高一数学同步测试二倍角的正弦余弦正切 (4)

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高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(练)新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学试题

3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（练）一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ，x ∈R ，则f(x)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ＝2cos2xsin2x＝12sin22x ＝1－cos4x 4，故选D.2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·某某某某调研)在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 等于() A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B)＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sinA ＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，∴A>30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(2010·某某某某一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 5．(2010·某某一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17 C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 6．(2010·某某中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b|的值为( )A ．0B ．1C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b|＝2.7．(2010·某某某某调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·某某调研)若将函数y ＝cosx －3sinx 的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cosx －3sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝kπ(k ∈Z)，∴m ＝kπ－π3，∵k ∈Z ，且k>0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝65. 10．(2010·某某南开中学)已知2tan α·si n α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin2αcos α＝3，即2(1－cos2α)cos α＝3， ∴2cos2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，(k ∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3[解析] 3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3. 三、解答题14．(2010·理，15)已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin2x －4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx 的二次函数，求值即可．(1)f(π3)＝2cos 2π3＋sin2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x －1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x －4cosx －1＝3(cosx －23)2－73，x ∈R因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx ＝23时，f(x)取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α①由4tan α2＝1－tan2α2得tan α＝2tan α21－tan2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1，又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·某某嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解．[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则 2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3当－π≤x<－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sinx 而函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f(x)＝－sinx ，－π≤x<－π6，∴f(x)＝⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sinx x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22， ∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x<－π6时，∵f(x)＝－sinx ＝22， ∴sinx ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。

高中数学二倍角的正余弦、正切公式知识讲解及测试题

3.1.3 二倍角的的正弦、余弦、正切公式(1)—B 班回顾两角差的余弦公式 =-)cos(βα_____________________________ 两角和的余弦公式 =+)c o s (βα_____________________________ 两角差的正弦公式 =-)s i n (βα______________________________两角和的正弦公式 =+)s i n (βα______________________________ 两角差的正弦公式 tan()αβ+=______________________________两角差的正弦公式 tan()αβ-=______________________________问题1：已知sin15a ︒=，试用 a 表示sin30︒.探究：二倍角的正弦公式sin 2α= 2S α问题2：根据二倍角的正弦公式探究过程，试写出二倍角的余弦、正切公式cos2α= 2C αtan 2α= 2T α问题3：2S α，2C α，2T α中角α有何要求？例1、求值：（1）22sin cos 1212ππ- （2）sin75cos75︒︒（3）2tan151tan 15︒-︒ （4）224sin 1533-︒总结：cos2α=22cos sin αα-= =例2、（1）已知1sin cos 3αα=，则cos4α=_______________ （2）已知1sin(),43x π-=-则sin 2x =_______________（3）cos20cos40cos80︒︒︒=____________________变式：（1）sin10sin50sin70︒︒︒=____________（2）sin6sin 42sin66sin78︒︒︒︒=_____________思考：1c o s c o sc o sc o s 242n αααα-=__________ 例3、求证：21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-当堂检测 1.已知sin2α=53，cos 2α=－54，则角α是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角2．=α-α2sin 2cos 44____________________; 3．=α+-α-tan 11tan 11___________________; 4．=θ-θ+2cos cos 212______________________. 5．已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

