【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章课时跟踪检测4.3 指数函数与对数函数的关系

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【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章课时跟踪检测4.1.2 指数函数的性质与图像

[提醒] (1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．
[对点练清] 求函数 y＝ 32x－1－19的定义域、值域．解：要使函数有意义，则 x 应满足 32x－1－19≥0，即 32x－1≥3－2. ∵y＝3x 在 R 上是增函数，∴2x－1≥－2，解得 x≥－12.
[答案] (1)B (2)C
[方法技巧] 判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构特征．
(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征： ①底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． ②自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. ③ax 的系数是 1.
[对点练清] 若函数 f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x 是指数函数，则 a＝______.
a2－2a＋2＝1，解析：由指数函数的定义得a＋1＞0，
a＋1≠1，
解得 a＝1.
答案：1
题型二指数函数的定义域与值域问题 [思考探究] (1)函数 y＝2x2＋1 的定义域与 f(x)＝x2＋1 的定义域什么关系？
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)指数函数的图像一定在 x 轴的上方． (2)指数函数 f(x)的图像过点0，1.
答案：(1)√ (2)√
() ()
2．若函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是________．
解析：结合指数函数的性质可知，若 y＝ax(a>0 且 a≠1)在 R 上是增函数，则 a>1. 答案：(1，＋∞)
提示：定义域相同．

新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义知识点正分数指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__．思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？提示：x ∈R ．知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1，即(a －2)(a －1)＝0，解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2，所以指数函数的解析式为y ＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64．题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1；当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33，又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数，又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]，若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)≥f (x 1)，则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．角度2 两个特殊对数值的应用典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0，所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625，所以log 5 625＝4．题型对数恒等式的应用典例剖析典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3，即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ，又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1，即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人

4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于()A.12B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13.跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习1.y=x α底数指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四课堂探究例1 (1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增. 核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略课堂探究1.略2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1 (2)(a 2+2)-13≤2-13变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a 7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。

【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章课时跟踪检测4.5 增长速度的比较

[方法技巧] 求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1；第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；第三步，求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1.
[对点练清]
如图所示，函数 y＝f(x)在 A，B 两点间的平均变
化率等于
()
A．1
B．－1
解析：对于 A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较大小；对于 B、C，当 0<a<1 时，显然不成立；对于 D，当 a>1，n>0 时，一定存在 x0，使得当 x>x0 时，总有 ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立，故选 D.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是
A．y＝x2 C．y＝2x
B．y＝log2x D．y＝2x
答案：D
()
2．在求函数的平均变化率时，自变量的增量 Δx 应满足条件
A．Δx>0
B．Δx<0
()
C．Δx＝0
D．Δx≠0
解析：Δx 是指函数的自变量在某一点处的变化量，可以是增大量，也可以是减小量，但不能为 0，故选 D. 答案：D
函数
在(0，＋∞)上的增减性
随x的增大函数图像
பைடு நூலகம்
增长速度的比较
共同点不同点
y＝ax(a＞1) _单__调___递__增__
y＝logax(a＞1) _单__调___递__增___
y＝kx(k＞0) _单__调___递__增___

新教材高中数学人教B版20版必修二课时练习四 4.2.1含答案

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课时素养评价四对数运算(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.在M=log3(x2-x-6)中,要使式子有意义,x的取值范围是( )A.x>3B.x<-2C.x<-2或x>3D.x<-3或x>-2【解析】选C.由题意,x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.2.若x=16,则x= ( )A.-4B.-3C.3D.4【解析】选A.x=16==-4.3.若x=log43,则4x+4-x的值为( )A.3B.4C.D.【解析】选D.因为原式=+=3+=.4.-2-lg 0.01+ln e3等于( )A.14B.0C.1D.6【解析】选B.原式=4-(33-(-2)+3=4-9-(-2)+3=0.二、填空题(每小题4分,共8分)5.计算8+log243=________.【解析】原式=+log226=-3+6=3.答案:36.若logπ[log2(ln x)]=1,则x=________.【解析】由logπ[log2(ln x)]=1,所以log2(ln x)=π,所以ln x=2π,所以x=. 答案:三、解答题(共26分)7.(12分)计算lg 0.001+log282++lne-3 .【解析】原式=lg 10-3+log226+4×-3=-3+6+-3=.8.(14分)求下列各式的值:(1)2.(2)+log7343+102lg 5.【解析】(1)2=(52==4.(2)原式=+log773+=+3+25=.(15分钟·30分)1.(4分)设0<a<1,实数x,y满足x+log a y=0,则y关于x的函数的图像大致形状是( )【解析】选A.因为x+log a y=0,所以log a y=-x,所以y=a-x,即y=(a-1)x=,又因为0<a<1,所以>1,所以指数函数y=的图像单调递增,过点(0,1).2.(4分)方程=的解是( )世纪金榜导学号A.x=B.x=C.x=D.x=9【解析】选A.因为=2-2,所以log3x=-2,所以x=3-2=.3.(4分)若a=log92,则9a=________,3a+3-a=________.【解析】a=log92,则9a==2,所以3a=,3a+3-a=+=.答案:24.(4分)方程4x-2x-6=0的解为________.世纪金榜导学号【解析】由4x-2x-6=0,得(2x)2-2x-6=0,解得2x=3,或2x=-2(舍去),所以x=log23.答案:x=log235.(14分)已知log a x=4,log a y=5(a>0,且a≠1),求A=的值.世纪金榜导学号【解析】由log a x=4,得x=a4,由log a y=5,得y=a5,所以A==·[(·y-2=·(·y-2=·=(a4·(a5==a0=1.1.对数式log(2x-3)(x-1)中实数x的取值范围是________.【解析】由题意可得解得x>,且x≠2,所以实数x的取值范围是∪(2,+∞).答案:∪(2,+∞)2.求下列各式中的x值:(1)log x27=.(2)log2 x=-.(3)x=log3.【解析】(1)由log x27=,可得=27,所以x=2=(33=32=9.(2)由log2x=-,可得x=,所以x===.(3)由x=log3,可得x=log33-2=-2.关闭Word文档返回原板块。

