2012-2013(1)高等数学I1试题(A)

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华东交大历年高数上册期末试题及答案高等数学(A)12-13上

华东交通大学2012—2013学年第一学期考试卷高等数学(A)Ⅰ课程课程类别：必试卷编号： (A)卷考生注意事项：1、本试卷共 4 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题3分，共18分)_____123lim11=--+→x x x 极限、_______ cos sin 2='+=y x x x y 则，设、____]3 0[29)( 33=+-=ξ上满足罗尔定理的，在函数、x x x f_____1 42===V x x x x y 体体积轴旋转一周形成的旋转轴围成图形绕及直线、由曲线、 _____Prj }2 1 2{}1 2 1{ 5=-=--=a上的投影，，在，，向量、______________1224413) 1(2 6的平面的一般方程为且垂直直线，，过点、--=-=-z y x二、计算题(每题 8分，共56分)])12)(12(1531311[lim 1+-++⨯+⨯∞→n n n 求极限、xx xx x x sin 2e e lim 20----→求极限、)0()()ln()sin( 3y x y y x x y xy '==-+，求确定设方程、⎰+x x xd )1(ln 42求不定积分、⎰-x x x d 1 522求不定积分、⎰-2ln 0d 1e 6x x求定积分、的距离：到直线，，求点、212211 )2 1 3( 7-+=-=-z y x L P三、应用题(每题 9分，共18分)的拐点求曲线的极值；求函数，设、)()2( )()1( ln )( 12x f y x f x x x f ==求心脏线的长度；求心脏线围成图形面积，右图设心脏线方程为、)2( )1( )(cos 1 2θ+=r四、证明题(8分)内有且仅有一个实根，在方程证明：，上连续且，在设函数)1 0(01d )(2 1)(]1 0[)( 0=--<⎰xt t f x x f x f。

高等数学A(一)期末试题及答案

大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程考试时间………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x 2π . (5) =⎰∞+121dx x1 ．二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y所以得; yy ln 21+=' yy ln 21+='四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰10arctan xdx . 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=10102dt te dx e t x 22][22101010=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy ，得0=t ，代入得：1=x 。

东南大学2013年高等数学(上) 考试卷

东南大学考试卷 A 卷课程名称：高等数学(上) 考试学期 2013-04-2 得分适用专业：非电类各专业考试形式：闭卷考试时间长度：150分钟共2页一．填空题（每小题3分，共18分）：1．21lim()xx x e x →-= 。

2．若2(cos )1arctanf x y e x =+，其中f 可导，则dydx= 。

3．设1sin ,0()00ax x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，若导函数()f x '在0x =处连续，则a 的取值范围是。

4．若234()2x t f x dt t -=+⎰，则()f x 的单增区间为，单减区间为。

5．曲线x y xe -=的拐点是。

6．微分方程440y y y ''''''++=的通解为y = 。

二．单项选择题（每小题4分，共16分）：1．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx== [ ] （A ）1e + （B ）1e - （C ）1e - （D ）2e2．曲线ln 241xy x x =++-的渐近线的条数为 [ ]（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）03．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图形如右图所示，则导函数()y f x '=的图形为[ ]（A ）（B ）（C ）（D ）4．微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为 [ ]（A ）cos2y A x *=；（B ）cos2y Ax x *=；（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+；（D ）sin 2y A x ''= 三．（每小题6分，共36分）： 1．计算积分5sin cos x xdx x⎰。

