1南通市教研室2013年高考全真模拟试卷一(数学)
2012-2013南通市高三数学一模
南通市2013届高三第一次调研测试数学I（考试时间：120分钟满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U=R，集合{}10A x x=+>，则UA=ð▲．答案：(,1]-∞-．2．已知复数z=32ii-(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．答案：三．3．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是▲．答案：48.4．定义在R上的函数()f x，对任意x∈R都有(2)()f x f x+=，当(2,0)x∈-时，()4xf x=，则(2013)f=▲．答案：14．5．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）答案：否命题．6．已知双曲线22221yxa b-=的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，，则该双曲线的标准方程为▲．答案：221yx-=．7．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为▲．答案：±8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为▲．答案：38．9．在△ABC中，若AB=1，AC||||AB AC BC+=，则||BA BCBC⋅= ▲．ABCDEF A 1B 1C 1(第15题)答案：12． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1e 2y x =-． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5．13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ．答案：(1,0)(0,2)- ．14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x 图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ．答案：(2，3)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ． 解：（1）连结11A B A C 和．因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．所以//EF BC ． ……………………………………………3分 又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，故//EF 平面ABC ． …………………………………6分(第12题)OABCDEF A 1B 1C 1(第15题)（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥． 故由//EF BC ，得EF AD ⊥． …………………10分 而1A A AD A = ，1,A A AD ⊂平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ．…………………………………12分又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD ．………………14分 16.（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan A B C +=．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． ………………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， …………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故2233a b <+≤．………14分ABCDB 'P17.（本题满分14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x =-- ………………………………………………6分23()2x x=-+≤-当且仅当x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．…………………………………8分2- …………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()S x x x x =-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，3222142(2)02x S x x x x -+'=--==⇒11分关于x 的函数2S 在(1上递增，在上递减．所以当x 2S 取得最大值． ……………………13分2- …………………14分 18.（本题满分16分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． ………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ……………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，2133pq p q=+． ……………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． …………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p}(p ≥3)为递减数列， 于是2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． ………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．19.（本题满分16分）已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．所以，2a =EF EF '+=b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x +=． ……………………………4分(2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则22111x y +=①，22221x y +=②．②－①，得 21212121()()()()032x x x x y y y y -+-++=．所以，k 1=212121212()423()63P P y y x x x x x y y y -+=-=-=--+． ………………………………9分 (3)依题设，k 1≠k 2．设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得 2221122(23)6360k x k k x k +++-=．于是，1221323M k k x k -=+，221223M k y k =+． …………………………………11分 同理，1222323N k k x k -=+，122223N k y k =+． 当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =M N M N y y x x -=-222211212146()k k k k +++=21211069k k k k --．………………13分 直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 21211222221211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=+⋅+--++，亦即 2121106293k k y x k k -=--．此时直线过定点2(0,)3-． ……………………………………………15分当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-．综上，直线MN 恒过定点，且坐标为2(0,)3-． ……………………………16分20.（本题满分16分）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1)．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． ………………2分所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ……………………………6分（2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”． ……………………………7分 由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． …………………………8分01当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min ()f x =222e 1(e )e f a =-≤，故21124ea ≥-． ………………………10分2当14a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min ()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合． …………………………12分(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln e a ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合． ………15分综上，得21124ea ≥-． …………………………………………………16分南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4－2：矩阵与变换已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．…………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ……………………………………2分直线l的普通方程是0x ． ………………………………………4分 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d =． ………………………………7分因为)4+πθ，所以当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．==θθ． 综上，点M的极坐标为7π)6时，该点到直线l 的距离最大． ……………………10分注 凡给出点M的直角坐标为(，不扣分． 22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ 至点M ，使1PQ QM = ，且0PR PM ⋅=．（1）求动点M 的轨迹C 1；（2）圆C 2： 22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ⋅为定值．解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2PR PM PQ QM ⋅==及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简，得24x y =． ……………………………………4分 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 法二：设M (x ，y )．由12PQ QM = ，得 (,0),(0,)23x yP Q -．所以，3(,3),(,)22x xPR PM y =-= ．由0PR PM = ，得 3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304x y -=．化简得 24x y =． …4分所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ……………………5分 （2）证明：由题意，得 AB CD AB CD ⋅=⋅，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ．设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………7分 同理 2CD y =．设直线l 的方程为 (1)x k y =-．由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=．所以，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==． …………………………………10分 23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-，所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩………………………………3分(2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅ ，第11页（共11页） m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立． ∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． ……………………………10分 ．。
1南通市教研室2012年高考全真模拟试卷一(数学)
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()UA B = ▲ ．2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线21x y =-是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．血液酒精含量（单位：mg/100ml ） 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 人数18011522Y 开始1i ← 360i G ≥i i N G 打印，1i i ←+N10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ． 13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin 3cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC a '=（03a <． '（1）若3a =，求二面角C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --, 上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围．（3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=， 其中p 为常数. （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是DAB CE O·（第21—A 题）关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6；6. 2b =-7. 8361，；8. π4；9. (01)，；10. 43 11. 7373⎡-+⎢⎣⎦，； 12. 12； 13. 12； 14. 3． 答案解析 1．易得{}1 3 9AB A ==，，，则()UAB ={}5；2. 3z z z =⋅=；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =；4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 12b =，且0b <，即2b =；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8.设tan A k =，则tan 2B k =，tan 3C k =，且0k >，利用tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B+=-+=--可求得1k =，所以A π=4；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，；10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积()2422112326x V x x x =--，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y =，此时max 43V法2设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当3t =时，max 23y ，此时max 43V =11. 如图，设 a b c OAOB OC ===，，，△ABC 中，由余弦定理得3AB =， 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ， 且7OM =，故127373c OC OC ⎡-+⎡⎤∈=⎢⎣⎦⎣⎦，，；12. 设()21 2n n n A x x ，、()21111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：2212111122()2n n n nn nx x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n nn n nx x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；13. 易得22211144442ab h a b a b a b b a b a==++⋅≤≤，所以12h ≤（当且仅当4a b b a =时取等号）；14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(1)20a k x a kx ++=，解得22221B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2222C a k x a k=+， 故22222222221111a k a k AB k AC a k a k k=+=+++，， 所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k=+≥，则4322222(1)1ABC a a S a a a t t∆=--+≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，或3297a +=（舍去），所以3a =．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运OAB 2CM1C（第11题图）算求解 能力．（1）易得()2221()sin 32sin cos 2f x x x x x =++-1cos 213sin 2cos 222x x x -=-132cos 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分）所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分）（2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π 666x ≤≤--， 所以02ππ0 66x ≤≤--，故()015πcos 26x -=，（11分）此时，()0ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()0ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-3151142=-153-．（14分） 16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分） 易得3C O CO '==，而3CC '=所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，，（第16题图）D C 'A CO E解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，）， 所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得 C D 、的坐标为(325625--+，、(325625-+-，，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(325625D -+-，适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分） （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x x f x x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c 为常数.因为()f x 的极大值与极小值之和为0，y 1-22所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-， 所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c 3假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）x(21)--,1-(11)-,1(12),y ' -0 + 0 -y↘极小值2-↗极大值2↘（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分）（3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知na ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222nn n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x y nn n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ，所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=23所以BC 23=．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分）C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分）将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分）当且仅当12313a a a ===时等号成立，所以1239111a a a ++≥.（10分）22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分） 令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分） 故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）， 所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力． （1）证明：左边!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+[][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n nn n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+-01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n nn n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦ []011211010111(1)()C (1)+C (1)C n n n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦[]1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-，所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
