完成学习内容。
三、教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题。
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程。
人教版九年级数学上册21.2.1 降次——解一元二次方程(配方2)教学课件

自学检测
(2)移项,得:2x2+6x=-2
二次项系数化为1,得:x2+3x=-1
配方x2+3x+( 3 )2=-1+( 3 )2
2
2
+(x+
3 2
5 )2= 4
由此可得x+
3 2
=± 5
2
,即x1=2 5
-3 2
,x2=-2 5
-3 2
(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0 移项,得x2+4x=1 配方,得(x+2)2=5 x+2=± 5 ,即x1= 5 -2,x2=- 5 -2
x+3=±5 (降次)
即 x+3=5 或 x+3= -5 解一次方程,得: x1= 2 ,x2= -
归纳:通过配成完全平方式的形式解一元
二次方程的方法,叫作配方法;配方的目的 是为了降次,把一元二次方程转化为两个一 元一次方程.
自学指导
自学自2:学解2下:列解方下程列:方程:
((13))((4313xx))2234-+xx22-+11=611x=65+x;5+1;61(=26)(=942.()9x4.-(x-1)21-)2-9=9=0;0;
2
自学指导
自学1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为 16 m2,场地的长和宽分别是多少?
设场地的宽为x m,则长为 (x+6) m,根据矩形面积 为自16学m12:,要得使到一方块程矩x形(场x+地6)的=长16比,宽整多理6得m到,x并2+且6x-16=0. 探究面:积怎为样16解m方2,程场x2+地6的x-长1和6宽=分0?别是多少?
× ×8×6
2
P
C
Q
B
ww w.cz sx.co
即:x2-14x+24=0 (x-7)2=25 x-7=±5 ∴x1=12,x2=2
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教学过程 • 问题1:
利用配方法解方程:x 2 x 3 0
2
x 2x 3
2
x 2x 1 3 1
2
两边加上一次项系数一半的平方
( x 1) 4 x 1 2
2
x1 3,x2 1
教学过程
利用配方法解方程: 2 x 7 x - 4 0 7 • 问题 2 : 2 先将二次项系数化为1 x x20 2 7 2 x x2 2 7 49 49 2 x x 2 2 16 16
一元二次方程求根公 式推导
题目分析
• 求根公式是解一元二次方程的通法,其本质是就 是代数式求值,只要知道a,b,c的值,代入求根 公式即可求出方程的解.用公式法解一元二次方程 的过程就是一个程序,是算法思想在初中数学中 的体现.本节利用直接开平方法和配方法深入研究 一二次方程一般式 ,进而推导出求根公式,培养 学生类比、由特殊到一般、由一般到特殊的数学 思想.
2
7 81 x 4 16
2
7 9 x 4 4
1 x1 ,x2 4 2
教学过程 • 问题3:
解方程: ax2 bx c 0(a 0)
2
b b 4ac 一元二次方程求根公式:x 2a
教学反思
• 1.从运算的角度看,公式包容了初中阶段 所学过的全部种代数运算:加、减、乘、 除、乘方、开方,体现了公式的和谐统一. 通过运算可以完美地解决根的存在性、根 的个数、根的求法三个问题,可以说是 “万能”求根公式. 它向我们展示了抽象 性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.
以上过程逆推便可以得到求根 公式的第二种配方方法,此方 法虽不用给学生上课推导,但 可以作为部分学生的课后思考, 也可以作为老师对配方推导求 根公式的深层次认识。一元二Biblioteka 方程求根公 式推导教学反思
• 2.从方程的观点来看,当公式中的三个量 为常数时 ,则它是关于第四个量的方程. 比如 a,b,c 为确定的数值时,它便是关 于 x 的方程. 当 a,b,c,x 中不只有一个 变量时,若视其中一个字母为变量,其余 的为常数,则它是关于这个变量的一元方 程;若视其中两个字母为变量,其余的为 常数,则它是关于这两个变量的二元方程.
题目分析
重点:一元二次方程求根公式的推导.
• 难点:理解求根公式的推导过程和判 别式的意义.
学情分析
• 初三学生已经有等式性质、平方根、 直接开平方法、配方法等知识储备, 有了一定的逻辑推理能力.直接开平方 法具有局限性,配方法虽然通用,但 稍显麻烦,因此需要一个简便易用的 通法来求解一元二次方程.
教学反思
• 3.求根公式的推导不限于本节所讲,将求根公 式逆推可得到: b b 4ac
x
2
2a
2ax b b2 4ac 2ax b b2 4ac
2ax b
2
b 2 4ac
4a 2 x 2 4abx b2 b2 4ac 4a 2 x 2 4abx 4ac 0 ax 2 bx c 0