2．计算积分23/2arctan (1)xdx x +⎰。

高等数学(一)1

高等数学（一）--综合测评一、单选题（每题4分，共100分）1．函数$y=10^(x-1)-2$的反函数是（）A．$y=lg(x+2)+1$B．$y=10^(x-1)-2$C．$y=lg(x+2)$D．$y=10^(x-1)$2．下列极限存在的是（）A．$lim_(x->0)(1)/(e^(x)-1)$B．$lim_(x->0)e^((1)/(x))$C．$lim_(x->oo)sinx$D．$lim_(x->oo)(x^(2))/(1-x^(2))$3．已知极限$lim_(x->1)(x^(3)-x^(2)-ax+4)/(x-1)$存在且有限，则$a=$（）A．$4$B．$3$C．$2$D．$1$4．设$f(x)=x^(15)+3x^(3)-x+1$，则$f^((16))(1)=$（）A．$16!$B．$15!$C．$14!$D．$0$5．曲线$y=lnroot(3)(x)$的竖直渐近线为（）A．$y=0$B．$x=1$C．$x=2$D．$x=0$6．函数$y=lnx$在$[1,e]$上满足拉格朗日定理的条件，应用此定理时相应的$xi=$（）A．$e$B．$-1$C．$e-1$D．$e+1$7．设$intxf(x)dx=e^(-x^(2))+C$，则$f(x)=$（）A．$xe^(-x^(2))$ B．$-xe^(-x^(2))$C．$2e^(-x^(2))$D．$-2e^(-x^(2))$8．计算定积分$int_(0)^(1)sqrt(x)/(1+sqrt(x))dx=$（）A．$2ln2$B．$2ln2-1$C．$2ln2+1$D．$ln2-1$9．微分方程$y^(’)=e^(x-2y)$的通解是（）A．$y=1/2ln(2e^(x)+C)$B．$y=ln(2e^(x)+C)$C．$y=1/2ln(e^(x)+C)$D．$y=ln(e^(x)+C)$10．设$z=x^(4)+y^(4)-4x^(2)y^(2)$，则$(del^(2)z)/(delxdely)=$（）A．$16xy$B．$-16xy$C．$6xy$D．$-6xy$11．设$z=x^(2)ln(xy)$，则$dz=$（）A．$(2ln(xy)+1)xdx+x^(2)/ydy$B．$xdx+x^(2)/ydy$C．$2ln(xy)xdx+x^(2)/ydy$D．$(2ln(xy)+1)xdx+x/ydy$12．设$z=cosy/x$，则全微分$dz$=（）A．$1/x^2(cosydx+xsinydy)$B．$-1/x^2(xsinydx+cosydy)$C．$-1/x^2(cosydx+xsinydy)$D．$-1/x^2(sinydx+xcosydy)$13．设函数$f(x)=1+3^x$的反函数为g(x)，则g(10)=（）A．$-2$B．-1C．2D．314．当$x->0$时，$3x^2$是（）A．x的同阶无穷小量B．x的等价无穷小量C．比x高阶的无穷小量D．比x低阶的无穷小量15．$lim_(n->oo)(2^n-7^n)/(2^n+7^n-1)$=（）A．0B．1C．-1D．216．曲线$y=(1+e^(-x^2))/(1-e^(-x^2))$（）A．无渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有竖直渐近线D．既有水平渐近线，又有竖直渐近线17．设曲线$y=x^2+x-1$在点M的切线的斜率为3，则点M的坐标为（）A．(1,1)B．(0,1)C．(1,0)D．(0,-1)18．$lim_(x->0)(xsinx)/(e^(2x)-2x-1)$=（）A．$-1$B．0C．$1/2$D．119．下列无穷限反常积分中发散的是（）A．$int_0^(+oo)1/(1+x^2)dx$B．$int_(-oo)^(+oo)1/(1+x^2)dx$C．$int_1^(+oo)1/xdx$D．$int_0^(+oo)e^-xdx$20．定积分$int_-1^1(e^x-e^-x)/2dx$=（）A．0B．$1/e$C．1D．e21．已知f(x)的原函数为$ln^2x$,则$intxf^’(x)dx$=（）A．$xln^2x+C$B．$x^2/2ln^2x+C$C．$2lnx-ln^2x+C$D．$2lnx+ln^2x+C$22．如果在区间I上，$intf(x)dx=F(x)+C$，则（）A．f(x)是F(x)在区间I上的一个原函数B．$f^’(x)=F(x),x inI$C．F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数D．以上均不对23．设二元函数$f(x,y)=(sinxy)/y$，则$f_y^’(0,3)$=（）A．0B．1C．2D．324．设y=y(x)是由方程$e^y-xy=e$所确定的隐函数，则导数$(dy)/(dx)$=（）A．