【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章课时跟踪检测4.6 函数的应用(二)

[易错矫正] 解答本题易出现对增长率问题的公式 y＝N(1 ＋P)x 理解不透彻而造成指数写错，或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．
“课下双层级演练过关 ”见“课时跟踪检测（九） ” (单击进入电子文档)
“章末综合检测”见“章末综合检测（一） ” (单击进入电子文档)
(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1)．
[解] (1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过 2 年，w＝500×0.92；由此推知，t 年后，w＝500×0.9t. (2)由题意得 500×0.9t＝250，即 0.9t＝0.5，两边取以 10 为底的对数，得 lg 0.9t＝lg 0.5，即 tlg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝llgg 00..59≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为 6.6 年．
(3)设雄鸟的耗氧量为 x1，雌鸟的耗氧量为 x2，由题意得，2.5＝12log31x010－lg x0，
1.5＝12log31x020－lg x0，两式相减可得 1＝12log3xx12，解得xx12＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
[课堂一刻钟巩固训练]
[方法技巧] 在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．
[对点练清] 1．据报道，青海湖的湖水在最近 50 年内减少了 10%，如果按
此规律，设 2000 年的湖水量为 m，从 2000 年起，过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系式为________．

高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数对数运算法则学案新人教B版必修第二册

4．2.2　对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，(2)log a MN＝____________，(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二　对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔　对数换底公式常见的两种变形(1)log a b·log b a＝1，即1logab＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝mnlog N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A．log2(8－4)＝log28－log24B．log28log24＝log284C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24 2.log49log43的值为( )A．12 B．2 C．32 D．923．2log510＋log50.25＝( )A．0 B．1C．2 D．44．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　用已知对数表示其他对数[经典例题]例1　用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz)；(2)lg x y2 z；(3)lg x y3z；(4)lg√xy2z.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1　如果lg2＝m，lg3＝n，则lg12lg15等于( )A．2m+n1+m+nB．m+2n1+m+nC．2m+n1−m+nD．m+2n1−m+n题型2　对数运算性质的应用[经典例题]逆用对数的运算法则合并求值．例2　(1)计算lg2＋lg5＋2log510－log520的值为( ) A．21 B．20　C．2 D．1(2)求值：log2√748＋log212－12log242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2　(1)计算：lg52＋2lg2－(12)−1＝________．利用对数运算性质化简求值．(2)求下列各式的值．①log53＋log51 3；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3　对数换底公式的应用[经典例题]例3　(1)已知2x＝3y＝a，1x＋1y＝2，则a的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔　(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log a n b m ＝mnlog a b .跟踪训练3　(1)式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B ．118C ．83D ．38(2)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________；(用p ，q 表示)(3)①已知log 147＝a ，14b ＝5，用a ，b 表示log 3528；②设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．状元随笔　(1)方法一　对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二　先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2　对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N　(2)log a M－log a N　(3)n log a M知识点二logcblog c a　1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2．解析：原式＝log39＝2.答案：B3．解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．解析：log32＝ln2ln3＝ab.答案：a b课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.(2)lg xy2z＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.xy3√lg (xy3)－lg√z＝lg x＋3lg y－12lg z.(4)lg √xy2z＝lg√x－lg (y2z)＝12lg x－2lg y－lg z.跟踪训练1　解析：因为lg2＝m，lg3＝n，所以lg12lg15＝2lg2+lg3lg3+lg5＝2m+nn+1−lg2＝2m+nn+1−m.答案：C例2　【解析】　(1)lg2＋lg5＋2log510－log520＝1＋log510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log27－log248)＋log23＋2log22－12(log22＋log23＋log27)＝12log27－12log23－12log216＋12log23＋2－12log27－12＝－12.【答案】　(1)C　(2)见解析跟踪训练2　解析：(1)lg52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log513＝log5(3×13)＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1　(2)见解析例3　【解析】　(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以1x+1y＝1log2a+1log3a＝log a2＋log a3＝log a6＝2，所以a2＝6，解得a＝±√6.又a＞0，所以a＝√6.(2)log89·log2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32 lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(3)方法一　因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝1log18(18×2)＝11+log182＝11+log18189＝11+1−log189＝12−a，所以原式＝a+b 2−a.方法二　∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝log1845log1836＝log18(5×9)log18(4×9)＝log185+log1892log182+log189＝a+b2log18189+log189＝a+b2−2log189+log189＝a+b2−a.【答案】　(1)D　(2)(3)见解析跟踪训练3　解析：(1)原式＝log3224log2334＝2log32·43log23＝83.(2)lg5＝log65log610＝qlog62+log65＝qp+q.(3)①∵log147＝a，14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝log1428log1435＝log141427 log14(5×7)＝log14142−log147log145+log147＝2−aa+b.②∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1 x ＝1log336＝1log3636log363＝log363，1 y ＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x+1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)C　(2)qp+q　(3)见解析。