2019高中数学第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式检测新人教A版必修4

第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级基础巩固一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2[解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以f (x )是奇函数，因而f (x )的图象关于原点对称，故选B ．2.12－sin 215°的值是( D ) A ．64 B ．6－24 C ．32D ．34[解析] 原式＝12－1－2＝cos30°2＝34． 3.2－2cos8＋21－sin8的化简结果是( A ) A ．2cos4－4sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4[解析] 原式＝21－cos8＋21－2sin4cos4＝2·1－1－2sin 24＋2sin4－cos42＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4． 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( A ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35[解析] sin 4α－cos 4α＝－(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35．5．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( D )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4，∴原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2．6．已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．23[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝13，则cos2θ＝ 45 ．[解析] cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45． 8.3tanπ81－tan2π8＝ 32 ．[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32．三、解答题9．求值：sin50°(1＋3tan10°)． [解析] 原式＝sin50°(1＋3sin10°cos10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·212cos10°＋32sin10°cos10°＝sin50°·2sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝cos10°cos10°＝1．10．(2018·江苏卷，16)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解析] (1)解：因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α．因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2．因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247．因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－α＋β1＋tan 2αα＋β＝－211．B 级素养提升一、选择题 1．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( C ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72 [解析]cos2αα－π4＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．2．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( B ) A ．1318 B ．1118 C ．79D ．－1[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．将sin α＋2cos α＝102两边平方可得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52．将左边分子分母同除以cos 2α得， 3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝61－9＝－34． 4．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( B )A ．－13B ．－79C ．79D ．13[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1＝2sin 2(π6－α)－1＝29－1＝－79．二、填空题5．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3．6．已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝－17 ．[解析] 由题意sin2α＝45，∴tan2α＝－43．∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17．三、解答题7．已知向量m ＝(cos α－23，－1)，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈[－π2，0]．(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．[解析] (1)∵m 与n 为共线向量， ∴(cos α－23)×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23． (2)由(1)得1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79．∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(sin α－cos α)2＝2－(23)2＝169．又∵α∈[－π2，0]，∴sin α－cos<0，sin α－cos α＝－43．因此，sin2αsin α－cos α＝712．8．(广东高考)已知tan α＝2． (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．[解析] (1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3．(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2α－－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1．C 级能力拔高已知sin(π4－x )＝513，x ∈(0，π4)，求cos2xπ4＋x 的值．[解析] ∵x ∈(0，π4)，∴π4－x ∈(0，π4)，又∵sin(π4－x )＝513.∴cos(π4－x )＝1213，又cos2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169．cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413．。

课时跟踪检测 (四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式

课时跟踪检测（四十三）二倍角的正弦、余弦、正切公式层级(一) “四基”落实练 1.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选A 原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D ．35解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．若9－cos 2θcos θ＋1＝4，则(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021的取值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．0解析：选A 因为9－cos 2θcos θ＋1＝4，所以9－(2cos 2θ－1)＝4(cos θ＋1)，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)，所以sin θ＝±1－cos 2θ＝0，所以(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021＝1. 4．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方，得1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a ＝2sin 18°，若a 2＋b ＝4，则1－2cos 227°a b＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选A ∵a ＝2sin 18°，a 2＋b ＝4， ∴b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，∴1－2cos 227°a b ＝1－2cos 227°2sin 18°4cos 218°＝－cos 54°4sin 18°cos 18°＝－sin 36°2sin 36°＝－12.6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34. 答案：347．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∵当x ＝θ时，函数f (x )取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π6＋2k π＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝1＋331－33＝2＋ 3. 答案：2＋ 38．已知角α的终边经过点(－8，－6)，则1＋cos 2α＋sin 2αcos (π＋α)＝________.解析：因为点(－8，－6)到原点的距离r ＝(－8)2＋(－6)2＝10，所以sin α＝－610＝－35，cos α＝－810＝－45.所以1＋cos 2α＋sin 2αcos (π＋α)＝2cos 2α＋2sin αcos α－cos α＝－2cos α－2sin α＝－2×⎝⎛⎭⎫－45－2×⎝⎛⎭⎫－35＝145. 答案：1459．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .证明：左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α的值．解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)．所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.层级(二) 素养提升练1．已知tan 2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：选C 已知tan 2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－22，解得tan α＝2，所以2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝－3＋2 2.2．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)的结果是________．解析：原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70°＝3cos 10°－cos 10°·cos 20°2sin 10°·cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin (20°－30°)sin 10°＝－1.答案：－13．已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋3cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域．解：f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＋3cos 2x＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，得2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )∈[－1,2]．即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为[－1,2]． 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．解：(1)由题意知cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－33＋410.5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15 ° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°·sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