$x/(e^x-y)$B．$y/(x-e^y)$C．$(e^y-x)/y$D．$y/(e^y-x)$ 25．设二元函数z=sinxy,则全微分dz=（）A．$cosxy(xdx+ydy)$B．$cosxy(ydx+xdy)$C．$sinxy(ydx+xdy)$D．$ydx+xdy$试卷答案一、单选题1．函数$y=10^(x-1)-2$的反函数是（）A．$y=lg(x+2)+1$B．$y=10^(x-1)-2$C．$y=lg(x+2)$D．$y=10^(x-1)$答案：A答案要点：$y=10^(x-1)-2$$10^(x-1)=y+2$$x-1=lg(y+2)$$x=lg(y+2)+1$$y=lg(x+2)+1$2．下列极限存在的是（）A．$lim_(x->0)(1)/(e^(x)-1)$B．$lim_(x->0)e^((1)/(x))$C．$lim_(x->oo)sinx$D．$lim_(x->oo)(x^(2))/(1-x^(2))$答案：d答案要点： A.$lim_(x->0)1/(e^(x)-1)=oo$不存在B.因为$lim_(x->0^(+))e^(1/x)=+oo,lim_(x->0^(-))e^(1/x)=0$所以$lim_(x->0^(+))e^(1/x)!=lim_(x->0^(-))e^(1/x)$故$lim_(x->0)e^(1/x)$不存在C.$lim_(x->oo)sinx$不存在D.$lim_(x->oo)x^(2)/(1-x^(2))=lim_(x->oo)1/(1/x^(2)-1)=-1$存在3．已知极限$lim_(x->1)(x^(3)-x^(2)-ax+4)/(x-1)$存在且有限，则$a=$（）A．$4$B．$3$C．$2$D．$1$答案：A答案要点：因为$lim_(x->1)(x^(3)-x^(2)-ax+4)/(x-1)$存在且有限$lim_(x->1)(x-1)=0$所以$lim_(x->1)(x^(3)-x^(2)-ax+4)=0$即$1^(3)-1^(2)-a+4=0$所以$a=4$ 4．设$f(x)=x^(15)+3x^(3)-x+1$，则$f^((16))(1)=$（）A．$16!$B．$15!$C．$14!$D．$0$答案：D答案要点：$f^((15))(x)=15!$，$f^((16))(x)=0$所以答案选D5．曲线$y=lnroot(3)(x)$的竖直渐近线为（）A．$y=0$B．$x=1$C．$x=2$D．$x=0$答案：D答案要点：$lim_(x->0^(+))lnroot(3)(x)=-oo$6．函数$y=lnx$在$[1,e]$上满足拉格朗日定理的条件，应用此定理时相应的$xi=$（）A．$e$B．$-1$C．$e-1$D．$e+1$答案：C答案要点：根据拉格朗日中值公式$f(x_(2))-f(x_(1))=f^(’)(xi)(x_(2)-x_(1))$得$f^(’)(xi)=(f(x_(2))-f(x_(1)))/(x_(2)-x_(1))$因为，$f(x)=lnx$，$x_(2)=e$，$x_(1)=1$所以，$1/xi=(1-0)/(e-1)$所以，$xi=e-1$7．设$intxf(x)dx=e^(-x^(2))+C$，则$f(x)=$（）A．$xe^(-x^(2))$B．$-xe^(-x^(2))$C．$2e^(-x^(2))$D．$-2e^(-x^(2))$答案：D答案要点：$intxf(x)dx=e^(-x^(2))+C$$(intxf(x)dx)^(’)=(e^(-x^(2))+C)^(’)$$xf(x)=-2xe^(-x^(2))$$f(x)=-2e^(-x^(2))$答案选D8．计算定积分$int_(0)^(1)sqrt(x)/(1+sqrt(x))dx=$（）A．$2ln2$B．$2ln2-1$C．$2ln2+1$D．$ln2-1$答案：B答案要点：令$sqrt(x)=t$，则$x=t^(2)$，$dx=2tdt$$int_(0)^(1)sqrt(x)/(1+sqrt(x))dx=int_(0)^(1)t/(1+t)2tdt=2int_(0)^(1)t^(2)/(1+t)dt=2int_(0)^(1)(t^(2)-1+1)/(1+t)dt$ $=2int_(0)^(1)(t-1+1/(1+t))dt=2[t^(2)/2-t+ln(1+t)]|_(0)^(1)=2ln2-1$9．微分方程$y^(’)=e^(x-2y)$的通解是（）A．$y=1/2ln(2e^(x)+C)$B．$y=ln(2e^(x)+C)$C．$y=1/2ln(e^(x)+C)$D．$y=ln(e^(x)+C)$答案：A答案要点：原方程变形为$(dy)/(dx)=e^(x-2y)$，$e^(2y)dy=e^(x)dx$两边积分得$inte^(2y)dy=inte^(x)dx$，则$1/2e^(2y)=e^(x)+C/2$，即$y=1/2ln(2e^(x)+C)$10．