2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第二册课后提升训练：第四章概率与统计测评

第四章测评(时间：120分钟满分:150分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1。

（2020浙江高三专题练习）已知离散型随机变量X的概率分布如下:X0123P 0。

20。

30。

4c则实数c等于（)A.0.5B.0。

24C。

0。

1 D。

0.76解析据题意得0.2+0。

3+0。

4+c=1,所以c=0.1，故选C。

答案C2。

（2020北京101中学月考)抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数｝，B={两次的点数之和为8},则P(B|A)=（）A。

118B。

112C。

13D。

29解析∵P(A）=12×12=14，P(AB）=16×16×3=112,∴P（B|A）=P(AB)P(A)=11214=13，故选C。

答案C3.(2019山东高三月考）在2019年高中学生信息技术测试中，经统计,某校高二学生的测试成绩X ～N (86,σ2)。

若已知P (80〈X ≤86)=0。

36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（） A.0。

86 B 。

0.64 C.0。

36D 。

0.14解析因为X~N (86，σ2)，P （80<X ≤86)=0.36,所以P (X>92）=1-P (80<X≤92)2=1-2P (80<X≤86)2=1-0.722=0.14. 故选D 。

答案D4.（2020湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是23，各局比赛是相互独立的,采用5局3胜制,那么乙以3∶1战胜甲的概率为（）A.827 B 。

227C.881D 。

3281解析由乙以3∶1战胜甲,知第四局乙获胜,则乙以3∶1战胜甲的概率P=C 31×23×1—233=227.故选B .答案B5.（2019天津高二期中）已知X ～B 9,13，则E (X ),D （X )的值依次为（ ) A.3,2B.2,3C。

(人教版B版最新)高中数学必修第二册第四章综合测试01-答案

第四章综合测试答案一、1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B二、13.【答案】114.【答案】15.【答案】216.【答案】1- (1,)+∞三、17.【答案】解：（1）212+12=-11022= （2）13(0)a a a -+=∵＞，21122125a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭∴，1122a a +()222127a a a a --+=+-=，112222a a a a -+=+∴ 18.【答案】解：（1）()3x f x =∵，2(2)318a f a ++==∴，32a =∴，()24x g x =-∴，[0,1]x ∈.（2）设1x ，2x 为区间[0,1]上任意两个值，且12x x ＜，则()()()()2221212124242222x x x x x x g x g x -=--+=-+.1201x x ∵＜，21221x x ∴＞.()()21g x g x ∴＜∴函数()g x 在[0,1]上是减函数.19.【答案】解：（1）()f x 是奇函数.证明：要使函数有意义，则1010x x +⎧⎨-⎩＞＞，即11x x -⎧⎨⎩＞＜，即11x -＜＜，即函数的定义域为(1,1)-.由[]()log (1)log (1)log (1)log (1)()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-，知函数()f x 是奇函数.（2）若1a ＞，则由()0f x ＞得log (1)log (1)0a a x x +--＞，即log (1)log (1)a a x x +-＞，即11x x +-＞，则0x ＞. ∵定义域为(1,1)-，01x <<∴，即不等式的解集为(0,1). 20.【答案】解：（1）由题意，当2m =时，12225x x -⋅+=，解得1x =或1x =-.由0x ≥，得1x =，故经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度.（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切0x ≥恒成立，则由20x＞，得1222xx m --，即12222x x m --⋅-≥. 令2x t -=则01t ＜≤，则2211()22222f t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当12t =时取得最大值为12，所以12m ≥. 21.【答案】解：（1）由1030x x -⎧⎨+⎩＞＞，得31x -＜＜，所以函数的定义域为{}|31x x -＜＜，()log (1)(3)a f x x x =-+. 设2(1)(3)4(1)t x x x =-+=-+，则4t ≤，又0t ＞，则04t ＜.当1a ＞时，()log 4a y f x =≤，值域为{}log 4a y y ≤.当01a ＜＜时，()log 4a y f x =≥，值域为{}log 4a y y ≥.（2）由题意及（1）知，当01a ＜＜时，函数有最小值，所以log 42a =-，解得12a =. 22.【答案】解：（1）因为函数()f x 的图像过点(0,1)P ，所以()02log 21k +=，解得1k =.则()2()log 21x f x =+.因为211x +>，所以()2()log 210x f x =+＞，所以函数()f x 的值域为(0,)+∞.（2）方程有实根，即()m f x x =-有实根，构造函数()2()()log 21x h x f x x x =-=+-，. 则()()()222221log 21log 2log log 212x x xx x h x -+=+-==+ 因为函数21x y -=+在R 上单调递减，而log z y x =在(0,1)上单调递增，所以复合函数()2()log 21x h x -=+是R 上的单调递减函数. 所以()h x 在[0,1]上的最小值为()122(1)log 21log 31h -=+=-，最大值为()02(0)log 211h -=+=，即()2()log 31,1h x ∈-，所以当()2log 31,1m ∈-时，方程有实根.。

高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数课时素养评价含解析B版第二册

幂函数（15分钟30分）1。

已知幂函数y=(m2-2m—2)在（0，+∞)上单调递增,则实数m的值为（）A。

—1 B.3C.—1或3D。

1或-3【解析】选B。

幂函数y=(m2-2m—2）在(0，+∞)上单调递增，所以m2-2m—2=1，解得m=3或m=—1；又m2+m-1〉0,所以m=3时满足条件，则实数m的值为3。

【补偿训练】已知幂函数f(x)=(m2—m—1）x m-1在(0,+∞)上单调递减,则m的值为 ()A.—1B.2C.-1或2D.—2【解析】选A.幂函数f（x)=(m2-m—1)x m-1在(0,+∞）上单调递减,所以解得所以m的值为—1。