江苏省南通市2013年高考数学学科基地秘卷模拟试卷1苏教版
β⊂m α⊂n n m //2013年江苏高考数学模拟试卷（一）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足()i i z i 23+-=+(i 为虚数单位),则z 的实部是 . 2．若全集U {}23|||2,{|log (1)1}x x A x x =<=-<，则A =U ð .3．某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 分. 4．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 5．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ． 6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若，， ， ，则 ； （2）若， ， ， ，则 ；（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 ．7．已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的一般方程为 ．8．已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ,a ∃∈R ,使得集合A 中所有整数的元素和为28, 则a 的范围是 ____ ____．9．如图，ABC ∆是边长为P 是以C 为圆心， 1为半径的圆上的任意一点，则BP AP ∙的最小值 ．10．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2=，则C 的离心率为 ． （第9题图）PBAC（第5题图）βα//βα//β⊥m α//n n m ⊥11．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，若存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，则u ＋v ＝ ． 12．已知△ABC 中，设,,,,,a b c A B C ∠∠∠分别为的对边长，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2b a c a b ab++的最大值为 . 13．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ．14．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）已知函数21()(1)sin sin()sin()tan 44f x x m x x x ππ=+++-， (1) 当m =0时，求()f x 在区间(0,)2π上的取值范围；(2) 当tan 2α=时， 3()5f α=，求m 的值．16．（本小题满分14分）已知正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．(1) 求证：11B D AE ⊥； (2) 求证：//AC 平面1B DE ．17.（本题满分14分）如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45θ︒+（其中1tan,0455θθ=︒<<︒）且与观测站A相距海里的C处．（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．北BA18．(本小题满分16分)已知双曲线221. 62x y-=（1）点P在以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E上，点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由;（2）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求CMN∆面积的最大值，并求此时直线l的方程.19．（本小题满分16分）设12,x x 是()()321,,032a b f x x x x a b R a -=++∈>的两个极值点，()f x 的导函数是()y f x '=（1）如果1224x x <<< ，求证：()23f '->； （2）如果1212,2x x x <-= ，求b 的取值范围；（3）如果2a ≥ ，且()21122,,x x x x x -=∈时，函数()()()22g x f x x x '=+-的最小值为()h a ，求()h a 的最大值.20．（本小题满分16分）如果无穷数列{a n }满足下列条件：① a n ＋a n ＋22≤a n ＋1；② 存在实数M ，使得a n ≤M，其中n ∈N *，那么我们称数列{a n }为Ω数列．(1) 设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n，且是Ω数列，求M 的取值范围； (2) 设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝74，证明：数列{S n }是Ω数列；(3) 设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；(2) 若向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4，求A 4m .C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，－π4，圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ.(1) 将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 判断点A 与圆O 1的位置关系．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ．求证：x x ＋a ＞yy ＋b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．已知甲盒有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.23． 已知2012(1)(1)(1)(1),(*).n n n x a a x a x a x n N +=+-+-++-∈(1) 求0a 及1nn i i S a ==∑；(2) 试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，并说明理由.。
2013年高考模拟试卷1
2013年高考模拟试卷 数学（理科）卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n )球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径第I 卷（共50分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．（1）（原创）已知集合}023|{2>-+=x x x M ，}1|{≥=x x N ，则=N M （A ）),3(+∞ （B ）)3,1[ （C ）)3,1( （D ）),1(+∞- （2）（原创）已知0>a 且1≠a ，则0log >b a 是0)1)(1(>--b a 的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）（原创）若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则（ ） （A ）01222=--z z （B ）01222=+-z z （C ）0222=--z z （D ）0222=+-z z （4）（引用）在243)1(xx +的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ）（A ）3项 （B ）4项 （C ）5项 （D ）6项（5）（原创）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15（6）（根据宁波市2013届高三上期末测试4题改编）函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-0,13,0,31)(x x x f x x则该函数为（ ）（A ）单调递增函数，奇函数（B ）单调递增函数，偶函数 （C ）单调递减函数，奇函数 （D ）单调递减函数，偶函数（7）（根据2010浙江省高考参考试卷第7题改编）已知ABC ∆中，3==AC AB ，32cos =∠ABC ．若圆O 的圆心在边BC 上，且与AB 和AC 所在的直线都相切，则圆O 的半径为（ ） （A ）253 （B ）352 （C ）3 （D ）332 （8）（引用）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为a 2的等腰三角形俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是（ ）（A ）22325a a +π （B ）22323a a +π（C ）2233a a +π （D ）224325a a +π （9）（根据2013萧山中学3月月考10题改编）已知点)0)(0,(>-c c F 是双曲线12222=-by a x 的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线cx y 42=上，则该双曲线的离心率是（ ） （A ）253+ （B ）5 （C ）215- （D ）251+ （10）（根据2013届杭州一模17题改编）如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧AB 上且与BA ,不重合．．．的一个动点，y x +=，若)0(,>+=λλy x u 存在最大值，则λ的取值范围为（ ）（A ）)1,21( （B ）)3,1( （C ）)2,21( （D ）)3,31(第II 卷(共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．（11）（引用）在平面直角坐标系中，不等式组)(,,04,0为常数a a x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为_______▲_____．（12）（引用）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则=2a _______▲______．俯视图侧视图正视图（第8题）（第10题）（14）（原创）已知A 为直线2:=+y x l 上一动点，若在1:22=+y x O 上存在一点B 使︒=∠30OAB 成立，则点A 的横坐标取值范围为_____▲____． （15）（原创）函数)2,0(),2cos(πϕϕ∈+=x y ，在区间)6,6(ππ-上单调递增，则实数ϕ的取值范围是_____▲____．（16）（根据09年全国数学联赛题改编）若方程)1ln(2ln +=x kx没有实数根，那么实数k 的取值范围是___▲___． （17）（根据2013浙江六校联盟10题改编）棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，但保持点B A ,分别在x 轴、y 轴上移动，则原点O 到直线CD 的最近距离为____▲____ 三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．（18）（根据北京市东城区08届模拟考改编）（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c B a C b cos cos 4cos -=．（I ）求B cos 的值；（II ）若2=⋅，且32=b ，求a 和c 的值．（19）（原创）（本小题满分14分）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球，1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13． （Ⅰ）求m 、n 的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．（20）（引用）（本小题满分14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11ACC A 底面ABC ，︒=∠601AC A ．（Ⅰ）求侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小；（Ⅱ）已知点D 满足+=，在直线1AA 上是否存在点P ，使C AB DP 1//平面？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．（21）（根据09年清华大学自主招生试题改编）（本小题满分15分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点)0,2(-A ，过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ，求证：2OPAR AQ ⋅为定值．（22）（原创）（本小题满分14分）已知函数x ea x f x+-=2)21()(.（R a ∈）（Ⅰ）若)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若在区间),0(+∞上，函数)(x f 的图象恒在曲线x ae y 2=下方，求a 的取值范围．2013年高考模拟试卷数学（理科）答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1 南通市教研室2012年高考全真模拟试卷一(数学)
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线21x y =-相切”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．血液酒精含量（单位：mg/100ml ） 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 人数18011522Y开始 1i ←360i G ≥i i N G 打印， 1i i ←+N50i >N10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ． 13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC a '=（03a <<）．DC '（1）若32a =，求二面角C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=， 其中p 为常数. （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）D如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6； 6. 2b =-； 7. 8361，；8. π4；9. (01)，； 10. 4327； 11. 737322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，； 12. 12； 13. 12； 14.3． 答案解析1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5； 2. 3z z z =⋅=；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 易得12b =，且0b <，即2b =-；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k =，则t a n B k =，tan 3C k =，且0k >，利用t an t a n t a n t a n ()1t a n t a nA B C A B A B +=-+=--可 求得1k =，所以A π=4； 9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积()22422112326x V x x x =-=-，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y =，此时max 4327V =；法2设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当33t =时，max 239y =，此时max 4327V =；11. 如图，设 a b c OAOB OC ===，，，u u r u u u r u u u r△ABC 中，由余弦定理得3AB =uu u r ， 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ，且72OM =，故12737322c OC OC ⎡⎤-+⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，uuu r uuu u r ； 12. 设()21 2n n n A x x ，、()21111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：2212111122()2n n n nn nx x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n nn n nx x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；13. 易得22211144442ab h a b a b a b b a b a==++⋅≤≤，所以12h ≤（当且仅当4a b b a =时取等号）； 14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(1)20a k x a k x ++=，解得22221B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2222C a k x a k=+， 故22222222221111a k a k AB k AC a k a k k =⋅+=⋅+++，， 所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k=+≥，则4322222(1)1ABC a a S a a a t t∆=--+≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，或329716a +=（舍去），所以3a =．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．O AB2CM1C （第11题图）（1）易得()2221()sin 3sin 2sin cos 2f x x x x x =++-1cos213sin 2cos222x x x -=+-13s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分） 所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分） （2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()015πcos 264x -=，（11分） 此时，()0ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()0ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-315114242=-⨯+⨯1538-=．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分） 易得32C O CO '==，而32CC '=，所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，， 解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），（第16题图） DC 'A B CO E所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为()325625--+，、()325625-+-，，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验()325625D -+-，适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x xf x x x⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c 为常数. 因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-，y x11-22-O （第19题图）2 2-所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c 均小于3．假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④，x(21)--, 1-(11)-,1(12), y '-0 + 0 -y↘ 极小值2-↗极大值2↘④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n ，142n +， 满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=233， 所以BC 233=．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分） 将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分） 当且仅当12313a a a ===时等号成立， 所以1239111a a a ++≥.（10分） 22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x-'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+ [][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+-01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C nn n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。