设$z=x^(4)+y^(4)-4x^(2)y^(2)$，则$(del^(2)z)/(delxdely)=$（）A．$16xy$B．$-16xy$C．$6xy$D．$-6xy$答案：B答案要点：$(delz)/(delx)=4x^(3)-8xy^(2)$$(del^(2)z)/(delxdely)=-16xy$11．设$z=x^(2)ln(xy)$，则$dz=$（）A．$(2ln(xy)+1)xdx+x^(2)/ydy$B．$xdx+x^(2)/ydy$C．$2ln(xy)xdx+x^(2)/ydy$D．$(2ln(xy)+1)xdx+x/ydy$答案：A答案要点：$(delz)/(delx)=(x^(2)ln(xy))_(x)^(’)=2xln(xy)+x^(2)*y/(xy)=2xln(xy)+x=(2ln(xy)+1)x$ $(delz)/(dely)=(x^(2)ln(xy))_(y)^(’)=x^(2)*x/(xy)=x^(2)/y$$dz=(delz)/(delx)dx+(delz)/(dely)dy=(2ln(xy)+1)xdx+x^(2)/ydy$12．设$z=cosy/x$，则全微分$dz$=（）A．$1/x^2(cosydx+xsinydy)$B．$-1/x^2(xsinydx+cosydy)$C．$-1/x^2(cosydx+xsinydy)$D．$-1/x^2(sinydx+xcosydy)$答案：c答案要点：$dz=(delz)/(delx)dx+(delz)/(dely)dy$$=(-cosy/x^2)dx+(-siny/x)dy$$=-1/x^2(cosydx+xsinydy)$13．设函数$f(x)=1+3^x$的反函数为g(x)，则g(10)=（）A．$-2$B．-1C．2D．3答案：c答案要点：因为：$3^x=y-1$$x=log_3(y-1)$所以$g(x)=log_3(x-1)$$g(10)=2$14．当$x->0$时，$3x^2$是（）A．x的同阶无穷小量B．x的等价无穷小量C．比x高阶的无穷小量D．比x低阶的无穷小量答案：c答案要点：因为$lim_(x->0)(3x^2)/x=lim_(x->0)3x=0$，所以$3x^2$是比x高阶的无穷小量，故选C.15．$lim_(n->oo)(2^n-7^n)/(2^n+7^n-1)$=（）A．0B．1C．-1D．2答案：c答案要点：$lim_(n->oo)(2^n-7^n)/(2^n+7^n-1)=lim_(n->oo)((2/7)^n-1)/((2/7)^n+1-(1/7^n))=-1$.16．曲线$y=(1+e^(-x^2))/(1-e^(-x^2))$（）A．无渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有竖直渐近线D．既有水平渐近线，又有竖直渐近线答案：d答案要点：因为$lim_(x->0)(1+e^(-x^2))/(1-e^(-x^2))=oo$，所以曲线$y=(1+e^(-x^2))/(1-e^(-x^2))$有竖直渐近线$x=0$，因为$lim_(x->oo)(1+e^(-x^2))/(1-e^(-x^2))=1$，所以曲线有水平渐近线$y=1$，故选D．17．设曲线$y=x^2+x-1$在点M的切线的斜率为3，则点M的坐标为（）A．(1,1)B．(0,1)C．(1,0)D．(0,-1)答案：a答案要点：$y^’=2x+1$，根据导数的几何意义，令$2x+1=3$，得点M的横坐标为$(x=1)$，代入曲线方程$y=x^2+x-1$，得点M的横坐标为$(y=1)$，所以点M的坐标为(1,1)．18．$lim_(x->0)(xsinx)/(e^(2x)-2x-1)$=（）A．$-1$B．0C．$1/2$D．1答案：c答案要点：由洛必达法则得：原式=$lim_(x->0)(sinx+xcosx)/(2e^(2x)-2)$$=lim_(x->0)(2cosx-xsinx)/(4e^(2x))=1/2$.19．下列无穷限反常积分中发散的是（）A．$int_0^(+oo)1/(1+x^2)dx$B．$int_(-oo)^(+oo)1/(1+x^2)dx$C．$int_1^(+oo)1/xdx$D．$int_0^(+oo)e^-xdx$答案：c答案要点：A：$int_0^(+oo)1/(1+x^2)dx=arctanx|_0^(+oo)=pi/2$，收敛B：$int_(-oo)^(+oo)1/(1+x^2)dx=arctanx|_(-oo)^(+oo)=pi/2-(-pi/2)=pi$，收敛C：$int_1^(+oo)1/xdx=lnx|_1^(+oo)=+oo$，发散D：$int_0^(+oo)e^-xdx=-e^-x|_0^(+oo)=1$，收敛。

