二倍角的正弦,余弦,正切公式
二倍角的正弦,余弦,正切公式
复习
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan 2 , tan 2
2、已知等腰三角形一个 底角的正弦值 5 为 , 求这个三角形的顶角的 正弦 , 余弦, 13 正切值.
3、化简 :
1 cos 50
0
0 2 0
sin 70 1 cos 160
.
小结
本节我们学习二倍角的正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
作业
课本135页练习
1 例2已知 tan 2 , 求tan的值 3
2 tan 1 解： 2 tan 2 1 tan 3
由此得： tan 6tan 1 0
2
解得： tan 2 5
或 tan 2 5
练习
2(sin 2 1 ) 1、求证 : 1 tan . 1 sin 2 cos 2
我们由此能否得到
的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中
看成
即可），
S 2 :
sin 2 2 sin cos
C 2 :
cos 2 cos sin
2 2
2 cos 2 1 1 2 sin 2
T2 :
2 tan tan 2 2 1 tan
举例
5 例1 已知 sin 2 , , 求 sin 13 4 2 4 , cos 4 , tan 4 .
4
解：由 又因为 于是
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
cos2α ＝2cos2α －1
1 2sin a
2
注意：
二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式， 其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两 倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等， 所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理 解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是 β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应 用二倍角公式。
探究（一）：二倍角基本公式
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β ＝α 时，这 三个公式分别变为什么？
sin2α ＝2sinα cosα ；
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
2 tan tan 2 2 1 tan
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
赵 玲
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
5 sin 2 13
4 【例 2】在 ABC 中， cos A ， tan B 2 ，求 5 tan(2 A 2B) 的值；
1 已知 tan 2 , 求 tan 的值 3
解：
2 tan 1 tan 2 2 1 tan 3
2 tan 6 tan 1 0 由此得
解得 tan 2 5 或
tan 2 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
[规律方法] 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出 角．其中确定角的范围是关键的一步．
【活学活用3】 已知tan α＝17，sin β＝ 1100，且α，β为锐角，求α
＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[思路探索] 利用倍角公式或公式变形求值即可．
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
【活学活用1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
θ 2
＝
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
正弦余弦正切的二倍角公式
正弦余弦正切的二倍角公式
二倍角公式是用来计算正弦、余弦和正切的二倍角的公式。
在三角函
数中，二倍角指的是原角的角度加倍。
正弦、余弦和正切的二倍角公式有
以下三个：
1.正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
正弦的二倍角公式表示了正弦函数的二倍角与原角之间的关系。
根据
这个公式，我们可以将正弦的二倍角的值表示为正弦与余弦的乘积的两倍。
这个公式可以用来计算正弦函数的值，特别是在需要计算较大角度的正弦
值时非常有用。
2.余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ
= 1 - 2sin^2θ
= 2cos^2θ - 1
余弦的二倍角公式表示了余弦函数的二倍角与原角之间的关系。
根据
这个公式，我们可以将余弦的二倍角的值表示为余弦与正弦的平方之差，
或者正弦的二倍角的平方之差与1的差。
这个公式可以用来计算余弦函数
的值。
3.正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)
正切的二倍角公式表示了正切函数的二倍角与原角之间的关系。
根据这个公式，我们可以将正切的二倍角的值表示为原角的正切的两倍除以1减去原角正切的平方。
这个公式可以用来计算正切函数的值。
这些二倍角公式在解决三角函数相关问题时非常有用，尤其是在需要计算较大角度的三角函数值时。
它们为我们提供了一个简便的方法来计算正弦、余弦和正切的二倍角。
4-二倍角的正弦、余弦、正切公式
1 3 解析：∵cos α＋sin α＝－ ＜0，∴α∈( π，π)， 3 4 1 8 又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝ ，∴2sin αcos α＝－ ， 9 9 ∴sin α－cos α＝ 故选 A.