江苏省南通市2013届高三第一次调研考试数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+1＞0}，则∁U A={x|x≤﹣1}．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元一次不等式化简集合A，然后直接利用补集运算求解．解答：解：由集合A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，又U=R，所以∁U A={x|x≤﹣1}．故答案为{x|x≤﹣1}．点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算把复数z化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则复数z所对应的点位于复平面的象限可求．解答：解：由z==．所以复数z所对应的点Z（﹣2，﹣3）．则复数z所对应的点位于复平面的第三象限．故答案为三．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．解答：解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，正四棱锥的侧高为=4∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48故答案为：48点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键．4．（5分）定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f（2013）=．考点：函数的周期性；函数的值．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：利用函数的周期性把要求的式子化为f（﹣1），再利用x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，求得f （﹣1）的值．解答：解：∵定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），则f（2013）=f（2×1006+1）=f（1）=f（﹣1）．∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，∴f（﹣1）=4﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．5．（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的否命题．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）考点：四种命题的真假关系．专题：规律型．分析：写出命题P与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可．解答：解：命题P的条件是：a＞0，结论是：a2≠0；命题q的条件是：a≤0，结论是：a2=0；故命题P是命题q的否命题．故答案是否命题．点评：本题考查四种命题的定义．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2﹣10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将圆化成标准方程得圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0），可得c==5，结合双曲线的离心率e==算出a=，由平方关系得到b2=20，由此即可得出该双曲线的标准方程．解答：解：∵圆x2+y2﹣10x=0化成标准方程，得（x﹣5）2+y2=25∴圆x2+y2﹣10x=0的圆心为F（5，0）∵双曲线的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于，∴c==5，且=因此，a=，b2=c2﹣a2=20，可得该双曲线的标准方程为故答案为：点评：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为．考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件利用等比数列的性质可得9a5=﹣36，13a7=﹣104，解得a5=﹣4，a7=﹣8，从而求得a5与a7的等比中项±的值．解答：解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则由等比数列的性质可得9a5=﹣36，13a7=﹣104．解得a5=﹣4，a7=﹣8，则a5与a7的等比中项±=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的性质，等比数列求和公式的应用，属于中档题．8．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．。
2013年高考数学模拟试卷含答案
绝密★启用前 试卷类型：A理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-第Ⅰ卷 (选择题 满分40分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -12．设全集U 是实数集R ，M={x|x 2＞4}，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x|－2≤x ＜1} B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}3．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．21222+++=x x yB ．xx y 12+=C ．)220)(22(<<-=x x x yD ．1222++=x x y 4．设a 为函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x项的系数是( )XYOA ．192B ．182C ．-192D ．-182 5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.70.35y x =+，那么表中t 的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.57．已知方程20ax bx c ++= ，其中a 、b 、c 是非零向量，且a 、b不共线，则该方程( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解8．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函 数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是( )A ．)31,51( B ．),5()31,(+∞⋃-∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．10．在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为 ．11．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为 ．12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ．13．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C = ．14．设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 ①2222h c b a +>+， ②3333h c b a +<+，③4444h c b a +>+，④5555h c b a +<+.其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．16．(本小题满分12分)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．17．(本小题满分14分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由．开始输入n11=a ，12=a ，1=ii i i a a a 6512-=++n i ≥1+=i i否是输出2+i a结束18．(本小题满分14分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量)(x r (件)与衬衣标价x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：1)(b kx x r +=，在销售淡季近似地符合函数关系：2)(b kx x r +=，其中21210,0b b k b b k 、、且、><为常数； ②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中0)(=x r 时的标价x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题： (Ⅰ)填出表格中空格的内容：数量关系销售关系标价(元/件)销售量)(x r (件)(含k 、1b 或2b )销售总利润y (元)与标价x (元/件)的函数关系式旺季 x 1)(b kx x r +=淡季x(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？ 19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图． (Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；(Ⅲ)求数列)}3({1-+n n a n 的前n 项和n T ．20．(本小题满分14分)已知函数2()2ln .f x x x a x =++ (Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数， 求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当t ≥1时，不等式(21)2()3f t f t -≥- 恒成立，求实数a 的取值范围．正视图 侧视图俯视图55 3 4 34 绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2010~2011学年度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，20题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 (选择题 满分50分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -1 2．设{}{}(,),()()cos 2sin 2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，则点(1,3)的象()f x 的最小正周期为( )A ．2π B ．4πC ．πD ．2π3．在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =( )A ．45B ．50C ．55D ．604．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．72B ．66C ．60D ．305．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则 ,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则( )A ．32-B ．0C ．32D ．3XYO频率组距0.100.25 0.409 10 11 12 13 14时间6．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =(其中0a >且1a ≠)，在同一坐标系中画出其中两个函数在x ≥0且y ≥0的范围内的大致图象，其中正确的是( )x y O1 Ax y O1 B 1xy O1 C 1xyO 1D17．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为( ) A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元8．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个 不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．49．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第 三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是( )A ．)21,31(B ．),3()21,(+∞⋃-∞C ．)3,21(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．12．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ．13．曲线3141,33y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 ．14．观察以下等式：11=123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311=33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++= (用含有n 的式子表示，其中n 为自然数)．三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知不等式()221,(0)x a a -≤>的解集为A ，函数22lg)(+-=x x x f 的定义域为B. (Ⅰ)若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；(Ⅱ)证明函数22lg)(+-=x x x f 的图象关于原点对称．16．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．17．(本题满分14分)甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀FG BDE AC后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (Ⅰ)设(,)i j 表示甲乙抽到的牌的数字，(如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(Ⅲ)甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．18．(本题满分14分)如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为1 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EBC ； (Ⅲ)求几何体ADEBC 的体积V ．19．(本题满分14分)某品牌电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A 、B 对两种型号的电视机的投放金额分别为p 、q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为101p 、52ln q万元，已知A 、B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A 、B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：ln 4 1.4≈)．20．(本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ)记1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证:423n T ≤< ．汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDCAAAC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．20； 10．3； 11．121； 12．18； 13．1； 14．②④， *)(N n h c b a n n n n ∈+<+。
江苏省南通市高考数学学科基地秘卷模拟试卷10苏教版
Else EndPr 2013年江苏高考数学模拟试卷（十）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1. 已知,{|10}U R A x x ==-≤<，则 U C A = . 2. “22x x =+”是“||x =”的 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”．）3. 若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = . 4．如右图，给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f .5． 已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且137,,a a a 成等比数列，则1a d= .6． 等腰Rt ABC 中，斜边BC =一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A,B 两点，则该椭圆的离心率为 . 7． 高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 .8． 设,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，,,PA PB PC两两垂直，1,3PA PB PC ===，则球O 的体积为 .9． 已知函数21()21x xm f x --=+是奇函数且2(2)(3)f a a f ->，则a 的取值范围是 . 10．知1sin(64x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-= . 11．△ABC 中，2460AB BC B ︒==∠=，，．设O 是△ABC 的内心，若q p +=，则qp的值为 . 12．211()2,()(2)3f x x mx m g x x x =-+=--．若对任意11[,2]2x ∈，总存在21[,2]2x ∈，使得12()(),f x g x ≥则m 的取值范围是 .13．,x y 是两个不相等的正数，且满足3322x y x y -=-，则[9]xy 的最大值为 .（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）．14．已知各项均为正数的两个数列由表下给出：定义数列{}n c ：10c =，111,(2,3,...,5),nn n n n n n n nb c a n c c a b c a --->⎧==⎨-+≤⎩，并规定数列{},{}n n a b 的“并和”为1255ab S a a a c =++⋅⋅⋅++．若15ab S =，则y 的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）在锐角三角形ABC 中,3sin 5A =,1tan()3A B -=-． （1）求tan B 的值;（2）若CA CB mBA BC ⋅=⋅, 求m 的值．16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥． a) 求证：AD ⊥平面11BCC B ； b) 设点E 是11B C 的中点，求证：1//A E 平面1ADC ．17.（本小题满分14分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦召开，某百货公司预计从2012年1月起前x 个月市场对某种奥运商品的需求总量1()(1)(392),2p x x x x =+-*(,x N ∈且12)x ≤．该商品的进价()q x 与月份x 的近似关系为*()1502(,12)q x x x N x =+∈≤． （1）求2012年第x 个月的需求量()f x ；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则该百货公司2012年仅销售该商品可获月利润预计最大是多少？18. （本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足()*1111n n n n a a n n N a a +++-=∈-+，且26a =．（1）设1(2),3(1)nn a b n b n n =≥=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）设()*,n n a u n N c n c =∈+为非零常数，若数列{}n u 是等差数列，记12,2n n n n nuc S c c c ==+++，求.n S .19.（本小题满分16分）已知圆22:(2)(2)C x y m -+-=，点(4,6),(,)A B s t ．（1）若3412s t -=-，且直线AB 被圆C 截得的弦长为4，求m 的值；（2）若,s t 为正整数，且圆C 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值λ(1)λ>，求m 的值．20.（本小题满分16分）设()(1)xf x e a x =-+．(1) 若0,a >()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值． (2) 设()()x ag x f x e=+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点． 若对任意的0a ≤，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；(3) 是否存在正整数a ，使得13(21))nnnn n an ++⋅⋅⋅+-<对一切正整数n 均成立?若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅（1）求证：EDF P ∠=∠； （2）求证：CE ·EB =EF ·EP ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）设 M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的曲线方程．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知关于x 的不等式：2． （1）求整数m 的值；（2）在（1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．如图所示，已知ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=2． （1）求异面直线PC 与BD 所成的角；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由．23．甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有x 个红球、y 个白球、z 个(,,1,10x y z x y z ++=≥)黄球的箱子中任取一球,乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球． 规定:当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜． （1）用,,x y z 表示甲胜的概率；（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数ξ的概率分布，并求()E ξ最小时的,,x y z 的值．。
江苏省2013年高考南通学科基地数学秘卷 模拟试卷3