2。

函数y=的图像是（)【解析】选B。

幂函数过点（1,1),排除A,D，当x〉1时，<x。

3。

（2020·唐山高一检测)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()A.y=x—1 B。

y=tan xC。

y=x3D。

y=log2x【解析】选C。

y=x-1是非奇非偶函数,A不符合题意；y=tan x是周期函数,B不符合题意；y=x3满足条件,C符合题意;y=log2x是非奇非偶函数,D不符合题意。

4.若幂函数f（x）=x a的图像过点(3，9)，设m=，n=,t=-log a3,则m，n,t的大小关系是()A.m〉t>nB.n〉t〉mC.t>m>nD.m〉n>t【解析】选D。

幂函数f（x)=x a的图像过点(3,9），所以3a=9，a=2;所以m==，n==,t=—log a3=—log23<0,所以>〉—log23,所以m〉n>t。

5.已知点在幂函数y=f(x）的图像上，则f（x）的解析式是________,f=________。

【解析】设幂函数y=f（x)=xα，α为常数；把点的坐标代入解析式，得=，解得α=3,所以幂函数y=f(x）的解析式为f(x）=x3。

f==—。

答案：f（x）=x3-6。

2020数学新学案同步人教B第二册优选练：第四章测评 Word版含解析

姓名，年级：时间：第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分)1.函数f（x）=√2的定义域为(）A.(0，2)B.（0，2］C.(2,+∞) D。

［2，+∞）f(x)有意义,∴{log2x-1>0,x>0.∴x>2，∴f（x)的定义域为(2，+∞)。

2.（2019北京）下列函数中,在区间（0,+∞）上单调递增的是（) A。

y=x12 B.y=2—xC。

y=lo g12x D。

y=1xy=2-x，y=lo g12x,y=1x在区间（0，+∞）上单调递减,函数y=x12在区间（0,+∞）上单调递增，故选A。

3。

设f（x)={2e x-1,x<2,log3(2x-1),x≥2,则f（f（2）)等于(）A.0 B。

1 C.2 D。

3f(2)=log3（22—1)=1,f(f（2))=f（1）=2e1-1=2.4.若函数y=a x+m-1(a>0)的图像经过第一、三、四象限,则() A。

a〉1 B。

0〈a〈1，且m>0C.a>1，且m<0 D。

0<a〈1,a>1，且m-1〈-1，所以a>1，且m〈0。

5.（2019天津）已知a=log 27，b=log 38,c=0。

30.2,则a ，b ,c 的大小关系为（） A 。

c 〈b 〈a B 。

a<b<c C 。

b<c<a D 。

c<a<blog 27〉log 24=2。

b=log 38<log 39=2，且b>1.又c=0。

30.2〈1，故c<b<a ，故选A 。

6.已知函数：①y=2x；②y=log 2x ;③y=x —1；④y=x 12。

则下列函数图像(第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ )A 。

②①③④ B.②③①④ C.④①③② D 。

④③①②D 。

7下列函数中,满足“f （x+y ）=f （x ）f （y )”的增函数是( ）A.f (x )=x 3 B 。

2020学年新教材高中数学全册综合检测新人教B版必修第二册(最新整理)

全册综合检测（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题所给的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11~13题,有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分,有选错的不得分）1．已知函数f（x）＝log2(x＋1)，若f(a）＝1，则a的值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析:选B 由题意知log2(a＋1)＝1，∴a＋1＝2,∴a＝1.2．函数y＝错误!·ln(2－x）的定义域为( )A．（1,2) B．［1,2）C．(1，2］D．［1,2]解析：选 B 要使解析式有意义,则错误!解得1≤x＜2，所以所求函数的定义域为[1，2）．3．已知O，A,B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2错误!＋错误!＝0,则错误!＝（)A．2错误!－错误!B．－错误!＋2错误!C。

错误!错误!－错误!错误!D．－错误!错误!＋错误!错误!解析：选 A 依题意，得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋2错误!＝错误!＋2（错误!－错误!)，所以错误!＝2错误!－错误!，故选A.4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A中的两个事件是对立事件,不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件,不符合要求；C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D.5．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（) A．193 B．192C．191 D．190解析:选B 1 000×错误!＝80，求得n＝192。