10
17 17 2 2 1－2sin αcos α＝ ，∴cos 2α＝cos α－sin α＝ ， 3 9
∴cos θ－sin θ＝－ cos θ－sin θ2 7 ＝－ 1－2cos θsin θ＝－ .故选 A. 5
π 4 练习．已知 x∈(－ ，0)，cos x＝ ，则 tan 2x＝______. 2 5
π 4 3 解析：∵x∈(－ ，0)，cos x＝ ，∴sin x＝－ ， 2 5 5 3 2tan x 24 ∴tan x＝－ ，∴tan 2x＝ ＝－ . 2 4 7 1－tan x
二、倍角公式
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan sin 2 2 sin cos 即： S 2
2 tan 原式＝ tan 2 2 1 tan
解: 原式＝ 1 2 cos 2 2 cos 2 1 2
小结：
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 2、熟记二倍角正弦、余弦、正切公式 3、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的正向 和逆向运用 4、注意二倍角正弦、余弦、正切公式变形的 运用
二倍角的 正弦、余弦、正切公式
1
一、回顾和角公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角正弦、余弦、正切公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 使学生能够灵活运用二倍角正弦、余弦、正切公式解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 二倍角正弦公式：sin2α= 2sinαcosα2. 二倍角余弦公式：cos2α= cos^2αsin^2α= 2cos^2α1 = 1 2sin^2α3. 二倍角正切公式：tan2α= (tanα+ tan(α+π))/(1 tanαtan(α+π)) = (tanα+ tanα)/(1 tan^2α) = 2tanα/(1 tan^2α)三、教学重点与难点：1. 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：二倍角正切公式的推导过程及应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 运用例题，让学生在实践中掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课，回顾一倍角正弦、余弦、正切公式。
2. 引导学生利用已知公式，推导二倍角正弦、余弦、正切公式。
3. 通过例题，演示二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
4. 组织学生进行练习，巩固所学知识。
六、课后作业：（1）已知sinα= 1/2，求sin2α的值。
（2）已知cosα= √2/2，求cos2α的值。
（3）已知tanα= 1，求tan2α的值。
七、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程，培养学生逻辑思维能力和运算能力。
针对不同学生的学习情况，给予适当的辅导，提高教学质量。
注重培养学生的合作学习意识，提高课堂参与度。
六、教学拓展：1. 引导学生探讨二倍角公式的推广，例如三倍角、四倍角公式。
2. 分析二倍角公式在实际问题中的应用，如测量、导航等领域。
七、课堂小结：2. 强调二倍角公式在解决实际问题中的重要性。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
二倍角的正弦、余弦、正切公式
第五章 三角函数
3．已知 cosα＝31，则 cos2α 等于( C )
A．31
B．32
C．－97
D．79
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
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第五章 三角函数
4．(cos1π2－sin1π2)(cos1π2＋sin1π2)的值为( D )
第五章
三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦与正切公式
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第五章 三角函数
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第五章 三角函数
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对吗？ (2)公式中的角α是任意角吗？
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第五章 三角函数
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提示：(1)不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α 是 4α 的 二倍角，3α 是32α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α2是α4的二倍角，…这里蕴 含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关 系的．
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②③错误，④正确，故选 A．
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第五章 三角函数
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2．已知 sinα＝35，cosα＝54，则 sin2α 等于( D )
A．57
B．152
C．1225 [解析]
D．2245 sin2α＝2sinαcosα＝2245.
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
问题提出
Байду номын сангаас
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan tan( ) 1 tan tan
解：
2 tan 1 tan 2 2 1 tan 3
2 tan 6 tan 1 0 由此得
解得 tan 2 5 或
tan 2 5
例3 化简 (sin 2x + cos 2x - 1)(sin 2x - cos 2x + 1)
sin 4x
2 tan15 (3) ; 2 0 1 tan 15
0
5 sin 2 13
(4)1 2sin 75 .