2013年江苏高考数学模拟试卷（三）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合{}{}1,1,2,1,0,2A B =-=-，则A B = . 2. 若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z = .3. 在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P (x ，y )，则| x |+| y | ≤ 2的概率为 .4. 已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则cos α= . 5. 已知直线y t =与函数()3x f x =及函数()43x g x =⋅的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为 .6. 已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 已知函数2()1f x x ax =++，若(,),(sin )(cos )42f f ππθθθ∃∈=，则实数a 的取值范围为 .9. 在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC = ，BA BC BA BC + 3BDBD=，则四边形ABCD 的面积是 .10. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反 数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 . 11. 已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 .12. 已知()(2)(1)f x m x m x m =-++,()21x g x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则实数m 的取值范围是 .13.设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f (x )的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，则函数y =f (x )-sin x在[-2π，2π] 上的零点个数为 .样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 .二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题满分14分）已知ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，面积为ABC S ∆，且222(,2)m b c a =+-- ， (sin ,)ABC n A S ∆= ，m n ⊥ .(1)求函数()4sin()cos 2A f x x x =-在区间[0,]2π上的值域；(2)若a =3，且1sin()33B π+=，求b ．16. （本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2， 60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点． （1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11；（2）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．ABCEF P1A 1B 1C17．(本小题满分14分)已知椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为22，一条准线:2l x=．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于,P Q两点．①若6PQ=，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．18.（本题满分16分）如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠= ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为错误！不能通过编辑域代码创建对象。
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013 届高三第三次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共70 分．1．已知集合A2，1 ，B1，2，则 A B▲．开始S02．设复数z满足(34i)z 5 0 （是虚数单位），则复数 z的S S 400Y≤2000模为▲．SN输出 S3．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲．开始（第 3 题）4．“M N ”是“log2M log 2 N ”成立的▲条件．（从“ 充要”，“ 充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）频率组距5．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100 辆0.0175(单位： km/h) 绘制的频率分布机动车的行驶速度0.0150直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动0.0100车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时0.00500.0025段内非正常行驶的机动车辆数为▲．40 60 80 100 120 140 速度/ km/h( 第 5 题)6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 x2 2 py( p 0)上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为▲．7．从集合1，2，3，，4，5，6，7，8 9 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为▲．第 1页共21页8．在平面直角坐标系xOy 中，设点P为圆C：( x1)2y2 4 上的任意一点，点Q (2 a ，a 3 ) ( a R )，则线段PQ 长度的最小值为▲．y59．函数 f ( x) Asin( x) (A 0 ，0 ，0≤ 2 )在 R 上的部分图象如图所示，则 f (2013) 的值为▲． 1 O511 x( 第 9 题)10．各项均为正数的等比数列a n中，a2a11．当 a3取最小值时，数列a n的通项公式a n=▲．11．已知函数 f (x)ax2，≥ ，是偶函数，直线 y t 与函数y f ( x) 的图象自左向右依次交2 x 1 x 0x2bx c，x 0于四个不同点 A ， B ，C， D ．若AB BC ，则实数的值为▲．12．过点P( 1，0)作曲线C：y e x的切线，切点为T1，设 T1在 x 轴上的投影是点H 1，过点 H1再作曲线 C 的切线，切点为T2，设 T2在 x 轴上的投影是点H 2，⋯，依次下去，得到第n 1 (n N)个切点T n 1．则点T n 1的坐标为▲．13．在平面四边形ABCD 中，点 E， F 分别是边AD， BC 的中点，且 AB1，EF 2 ， CD3 ．若 AD BC15 ，则 AC BD 的值为▲．14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a30，a1a42a2a4 a20，且 a1 a2a3，则 a4的取值范围是▲．二、解答题15． 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等．（ 1）求证： AB // 平面 PCD ；（ 2）求证：平面 PAC 平面 ABCD ．PADOBC（第 15 题）sin C 22216． 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知bac ． 2sin A sin C222cab（1）求角 B 的大小；（ 2）设 T sin 2 A sin 2 B sin 2 C ，求 T 的取值范围．17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图 1 是单层玻璃， 厚度为 8 mm ；图 2 是双层中空玻璃，厚度均为 4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ，单位时间内，在单位面积上通过的热量Q kd T，其中 k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为 4 10 3 J mm/ C ，空气的热传导系数为2.5 10 4 J mm/ C ．）（ 1）设室内，室外温度均分别为T 1 ， T 2 ，内层玻璃外侧温度为 T 1 ，外层玻璃内侧温度为 T 2 ，且 T1T1T2T2．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用 T1， T2及 x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 x 的大小？墙墙T1T2T1T1T2T284x4室内室外室内室外墙墙图 1图 2（第 17题）2y218．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x1(a b 0) 的右焦点为 F (1，0)，离心率为b2a2别过 O ，F的两条弦AB， CD 相交于点E（异于A， C 两点），且 OE EF ．（ 1）求椭圆的方程；y（ 2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．CAEO F2．分2DxB（第 18 题）19．已知数列a n是首项为1，公差为d的等差数列，数列 b n是首项为1，公比为 q (q1) 的等比数列．（1）若 a5b5， q 3 ，求数列a n b n的前n项和；（ 2）若存在正整数k (k≥2) ，使得 a k b k．试比较 a n与 b n的大小，并说明理由．20．设f (x)是定义在(0，) 的可导函数，且不恒为 0，记 g n ( x)f (x)*) ．若对定义域内的每x n (n N一个x，总有n ()0 f (x)g n (x)≥，，则称为“ n 阶负函数” ；若对定义域内的每一个x ，总有g x则称 f (x) 为“ n 阶不减函数” （g n ( x) 为函数 g n ( x) 的导函数）．（ 1）若 f ( x)a1x( x0) 既是“ 1 阶负函数”，又是“ 1阶不减函数” ，求实数 a 的取值范x3x围；（ 2）对任给的“ 2 阶不减函数” f ( x) ，如果存在常数 c ，使得 f (x) c 恒成立，试判断 f (x) 是否为“ 2 阶负函数”？并说明理由．数学附加题21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙ O 的半径为3，两条弦AB， CD 交于点P，且AP1，CP 3 ，OP 6 ．求证：△ APC ≌△DPB．AFDPB COB．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵 M x5不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M的特征值．66C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，1) ， B(0， 1) ， C (t，0) ， D3，，其中 t 0 ．设直线 ACt与 BD 的交点为 P ，求动点 P 的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．D．选修4—5：不等式选讲0 ，n N*．求证：a n1bn1已知 a0 ， ba n n≥ ab ．b22．【必做题】设 n N*且n≥2，证明：a1a222a22a n2 2 a1 a2 a3a n a2 a3 a4a n a n 1a n a n a1．23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的1 ，121 ， 1 ， 1．游戏规则如下： 6 4 2① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分 100 分， 40 分， 10 分， 0 分；② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40 分，则按①获得相应的积分，游戏结束；（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40 分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于 40分，则最终积分为0 分，否则最终积分为100 分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为．（ 1）求0 的概率；ⅣⅠⅢⅡ （2）求 的概率分布及数学期望．ⅢⅡⅠⅣ（第 23 题）南通市 2013 届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1． 已知集合 A2，1 ， B1，2 ，则 A B▲．开始 【答案 】 ( 2，2)S 02． 设复数 z 满足 (34i)z 5 0 （是虚数单位） ，则复数 z 的模为▲ ．SS 400S ≤ 2000Y【答案 】N3． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲．输出 S 【答案 】 2400开始4．“M N ”是“log2M log 2N ”成立的▲条件．（从“ 充要”，“ 充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）【答案】必要不充分频率5．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100 辆组距0.0175机动车的行驶速度(单位： km/h) 绘制的频率分布0.0150直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动0.0100车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时0.00500.0025段内非正常行驶的机动车辆数为▲．40 60 80100 120 140 速度/ km/h【答案】15( 第 5 题)6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x2 2 py( p0) 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为▲．【答案】 47．从集合1，2，3，4，5，，6，7，89 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为▲．【答案】1128．在平面直角坐标系xOy 中，设点P为圆C：( x1)2y2 4 上的任意一点，点Q (2 a ，a 3 )( a R )，则线段 PQ 长度的最小值为▲．y【答案】5259．函数 f ( x)Asin(x) (A 0 ，0 ，0≤ 2 ) 在R上11 x的部分图象如图所示，则 f (2013) 的值为▲．1O5【答案】53( 第 9 题) 210．各项均为正数的等比数列a n中， a2a11．当 a3取最小值时，数列a n的通项公式a n=▲．【答案】 2n 111．已知函数 f (x)ax2，≥ ，f ( x) 的图象自左向右依次交2 x 1 x 0是偶函数，直线 y t 与函数yx2bx c，x 0于四个不同点 A ， B ，C， D ．若AB BC ，则实数的值为▲．【答案】7412．过点P( 1，0)作曲线C：yxT1，设 T1在 x 轴上的投影是点 H1，过点 H1再作e 的切线，切点为曲线 C 的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H 2，⋯，依次下去，得到第n 1 (n N)个切点 T n 1．则点 T n 1的坐标为▲．【答案】 n，e n13．在平面四边形ABCD 中，点 E， F 分别是边 AD， BC 的中点，且 AB1，EF 2 ， CD3 ．若 AD BC15 ，则 AC BD 的值为▲．【答案】1314．已知实数a1，a2， a3， a4满足 a1 a2a30 ，a1a42a2a4 a20，且 a1 a2a3，则 a4的取值范围是▲．【答案】1 5 ， 1522二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：AB//平面PCD；（2）求证：平面PAC平面ABCD．证明：（ 1）在矩形ABCD中，AB // CD，P又 AB平面 PCD ，CD平面 PCD ，所以 AB //平面PCD．⋯⋯⋯ 6 分A D（ 2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，OB在矩形 ABCD 中，点 O 为 AC，BD 的中点，C（第 15 题）又 PA PB PC PD ，故 POAC ， POBD ，⋯⋯⋯ 9 分又 AC BD O ，AC ，BD平面 ABCD ，所以 PO平面 ABCD ，⋯⋯⋯ 12分又 PO 平面 PAC ，所以平面 PAC平面 ABCD ． ⋯⋯⋯ 14分16． 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知sin C b 2 a 2c 2 2sin A sin C222 ．cab（1）求角 B 的大小；（ 2）设 T sin 2 A sin 2 B sin 2 C ，求 T 的取值范围． 解：（ 1）在△ ABC 中，sin C b 2a 2c 22accos BccosBsin C cos B ，⋯⋯⋯ 32sin A sin C2222ab cosC b cos C sin B cos Ccab分因为 sin C 0 ，所以 sin B cos C 2sin A cos B sin C cos B ，所以 2sin A cosBsinB cosCsinC cosBsin(B C ) sinA ，⋯⋯⋯ 5分因为 sin A0 ，所以 cos B1 ，2因为 0Bπ，所以 Bπ． ⋯⋯⋯ 7 分3（ 2） T sin 2sin 22C 1 (1 cos2 A)3 1(1 cos2C )A Bsin2427 1(cos2 Acos2C)7 1cos2 A cos4π2 A 4 24 237 1 1cos2 A 3sin 2 A7 1cos 2 Aπ ⋯⋯⋯ 1142 224 23分因为 0A2π，所以 02A4π，33π2 A π 5π1 ≤ cos2 Aπ1 故 3 3 3，因此32 ，所以3T ≤ 9 ． ⋯⋯⋯ 14 分2 417．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图 1 是单层玻璃， 厚度为 8 mm ；图 2 是双层中空玻璃，厚度均为 4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ，单位时间内，在单位面积上通过的热量Q k dT，其中 k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为 4 10 3 J mm/ C ，空气的热传导系数为2.5 10 4 J mm/ C ．）（ 1）设室内，室外温度均分别为T 1 ， T 2 ，内层玻璃外侧温度为 T 1 ，外层玻璃内侧温度为 T 2 ，且 T 1 T 1 T 2 T 2 ．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用 T 1 ， T 2 及 x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？墙墙T 1T 2 T 1 T 1 T 2T 284x4 室内室外 室内室外墙 墙图 1图 2（第 17 题）解：（ 1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q 1 ， Q 2 ，则 Q 14 10 3 T 1T 2T 1 T 2 ， ⋯⋯⋯ 282 000分Q 24 10 3T 1T12.5 10 4T 1T24 10 3T 2T2⋯⋯⋯ 64x4分T 1 T 1T 1 T 2 T 2 T 24 x 4 4 10 3 2.5 10 4 4 10 3T 1 T 1 T 1 T 2 T 2 T 24 x4 4 10 3 2.5 10 44 10 3T 1 T 2．⋯⋯⋯ 9 分4 000 x 2 000Q 2 1 ，（ 2）由（ 1）知2xQ 1114%时，解得 x 12 （ mm ）．当 2x1答：当 x12 mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ⋯⋯⋯ 14 分18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x 2y 21(a b 0) 的右焦点为 F (1，0) ，离心率为 2．a 2b 22分别过 O ， F 的两条弦 AB ， CD 相交于点 E （异于 A ， C 两点），且 OE EF ．（ 1）求椭圆的方程；yC（ 2）求证：直线 AC ， BD 的斜率之和为定值．AEOFDx， e c2，故 a（1）解：由题意，得 c12 ，a2B从而 b 2a 2c 2 1 ，所以椭圆的方程为x 2y 21 ．（第 18 题）⋯ ⋯ ⋯ 52①分（2）证明：设直线AB 的方程为y kx ，②直线 CD 的方程为y k( x 1) ，③⋯⋯⋯7分由①②得，点 A ，B 的横坐标为2，2k212k 22(k 21)⋯⋯⋯ 9 分由①③得，点 C ，D的横坐标为2k21，记 A( x1，kx1 ) ， B( x2，kx2 ) ， C (x3，k(1x3 )) ， D (x4，k(1x4 )) ，则直线 AC ，BD的斜率之和为kx1k (1x3 ) kx2k(1x4 )x1 x3x2 x4k (x1x31)(x2x4 ) (x1x3 )(x2x41)(x1x3 )(x2x4 )k2( x1 x2x3 x4 )( x1x2 )(x3 x4 )⋯⋯⋯ 13(x1 x3 )( x2x4 )分222(k 21)4k22k212k 212k21k(x1x3 )( x2x4 )0 ．⋯⋯⋯ 16分19．已知数列a n是首项为1，公差为d的等差数列，数列b n是首项为1，公比为q( q1) 的等比数列．（1）若 a5 b5， q3，求数列a n b n的前 n 项和；（ 2）若存在正整数k (k≥2) ，使得a k b k．试比较 a n与 b n的大小，并说明理由．解：（ 1）依题意，a5b5b1q511 3481，a5a181120 ，故 d145所以 a n 1 20(n 1) 20n 19 ，⋯⋯⋯ 3 分令 S n 1 1 21 3 41 32(20n 19) 3n 1 ， ①则 3S n1 3 21 32(20n 39) 3n 1(20n19) 3n ， ②① ②得， 2S n 1+203 323n 1(20n 19) 3n ，1+203(1 3n1 )(20n19) n1 33(2920n) 3n 29 ，所以 S n(20 n29) 3n 29 ．⋯⋯⋯ 7 分2（ 2）因为 a kb k ，所以 1(k 1)d q k 1 ，即 dq k 11 ，k1k 1故 a n 1 (n1)q1 ，k1又 b nq n 1 ，⋯⋯⋯ 9分所以 b n a n q n 11 ( n 1) q k 11k 11 (k 1) n11(n 1) q k 11k q1q1 n 2n3k 2k 3k(k 1) q qq 1 ( n 1) q q q 11⋯⋯⋯ 11分（ⅰ）当 1n k 时，由 q 1 知b n a nq 1 ( k n) qn 2 n 3k 2k 3n 1k 1 qq 1 (n 1) qqqq 1 ( k n)( n 1)q n 2 (n 1)( k n)q n 1k1(q2n 2(k n)( n 1) 1)qk10 ，⋯⋯⋯ 13分（ⅱ）当 n k 时，由q 1 知q 1n 2n 3k 1k 2k 3b n a n k 1(k 1) q q q(n k) q q q 1q1( k1)(n k )q k 1k)(kk 2k1(n1)q( q1)2 q k2 ( n k)0，综上所述，当 1 n k 时，a n b n；当n k 时，a n b n；当n1，k 时，a n b n．⋯⋯⋯ 16分（注：仅给出“ 1 n k 时，a n b n；n k 时，a n b n”得 2 分．）20．设f (x)是定义在(0，) 的可导函数，且不恒为0，记 g n ( x) f (n x) (n N*)．若对定义域内的每x一个 x，总有 g n (x)0 ，则称 f ( x) 为“ n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有 g n ( x) ≥0 ，则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” （ g n ( x) 为函数 g n ( x) 的导函数）．（ 1）若 f ( x)a1x( x0)既是“ 1 阶负函数”，又是“ 1阶不减函数” ，求实数 a 的取值范3xx围；（ 2）对任给的“ 2 阶不减函数” f ( x) ，如果存在常数 c ，使得 f (x) c 恒成立，试判断 f (x) 是否为“ 2 阶负函数”？