《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ．当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ．当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2．由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−，所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫，所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ．当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ．当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+−  ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+−  ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫，故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析方法一由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+．方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫，则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+，当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫．第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．证设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−．于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<．故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。

自考高等数学一历年真题

全国2010年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1.设函数x x f 31)(+=的反函数为)(x g ，则)10(g =（）A.-2B.-1C.2D.32.下列极限中，极限值等于1的是（）A.e)11(limxx x -∞→ B.x x x sin lim ∞→ C.2)1(lim xx x x +∞→ D.x xx arctan lim ∞→3.已知曲线x x y 22-=在点M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为A.(-1，3)B.(1，-1)C.(0，0)D.(1，1) 4.设C x F x x f +=⎰)(d )(，则不定积分⎰x f xxd )2(2=（）A.C F x +2ln )2( B.F (2x )+C C.F (2x )ln2+C D.2x F (2x )+C5.若函数),(y x z z=的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数yx z∂∂∂2=（）A.x sin - B.y sin C.x cos D.y cos 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则f (x 2)的定义域是______.7.极限=-+-∞→17272lim n nnn n ______. 8.设某产品的成本函数为C (q )=1000+82q ，则产量q =120时的边际成本为______.9.函数212x xy -=在x =0处的微分d y =______.10.曲线2ln -+=x x xy 的水平渐近线为______.11.设函数f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)，则方程0)(='x f 的实根个数为______.12.导数⎰=-xt t t xd )1(d d ______.13.定积分x x d |1|20⎰-=______.14.二元函数f (x ，y )=x 2+y 4-1的极小值为______. 15.设y =y (x )是由方程e y -xy =e 所确定的隐函数，则导数xy d d =______.三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16.设函数||sin )(x x x x f -=，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续?并说17.求极限)5cos 1(lim 2xx x -∞→. 18.设函数y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 的值. 19.求微分方程)1()2(322y x y y ++='的通解.20.求不定积分⎰--x xx d 112.四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.设函数f (x )=sin e -x ，求)0()0()0(f f f ''+'+.22.计算定积分⎰-=121d 12arctanx x I .23.计算二重积分⎰⎰+=Dy x y xI d d )1(2，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y轴所围成的区域.五、应用题(本题9分)24.在一天内，某用户t 时刻用电的电流为2)24(1001)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t .(1)求电流I (t )单调增加的时间段；(2)若电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?六、证明题(本题5分)25.设函数f (x )，g (x )在区间[-a ，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f (-x )+f (x )=2. 证明：⎰⎰-=aaax x g x x g x f 0d )(2d )()(.全国2010年1月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。

得分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。

14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。

高等数学历年真题汇总

目录第一部分计算机科学与技术山东省2005年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (3)山东省2006年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (4)山东省2007年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (6)山东省2008年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (8)山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (10)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (12)山东省2011年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (14)山东省2012年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (16)山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (18)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (22)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (20)山东省2016年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (24)山东省2017年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (25)山东省2018年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (27)第二部分土木工程山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程） (29)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程）.......................................30山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程） (31)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程） (32)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程） (33)山东省2017年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程） (34)山东省2018年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（土木工程） (35)第三部分其他专业山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（电气工程） (37)山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（机械自动化） (38)山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（国际经济与贸易） (39)山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（工商管理） (41)山东省2009年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (42)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（电气工程） (44)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（机械自动化） (45)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（国际经济与贸易） (46)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（工商管理） (47)山东省2010年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (48)山东省2011年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（机械自动化） (49)山东省2011年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (50)山东省2012年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (51)山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（电气工程） (52)山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（机械自动化） (53)山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（国际经济与贸易） (54)山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（工商管理） (55)山东省2013年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (56)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（电气工程） (57)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（机械自动化） (58)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（国际经济与贸易） (59)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（工商管理） (60)山东省2014年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (61)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（电气工程） (62)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（机械自动化） (63)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（国际经济与贸易） (64)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（工商管理） (65)山东省2015年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（会计） (66)山东省2018年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题（财经类） (67)山东省普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题 (69)机密★启用前试卷类型：公共课科目代码：102山东省2005年普通高等教育专升本入学统一考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共10个小题，每题1分，共10分。