2020年新教材高一数学课时跟踪检测二十向量的概念新人教B版必修第二册

课时跟踪检测（二十）向量的概念A 级——学考水平达标练1．(多选题)下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与向量b 不平行,则a 与b 方向一定不相同B ．若向量AB ―→,CD ―→满足|AB ―→|＞|CD ―→|,且AB ―→与CD ―→同向,则AB ―→＞CD ―→C ．若|a|＝|b|,则a,b 的长度相等且方向相同或相反D ．由于零向量方向不确定,故其不能与任意向量平行解析：选BCD 对于A,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故A 正确；对于B,因为向量不能比较大小,故B 错误；对于C,由|a |＝|b |,只能说明a ,b 的长度相等,确定不了它们的方向,故C 错误；对于D,因为零向量与任意向量平行,故D 错误．2．设O 为△ABC 的外心,则AO ―→,BO ―→,CO ―→是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量D ．起点相同的向量解析：选C ∵O 为△ABC 的外心,∴OA ＝OB ＝OC ,即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|. 3．向量AB ―→与向量BC ―→共线,下列关于向量AC ―→的说法中,正确的为( ) A ．向量AC ―→与向量AB ―→一定同向 B ．向量BC ―→,向量AB ―→,向量AC ―→一定共线 C ．向量AC ―→与向量BC ―→一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义,可知AB ―→,BC ―→,AC ―→这三个向量一定为共线向量,故选B. 4.如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,图中与AE ―→平行的向量有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据向量的基本概念可知与AE ―→平行的向量有BE ―→, FD ―→, FC ―→,共3个．5．已知向量a,b 是两个非零向量,AO ―→,BO ―→分别是与a,b 同方向的模为1的向量,则下列各式正确的是( )A ．AO ―→＝BO ―→B ．AO ―→＝BO ―→或AO ―→＝－BO ―→C ．AO ―→＝1D ．|AO ―→|＝|BO ―→|解析：选D 由于a 与b 的方向不知,故AO ―→与BO ―→无法判断是否相等,故A 、B 选项均错．又AO ―→与BO ―→均为模为1的向量．∴|AO ―→|＝|BO ―→|,故C 错,D 对．6．已知A ＝{与a 共线的向量},B ＝{与a 长度相等的向量},C ＝{与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,则下列说法中,错误的是( )A ．C AB ．(A ∩B )＝{a}C ．C BD ．(A ∩B ){a}解析：选B 因为A ∩B 中含有与a 长度相等、方向相反的向量,所以B 选项错误． 7．已知|AB ―→|＝1,|AC ―→|＝2,若∠ABC ＝90°,则|BC ―→|＝________. 解析：由勾股定理可知,BC ＝AC 2－AB 2＝3,所以|BC ―→|＝ 3. 答案： 38．若a 为任一非零向量,b 为单位向量,下列各式： (1)|a|＞|b|；(2)a ∥b ；(3)|a|＞0；(4)|b|＝±1； (5)若a 0是与a 同向的单位向量,则a 0＝b. 其中正确的是____________．(填序号)解析：对(1),不一定有|a |＞|b |；对(2),a 与b 方向不一定相同或相反；对(3),非零向量的模必大于0,即|a |＞0；对(4),向量的模非负；对(5),a 0与b 方向不一定相同．综上可知(3)正确．答案：(3)9.如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中．(1)与向量AB ―→平行且模为2的向量共有几个？ (2)与向量AB ―→方向相同且模为32的向量共有几个？解：(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和AB ―→平行且模为 2.因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个．(2)由题可知与向量AB ―→方向相同且模为32的向量共有2个． 10．在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为起点画一个向量b,使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c,使|c|＝5,并说出向量c 的终点的轨迹是什么．解：(1)根据向量相等的定义,所作向量b 与向量a 平行,且长度相等．如图中的b 即为所作向量．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心,半径为5的圆(作图略)．B 级——高考水平高分练1.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB ＝120°,则以下说法正确的是( )A ．与AB ―→相等的向量只有一个(不含AB ―→) B ．与AB ―→的模相等的向量有9个(不含AB ―→)C ．BD ―→的模为DA ―→模的3倍 D ．CB ―→与DA ―→不共线解析：选ABC A 项,由相等向量的定义知,与AB ―→相等的向量只有DC ―→,故A 正确；B 项,因为AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC ,所以与AB ―→的模相等的向量除AB ―→外有9个,故B 正确；C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO ＝60°,则DO ＝32DA ,所以BD ＝3DA ,故C 正确；D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ―→与DA ―→共线,故D 错误,选ABC.2．(多选题)下列四个条件中,能使a ∥b 成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．|a|＝|b| C ．a 与b 方向相反D ．|a|＝0或|b|＝0解析：选ACD 若a ＝b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ；若|a |＝|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ；零向量与任意向量平行,所以若|a |＝0或|b |＝0,则a ∥b .3．四边形ABCD 满足AD ―→＝BC ―→,且|AC ―→|＝|BD ―→|,则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．解析：∵AD ―→＝BC ―→,∴AD ―→∥BC ―→且|AD ―→|＝|BC ―→|,∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AC ―→|＝|BD ―→|知该平行四边形对角线相等,故四边形ABCD 是矩形．答案：矩形4.如图,O 是正三角形ABC 的中心,四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD ―→相等的向量为________；与向量OA ―→共线的向量为__________；与向量OA ―→的模相等的向量为____________________(填图中所画出的向量)．解析：∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA ＝OB ＝OC ,易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形,∴与AD ―→相等的向量为OC ―→；与OA ―→共线的向量为DC ―→,EB ―→；与OA ―→的模相等的向量为OB ―→,OC ―→,DC ―→, EB ―→,AD ―→.答案：OC ―→ DC ―→,EB ―→ OB ―→,OC ―→,DC ―→,EB ―→,AD ―→5．一辆消防车从A 地去B 地执行任务,先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地,然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地,从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地． (1)在如图所示的坐标系中画出AD ―→,DC ―→,CB ―→,AB ―→. (2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量AD ―→,DC ―→,CB ―→,AB ―→如图所示．(2)由题意知AD ―→＝BC ―→.所以AD 綊BC ,则四边形ABCD 为平行四边形．所以AB ―→＝DC ―→,则B 地相对于A 地的位移为“在北偏东60°的方向距A 地6千米”．6.如图,已知函数y ＝x 的图像l 与直线m 平行,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22,B (x ,y )是m 上的点．求 (1)x ,y 为何值时,AB ―→＝0； (2)x ,y 为何值时,|AB ―→|＝1.解：(1)要使AB ―→＝0,当且仅当点A 与点B 重合,于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图,由已知,l ∥m 且点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22, 所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫22，0. 在Rt △AOB 1中,有|AB 1―→|2＝|OA ―→|2＋|OB 1―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1,即|AB 1―→|＝1.同理可得,当B 2的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－2时,|AB 2|＝1. 综上有,当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时,|AB ―→|＝1.。