并说明理由．解：（ 1）依题意，f (x)a11 在 (0，) 上单调递增，g1 ( x)x x4x2故 [ g1 ( x)]4a 2≥ 0恒成立，得 a ≤1x2 ，⋯⋯⋯ 2 分x5x32因为 x0 ，所以 a ≤ 0 ．⋯⋯⋯ 4 分而当 a ≤ 0 时，g1( x)a11 0 显然在 (0，) 恒成立，42x x所以 a ≤ 0 ．⋯⋯⋯ 6分（2）①先证 f ( x)≤0 ：若不存在正实数x0，使得20，则2≤恒成立．⋯⋯⋯ 8 g( x ) 0g( x) 0分假设存在正实数x0，使得 g 2 ( x0 ) 0 ，则有 f ( x0 )0 ，由题意，当x 0 时，g2( x)≥0，可得g2(x)在(0，) 上单调递增，当x x0时，故必存在 x1f ( x) f ( x0 )恒成立，即 f ( x0 )2x2x0f (x)x 恒成立，2x02f (x0 )2x0，使得 f ( x1 )x02x1m （其中m 为任意常数），这与 f ( x) c 恒成立（即 f ( x) 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当 x0 时，g2(x)≤0，即 f ( x)≤0 ；⋯⋯⋯ 13 分②再证 f ( x)0无解：假设存在正实数x2，使得 f (x2 )0 ，f ( x3 ) f ( x2)则对于任意 x3x2 0 ，有x32x220 ，即有 f ( x3 )0 ，这与①矛盾，故假设不成立，所以 f ( x)0无解，综上得 f ( x)0 ，即 g2 ( x)0 ，故所有满足题设的 f (x) 都是“ 2阶负函数”．⋯⋯⋯ 16 分南通市 2013 届高三第三次调研测试数学附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙ O 的半径为3，两条弦AB ，CD交于点 P ，且 AP 1，CP 3 ，OP 6 ．求证：△ APC ≌△DPB．证明：延长 OP 交⊙ O 与点E，F，⋯⋯⋯ 2 分由相交弦定理得C CP DP AP BP FP EP 3636 3 ，⋯⋯⋯ 6 分又 AP 1 ，CP 3 ，故 DP1，BP 3 ，分所以 AP DP ，BP CP ，而 APC DPB ，所以△APC ≌△DPB．分B．选修4—2：矩阵与变换x 5已知矩阵 M不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值．6 6x 5解：由题意，矩阵M 的行列式0 ，解得x 5 ，6 6A F DP BOE（第 21— A 题）⋯⋯⋯ 8⋯⋯⋯ 10⋯⋯⋯ 4 分矩阵 M55的特征多项式66f ( )55，⋯⋯⋯ 8 分6( 5)(6) ( 5) ( 6)6令 f ( ) 0 并化简得2110 ，解得0 或11 ，所以矩阵 M 的特征值为0 和 11． ⋯⋯⋯ 10分C ．选修 4— 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，1) ， B(0， 1) ， C (t ，0) ， D 3， ，其中 t0 ．设直线 ACt 与BD 的交点为 P ，求动点 P 的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．解：直线 AC 的方程为xy 1 ，①t直线 BD 的方程为xy 1 ，②⋯⋯⋯ 23t分x t 6t3，由①②解得，动点P 的轨迹的参数方程为2 （为参数，且 t0 ），⋯⋯⋯ 6 分t 2 3yt 2 3将 x6t平方得 x 236t 2，③t 2(t 233)22t232将 yt 3平方得 y 2， ④⋯⋯⋯ 8t 2t 2 332分22由③④得， xy1(x0) ．⋯⋯⋯ 10 分3（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“x 0 ”扣 1 分．）D ．选修 4— 5：不等式选讲0 ， n N * ．求证：an 1 b n 1已知 a0 ， ba nn ≥ ab ．ba n 1b n 1 a b，证明：先证an b n≥2只要证 2(a n 1b n1 ) ≥ (a b)(a n b n ) ，即要证 a n 1b n 1a n b ab n≥ 0，即要证 ( a b)(a n b n ) ≥ 0，⋯⋯⋯ 5分若 a ≥ b ，则 a b ≥ 0 ，a n b n≥ 0 ，所以(a b)(a n b n ) ≥ 0 ，若 a b ，则 a b0 ，a n b n0 ，所以(a b)(a n b n ) 0 ，综上，得 ( a b)(a n b n )≥ 0 ．从而a n 1b n 1≥a b ，a n b n2因为a b≥ ab ，2所以 a n 1b n 1≥ab ．a nb n⋯⋯⋯8 分⋯⋯⋯10 分22．【必做题】设 n N*且 n≥ 2，证明：a1a2a n 22a22a n2 2 a1 a2 a3a n a2 a3 a4a n a n 1a n a1．证明：（ 1）当n 2时，有 a1 a222a222a1a2，命题成立．⋯⋯⋯ 2 分a1（ 2）假设当 n k (k≥2) 时，命题成立，即a1 a222a22a k2 2 a1a2a3a k a2a3a4a ka k a1a k 1 a k成立，⋯⋯⋯ 4分2那么，当n k 1 时，有a1a2a k a k 1a1a222a1a22 a1a222a1a22a2a k a k 1a k 12a k 2 a1a k2 2 a1 a2a3a k a2 a3a4a k a k 1a ka k a k 1a k12．222 a1 a2a3a k a k 1 + a2a3a4a k a k 1a k a k 1a k a k 1．所以当 n k 1 时，命题也成立．⋯⋯⋯8分根据（ 1）和（ 2），可知结论对任意的n N *且n≥2都成立．⋯⋯⋯10分23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 1 ，121 ， 1 ， 1．游戏规则如下：642①当指针指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100 分， 40 分， 10 分， 0 分；②（ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40 分，则按①获得相应的积分，游戏结束；（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40 分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于 40 分，则最终积分为 0 分，否则最终积分为 100 分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为．（ 1）求ⅣⅠ0 的概率；Ⅲ（2）求的概率分布及数学期望．ⅡⅢⅡⅠⅣ解：（1）事件“0 ”包含：“首次积分为 0 分”和“首次积分为40 分（第 23 题）后再转一次的积分不高于40 分”，且两者互斥，第 20页共21页所以P(0)111(1 1 )83；⋯⋯⋯ 4 分26212144（ 2）的所有可能取值为0， 10，40， 100，由（ 1）知P(0)83144，又 P(10) 1 ，4P(40)111，6212P(100)111113，126212144所以的概率分布为：01040100P831113144412144⋯⋯ ⋯ 7分因此， E( ) 08310140110013535 （分）．⋯ 10 分14441214436第 21页共21页。
南通市2013届高三第一次调研测试数学参考答案及评分标准(word)2013.1.24
南通市2013届高三第一次调研测试数学I参考答案与评分标准（考试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知全集U =R ，集合{}10A x x =+>，则U A =ð ▲ ． 答案：(,1]-∞-．2．已知复数z =32i i -(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限．答案：三．3．已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ． 答案：48.4．定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =， 则(2013)f = ▲ ． 答案：14． 5．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”， 则p 是q 的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空） 答案：否命题．6．已知双曲线22221yx a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．答案：221520y x -=． 7．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：±8．已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为 ▲ ．答案：38．9．在△ABC 中，若AB =1，AC||||AB AC BC += ，则||BA BC BC ⋅ = ▲ ．ABC DEF A 1B 1C 1(第15题)答案：12． 10．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为▲ ． 答案：－2． 11．曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：1e 2y x =-． 12．如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm ． 答案：－1.5．13．已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． 答案：(1,0)(0,2)- ．14．设P (x ，y )为函数21y x =-(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，则当m 最小时，点 P 的坐标为 ▲ ． 答案：(2，3)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ．解：（1）连结11A B A C 和．因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．所以//EF BC ． ………………………………………………………3分(第12题)OEF A 1B 1C 1又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，故//EF 平面ABC ． ………………………………………………6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥． 故由//EF BC，得EF AD ⊥． …………………………………………………………………10分而1A A AD A= ，1,A A AD ⊂平面1A A D ，所以EF ⊥平面1A A D ．…………………………………12分又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A A D ．………………………………………………………14分16.（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan A B C +=． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan A B C +=，即sin sin sin C A B +=，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-， 得sin()sin()C A B C -=-． ……………………………………………………………………………4分所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)． 即2C A B=+, 得3C π=． …………………………………………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， …………………………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． ………………………………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………………………14分17.（本题满分14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB x=，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． ……………………………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-． 由22PA A D D P =+，得 2221()(2)2(1)x y x yy x-=-+⇒=-，12x <<．……………………5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………………………………6分23()2x =-+≤-当且仅当x ∈(1，2)时，S 1取得最大值．…………………………………………………………8分故当薄板长为米，宽为2米时，节能效果最好． ………………………………………9分ABCD（第17题）B 'P（3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x =-+--=-+，12x <<．……………………………………………10分于是，3222142(2)02x S x x x x -+'=--==⇒11分关于x 的函数2S 在(1上递增，在上递减．所以当x 时，2S 取得最大值． ……………………………………………………13分故当薄板长为米，宽为2米时，制冷效果最好． ………………………………………14分18.（本题满分16分）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n ana +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+． ④ ③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． ……………………………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p q p q=+． …………………………………………………………………………………11分所以，213()3q p p q =-(☆)． 易知(p，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ……………………………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………………………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．19.（本题满分16分）已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c =1，且右焦点F '(1，0)．所以，2a =EF EF '+=b 2=a 2－c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132y x +=． …………………………………………………………4分(2)设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则22111x y +=①，22221x y +=②．②－①，得 21212121()()()()032x x x x y y y y -+-++=．所以，k 1=212121212()423()63P P y y x x xx x y y y -+=-=-=--+． ………………………………………………………9分(3)依题设，k 1≠k 2．设M (M x ,M y )，直线AB 的方程为y －1=k 1(x －1)，即y =k 1x +(1－k 1)，亦即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得 2221122(23)6360k x k k x k +++-=． 于是，1221323M k k x k -=+，221223M k y k =+． ……………………………………………………………11分同理，1222323N k k x k -=+，122223N k y k =+． 当k 1k 2≠0时， 直线MN的斜率k =M N M Ny y x x -=-222211212146()9()k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --．……………………………………13分 直线MN 的方程为2211222211121063()92323k k k k k y x k k k k ---=--++， 即 21211222221211110610632()2323k k k k k k k y x k k --=+⋅+++， 亦即 21211062k k y x -=-．此时直线过定点2(0,)3-． ………………………………………………………………………………15分当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点2(0,)3-．综上，直线MN恒过定点，且坐标为2(0,)3-． ……………………………………………………16分20.（本题满分16分）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1)．（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若212,[e,e ]x x ∃∈，使f (x 1)≤2()f x a '+成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立． ………………2分所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()22ln 111()ln ln (ln )x f x a a x x x -'=-=-+-()2111ln 24a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为1． ……………………………………………………6分 （2）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “当2[e,e ]x ∈时，有()m i n m a x()f x f x a '≤+”． ……………………………………………………7分 由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有m i n 1()4f x ≤”． ……………………………………………………8分01当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则min()f x =222e 1(e )e 24f a =-≤，故21124ea ≥-． ……………………………………………10分2当1a <时，由于()f x '()2111ln 24a x =--+-在2[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．(i )若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是，min()f x =1(e)e e e>4f a =-≥，不合． …………………………………………………12分(ii )若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以，min ()f x =00001()ln 4x f x ax x =-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合． ………………………15分综上，得21124ea ≥-．………………………………………………………………………………16分AB EFDCO(第21A 题)南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准（考试时间：30分钟 满分：40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，F 是 BC的中点．求证：（1）AB AC AE AD ⋅=⋅； （2）FAE FAD ∠=∠．证明：（1）连BE ，则E C ∠=∠，又Rt ABE ADC ∠=∠=∠，所以△ABE ∽△ADC ，所以AB AE AD AC =．∴AB AC AE AD ⋅=⋅． ……………………………………………………………………………………5分（2）连OF ，∵F 是 BC的中点，∴BAF CAF ∠=∠． 由(1)，得B A ∠=∠，∴FAE FAD ∠=∠． …………………………………………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴21()22x y-=，即218y x =．………………………………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解：曲线C的普通方程是2213x y +=． …………………………………………………………………2分 直线l的普通方程是0x ． ………………………………………………………………4分设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d=． …………………………………………………7分因为)4+≤πθ，所以当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．==θθ 综上，点M 的极坐标为7π)6时，该点到直线l 的距离最大． ………………………10分注 凡给出点M的直角坐标为(，不扣分．D ．选修4－5：不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=，求224S a b =-的最大值． 解：0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ………………………………………………………………2分且12a b =+≥，即，1ab ≤, ……………………………………………………5分∴224S a b =-(14)ab =-41ab =-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立． …………………………………………………………………10分22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，已知定点R (0，－3)，动点P ，Q 分别在x 轴和y 轴上移动，延长PQ至点M ，使1PQ QM = ，且0PR PM ⋅=．（1）求动点M 的轨迹C 1；（2）圆C 2： 22(1)1x y +-=，过点(0，1)的直线l 依次交C 1于A ，D 两点（从左到右），交C 2于B ，C 两点（从左到右），求证：AB CD ⋅为定值．解：（1）法一：设M (x ，y )，P (x 1，0)，Q (0，y 2)，则由10,2PR PM PQ QM ⋅==及R (0，－3)，得11122()(3)0,1,211.22x x x y x x y y y ⎧⎪--+-=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩化简，得24x y =． ……………………………………………………………4分所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ………………………………………5分法二：设M (x ，y )．由12PQ QM = ，得 (,0),(0,)23xyP Q -．（第22题）所以，3(,3),(,)22x xPR PM y =-= ．由0PR PM =，得3(,3)(,)022x x y -⋅=，即23304x y -=．