2 0
4 【例 2】在 ABC 中， cos A ， tan B 2 ，求 5 tan(2 A 2B) 的值；
1 已知 tan 2 , 求 tan 的值 3
2
2
思考3：sin2α ，cos2α 能否分别用 tanα 表示？
1 tan cos 2 2 1 tan
2
2 tan sin 2 2 1 tan
理论迁移
，4 2 求 sin 4， cos 4， tan 4 的值. 例1 已知
练一练 0 0 2 2 (1)sin 22.5 cos 22.5 ; (2) cos sin ; 8 8
cos2α ＝2cos2α －1
1 2sin a
2
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点一 二倍角公式的推导sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α(α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z )． cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin2α， sin αcos α＝12sin2α， cos 2α－sin 2α＝cos_2α， 2tan α1－tan 2α＝tan2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2.降幂公式 cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.类型一 给角求值对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1.cos 2π12－sin 2π12；2.1－tan 275°tan75°；3. 12－cos 2π84. sin15°sin75°5. cos20°cos40°cos80° 6．cos π7cos 3π7cos 5π77．sin 4π12－cos 4π12 8.3tan π81－tan 2π8类型二 给值求值(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.1.已知cos x ＝34，则cos2x 等于( )2、若sin α－cos α＝13，则sin2α＝________.若改为sin α＋cos α＝13，求sin2α.3、若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于4、若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )5、已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.类型三 利用二倍角公式化简证明三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．1α为第三象限角，则1＋cos2αcos α－1－cos2αsin α＝________.2、1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ.3、4sin αcos α1＋cos2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan2α.。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式 复习【复习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题．【知识梳理】1．二倍角的正弦公式α2S :α2sin =2．二倍角的余弦公式α2C :α2cos = ＝ ＝3．二倍角的正切公式α2T :α2tan =4．公式的逆向变换及有关变形⑴222)cos (sin cos cos sin 2sin 2sin 1ααααααα±=+⋅±=±⑵αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-(称之为升幂公式) ⑶22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-= (称之为降幂公式)． 【典型例题】1、化简求值：⑴ 8cos 212π- （2）cos 4π8－sin 4π8（3）︒--︒+100cos 1100cos 1 （4） 2－sin 22＋cos4（5）12tan 112tan ππ- （6）0sin50sin70;︒︒︒⋅⋅sin1(7))2,0(,2cos 21212121παα∈+- (8))4(cos )4tan(2sin cos 222απαπαα---(9)2tan 12tan 2cos 1x x x -+ (10)βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222⋅-⋅+⋅2、若α满足条件02sin <α，0sin cos <-αα，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、函数f (x )＝cos 2(x 2－7π8)－sin 2(x 2＋7π8)的最小正周期和最大值分别是( ) A ．2π，22 B ．π， 2 C.π2，22 D.π2，2 4、3－sin70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.325、（1）已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x 的值．（2）设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值6、已知函数)8cos()8sin(2)8(sin 21)(2πππ++++-=x x x x f ，求:⑴函数)(x f 的最小正周期；⑵求)(x f 的单调递增区间.7、已知)2(cos )cos sin (cos )(,2x x x a x x f R a -+-=∈π满足)0()3(f f =-π，求函数)(x f 在]2411,4[ππ上的最大值和最小值．8、已知a ＝(cos 32x ，sin 32x )，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，x ∈[0，π2]． (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求λ的值．。
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切（Double-Angle Trigonometric Identities）是在学习三角函数时，我们经常会用到的一个概念。
它会帮助我们解决许多复杂的运算问题，简化我们的计算过程。
二倍角正弦余弦正切的基本定理是：对于任意角度θ，有以下关系：（1）sin2θ = 2sinθcosθ
（2）cos2θ = cos2θ-sin2θ
（3）tan2θ = 2tanθ/(1-tan2θ)
这些公式在数学中有着重要的意义，我们可以利用它们来解决许多具体的问题。
例如，我们可以用它们来计算正弦、余弦和正切函数的值，甚至是求解复杂的几何问题。
另外，二倍角正弦余弦正切的公式也可以用于解决微积分问题，例如积分计算和求导。
此外，它还可以用于解决物理学、化学以及其他科学问题，可以说二倍角正弦余弦正切的公式是数学和科学领域的一个重要工具。
总之，二倍角正弦余弦正切的公式是非常有用的，它可以用于解决各种复杂的数学和科学问题。
学习和掌握这个定理，对我们今后的学习和研究都有很大的帮助。
常用三角函数二倍角公式
常用三角函数二倍角公式三角函数的二倍角公式是指将角度的大小加倍后，与原来角度的三角函数之间的关系。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的二倍角公式如下：1.正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)3.正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ)) / (1 - tan²(θ))下面我们来逐一介绍这些二倍角公式的推导和应用。
1.正弦函数的二倍角公式的推导：要求sin(2θ)，我们可以使用正弦函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)将A和B都取为θ，我们有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)这个二倍角公式在解决许多几何问题和三角方程时非常有用。
2.余弦函数的二倍角公式的推导：同样地，我们要求cos(2θ)，可以使用余弦函数的和差角公式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)将A和B都取为θ，我们有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)这个二倍角公式常用于计算积分、证明等数学问题。
3.正切函数的二倍角公式的推导：我们要求tan(2θ)，可以将tan(2θ)表示为sin(2θ)除以cos(2θ)：tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)然后，我们将sin(2θ)和cos(2θ)用sin(θ)和cos(θ)来表示：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)将这两个式子代入前面的tan(2θ)等式中，可以得到：tan(2θ) = (2sin(θ)cos(θ)) / (cos²(θ) - sin²(θ))这个二倍角公式在三角方程、极限计算等问题中经常使用。
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二倍角的正弦，余弦，正切公式
基础过关
1.已知θ是第三象限角,若sin4θ+cos4θ=,那么sin 2θ等于()
A. B.- C. D.-
2.已知tan x=2,则tan等于()
A. B.- C. D.-
3.tan 67°30'-tan 22°30'的值为()
A.1
B.