2013年专升本(高等数学一)真题试卷(题后含答案及解析)

2013年专升本（高等数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．( )A．eB．1C．eD．-e正确答案：C2．设y=3+x2，则y’=( )A．2xB．3+2xC．3D．x2正确答案：A3．设y=2x3，则dy=( )A．2x2dxB．6x2dxC．3x2dxD．x2dx正确答案：B4．设y=-2ex，则y’=( )A．exB．2exC．-exD．-2ex正确答案：D5．设y=3+sinx，则y’=( )A．-cosxB．cosxC．1-cosxD．1+cosx正确答案：B6．( )A．x2B．2x2C．xD．2x正确答案：A7．( )A．B．-3ln|x|+CC．D．3ln|x|+C正确答案：D8．( )A．B．0C．D．1正确答案：B9．设z=3x2+5y，则( )A．5yB．3xC．6xD．6x+5正确答案：C10．微分方程(y’)2=x的阶数为( ) A．1B．2C．3D．4正确答案：A填空题11．=________。

正确答案：2e12．设y=(x+3)2，则y’=________。

正确答案：2(x+3)13．设y=2ex-1，则y”=________。

正确答案：2ex-114．设y=5+lnx，则dy=________。

正确答案：15．∫cos(x+2)dx=________。

正确答案：sin(x+2)+C16．∫012exdx=________。

正确答案：2(e-1)17．过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为________。

正确答案：2x-y+z=018．设z=xy，则dz=________。

正确答案：ydx+xdy19．幂级数的收敛半径R=________。

正确答案：120．设区域D={(x，y)|x2+y2≤4}，则=________。

正确答案：π解答题21．设函数f(x)=在x=1处连续，求a。

正确答案：(x2-2x+3)=2。

高数I(一)A及答案

1 ⎧ ⎪ 1+ x , x ≥ 0 ⎪ 2．设 f ( x ) = ⎨ ⎪ cos x , x < 0 ⎪ ⎩ 2 + sin x
求
∫π
−
4
f ( x )dx ．
2
序号
封
3．设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 班级
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 所确定，求、． 2 d x d x = − y t t arctan ⎩
…… 5 分 …… 6 分
sin x (cos x ln x + )dx x
= ln( 2 +
序号
sin x ) − π + ∫
2
2t dt 01+ t
2
…… 4 分 …… 6 分
= ln 2 + 4 − 2 ln 3 3、已知 f ( x) 的一个原函数是解：
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y 3、设函数 y = f ( x) 由参数方程 ⎨ 所确定，求、 . dx d x 2 ⎩ y = t − arctan t
．．
2．设 f ( x) =
e x −1 e +1
1 x
，则 x = 0 是 f ( x) 的（ B. 跳跃间断点； D. 连续点．
）．
1．函数 y = 学号
2 − x + ln( x − 1) 的定义域为
A. 可去间断点； C. 第二类间断点； 3． lim(e + x) x =（
x x →0 1
2015 年秋季学期《高等数学 (一)》课程期末考试试卷（A 卷）
注意：1、本试卷共 3 页； 3、姓名、学号必须写在指定地方； 2、考试时间 110 分钟； 4、阅卷负责人签名： 1．设 f ( x) = x + ln(1 + x) ，当 x → 0 时，有（

高等数学单元测试题1

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）分） 1、当0x ®+时，（A ）无穷小量。

）无穷小量。

A 1sin x x B 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<ìï==íï->î的（C ）。

A 连续点连续点 B 第一类非可去间断点第一类非可去间断点 C 可去间断点可去间断点 D 第二类间断点第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件充分非必要条件 B 必要非充分条件必要非充分条件 C 充要条件充要条件 D 无关条件无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x®¥++=，则常数a 等于（A ）。

A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限21lim cos 1x x e x ®--等于（D ）。