【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章课时跟踪检测(四) 对数运算法则

课时跟踪检测（四）对数运算法则A 级——学考水平达标练1．已知a ＝lg 3，b ＝lg 7，则lg 37＝( )A ．a －bB ．a ＋b C.a bD.ba解析：选A lg 37＝lg 3－lg 7＝a －b .2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 解析：选B 由log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c ≠log c a ，故A 错；由log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg blg c＝log c b .故B 正确．由log a (bc )＝log a b ＋log a c ，知C 、D 错误．故选B.3．(0.25)－12＋(log 23)·(log 34)的值为( )A.52 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 原式＝⎝⎛⎭⎫14－12＋lg 3lg 2×lg 4lg 3＝(2－2)－12＋lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.故选D. 4．化简 (log 23)2－4log 23＋4＋log 213得( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2 解析：选B(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23.∴原式＝2－log 23＋log 23－1＝2－2log 23. 5．设10a ＝2，lg 3＝b ，则log 26＝( ) A.b a B.a ＋b a C ．abD ．a ＋b解析：选B ∵10a＝2，∴lg 2＝a ，∴log 26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a ＋ba .6．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝________. 解析：lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2＝3lg x y ＝3(lg x －lg y )＝3t . 答案：3t7．求值：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝__________.解析：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝lg 3＋lg 22－1lg 1.2＝lg 12－1lg 1.2＝lg1210lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1.答案：18．计算：log 225·log 322·log 59的结果为________．解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.答案：69．已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－log 189＝a ＋b 2－a. 10．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.解：(1)∵2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， ∴2log 525＋3log 264＝4＋18＝22.(2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg 10＝12.(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2 ＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.B 级——高考水平高分练1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D 由已知得，lg MN ＝lg M －lg N ≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与MN 最接近的是1093.2．已知2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b＝________.解析：因为2a ＝5b ＝10，所以a ＝log 210，b ＝log 510.根据换底公式得a ＝1lg 2，b ＝1lg 5，所以1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.答案：13．已知函数f (x )＝13x ＋1，则f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 419＝________. 解析：∵log 23＋log 419＝log 23－log 23＝0，f (－x )＋f (x )＝13－x ＋1＋13x ＋1＝3x 3x ＋1＋13x ＋1＝1.∴f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 419＝1. 答案：14．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最小值为3，求(log a 5)2＋log a 2·log a 50的值．解：∵f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最小值为3，∴lg a >0，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－1lg a ＝lg a ×1(lg a )2＋2×⎝⎛⎭⎫－1lg a ＋4lg a ＝4lg a －1lg a ＝3，即4(lg a )2－3lg a －1＝0，∴lg a ＝1，∴a ＝10，∴(log a 5)2＋log a 2·log a 50＝(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝1.5．已知log a 3＝m ，log a 2＝n . (1)求a m＋2n的值；(2)若0＜x ＜1，x ＋x －1＝a ，且m ＋n ＝log 32＋1，求x 2－x －2的值．解：(1)由log a 3＝m ，log a 2＝n 得a m ＝3，a n ＝2，因此a m ＋2n ＝a m ·a 2n ＝3×22＝12.(2)∵m ＋n ＝log 32＋1，∴log a 3＋log a 2＝log a 6＝log 36，即a ＝3，因此x ＋x －1＝3. 于是(x －x －1)2＝(x ＋x －1)2－4＝5，由0＜x ＜1知x －x －1＜0，从而x －x －1＝－5，∴x 2－x －2＝(x －x －1)(x ＋x －1)＝－3 5.6．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg 2≈0.301 0)．解：设抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a ，则a (1－60%)n ＜0.1%a ，即0.4n ＜0.001，两边取常用对数，得n ·lg 0.4＜lg 0.001， ∴n ＞lg 0.001lg 0.4＝－32lg 2－1≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.。