二倍角的正弦余弦正切公式习题及答案

二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合作探究·攻重难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当堂达标·固双基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。

高一数学同步测试(5)—二倍角的正弦、余弦、正切.doc

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（5）—二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是（）A ．45 B ．26 C ．23 D ．431+ 2．如果ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是（）A ．57B ．58 C ．1D ．15293．已知Q 为第Ⅲ象限象，则θcos 21212121++等于（）A ．4sinθB ．4cos θC ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0] 5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是（）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6．80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为（）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163- 7．48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（）A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（）A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247B ．－247C ．724D ．－72410．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于（）A ．232-B ．232C ．32D ．32- 11．已知θ为第Ⅱ象限角，2cos ,024sin sin252θθθ那么=-+的值为（）A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为（）A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13． 100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，那么)tan(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅20．不查表求值 40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅21．已知函数)()0(2sin225sin 21)(θπθθθθf f 将<<+-=表示成关于θcos 的多项式22．已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=①化简f （x ）②是否存在x ，使得xxx f xsin 2tan 1)(2tan2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、17．由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα 18．212323]21)6[sin(2min max 2-==∴+---=y y x y π19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+- 21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf 22．（1）)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且（2）存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ。

人教A版高中同步学考数学必修4精品课件第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1
1
−
.
1+tan
3
2
(2)1+
2
2
课前篇自主预习
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)对任意的角,总有sin 2θ=2sin θ. (
)
(2)不存在角α,使得cos 2θ=2cos θ. (
)
2tan
π
(3)公式 tan 2α=
成立的条件是 α≠kπ+ ,k∈Z.
2
1-tan2
S2α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α
正切
tan 2α=
2 α
1- 2
T2α
课前篇自主预习
4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围
π
在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠2+kπ,且
π
4
π
π
平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π
解:(方法一)∵0<x< ,
4
π
π
∴4-x∈ 0, 4 .
π
5
又 sin - = ,
4
13
π
12
∴cos 4 - = 13.
π
π
∵cos 2x=sin 2 -2 =2sin 4 -

高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习（含解析）新人教A 版必修41．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247B ．2425，725，247C ．－2425，－725，247D ．2425，－725，－247答案 A解析因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，cos2α＝725，则cos α＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．35 答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴22sin α＋22cos α＝7210，即sin α＋cos α＝75，∵cos2α＝725，∴cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，∴cos α－sin α＝15，可得cos α＝45，故选A ．3．1－tan 215°2t an15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1 答案 A解析原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝3．4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A ．62 B ．32 C ．54 D ．1＋34答案 C解析原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54．5．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°等于( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2 答案 B解析原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1．6．3－sin70°2－cos 210°的值是________．答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2． 7．若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析由cos(75°－α)＝13，得cos(150°－2α)＝2cos 2(75°－α)－1＝－79，则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)] ＝－cos(150°－2α)＝79．8．若α∈2，2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2 C ．2sin α2 D ．－2sin α2 答案 D解析 ∵α∈5π2，7π2，∴α2∈5π4，7π4，∴原式＝sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2． 9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25 答案 C解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcos π4＋sin2αsinπ4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145．10．已知sin x 2－2cos x2＝0．(1)求tan x 的值；(2)求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x 的值．解 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43．(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x ＝cos2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x22cos x －sin x sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24．对应学生用书P90一、选择题1．12－sin 215°＝( ) A ．64 B ．6－24 C ．32 D ．34答案 D解析原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数答案 C解析 ∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1＝－cos2x 2＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ，∴函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是最小正周期为2π的奇函数．3．已知cos π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析因为sin2x ＝cos π2－2x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1，所以sin2x ＝2×352－1＝1825－1＝－725．4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1 答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．5．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C ．12D ．72 答案 C解析 cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．二、填空题6．已知tan x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析 ∵tan x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13．∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x2＝1－192＝49． 7．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈0，π2，则 α＝________．答案π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0． ∵α∈0，π2．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．8．设a ＝12cos7°－32sin7°，b ＝2cos12°·cos78°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >b >a解析 a ＝12cos7°－32sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b ＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c ＝1－cos50°2＝1－1－2sin 225°2＝sin 225°＝sin25°，所以c >b >a ．三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan 230°； (5)求s in10°sin30°sin50°sin70°的值．解 (1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24．(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32． (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32． (4)tan30°1－tan 230°＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32． (5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°sin50°4cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝116．解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116．10．已知α为钝角，且tan π4－α＝2．(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan π4－α＝1－tan α1＋tan α，所以1－tan α1＋tan α＝2，1－tan α＝2＋2tan α，所以tan α＝－13．(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α．因为tan α＝－13，所以cos α＝－3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为钝角，所以sin α＝1010，所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010．。