C.2
D.4
4.等于()
A. cos 12°
B.2cos 12°
C.cos 12°-sin 12°
D.sin 12°-cos 12°
5.设-3π<α<-,化简的结果是()
A.sin
B.cos
C.-cos
D.-sin
6.函数y=sin 2x+sin2x,x∈R的值域是()
A.-,
B.-,
C.- +,+
D.- -,-
7.已知sin +cos =,那么sin θ=________,cos 2θ=________.
8.已知4cos Acos B=,4sin Asin B=,则(1-cos 4A)(1-cos 4B)=________.
9.已知方程x2-tan α+x+1=0的一个根是2+,则sin 2α=________.
10.已知sin(70°+α)=,则cos(2α-40°)=________.
11.利用倍角公式求下列各式的值.
(1)sin·cos;
(2)cos2-sin2;
(3)1-2sin2;
(4).
12.化简下列各式:
(1) -;
(2);
(3).
13.已知tan α=,tan β=,并且α、β均为锐角,求α+2β的值.
14.在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD,使其一边CD 落在圆的直径上,问应该怎样截取,才可以使矩形ABCD的面积最大?并求出这个矩形的面积.
三年模拟
1.(2015安徽江淮十校联考,★★☆)若α∈,且cos 2α=sin,则sin 2α的值为()
A.-
B.
C.1
D.-1
2.(2015济南一中模拟,★★☆)函数y=2sin·cos图象的一条对称轴是()
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=π
3.(2015湖南岳阳模拟,★★☆)函数y=sin4x+cos4x是()
A.最小正周期为,值域为的函数
B.最小正周期为,值域为的函数
C.最小正周期为,值域为
的函数 D.最小正周期为,值域为的函数
4. (2015山东临沂模拟,★★☆)已知角α的终边经过点(3,-4),则tan =( )
A.-
B.-
C.-3
D.-2
5. (2015安徽安庆模拟,★★☆)函数f(x)=
cos 2x+sin x·cos x 的最小正周期和
振幅分别是( )
A.π,2
B.π,1
C.2π,1
D.2π,2
6. (2015广东东莞模拟,★★☆)已知函数f(x)=
,则有( ) A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点
对称 C.函数f(x)的最小正周期为
D.函数f(x)在区间(0,π)内单调递减
7. (2013山东烟台模拟,★☆☆)若 f(x)=2tan x-
,则 f 的值为( )
A.-
B.8
C.4
D.-4 8. (2015河北衡水模拟,★☆☆)已知<α<π,3sin 2α=2cos α,则cos(α-π)=________.
9. (2014江苏盐城高一期末,★☆☆)函数y=cos 2x 的最小正周期为________.
10. (2013山东日照模拟,★★☆)已知函数 f(x)=cos xsin x(x ∈R),给出下列四个结论:
①若 f(x 1)=- f(x 2),则x 1=-x 2;
② f(x)的最小正周期是2π;
③ f(x)在区间-,上是增函数;
④f(x)的图象关于直线x=对称.
其中正确的结论是________.
11.(2015山东济南模拟,★★☆)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x++a.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)设x∈,若函数f(x)的最小值是-2,求f(x)的最大值.
12.(2014北京东城高一期末,★☆☆)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.。