【2020新教材】人教B版高中数学必修第二册新学案第四章课时跟踪检测(六) 指数函数与对数函数的关系

课时跟踪检测（六）指数函数与对数函数的关系A 级——学考水平达标练1．已知函数y ＝e x 与函数y ＝f (x )互为反函数，则( ) A ．f (2x )＝e 2x (x ∈R ) B ．f (2x )＝ln 2·ln x (x >0) C ．f (2x )＝2e x (x ∈R )D ．f (2x )＝ln x ＋ln 2(x >0)解析：选D 函数y ＝e x 与函数y ＝ln x 互为反函数，即f (x )＝ln x ，所以f (2x )＝ln(2x )＝ln x ＋ln 2(x >0)．2．已知函数y ＝f (x )的反函数是y ＝1－1－x 2，则原函数的定义域是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,1] C ．[－1,0]D ．[0,1]解析：选D 原函数的定义域即为反函数的值域，由于0≤1－x 2≤1，∴0≤1－1－x 2≤1，即原函数的定义域为[0,1]．3．设a >0且a ≠1，函数y ＝log a x 的反函数和y ＝log a 1x 的反函数的图像关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称解析：选B 函数y ＝log a x 的反函数为y ＝a x ，而函数y ＝log a 1x ＝－log a x 的反函数为y ＝a －x ，而y ＝a x 与y ＝a －x 的图像关于y 轴对称，故选B.4．函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．2或12D ．3解析：选B 法一：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.法二：∵函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，∴函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(a ，a )，∴a a ＝a ＝a 12，即a ＝12.5．函数y ＝f (x )的图像经过第三、四象限，则y ＝f －1(x )的图像经过( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限解析：选B 因为第三、四象限关于y ＝x 对称的象限为第二、三象限，故y ＝f －1(x )的图像经过第二、三象限．6．已知f (x )＝2x －3，则f －1(f (x ))＝________，f (f －1(x ))＝________.解析：由f (x )＝2x －3得其反函数f －1(x )＝x ＋32，所以f －1(f (x ))＝f －1(2x －3)＝x .f (f －1(x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝x .答案：x x7．对任意不等于1的正数a ，函数f (x )＝log a (x ＋3)的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是________．解析：当x ＝－2时， f (x )＝log a (－2＋3)＝0，∴f (x )恒过(－2,0)点，即反函数的图像恒过点P (0，－2)．答案：(0，－2) 8．已知f (x )＝21－x 2(x <－1)，那么f －1⎝⎛⎭⎫－23＝________. 解析：由原函数与反函数的关系可知，由21－x2＝－23，解得x 2＝4，又x <－1，所以x ＝－2，故f －1⎝⎛⎭⎫－23＝－2. 答案：－2 9．确定函数y ＝x1＋x 2的定义域和值域，并判断它是否存在反函数．解：显然该函数定义域为R . 由y ＝x 1＋x 2得yx 2－x ＋y ＝0， ∴Δ＝1－4y 2≥0，解得y ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 由于当x ＝2＋ 3 时，y ＝14；当x ＝2－3时，y ＝14.故函数y ＝x1＋x 2不是单调函数，因而不存在反函数．10．已知函数f (x )＝3x ，其反函数为f －1(x )，且f －1(18)＝a ＋2，g (x )＝3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求g (x )的解析式； (2)求g (x )的值域．解：(1)∵f (x )＝3x ，∴f －1(x )＝log 3x .又∵f －1(18)＝a ＋2，即log 318＝2＋log 32＝a ＋2， ∴a ＝log 32.则g (x )＝3x log 32－4x ＝2x －4x . (2)∵x ∈[0,1]，所以2x ∈[1,2]，又g (x )＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14， ∴当2x ＝1时，g (x )max ＝0；当2x ＝2时，g (x )min ＝－2. 故g (x )的值域为[－2,0]．B 级——高考水平高分练1．(多选题)在同一直角坐标系下作y ＝a x 和y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像有下面四种判断，其中正确的是( )A ．两支图像可能无公共点B ．若两支图像有公共点，则公共点一定在直线y ＝x 上C ．若两支图像有公共点，则公共点个数可能有1个，不可能有2个D ．若两支图像有公共点，则公共点个数最多有3个解析：选AB 因为函数y ＝a x 和y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，而底数不确定，所以可以对底数分情况讨论，画图可知，两图像可能有0个、1个或2个公共点，且公共点一定在直线y ＝x 上，故A 正确，B 正确，C 、D 不正确．2．设a ＞0，且a ≠1，函数f (x )＝a x ，g (x )＝b x 的反函数分别是f －1(x )和g －1(x )．若lg a＋lg b ＝0，则f －1(x )与g －1(x )的图像( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y ＝x 对称解析：选A 由lg a ＋lg b ＝0，得b ＝a －1，∴f (x )＝a x ，g (x )＝a －x .其反函数分别为f －1(x )＝log a x ，g －1(x )＝－log a x ，∴f －1(x )与g －1(x )的图像关于x 轴对称．3．已知f (x )＝x －3a (a ＞0)，若f －1(x )的定义域是⎣⎡⎦⎤1a ，4a ，则f (x )的定义域是________．解析：f －1(x )的定义域即为f (x )的值域，∴1a ≤x －3a ≤4a.又a ＞0，∴4≤x ≤7.∴f (x )的定义域为[4,7]．答案：[4,7]4．若f (x )＝3x ＋1，则f －1(x ＋1)＝________.解析：由y ＝3x ＋1得x ＝y －13，所以f －1(x )＝x －13，故f －1(x ＋1)＝x3.答案：x35．若g (x )为函数f (x )的反函数，且f (3)＝0，则g (x ＋1)的图像必经过点______．解析：因为f (3)＝0，所以g (0)＝3，即g (x )的图像必经过点(0,3)，又g (x ＋1)的图像是由g (x )的图像向左平移1个长度单位得到的，所以g (x ＋1)的图像必经过点(－1,3)．答案：(－1,3)6．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求满足f (2x )＝f －1(x )时的x 的值．解：(1)由a x －1>0，得a x >1.所以当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0. 故当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)．(2)当a >1时，u (x )＝a x －1为增函数，y ＝log a u 也为增函数，所以f (x )在(0，＋∞)为增函数；当0<a <1时，u (x )＝a x －1为减函数，y ＝log a u 也为减函数，所以f (x )在(－∞，0)为增函数．(3)因为y ＝log a (a x －1)，所以a x －1＝a y ，所以a x ＝a y ＋1，所以f －1(x )＝log a (a x ＋1)．又f (2x )＝log a (a 2x －1)，由f (2x )＝f －1(x )得log a (a 2x －1)＝log a (a x ＋1)．所以a 2x －1＝a x ＋1，即(a x )2－a x －2＝0，解得a x ＝2或a x ＝－1(舍去)，所以x ＝log a 2.7．已知a ＞0且a ≠1，求证函数y ＝x －1ax －1⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠1a 的图像关于直线y ＝x 成轴对称图形．证明：联系互为反函数的图像的性质，只要证明函数y ＝x －1ax －1的反函数是自身即可．由已知可得ayx －y ＝x －1，(ay －1)x ＝y －1，若y ＝1a ，由题设1a ＝x －1ax －1，得ax －1＝ax －a ，a ＝1，与已知矛盾，所以y ≠1a ，则ay－1≠0，于是x ＝y －1ay －1，交换x ，y 得反函数y ＝x －1ax －1.它与原函数相同，所以它的图像关于直线y ＝x 对称．。