化简得 24x y =． …………………4分所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ………………………………………5分（2）证明：由题意，得 A B C D A B C D ⋅=⋅，⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ． 设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则1111AB FA FB y y =-=+-=． ……………………………………7分同理 2C D y =． 设直线l 的方程为 (1)x k y =-．由2(1),1,4x k y y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得221(1)4y k y =-，即2222(24)0k y k y k --+=． 所以，121AB CD AB CD y y ⋅=⋅==． ………………………………………………………………10分23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，51,2n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩………………………………………………………3分(2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ………………………………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅ ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． …………………………………………………10分南通市2013届高三第一次调研测试数学Ⅰ讲评建议第1题 考查集合运算．注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算．第2题 考查复数的基本概念及几何意义．对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点． 第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算．应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距．第4题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用．第5题 本题考查简易逻辑的知识．应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换．第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识．对双曲线的讲评不宜过分引申．第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算．法一 用性质．S 9=9a 5= -36，S 13= 13a 7= -104，于是a 5= -4，a 7= -8，等比中项为±法二 用基本量．S 9=9a 1+36d = -36，S 13=13a 1+78d = -104，解得a 1=4，d = -2．下同法一．第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识．法一 当输入x =1时，可输出x =15；当输入x =9时，可输出y =79．于是当输入x的取值范围为[1，9]时，输出x 的取值范围为[15，79]，所求概率为7955379158-=-．法二 输出值为87x +．由题意：8755x +≥，故69x ≤≤． 第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识．满足||||AB AC BC +=的A ，B ，C 构成直角三角形的三个顶点，且∠A 为直角，于是BA BC ⋅ =2BA =1．第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算．讲评时应强调对数的真数应大于0．强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系．第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义． (1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=． 在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中，令x =0，则得(1)e f '=． 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别． 第12题 本题主要考查三角函数及其应用．考题取自教材的例题．教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题．S (t )=103sin()32t ππ+，求S (5)= -1.5即可．第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识． 圆心C (-1，0)到直线l ：y =ax +3的距离为3d =<，解得a >0或a <34-． 由P A =PB ，CA =CB ，得PC ⊥l ，于是1PC k a =-，进而可求出x 0的取值范围．第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．法一 2223631013x x x x m x x +-+-=+--2231613x x x x --=++--． 当且仅当223113x x x x --=--，即2x =时m 取得最小，此时点P 的坐标为(2,3)． 法二 33213612x y x y m x y -+--+-=+--21612y x x y --=++--．当且仅当2112y x x y --=--时m 取得最小值．下略． 第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．讲评时应注意强调规范化的表达．注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等．第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等．讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin (A +B )=sinC ，面积公式及等积变换等．(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos22332ααα⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦．ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤． 法二：由正弦定理得：2sin c R C ==．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，故2234a b ab +=+．因为0,0a b >>，所以2234a b +>．又222a b ab +≤，故2222342a b a b +++≤，得2232a b +≤．因此，223342a b <+≤．第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心．在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值情况．第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力．两个基本数列属C 能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点．第(3)问中，若数列{a n }为等差数列，则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列；反之若数列{a n }为等比数列，则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列．第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m ，p ，q (其中m <p <q )，使b m ，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m ，p ，q )；若不存在，说明理由．”那么，答案仍然只有唯一组解．此时，在解题时，只须添加当m ≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同．对于第(2)问，在得到关系式：1(1)n n n a na +-=后，亦可将其变形为11n n a n a n +=-，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{a n }的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可．但需要说明n ≥2．考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分．第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力．讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养．第（2）问，亦可设所求直线方程为y -1=k 1(x -1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x 或y ，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k 1的关系，进而求出k 1的值．第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值．此结论在抛物线中也成立．另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值．近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”． 第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．第（2）可另解为：命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于“21[e,e ]x ∃∈，使()1max ()f x f x a '+≤”．由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，于是()max 14f x a '+=．故21[e,e ]x ∃∈，使11111()ln 4x f x ax x =-≤，即21[e,e ]x ∃∈，使1111ln 4a x x -≥．所以当2[e,e ]x ∈时，()min11a -≥．记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈，则222224(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=⋅．因2[e,e ]x ∈，故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈，于是2()0,[e,e ]g x x '<∀∈恒成立． 所以，11()ln 4g x x x =-在2[e,e ]上为减函数，所以，min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-．所以，21124ea -≥．。
江苏省南通市合作盟校2013届高三考前全真模拟密卷数学卷1
江苏省南通市合作盟校2013届高三考前全真模拟密卷数学卷1—、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3=B ，则=B A .2.已知复数i z 21-=（i 为虚数单位），则=2z .3.已知命题:p 直线a ，b 相交，命题:q 直线a ，b 异面，则p ⌝是q 的条件.4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d （单位：千米）.由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为 .5.如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值=x .Read xIf 0≥x Then 13)(2--←x x x f Else)5(log )(2+←x x f End If Print )(x f6.已知角α（πα20<≤）的终边过点)32cos ,32(sin ππP ，则=α .7.写出一个满足1)()()(-+=y f x f xy f （x ，0>y ）的函数=)(x f .8.已知点M 与双曲线191622=-y x 的左，右焦点的距离之比为3:2，则点M 的轨迹方程为 .9.先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m =，的概率为 .10.等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .11.已知a ，b 为正实数，函数xbx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 .12.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .13.设)(n u 表示正整数n 的个位数，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 .14.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .二．解答题：本大题共6小题，共90分。
南通市2013届高三第三次调研测试数学试卷
(第9题)（第3题）(第5题)南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则AB = ．2．设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ． 3． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ． 4． “M N >”是“22log log M N >”成立的 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个准确的填写）行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 ． 6． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ．7．从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 ．9． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ．10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ．11．已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB BC =，则实数t 的值为 ．12．过点(1 0)P -，作曲线C ：e x y =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作 曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ．13．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB 1=，EF =，CD =．若15AD BC ⋅=，则AC BD ⋅的值为 ．14．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是 ． 二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB //平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围．17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，ABC（第15题）PDO（第18题）厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，，．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC ，BD19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比图1图2（第17题）数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存有正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n n f x g x n x=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存有常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是否为“2阶负函数”？并说明理由．数学附加题21．【选做题】B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 566x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存有逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知(0 1)A ，，(0 1)B -，，( 0)C t ，，()3 0D t，，其中0t ≠．设直线AC与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以t 为参数）及普通方程．22．【必做题】 设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的112，16，14，12．游戏规则如下：① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相对应的积分，游戏结束；（ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积 分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．（1）求0ξ=的概率； （2）求ξ的概率分布及数学期望．南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三（第23题）第三次调研测试数学试题答案一、填空题：1、(2 2)-，2、13、24004、必要不充分5、156、47、 112829、 10、12n - 11、74- 12、()e n n ， 13、13 14、二、解答题15． 证明：（1）在矩形ABCD 中，//AB CD ， 又AB ⊄平面PCD ， CD ⊂平面PCD ， 所以AB //平面PCD ． ………6分 （2）如图，连结BD ，交AC 于点O ，连结PO ， 在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，的中点， 又PA PB PC PD ===，故PO AC ⊥，PO BD ⊥， ………9分 又ACBD O =， AC BD ，⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， ………12分又PO ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ． ………14分16．解：（1）在△ABC 中，222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B Cc a b ---====----， ………3分 因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， ………5分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． ………7分（2）222131sin sin sin (1cos2)(1cos2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos2cos2)cos2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos22cos 2422423A A A =-=-+ ………11分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，所以()π11cos 232A -+<≤， 所以3924T <≤． ………14分17． 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ，则3121214108 2 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分 3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ………6分 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯ 124 000 2 000T T x -=+． ………9分（2）由（1）知21121Q Q x =+， 当121x =+4%时，解得12x =（mm ）． 答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分18． （1）解：由题意，得1c =，c e a ==，故a = 从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=． ① ………5分（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线CD 的方程为(1)y k x =--， ③ ………7分 由①②得，点A ，B的横坐标为由①③得，点C ，D， ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线AC ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅-- 1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅-- ………13分2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅-- 0=． ………16分 19．解：（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-， 所以120(1)2019n a n n =+-=-， ………3分令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ② ①-②得，()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n n n --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-，所以(2029)3292n n n S -⋅+=． ………7分（2）因为k k a b =， 所以11(1)k k d q-+-=，即111k q d k --=-，故111(1)1k n q a n k --=+--， 又1n n b q -=， ………9分所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦- ()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- …11分 （ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q q k n n k ----=-- 0<， ………13分（ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =．16分 （注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．） 20． 解：（1）依题意，142()1()1f x a g x x x x==--在(0 )+∞，上单调递增， 故15342[()]0a g x x x '=-+≥ 恒成立，得212a x ≤， ………2分因为0x >，所以0a ≤． ………4分 而当0a ≤时，1421()10a g x x x=--<显然在(0 )+∞，恒成立， 所以0a ≤．…6分 （2）①先证()0f x ≤： 若不存有正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． …8分 假设存有正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增，当0x x >时，0220()()f x f x x x >恒成立，即2020()()f x f x x x >⋅恒成立， 故必存有10x x >，使得201120()()f x f x x m x >⋅>（其中m 为任意常数）， 这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ………13分 ②再证()0f x =无解：假设存有正实数2x ，使得2()0f x =， 则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >， 这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解， 综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”． ………16分数学附加题参考答案及评分建议21．【选做题】B ． 解：由题意，矩阵M 的行列式5066x =，解得5x =， ………4分 矩阵M 5566⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式 55()(5)(6)(5)(6)66f λλλλλ--==----⨯---， …8分 令()0f λ=并化简得2110λλ-=， 解得0λ=或11λ=， 所以矩阵M 的特征值为0和11． ………10分 C ． 解：直线AC 的方程为1x y t+=，① 直线BD 的方程为13x y t-=，② …2分由①②解得，动点P 的轨迹的参数方程为2226 33 3t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，（t 为参数，且0t ≠）， ……6分 将263t x t =+平方得222236(3)t x t =+， ③将2233t y t -=+平方得()()2222233t y t -=+， ④ …8分 由③④得，221(0)3x y x +=≠． ………10分（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“0x ≠”扣1分．）22．证明：（1）当2n =时，有()2221212122a a a a a a +=++，命题成立． ……2分（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立， 即()22221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， ………4分那么，当1n k =+时，有()2121k k a a a a +++⋅⋅⋅++ ()()221212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++．2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++ +⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．所以当1n k =+时，命题也成立． ………8分根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． ………10分 23． 解：（1）事件“0ξ=”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分 后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，所以111183(0)(1)26212144P ξ==+⨯⨯-=； ………4分（2）ξ的所有可能取值为0，10，40，100， 由（1）知83(0)144P ξ==，又1(10)4P ξ== 111(40)6212P ξ==⨯=， 111113(100)126212144P ξ==+⨯⨯=，所以ξ的概率分布为：………7分所以，831113535()0104010014441214436E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（分）． ……10分。
江苏省南通市2013年高考数学学科基地秘卷模拟试卷9苏教版.pdf
2013年江苏高考数学模拟试卷（九） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 在复平面内，复数(是虚数单位)对应的点的坐标为 ． 2．设集合，，若，则= ． 3．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 4. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为 ___________ 辆. 5．某程序框图如右上图所示，该程序运行后输出的的值是 . 6．如图，斜三棱柱的所有棱长均等于1，且， 则该斜三棱柱的全面积是 ． 7．双曲线的渐近线被圆 所截得的弦长 为 ． 8．已知函数， 则满足不等式的x的取值范围是 ． 9．在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则 的最小值 是 ． 10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， 则 ． 11．将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如右表，其中第行第个数 表示为，例如．若，则 ． 12．已知是椭圆和双曲线的公共顶点。
是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于 、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为, ,则 ． 13．已知，则最小值为 ． 14.已知直线与函数和图象交于点Q，若点P，M分别是直线与函数的图象上异于点Q的两点，且对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15.（本小题满分14分）已知向量，,函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。
的最大值为6. (1)求角错误！不能通过编辑域代码创建对象。
； (2)将函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。
的图象向左平移错误！不能通过编辑域代码创建对象。
个单位,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的错误！不能通过编辑域代码创建对象。
南通市姜灶中学2013届高三数学模拟考试
南通市姜灶中学2013届高三数学模拟考试（仿2013考试说明典型题示例）2013.1.10一.填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. 若复数z 满足(2)117z i i -=+(i 为虚数单位),则z 为__________.2.已知集合{{}1,,1,,A B m A B==⋃=,则m =_________.3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为 4. 已知函数||)(a x ex f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .5. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 .6. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是________.7. 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别为线段11,AA B C 上的点,则三棱锥1D EDF -的体积为____________. 8. 数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+,前n 项和为n S ,则2013S ___________.9. 已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+则()f x 的单调增区间为________.10. 已知0ω>,函数()s i n()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是 .11. 在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别 是边BC 、CD 上的点,||||CD BC =,则AN AM ⋅的最小值是_________12. 定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于C 2:x 2+(y +4) 2=2到直线l :y =x 的距离,则实数a =_____________ 13. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则b a +值为____. 14. 满足条件AB=6，周长为16的三角形ABC 的面积的最大值是__________.二.解答题(本大题共6小题，共70分)15. 在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin BC .(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若a求∆ABC 的面积.16. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝E ，F 分别为AB ，PC 中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面17. 今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为 “天狼星”的自驾游车队。
数学_2013年江苏省南通市某校高考数学考前辅导试卷(含答案)
2013年江苏省南通市某校高考数学考前辅导试卷一.填空题[你能即快又准解好填空题吗？方法是否得当？选用公式是否正确？]1. 若复数z =x+(x 2−x)i i (x ∈R)为纯虚数，则x ＝________．2. △ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →+AB →+AC →=0→，|OA →|＝|AB →|，则CA →⋅CB →=________．3. 若直线ax +by +1=0(a 、b >0)过圆x 2+y 2+2x +2y +1=0的圆心，则1a +4b 的最小值为________．4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，有下列四个条件：（1）α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ；（2）α∩γ=m ，α⊥γ，β⊥γ；（3）α⊥β，β⊥γ，m ⊥α；（4）n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α．其中m ⊥β的一个充分条件是序号________． 5. 函数y =sinπx(x ∈R)的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan∠OPB ________．6. 若△ABC 的周长等于20，面积是10√3，A ＝60∘，则BC 边的长是________．7. 已知数列{a n }满足a 1=t ，a n+1−a n +2=0(t ∈N ∗, n ∈N ∗)，记数列{a n }的前n 项和的最大值为f(t)，则f(t)=________．8. 已知点P(2, t)在不等式组{x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域内，则点P(2, t)到直线3x +4y +10=0距离的最大值与最小值的和为________．9. 在区间[−π, π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f(x)=x 2+2ax −b 2+π2有零点的概率为________．10. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出________人．12. 已知曲线C:y =2x 2，点A(0, −2)及点B(3, a)，从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a的取值范围是________．13. 若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2．给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a1a2>b1b2；③a12−a22=b12−b22；④a1−a2<b1−b2．其中，所有正确结论的序号是________．14. 对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+1)=√f(x)−[f(x)]2+12，设a n=[f(n)]2−f(n)，数列{a n}的前15项的和为−3116，则f(15)=________．二、解答题[你能审出方法、步骤和注意点吗？能否做到会而不失分吗？]15. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除去标注的数字外完全相同．甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下球上的数字后放回，乙再摸出一个小球，记下球上的数字，如果两个数字之和为偶数则甲胜，否则为乙胜．（1）求两数字之和为6的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．16. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．（1）求C的大小；（2）求sinA+sinB的最大值．17. 已知f(x)=sinxcosx+cos2x−12．（1）求f(x)的对称轴方程；（2）将函数f(x)的图象按向量a平移后得到函数g(x)的图象，若y=g(x)的图象关于点(π2，0)对称，求|a|的最小值．18. 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x, y)，M(x, −4)以线段PM为直径的圆经过原点O．（1）求动点P的轨迹W的方程；（2）过点E(0, −4)的直线l与轨迹W交于两点A，B，点A关于y轴的对称点为A′，试判断直线A′B是否恒过一定点，并证明你的结论．19. 已知整数列{a n}满足a3=−1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2．20. 设数列{a n}的前n项积为T n，T n=1−a n；数列{b n}的前n项和为S n，S n=1−b n（1）设c n=1T n．证明数列{c n}成等差数列；求数列{a n}的通项公式；（2）若T n(nb n+n−2)≤kn对n∈N+恒成立，求实数k的取值范围．21. 如图，斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，面AA 1C 1C 是菱形，∠ACC 1=60∘，侧面ABB 1A 1⊥AA 1C 1C ，A 1B =AB =AC =1．求证：（1）AA 1⊥BC 1；（2）求点A 1到平面ABC 的距离．22. 一个多面体如图，ABCD 是边长为a 的正方形，AB =FB ，FB ⊥平面ABCD ，ED // FB ，G ，H 分别为AE ，CE 中点．（1）试问：这个多面体是几多面体（不必证明）？（2）求证：GH // 平面ACF ；（3）当平面ACE ⊥平面ACF 时，求DE 的长．23. 在直平行六面体AC 1中，ABCD 是菱形，∠DAB =60∘，AC ∩BD =O ，AB =AA 1．（1）求证：C 1O // 平面AB 1D 1；（2）求证：平面AB 1D 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求直线AC 与平面AB 1D 1所成角的正弦值．24. 已知常数a 为正实数，在曲线C n :y =√nx 上一点P(x n , y n )处的切线L n 总经过定点(−a, 0)，(n ∈N ∗)．求证点列：P 1，P 2，…，P n 在同一直线上．（关键是：P i 在同一直线上有三种情况：①x i 相同；②y i 相同；③yi x i 为常数） 25. 设不等式组 {x +y >0x −y <0表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x +y =0和直线x −y =0的距离之积为2．记点P 的轨迹为曲线C ．过点F(2√2，0)的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率．26. 已知在△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(−2, 0)和(2, 0)，点C 在x 轴上方．（1）若点C 的坐标为(2, 3)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；（2）若∠ACB =45∘，求△ABC 的外接圆的方程；（3）若在给定直线y =x +t 上任取一点P ，从点P 向（2）中圆引一条切线，切点为Q ．问是否存在一个定点M ，恒有PM =PQ ？请说明理由．27. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，过坐标原点O 且斜率为12的直线l 与C 相交于A ，B ，|AB|=2√10．（1）求a ，b 的值；（2）若动圆(x−m)2+y2=1与椭圆C和直线l都没有公共点，试求m的取值范围．28. 设函数f(x)=x2，g(x)=alnx+bx(a>0)．(I)若f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，求F(x)=f(x)−g(x)的极小值；(II)在(I)的条件下，是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．(III)设G(x)=f(x)+2−g(x)有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G′(x0)值的符号．29. 如图，在函数y=x3−x的图象上取4个点A i(x i, y i)，过点A i作切线l i(i=1, 2, 3, 4)，如果l1 // l3，且l1，l2，l3，l4围成的图形是矩形记为M．（1）证明四边形A1A2A3A4是平行四边形；（2）问矩形M的短边与长边的比是否有最大值，若有，求l1与l2的斜率，若没有，请证明．2013年江苏省南通市某校高考数学考前辅导试卷答案1. 12. 33. 94. （4）．5. 86. 77. {t2+2t4(t为偶数)(t+1)24(t为奇数)8. 2859. 1−π410. √33π11. 4012. (−∞, 10)13. ①③④14. 3415. 两数字之和为6的概率为15． （2）这种游戏规则不公平．设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：(1, 1)，(1, 3)，(1, 5)，(2, 2)，(2, 4)，(3, 1)，(3, 3)，(3, 5)，(4, 2)，(4, 4)，(5, 1)，(5, 3)，(5, 5)．所以甲胜的概率P(B)=1325，从而乙胜的概率P(C)=1−1325=1225．由于P(B)≠P(C)，所以这种游戏规则不公平．16. 解：（1）由正弦定理及2acosC +ccosA =b 得：2sinAcosC +sinCcosA =sinB ，在△ABC 中，A +B +C =π，∴ A +C =π−B ，即sin(A +C)=sinB ，∴ 2sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)+sinAcosC =sinB +sinAcosC =sinB ， ∴ sinAcosC =0，又0<A <π，0<C <π，∴ sinA >0，cosC =0，则C =π2；（2）由（1）得C =π2，则有A +B =π2，即B =π2−A ， ∴ sinA +sinB =sinA +cosA =√2sin(A +π4)， 又0<A <π2，∴ π4<A +π4<3π4， 则当A +π4=π2，即A =π4时，sinA +sinB 取得最大值，最大值为√2．17. 解：（1）f(x)=12sin2x +1+cos2x 2−12 =12(sin2x +cos2x) =√22sin(2x +π4) 由2x +π4=kπ+π2得x =kπ2+π8，k ∈Z ∴ f(x)的对称轴方程为x =kπ2+π8，k ∈Z ． （2）由题意可设a →=(m, 0)则g(x)=√22sin(2x −2m +π4) 又因为g(x)的图象关于点(π2，0)对称，则有√22sin(π+π4−2m)=0，即5π4−2m =kπ，∴ m =5π8−kπ2，k ∈Z ．∴ |a|=|5π8−kπ2|，k ∈Z所以当k =1时，∴ |a|min =π8．18. 解：（1）由题意可得OP ⊥OM ，所以OP →⋅OM →=0，即(x, y)⋅(x, −4)=0即x 2−4y =0，即动点P 的轨迹w 的方程为x 2=4y（2）设直线l 的方程为y =kx −4，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则A′(−x 1, y 1)．由{y =kx −4x 2=4y消y 整理得x 2−4kx +16=0 则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16直线A /B ：y −y 2=y 2−y1x 2+x 1(x −x 2) ∴ y =y 2−y 1x 2+x 1(x −x 2)+y 2 ∴ y =x 2−x 14x +x 1x 24 即y =x 2−x 14x +4，所以，直线A′B 恒过定点(0, 4)．19. 解（1）设数列前6项的公差为d ，d 为整数，则a 5=−1+2d ，a 6=−1+3d ，d 为整数， 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d −1)2=4(2d −1)，解得d =1，−−−−−−−4分当n ≤4时，a n =n −4，由此a 5=1，a 6=2，数列第5项起构成以2为公比的等比数列．当n ≥5时，a n =2n−5，故通项公式为a n ={n −4,n ≤42n−5，n ≥5，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分（2）由（1）知数列{a n }为：−3，−2，−1，0，1，2，4，8，16，…当m =1时等式成立，即−3−2−1=−6=(−3)(−2)(−1)；等式成立．当m =3时等式成立，即−1+0+1=0；等式成立．当m =2、4时等式不成立；−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−12分当m ≥5时，即a m +a m+1+a m+2=2m−5(23−1)，a m a m+1a m+2=23m−12．