A ¥ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分）分）1、21lim(1)x x x®¥-=22e -2、当0x ®+时，无穷小ln(1)Ax a =+与无穷小sin 3x b =等价，则常数A=3 3、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ¹时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =0 4、 111lim[]1223(1)n n n ®¥+++··+=1 5、若lim ()x f x p®存在，且sin ()2lim ()x xf x f x xp p®=+-，则lim ()x f x p ®=1 二、解答题二、解答题1、（7分）计算极限分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n ®¥---解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n ®¥®¥-++···=·=2、（7分）计算极限分）计算极限 30tan sin lim x x x x®- 解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x x x x x x x x ®®®--===3、（7分）计算极限分）计算极限 123lim()21x x xx x +®¥++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++®¥®¥+®¥®¥+=+++=+·+=++ 4、（7分）计算极限分）计算极限 201sin 1lim 1x x x x e ®+-- 解：原式=201sin 12lim 2x x xx ®=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x ®---++ 具有极限l ，求,a l 的值的值解：因为1lim(1)0x xx ®-+=，所以，所以 321lim(4)0x x ax x ®---+=，因此因此 4a = 并将其代入原式并将其代入原式321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x ®-®---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x a b =-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x a b解：解： 32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x ca ®=-+=-+-+=\==- 此时，()()x x ab 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x x a x x ì>ï=íï+£î在(,)-¥+¥内连续内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

高等数学I(上)复习题共7套(答案)

x)
1 1 lim 1 x lim
x
lim 1 1
x0 2 x
x0 2x(1 x) x0 2(1 x) 2
12．
1
e
1 x dx .
0
解：设 1 x t, 则 x 1 t2, dx 2tdt, 且 x 0 时， t 1 ； x 1时， t 0 ，
1 e
1 x dx
证. 对任意 x ，由于 f ( x) 是连续函数，所以
F ( x x) F ( x)
lim
x 0
x
lim f ( ) x0
xx f t dt x f t dt
lim 0
0
x 0
x
2
xx f t dt
lim x
x 0
x
f ( )x lim
x0 x
其中介于 x 与 x x 之间，由 lim f ( ) f ( x) ，可知函数 F( x) 在 x 处可导，且 x0
所以
dy cos π π sin π 1 ． dx π 1 sin π π cos π 1 π
法二： dy cos (sin )d cos sin d ．
dx 1 sin (cos )d 1 sin cos d ．
5
dy
dy dx
d dx
cos sin ; 1 sin cos
0 ，驻点 x
f (0) .
在 t 0 两侧， dy 变号，故驻点是函数 y y( x)的极值点。 dx
1
（2）
d2 y dx 2
dt dt
1 dx
1 0 f (t)
dt
，曲线 y y( x)没有拐点.

2013级高等数学I(1)试卷(A)评分标准

B〖〗考试形式开卷（）、闭卷（√），在选项上打（√）开课教研室大学数学部命题教师命题组命题时间2013-12-12使用学期 2013-2014-1总张数 3 教研室主任审核签字d6()[0,1],(0,1),(0)(1)0,120131.(0,1),().220142013()(),(2)()[0,1],20141120152013(0)0,0,(1)0,(3)2220142014f x f f f f x f x x f x ξξϕϕϕϕ==⎛⎫'== ⎪⎝⎭'=-⎛⎫'==⋅>=-< ⎪⎝⎭七、(本题满分分)设函数在上连续在内可导且本题得分证明：在内至少存在一点使〖证〗设则在上连续且由零点定()1,,1,0.(4)22013()(0,1),()().(5)2014Rolle ,(0,)(0,1),()0,2013().(6)2014f x x f x f ηϕηϕξηϕξξ⎛⎫'∃∈= ⎪⎝⎭'''=-'∃∈⊂=''=理使又在内可导且由定理使即212012201032,[0,1]0.,,,,11,0.(1)(32)d (2)(3)1,1.(4)(32)d y ax bx c x y a b c x x x c ax bx x a b b a V ax bx x π=++∈≥='=''+=+='=-=+⎰⎰六、(本题满分分)设有抛物线当时试确定本题得分的值使该抛物线过原点与直线及轴所围区域的面积为且上述区域绕轴旋转而成的旋转体的体积最小.〖解〗由抛物线过原点得由第二个条件得即从而旋转体体积2222294214(5)3(6),(7)531533d 4159(8)0,,(9)d 15344d 40,(10)d 1559,,0.44a ab b a a V a a b a V V a a bc ππππ⎛⎫⎛⎫'''=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫''=+==-= ⎪⎝⎭'=>=-==由得从而此时故旋转体体积最小.所以所求值为。