专题57 高中数学二倍角的正弦、余弦、正切公式(解析版)

专题57 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式 S 2α sin 2α＝2sin αcos α C 2α cos 2α＝cos 2α－sin 2α T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α2.余弦的二倍角公式的变形3．二倍角余弦公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.(2)降幂公式：sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.4．要牢记二倍角公式的几种变形(1)sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ； (3)cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x . (4)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.5．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，即sin2α＝2tan α1＋tan 2α. (2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，即cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.题型一给角求值1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°[解析]2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.2．求下列各式的值：(1)cos 415°－sin 415°；(2)1－2sin 275°；(3)1－tan 275°tan 75°；(4)cos 72°cos 36°；(5)2tan150°1－tan 2150°；[解析] (1)cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (2)1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. (3)1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75°＝2×1tan 150°＝－2 3.(4)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(5) 原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 3．求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8＝________；(2)12－cos 215°＝________；(3)1－tan 215°tan15°＝________.[解析] (1)∵sin 3π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)原式＝12(1－2cos 215°)＝－12cos30°＝－34.(3)原式＝2tan30°＝2 3.4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于 [解析]原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.5．sin 4π12－cos 4π12等于[解析] 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32 6．sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是 [解析]原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.7．求下列各式的值：(1)1sin 10°－3cos 10°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.[解析] (1)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.8．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°＝[解析] 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1.9．cos20°cos40°cos80°值为 .[解析]原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.10．cos π7cos 3π7cos 5π7的值为[解析] ∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin8π78sinπ7＝－18.11．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.[解析] 原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6°＝12sin12°cos12°cos24°cos48°cos6°＝14sin24°cos24°cos48°cos6°＝18sin48°cos48°cos6°＝116sin96°cos6°＝116cos6°cos6°＝116题型二给值求值1．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247 C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247[解析]因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247.2．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α等于[解析] ∵cos α＝－513，α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1213(舍正)因此，sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－513＝120169. 3．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. [解析]tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.4．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝[解析]∵sin α－cos α＝43，∴1－2sin αcos α＝169，即1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.5．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝[解析]因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.6．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．[解析]∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0， ∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.7．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝ [解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sin α·cos α＝2cos 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α＝cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，又sin α>0，∴sin α＝558．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是 [解析]设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23， ∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459. 9．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解析] (1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.10．已知π2<α<π，sin α＝45.(1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． [解析](1)由题意得cos α＝－35，所以tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. 11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．[解析]∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos2αcos π4＋sin2αsin π4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145.12．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin2x ＝__________. [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，∴sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝98100而sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝2100－98100＝－96100＝－2425. 13．若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α等于 [解析]因为sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725 14．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.15．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.[解析]sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 16．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.[解析]∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，∴tan α＝－12或tan α＝2. ∵α在第二象限，∴tan α＝－12.17．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________． [解析]由tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，得3tan 2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－13.sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α＋1－tan 2αtan 2α＋1，当tan α＝2时，上式＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2＋1－2222＋1＝210；当tan α＝－13时，上式＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎫－13＋1－⎝⎛⎭⎫－132⎝⎛⎭⎫－132＋1＝210. 综上，sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝210. 18．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为 [解析]cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 19．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝________. [解析]由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴tan α＝3.∴sin α＝310，cos α＝110. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α＝2sin αcos α＋22cos 2α－22＝2×310×110＋22×⎝⎛⎭⎫1102－22＝5210－22＝0.20．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝ [解析]易得cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79. 又cos ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79. 21．若1＋tan α1－tan α＝2019，则1cos 2α＋tan 2α＝________.[解析]1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 019.22．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝________.[解析]∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425， cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250. 23．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． [解析]1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)，所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 24．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． [解析]∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010， ∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45. 25．已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．[解析] (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos2x－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24.26．已知0<x <π2，sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． [解析]∵sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝⎛⎭⎫π＋x 2＝1－cos x 2－3sin x 2cos x 2＝12－⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35.∵0<x <π2，结合sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35<32，易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝34. ∴tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. 27．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)化简f (x )；(2)若f (α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α.[解析] (1)f (x )＝12cos2x －32sin2x －cos2x ＋3sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2k π＜2α＜π2＋2k π(k ∈Z)， ∴2k π－π6＜2α－π6＜π3＋2k π，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝437， ∴sin2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6sin π6＝17×32＋437×12＝5314. 