所以a m +a m+1+a m+2≠a m a m+1a m+2．；故所求的m =1，或m =3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−15分20. 解：（1）由T n =1−a n 得：T n =1−T n T n−1(n ≥2)∴ T n ⋅T n−1=T n−1−T n ∴ T n−1−T nT n ⋅T n−1=1T n −1T n−1=1即c n −c n−1=1又T 1=1−a 1=a 1∴ a 1=12，c 1=1T 1=2 ∴ 数列c n 是以2为首项，1为公差的等差数列．∴ c n =c 1+n −1=2+n −1=n +1∴ T n =1n+1，a n =1−T n =n n+1 （2）由（1）知：T n =1n+1，又∵ S n =1−b n所以，当n =1时，b 1=1−b 1，∴ b 1=12． 当n ≥2时，S n =1−b n ，S n−1=1−b n−1∴ b n =b n−1−b n ，∴ 2b n =b n−1．∴ {b n }为以12为首项，以12为公比的等比数列． ∴ b n =12×12n−1=12n ，∴ 1n+1⋅(n2n+n −2)≤kn 对任意的n ∈N ∗恒成立． ∴ k ≥1n(n+1)(n 2n+n −2)对任意的n ∈N ∗恒成立． ∴ k ≥1n+1⋅12n +n−2n(n+1)对任意的n ∈N ∗恒成立．令f(n)=1n+1⋅12n ，则f(n +1)=1n+2⋅12n+1∵ 1n+1>1n+2>0，12n >12n+1>0∴ f(n)>f(n +1)，∴ 任意的n ∈N ∗时，f(n)为单调递减函数．令g(n)=n−2n(n+1)，则：g(n +1)=n−1(n+1)(n+2) ∴ g(n +1)−g(n)=4−n n(n+1)(n+2)∴ 当1≤n ≤4时，g(n)为单调递增函数，且g(4)=g(5)，当n ≥5时，g(n)为单调递减函数．设L(n)=f(n)+g(n)则：L(1)<L(2)<L(3)，L(3)>L(4)>L(5)>L(6)>…∴ L(3)最大，且L(3)=1196， ∴ 实数k 的取值范围为[1196，+∞)．21. （1）证明：设AA 1中点为D ，连BD ，CD ，C 1D ，AC 1．因为A1B=AB，所以BD⊥AA1．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−2分因为侧面ABB1A1⊥AA1C1C，所以BD⊥面AA1C1C．−−−−−−−−−−4分又△ACC1为正三角形，AC1=C1A1，所以C1D⊥AA1．−−−−−−6分所以AA1⊥面BDC1，所以AA1⊥BC1．−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分（2）解：由（1），有BD⊥C1D，BC1⊥CC1，CC1⊥面C1DB设点A1到平面ABC的距离为ℎ，则13ℎS△ABC=V B−CAC1=V B−CDC1=V C−C1DB．因为BD=C1D=√32，CC1=1∴ V C−C1DB =13CC1×S△C1DB=18，∵ CC1=1，BC1=√62，∴ BC=√102∵ AB=AC=1，∴ S△ABC=√158∴ ℎ=√155．即点A1到平面ABC的距离为√155．−−−−14分22. 解：（1）是7多面体；（2）证明：如图，连接AC，在△ACE中，∵ G，H分别为AE，CE中点，∴ GH // AC又AC⊂平面ACF，且GH⊄平面ACF，所以GH // 平面ACF；（3）解：如图，连接DB，交AC于O，连接EO，FO，∵ ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED // FB，∴ Rt△ADE≅Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，∵ EO⊂平面ACE，AC⊂平面ACF，AC∩OF=O，∴ 只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，设DE的长为x，在Rt△ODE中，OE2=x2+12a2，在Rt△OBF中，OF2=a2+12a2=32a2，EF2=2a2+(x−a)2EF2=OE2+OF2，解得x=12a即平面ACE⊥平面ACF时，DE的长为12a（如求二面角E−AC−E的平面角也可相应得分，但不提倡）23. 证明：（1）连接A1C1交B1D1于O1，连接AO1．在平行四边形AA1C1C中，C1O1 // AO，C1O1=AO，∴ 四边形AOC1O1为平行四边形．∴ C1O // AO1．∵ C1O⊄平面AB1D1，AO1⊂平面AB1D1，∴ C1O // 平面AB1D1．（2）在直平行六面体AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴ A1A⊥B1D1．∵ 四边形A1B1C1D1为菱形，∴ B1D1⊥A1C1．∵ A1C1∩AA1=A1，A1C1⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴ B1D1⊥平面ACC1A1．∵ B1D1⊂平面AB1D1，∴ 平面AB1D1⊥平面ACC1A1．（3）过C作CH⊥AO1交AO1于H．∵ 平面AB1D1⊥平面ACC1A1，平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1，∴ CH⊥平面AB1D1．∴ AH为AC在平面AB1D1上的射影．∴ ∠CAH是AC与平面AB1D1所成的角．设AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60∘，∴ AC=2√3．在Rt△AA1O1中，AO1=√7．∵ AO1⋅CH=AC⋅OO1，∴ CH=4√217．∴ sinCAH=CHAC =2√77．24. 证法一：f(x)=√nx∴ f′(x)=2√nx (nx)′=12⋅√nxC n :y =√nx 上一点P(x n , y n )处的切线L n 的斜率k n =f ′(x n )=12⋅√n x n L n 的方程为y −y n =12⋅√nx n (x −x n )∵ L n 经过点(−a, 0)∴ y n =−12(−a −x n )=12√nx n (a +x n ) 又∵ P n 在曲线C n 上，∴ y n =√nx n =12√nx n (a +x n ) ∴ x n =a ，y n =√na∴ P(a,√na)总在直线x =a 上即P 1，P 2，…，P n 在同一直线x =a 上证法二：设切线L n 的斜率为k n ，由切线过点(−a, 0)得切线方程为y =k n (x +a)则方程组{y =k n (x +a)y 2=nx(y ≥0)的解为{x =x n y =y n， 用代入法消去y 化简得k n 2x 2+(2ak n 2−n)x +k n 2a 2=0(∗)；有△=(2ak n 2−n)2−4k n 2⋅k n 2a 2=−4ank n 2+n 2=0∴ k n 2=n 4a 即n 4a x 2+(2a ⋅n 4a −n)x +n 4a ⋅a 2=0即x 2−2a ⋅x +a 2=0∴ x =a 即有x n =a ，y n =√nx n =√na即P 1，P 2，…，P n 在同一直线x =a 上25.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示． 设动点为P(x, y)， 则|x+y|√2⋅|x−y|√2=2，即|x 2−y 2|=4．由P ∈D 知x +y >0，x −y <0，即x 2−y 2<0．所以y 2−x 2=4(y >0)，即曲线C 的方程为y 24−x 24=1(y >0)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，以AB 为直径的圆心Q(x 1+x 22，y 1+y 22)．以AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 r =12|AB|=x 1+x 22，即|AB|=x1+x2．①因为直线AB过点F(2√2, 0)，当AB⊥x轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y=k(x−2√2)．代入双曲线方程y 24−x24=1(y>0)，得k2(x−2√2)2−x2=4，即(k2−1)x2−4√2k2x+(8k2−4)=0．因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．所以x1+x2=4√2k2k2−1，x1x2=8k2−4k2−1．所以|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=|x1+x2|=|4√2k2k2−1|，化简得：k4+2k2−1=0，解得k2=√2−1（k2=−√2−1不合题意，舍去）．由△=(4√2k2)2−4(k2−1)(8k2−4)=3k2−1>0，又由于y>0，所以−1<k<−√33．所以k=−√√2−1．26. 解：（1）因为AC=5，BC=3，所以椭圆的长轴长2a=AC+BC=8，又c=2，所以b=2√3，故所求椭圆的方程为x 216+y212=1（2）因为ABsinC=2R，所以2R=4√2，即R=2√2又圆心在AB的垂直平分线上，故可设圆心为(0, s)(s>0)，则由4+S2=8，所以△ABC的外接圆的方程为x2+(y−2)2=8（3）假设存在这样的点M(m, n)，设点P的坐标为(x, x+t)，因为恒有PM=PQ，所以(x−m)2+(x+t−n)2=x2+(x+t−2)2−8，即(2m+2n−4)x−(m2+n2−2nt+4t+4)=0，对x∈R，恒成立，从而{2m+2n−4=0m2+n2−2nt+4t+4=0，消去m，得n2−(t+2)n+(2t+4)=0因为方程判别式△=t2−4t−12，所以①当−2<t<6，时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M②当t≥6或t≤−2时，因为方程有实数解，且此时直线y=x+t与圆相离或相切，故此时这样的点M存在．27. 解：（1）依题意，l:y=x2不妨设设A(2t, t)、B(−2t, −t)(t>0)由|AB|=2√10得20t2=40，t=√2所以{8a2+2b 2=1ca=√a 2−b 2a=√32(,)解得a =4，b =2．（2）由{x 216+y 24=1(x −m)2+y 2=1消去y 得3x 2−8mx +4m 2+12=0动圆与椭圆没有公共点，当且仅当△=(−8m)2−4×3×(4m 2+12)=16m 2−144<0或|m|>5解得|m|<3或|m|>5动圆(x −m)2+y 2=1与直线y =x 2没有公共点当且仅当√5>1，即|m|>√5解{|m|<3|m|>√5或{|m|>5|m|>√5得m 的取值范围为{m|√5<m <3或m >5或−3<m <−√5或m <−5}． 28. 解：(1)由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)得{b =1a +b =2，解得a =b =1，则F(x)=f(x)−g(x)=x 2−lnx −x ，F′(x)=2x −1x −1 令F′(x)=0，得到2x −1x −1=0， 解得：x =1或x =−12，当x <−12或x >1时，f′(x)>0，函数为增函数；当−12<x <1时，f′(x)<0，函数为减函数．得到F(x)极小值=F(1)=0；(2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1, 1)，而函数f(x)=x 2在点(1, 1)的切线方程为y =2x −1， 下面验证{f(x)≥2x −1g(x)≤2x −1都成立即可．由x 2−2x +1≥0，得x 2≥2x −1，知f(x)≥2x −1恒成立． 设ℎ(x)=lnx +x −(2x −1)，即ℎ(x)=lnx −x +1， 易知其在(0, 1)上递增，在(1, +∞)上递减，所以ℎ(x)=lnx +x −(2x −1)的最大值为ℎ(1)=0， 所以lnx +x ≤2x −1恒成立．故存在这样的k 和m ，且k =2，m =−1．(3)G′(x 0)的符号为正，理由为：因为G(x)=x 2+2−alnx −bx 有两个零点x 1，x 2，则有{x 12+2−alnx 1−bx 1=0x 22+2−alnx 2−bx 2=0，两式相减得x 22−x 12−a(lnx 2−lnx 1)−b(x 2−x 1)=0，即x 2+x 1−b =a(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1，于是G′(x 0)=2x 0−a x 0−b =(x 1+x 2−b)−2a x 1+x 2=a(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−2a x 1+x 2=a x 2−x 1[lnx 2x 1−2(x 2−x 1)x 1+x 2]=a x 2−x 1[ln x 2x 1−2(x 2x 1−1)1+x 2x1] ①当0<x 1<x 2时，令x 2x 1=t ，则t >1，且u′(t)=1t −4(1+t)2=(1−t)2t(1+t)2>0，则u(t)=lnt −2(t−1)1+t在(1, +∞)上为增函数，而u(1)=0，所以u(t)>0，即lnt −2(t−1)1+t>0，又因为a >0，x 2−x 1>0所以G′(x 0)>0；②当0<x 2<x 1时，同理可得：G′(x 0)>0 综上所述：G′(x 0)的符号为正． 29. 解：（1）设直线l i 的斜率为k i (i =1, 2, 3, 4)， 由y′=3x 2−1，得k i =3x i 2−1由题意k 1=k 3，k 2=k 4，又点A 1A 2A 3A 4不重合，故x 1=−x 3，x 2=−x 4， 从而y 1=−y 3，y 2=−y 4，-因此A 1与A 3，A 2与A 4都关于原点对称， 故四边形A 1A 2A 3A 4是平行四边形； （2）有最大值；设k 1>0，k 2<0l i :y −y i =k i (x −x i )，即y −k i x +2x i 3=0，且k 1k 2=−1 设l 1与l 3的距离为d 1=13√1+k 1，l 2与l 4的距离为d 2=23√1+k 222d 11=x 26x 16⋅1+k 121+k 22=(k 2+1k 1+1)31+k 121+k 22=1k 1(k 1−1k 1+1)3(k >1)令g(x)=(x−1)3x(x+1)3(x >1)g′(x)=−(x−1)2(x 2−6x−1)x 2(x+1)4=[x−(3+√10)][x−(3−√10)](x−1)2x 2(x+1)4，当1<x <3+√10时为增函数，当x >3+√10时为减函数， 故当x =3+√10，g max (x)=√10)3(3+√10)(4+√10)3√10)3(3+√10)(4+√10)3<1，因此矩形M 的短边与长边的比有最大值，l 1与l 2的斜率分别为3+√10和3−√10，。
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南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()UA B = ▲ ．2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线x =”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ． 13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC a '=（0a <． DC 'AC（1）若a =，求二面角C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --, 上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围．（3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=， 其中p 为常数. （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6；6. b =；7. 8361，；8. π4；9. (01)，；10. 11. ⎣⎦； 12. 12； 13. 12； 14. 3． 答案解析 1．易得{}1 3 9AB A ==，，，则()UAB ={}5；2. 3z =；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =；4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 1=，且0b <，即b =7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8.设tan A k =，则tan 2B k =，tan 3C k =，且0k >，利用tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B+=-+=--可求得1k =，所以A π=4；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，；10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积13V x ==，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y =，此时max V法2设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t=-<<，，利用导数可求得当t=时，maxy，此时maxV=11. 如图，设a b cOA OB OC===，，，△ABC 中，由余弦定理得3AB=，由()()0-⋅-=a cb c知，点C的轨迹是以AB为直径的圆M，且OM=，故12c OC OC⎡⎡⎤∈=⎢⎣⎦⎣⎦，；12. 设()212n n nA x x，、()211112n n nA x x+++，，则割线nA1nA+的方程为：2212111122()2n nn nn nx xy x x xx x++--=--，令0y=得121n nnn nx xxx x+++=+，即21111n n nx x x++=+，不难得到34515171266x x x===，，；13. 易得22211444abha ba bb a==++≤，所以12h≤（当且仅当4a bb a=时取等号）；14. 设AB的方程为：1(0)y kx k=+>，则AC的方程为：11y xk=-+，由22211y kxx ya=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(1)20a k x a kx++=，解得22221Ba kxa k-=+，用“1k-”替换“k”得2222Ca kxa k=+，故222222221a k a kAB ACa k a k==++所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa ka k k kS AB ACa k a k a k ak∆++=⋅==+++++，令12t kk=+≥，则4322222(1)1ABCa aSa aa tt∆=--+≤（当且仅当212ata-=>时等号成立），由322781aa=-得2(3)(839)0a a a---=解得3a=，或a=，所以3a=．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力．（1）易得()2221()sin2sin cos2f x x x x x=++-1cos212cos222x x x-=-O AB2CM1C（第11题图）12cos22x x=-+＝()π12sin262x-+，（5分）所以()f x周期π，值域为3522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分）（2）由()00π1()2sin2062f x x=-+=得()π1sin2064x-=-<，（9分）又由π2x≤≤得02ππ5π666x≤≤--，所以2ππ066x≤≤--，故()0πcos26x-=，（11分）此时，()00ππsin2sin266x x⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()00ππππsin2cos cos2sin6666x x=-+-1142=-．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC，交BD于点O，连结OC'，菱形ABCD中，CO BD⊥，因三角形BCD沿BD折起，所以C O BD'⊥，故C OC'∠为二面角C—BD—C'的平面角，（5分）易得C O CO'==，而CC'=所以C OCπ'∠=3，二面角C—BD—C'的大小为π3；（7分）（2）当a变化时，线段CC'的中点E总满足A C'//平面BED，下证之：（9分）因为E，O分别为线段CC'，AC的中点，所以//OE AC'，（11分）又AC'⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以A C'//平面BED.（14分）17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A11()x y，，则11(24)B x y--，，代入双曲线2212yx-=得2211221112(4)(2)12yxyx⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，，解得11xy⎧⎨=⎩=-1，或1134xy=⎧⎨=⎩，，即A B、的坐标为10-（，）、34（，），所以AB：1y x=+，CD：3y x=-+；（7分）（2）A、B、C、D四点共圆，下证之：（9分）（第16题图）D C'A COE证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得 C D 、的坐标为(36--+、(36-+-，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(36D -+-适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分） （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x x f x x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-， 所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+-列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分）（3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=所以BC =．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分） 将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分）当且仅当12313a a a ===时等号成立， 所以1239111a a a ++≥.（10分） 22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x-'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数；当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数，所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n nn n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+[][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n nn n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+-01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C nn n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-，所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。