新教材高中数学第四章二项分布与超几何分布学案含解析新人教B版选择性必修第二册

新教材高中数学学案含解析新人教B 版选择性必修第二册：4.2.3 二项分布与超几何分布4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)知识点一 n 次独立重复试验在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．知识点二二项分布若将事件A 发生的次数设为X ，发生的概率为p ，不发生的概率q ＝1－p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝____________(k ＝0,1,2，…，n )，于是得到X 的分布列n n nq n －k ＋…＋C n n p n q 0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记做____________．知识点三超几何分布设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件(M <N )，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，则这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为________________(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．[基础自测]1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的概率是相等的； ④每次试验发生的条件是相同的．2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 37C 510表示( )A ．5件产品中有3件次品的概率B ．5件产品中有2件次品的概率C ．5件产品中有2件正品的概率D ．5件产品中至少有2件次品的概率题型一独立重复试验中的概率问题例1 (1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：①他三次都击中目标的概率是0.93； ②他第三次击中目标的概率是0.9；③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： ①5次预报中恰有2次准确的概率； ②5次预报中至少有2次准确的概率；③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．方法归纳独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． 2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．题型二二项分布例2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．状元随笔 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．方法归纳1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．题型三超几何分布的分布列例3 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列．状元随笔方法归纳求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．跟踪训练3 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．题型四独立重复试验与二项分布综合应用状元随笔 1.王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．例4 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．状元随笔 (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23.(2)AB 表示事件A ，B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．方法归纳对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练4 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．题型五二项分布与超几何分布的综合应用例5 在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10张奖券，其中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，看完结果后放回抽奖箱， ①若只允许抽奖一次，求中奖次数X 的分布列； ②若只允许抽奖二次，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．状元随笔 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B(2，p)(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X ＝1,2)服从超几何分布．方法归纳区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N 件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M 件，从所有元素中一次任取n 件，这n 件中含甲类元素数目X 服从超几何分布．2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．教材反思4．2.3 二项分布与超几何分布新知初探·自主学习知识点一重复地做n 次相互独立知识点二 C k n p k q n －k X ～B (n ，p ) 知识点三P (X ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N[基础自测]1．解析：由n 次独立重复试验的定义知①②③④正确．答案：①②③④2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫122＝38.答案：383．解析：根据超几何分布的定义可知C 23表示从3件次品中任选2件，C 37表示从7件正品中任选3件，故选B.答案：B 课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.(2)①记预报一次准确为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01. 所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. ③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P ＝C 14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 【答案】 (1)①②④ (2)见解析跟踪训练1 解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. 答案：2027例2 【解析】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ的分布列为P (ξ＝k ) ＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的分布列为 (2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A ∩B ＋A －∩B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P (A ∩B ＋A －∩B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －)＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为例3 P (X ＝1)＝C 16·C 22C 38＝328；P (X ＝2)＝C 26·C 12C 38＝1528；P (X ＝3)＝C 36·C 02C 38＝514.故X 的分布列为跟踪训练3 黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X 的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. 例4 【解析】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎫1－232＝29， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列为(2)用C 分”这一事件，所以AB ＝C ∪D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23⎣⎡23×13×12＋13×23×12＋⎦⎤13×13×12＝1034，P (D )＝C 33⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13×13×12＝435，由互斥事件的概率公式得 P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435＝34243. 跟踪训练4 解析：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，用P (A i )＝12，P (B j )＝13，P (C k )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．P ＝3! P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29，P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＝49，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是D i ，i ＝1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且P (D i )＝P (A i ∪C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23，所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，即P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫133－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是例5 0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为②从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X ～B ⎝⎛⎭⎫2，25(2)①2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为则P (A －)＝C 14×C 22C 36＝420＝15，P (B －)＝⎝⎛⎭⎫1－233＋C 23×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A － B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14×C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24×C 12＋C 34C 36＝45，则X 的分布列为。

(人教版B版最新)高中数学必修第二册第四章综合测试03-答案

（方法二）∵ loga 2 m ， loga 3 n ，∴ a2mn a2loga 2loga 3 aloga 12 12 。
3
3
43
3
18.【答案】解：f x g x 1 logx 3 2logx 2 1 logx logx x ，当1＜x＜时， x＜1 ，∴ logx x＜0 ；
1
1
像的对称轴为直线 x ，当 0＜a＜1 时，指数函数的图像单调递减，＜0 ，C 符合题意；当 a＞1时，
a 1
a 1
1 指数函数的图像单调递增，＞0 ，B 不符合题意，故选 C。
a 1
高中数学必修第二册 1 / 5
10.【答案】C
【解析】设至少抽 x 次可使容器内的空气少于原来的 0.1%，则 1 60%x ＜0.1% ，即 0.4x＜0.001 ，∴
14.【答案】 4a
2 1 1 1 1 5
【解析】 2 3 a2 b 6 a 3 b 36 a 6 b5 = 2a 3 b2 6a 2 b3 3a6 b6 4a1 b0 4a 。
1
15.【答案】 x 2
【解析】设幂函数为 f x x 。因为函数 y log 2x 3 2 的图像恒过点 P 2, 2 ，则 2 2 ，所以
第四章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】C
【解析】由题意，得 M x|x＜4 ， N y|y≥0 ，∴ M N x|10≤x＜4 。
2.【答案】B
【解析】当 x 0 时， ymin 30 1 0 ，当 x 2 时， ymax 32 1 8 ，故值域为 0,8 。
3.【答案】D
3x 1
3
3
x lg 0.4＜ 3 ，∴ x＞

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