28．已知sin 2θ＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. [解析]cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π22＝1＋sin 2θ2，∵sin 2θ＝34， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1＋342＝78. 29．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； [解析]∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－22×725＝－31250. 30．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值等于 [解析]因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 31．设sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝ [解析]因为sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝23，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－59. 32．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． [解析] (1)因为tan α ＝sin α cos α ＝43，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.33．已知sin α＋cos α＝15，且α∈(0，π)．(1)求tan 2α的值；(2)求2sin 2⎝⎛⎭⎫α2＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. [解析] (1)由sin α＋cos α＝15，得sin αcos α＝－1225，因为α∈(0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α－cos α＝2－(sin α＋cos α)2＝75，解得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. (2)2sin 2⎝⎛⎭⎫α2＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝1－12cos α＋32sin α－32sin α－12cos α＝1－cos α＝85.34．如图所示，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿由点B 到点E 的方向前进30 m 至点C ，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到点D ，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．[解析]∵∠ACD ＝θ＋∠BAC ＝2θ，∴∠BAC ＝θ，∴AC ＝BC ＝30 m. 又∠ADE ＝2θ＋∠CAD ＝4θ，∴∠CAD ＝2θ，∴AD ＝CD ＝10 3 m. ∴在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ＝103sin 4θ(m)，在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，∴103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，∴cos 2θ＝32，又2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12， ∴AE ＝30sin π6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.题型三给值求角1．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.[解析]由原式，得sin 22α＋sin 2αcos α－2cos 2α＝0，∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0，∴2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0，∴2cos 2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos 2α≠0，sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12，∴α＝π6. 2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为[解析]由题意得⎩⎨⎧ sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②，①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427， ∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，∴α＋2β＝π. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，则α= . [解析]∵sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4， sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∴原式可化为1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4，解得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1或cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12. 4．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________. [解析]由1－cos2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α.∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12. 解法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.∵β为锐角，∴β＝π4. 解法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4. 5．已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值． [解析]∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4，∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010，∴tan β＝13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12，∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4. 6．已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解析]∵tan α＝13>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1 又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4. 题型四化简问题1．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α等于 [解析]原式＝4sin αcos α1＋2cos 2α－1·cos 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α. 2．化简：sin 235°－12sin10°cos10°＝________. [解析]原式＝2sin 235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin (90°－70°)＝－13．化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α= . [解析]解法一：原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1. 解法二：原式＝cos2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2＝cos2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2 ＝cos2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos2αcos 2α－sin 2α＝1. 4．化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________. [解析]原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan 2θ－1＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ. 5．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.[解析]原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 6．化简cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________； [解析]cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2(sin30°cos10°＋cos30°sin10°)2sin 240°＝2sin40°2sin40°＝ 2. 7．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 [解析]由sin B sin C ＝cos 2A 2得sin B sin C ＝1＋cos A 2，∴2sin B sin C ＝1＋cos A ， ∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]＝1－cos(B ＋C )，∴2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1，又∵－180°<B －C <180°，∴B －C ＝0°，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰三角形．8．1＋cos100°－1－cos100°＝( )A ．－2cos5°B ．2cos5°C ．－2sin5°D ．2sin5°[解析] 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos50°－22sin50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.[答案] C9．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________． [解析] 因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0，所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0. 10．设－3π<α<－5π2，化简 1－cos （α－π）2的结果是( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2 [解析] 因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 11．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( ) A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28° [解析]tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A. 12．1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． [解析] 1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 13．化简：(1)1＋sin20°＋1－sin20°；(2)1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α. [解析] (1)原式＝sin 210°＋cos 210°＋2sin10°cos10°＋sin 210°＋cos 210°－2sin10°cos10° ＝(sin10°＋cos10°)2＋(sin10°－cos10°)2＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|＝sin10°＋cos10°＋cos10°－sin10°＝2cos10°.(2)原式＝1＋2sin2αcos2α＋2cos 22α－11＋2sin2αcos2α＋2sin 22α－1＝2cos 22α＋2cos2αsin2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 14．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. [解析] ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题型五证明问题1．证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝－4 3. [解析] 左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos 212°－1)＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin (12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48° ＝－43＝右边，所以原等式成立．2．求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ；(2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.[解析] (1)左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立． (2)法一：左边＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin2θcos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边．法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边． 3．求证：1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝tan θ2. [解析] 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2.4．求证：(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)sin4x＝tan x . [解析] 证法一：左边＝(2sin x cos x －2sin 2x )(2sin x cos x ＋2sin 2x )sin4x ＝4sin 2x (cos 2x －sin 2x )sin4x ＝4sin 2x cos2x 2sin2x cos2x＝4sin 2x 2×2sin x cos x＝tan x ＝右边．故原等式成立．证法二：左边＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x )2－1＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x ＋cos2x ＋1) ＝sin2x ＋1－cos2x sin2x ＋1＋cos2x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x (cos x ＋sin x )2cos x (sin x ＋cos x )＝tan x ＝右边．故原等式成立．。

高一数学同步测试二倍角的正弦余弦正切

二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内）1． 15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是（）A ．45B ．26 C ．23D ．431+2．如果ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是（）A ．57B ．58C ．1D ．1529 3．已知Q 为第Ⅲ象限象，则θcos 21212121++等于（）A ．4sin θB ．4cos θC ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0]5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos2++的值是（）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6． 80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为（）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163-7． 48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（） A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（）A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A ．247 B ．－247 C ．724 D ．－724 10．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于（）A ．232-B ．232 C ．32D ．32-11．已知θ为第Ⅱ象限角，2cos ,024sin sin 252θθθ那么=-+的值为（） A ．53- B ．53±C ．22 D ．54±12．设x x x x x x x t a n12s i n co 2,0)3c o s )(s i n s i n co s 2(2++=++-则的值为（）A ．58B ．85C ．52D ．25二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13． 100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31c o s c o s ,41s i n s i n =+=+βαβα，那么)t a n(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅20．不查表求值 40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅21．已知函数)()0(2sin225sin 21)(θπθθθθf f 将<<+-=表示成关于θcos 的多项式22．已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=①化简f （x ）②是否存在x ，使得xxx f x sin 2tan 1)(2tan 2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、 17．由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又同理2757)]2()2cos[(2cos,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα 18．212323]21)6[sin(2min max 2-==∴+---=y y x y π 19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+-21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf22．（1）)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且（2）存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ。

高一数学下学期二倍角的正弦、余弦、正切同步测试试题

高一数学下学期二倍角的正弦、余弦、正切同步测试一、选择题〔每一小题5分，一共60分，请将正确答案填在题后的括号内〕 1．15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是〔〕A ．45 B ．26 C ．23 D ．431+ 2．假如ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是〔〕A ．57B ．58 C ．1D ．15293．θ为第Ⅲ象限象，那么θcos 21212121++等于〔〕A ．4sinθB ．4cosθC ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是〔〕A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0] 5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是〔〕A ．－1B ．0C ．1D ．2 6．80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值是〔〕A ．161 B ．161-C ．163 D ．163- 7．48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值是〔〕A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是〔〕A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π〔〕A ．247B ．－247C ．724 D ．－72410．θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于〔〕A ．232-B ．232C ．32D ．32-11．θ为第Ⅱ象限角，225sin sin 240,θθ+-= 那么cos2θ的值是〔〕A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值是〔〕A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 二、填空题〔每一小题4分，一共16分，答案填在横线上〕 13． 100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，那么)tan(βα+的值是 .15．θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题〔本大题74分，17—21题每一小题12分，22题14分〕 17．)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅.20．不查表求值： 40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅.21．函数5sin 12()(0),()22sin 2f f θθθπθθ=-+<<将表示成关于θcos 的多项式．22．xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=．〔I 〕化简f 〔x 〕；(II) 是否存在x ，使得xxx f xsin 2tan 1)(2tan2+⋅与相等？假设存在，求x 的值，假设不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、 17．由954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又，同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故，故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα． 18．2max min 13312[sin()],,62222y x y y π=---+∴==-．19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右． 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+-． 21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf ． 22．〔I 〕)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且；〔II 〕存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学同步测试二倍角的正弦、余弦、正切五试题

高一数学同步测试二倍角的正弦、余弦、正切五制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

说明：本套试卷分第一卷和第二卷两局部.第一卷60分，第二卷90分，一共150分，答题时间是120分钟.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分，请将正确答案填在题后的括号内〕 1．tan15°+cot15°的值是〔〕A ．2B ．2+3C ．4D ．3342．假设sin θcos θ＞0，那么θ在〔〕A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．4cos 2sin 22+-的值等于〔〕A ．sin2B ．－cos2C ．3cos2D ．－3cos2 4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是〔〕A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0]5．假设tan θ=3,那么sin2θ－cos2θ的值是〔〕 A ．57 B ．21 C ．－57 D ．23 6．等腰三角形顶角的正弦为2524，那么底角的余弦为〔〕A ．54B ．53C ．54或者53 D ．以上答案都不对 7．48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值是〔〕A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．cos 48sin 84ππ-等于〔〕A ．0B ．22 C ．1 D ．－22 9．==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π〔〕A ．247 B ．－247C ．724 D ．－724 10．cos5πcos52π的值等于〔〕A ．41B ．21 C ．2 D ．411．θ为第Ⅱ象限角，225sin sin 240,θθ+-= 那么cos2θ的值是〔〕A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值是〔〕A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔每一小题4分，一共16分，答案填在横线上〕 13．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 14．31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，那么)tan(βα+的值是 .15．θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于____ _______. 16．化简sin(x +60°)+2sin(x －60°)－3cos(120°－x )的结果是 . 三、解答题〔本大题74分，17—21题每一小题12分，22题14分〕17．)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．求函数f ( x ) = xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.19．8sin α＋10cos β＝5，8cos α＋10sin β＝53,求证：sin 〔α＋β〕＝－sin(3π＋α). 20．),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+1cot tan sin 22--+ααα求的值. 21．21)4tan(=+απ．〔1〕求αtan 的值；〔2〕求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值．22．)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值．参考答案一、选择题1．C2．B 3．D4．C 5．A6．C7．A 8．B9．D 10．A11．B 12．C 二、填空题13．43 14．73 15．322 16．0三、解答题 17．解析：由954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又，同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故，故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα． 18．解析：f ( x ) = xx x x x x cos sin 22cos sin )cos (sin 22222--+= )cos sin 1(2cos sin 122x x xx --=21( 1 + sinxcosx )= 212sin 41+x . 所以函数f ( x )的最小正周期是π, 最大值是43,最小值是41.．19．证明：8sin α＋10cos β＝5与8cos α＋10sin β＝53两式平方相加得164＋160sin 〔α＋β〕＝100，即sin 〔α＋β〕＝－52由8sin α＋10cos β＝5得10cos β＝5－8sin α由8cos α＋10sin β＝53得10sin β＝53－8cos α两式平方相加得100＝164－80sin α－803cos α即21sin α＋23cos α＝52， ∴sin 〔α＋3π〕＝52因此sin 〔α＋β〕＝－sin 〔α＋3π〕20．解析：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 .214cos =α又.125),2,4(παππα=∈所以于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+.325)3223()65cot 265(cos)2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 21．〔1〕解析：αααπαπαπtan 1tan 1tan 4tan1tan 4tan)4tan(-+=-+=+由21)4tan(=+απ，有21tan 1tan 1=-+αα，解得31tan -=α 〔2〕解法一：1cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-+-=+-ααααααα65213121tan cos 2cos sin 2-=--=-=-=αααα解法二：由〔1〕，31tan -=α，得ααcos 31sin -=∴αα22cos 91sin = αα22cos 91cos 1=- ∴109cos 2=α于是541cos 22cos 2=-=αα，53cos 32cos sin 22sin 2-=-==αααα代入得65541109532cos 1cos 2sin 2-=+--=+-ααα 22．解法一：由得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或由条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+=代入上式得将32tan -=α即为所求.3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα制卷人：打自企；成别使；而都那。

北师大版数学高一-3.3二倍角的正弦余弦正切公式同步练习(北师大版必修四)

二倍角的正弦、余弦和正切同步练习1.已知542cos ,532sin -==αα，那么α角的终边在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知)2,(ππα∈，那么2cos α等于（）A ．±2cos 1α+B ．±2cos 1α-C ．－2cos 1α+D ．2cos 1α+ 3．αα44sin cos -化简的结果是（）A ．α2sinB ．α2cosC ．2sin2αD ．2cos2α4．x 为锐角，a x =2sin ，则x x cos sin +等于（）A ．a a a --+21B ．1)12(+-aC ．1+aD ．1+a ＋a a -25.已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin 的值等于（） A.332 B.322 C.32 D.32- 6.已知31cos sin =+αα，πα 0，那么α2sin ，α2cos 的值依次是（） A.91798、 B.91798、- C.91798--、 D.91798±-、 7.已知等腰三角形底角的余弦值为32，则顶角的正弦值是（） A.954 B 、.952 C.954- D.952- 8.若2725παπ≤≤，则ααsin 1sin 1-++=（） A.2cos 2α- B.2cos 2αC.2sin 2α- D.2cos α-9.已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα223，，则α2cos 21212121++的值是（） A.2sin α- B.2cos αC.2sin αD.2cos α-10.已知51cos sin =+αα，)0(πα，∈，求αtan ，ααcos sin -，αα22cos sin -。

11.已知1354sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x π，40π x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 4cos 2cos π的值。

12．若θ为第二象限角，且θθθsin 12sin 2cos -=-，则角2θ所在象限是_________． 13．若,cot tan m =+αα则α2sin ＝________． 14.已知ααcos sin 、是方程052=-+a x x 的两实根，求:（1）α的值；（2）ααcos sin -；（3）αα33cos sin -。