西南科技大学高等数学期中考试(含答案)经管

西南科技大学2012-2013学年第1学期半期考试试卷《高等数学B1》（经管类）参考答案及评分细则一、填空题(每题4分，共16分)1．设2lim()3x x x x a →∞+=-, 则a =____3ln -2__________。

2．设),2013()2)(1()(---=x x x x f Λ求)2013(f '=_____2012!______。

3．[]0()(0)sin 2lim 4,(0)tan x f x f xf x x →-'=设　则等于_____2______。

4．设x y xe =，则弹性函数EyEx = 1+x 。

二、选择题 (每题4分，共16分)1．下列说法正确的是（ C ）A ．无界量是无穷大量；B ．若()f x 在点0x 处连续，则在此点可导；C ．若数列{}n a 无界，则数列{}n a 发散；D ．开区间),(b a 上的连续函数有最大值。

2. 设2()lim 1nxn n xx x e f x e →∞+=+，则的是函数)(0x f x =（ B ）A ．连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 无穷间断点。

3．1()()lim 21x f x f x x →=-设　为可导函数且满足，()y f x =则曲线在点(1(1))f ，处的切线斜率为( B )A ．1 ； B. 2； C. 3； D. 4。

4．设)(x f 可导且2)(0-='x f ，则0→∆x 时，()f x 在0x 处的微分dy 与x ∆比较是( C)A ．高阶无穷小； B.低阶无穷小； C. 同阶无穷小； D. 等价无穷小。

三、解答题 (每题8分，共56分)1．计算极限30lim x x →。

解：30lim x x →=0x →2分） =30tan (1cos )lim 2x x x x →-=2302lim 2x x x x →（4分）=14（2分）2．计算极限011lim()1x x x e →--。

高数(A卷)+答案+评分标准

武夷学院期末考试试卷（ 2012 级建设专业2012～2013 学年第一学期）课程名称高等数学 A 卷考试形式闭卷考核类型考试本试卷共四大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

）(注:请将选项填在下面表格里。

）1、dx x)11(⎰-=A ．21x C x -+ B ．21x C x++ C ．ln ||x x C -+ D ．ln ||x x C ++ 2、以下函数奇偶性不同于其他三项的是（）A ．33)(x x x f +=；B ． )1)(1()(+-=x x x x f ；C ．35)(x x x f -=；D ． x x e e x f -+=)(。

3、若'F (x)=f(x),则⎰=)(x dF ( )A ．f(x)；B ．F(x)； C. f(x)+C ；D ．F(x)+C 。

4、3232lim x x x +∞→= ( )A ．∞；B ．0；C ．31； D ．-1。

5、设函数)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且)()(x f x f -=如果当0>x 时，,0)('>x f 且,0)(">x f 则当0<x 时，曲线)(x f y =（）。

A ．递减，凸的； B.递减，凹的；C. 递增，凹的；D. 递增，凸的。

6、下列命题正确的是（）A. 驻点一定是极值点；B.驻点不是极值点；C. 驻点不一定是极值点；D. 驻点是函数的零点。

7、设22z x y xy =+，则zx ∂=∂A ．22xy y +B ．22x xy +C ．4xyD ．22x y +8、下面函数相同的一组是（） A.x y x y 2cos 1,sin -==； B. 2ln ,ln 2x y x y ==； C.x y x y lg 4,lg 4==； D.x x y y 23,3==。

2012-2013学年第一学期高数试卷A参考答案

2012-2013学年第一学期《高等数学》期末考试试卷A 参考答案适用专业：生物技术、社会工作、社会保障2012年级各1班本试卷共六大题， 100分一、填空题（每题3分，共15分）1.积分⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++1122111sin dx x x x x 2 2. 设函数22xy y x z +=，则=∂∂)1,1(x z 3 ，=∂∂)1,1(xz 3 . 3. 设参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin 1(t t y t t x 确定的函数)(x f y =.则==0t dx dy 0 . 4. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 21lim 2e 5. 函数)1ln(112-+-=x x y 的定义域为 x > 1二、选择题（每题3分，共15分）1. 关于函数6323+-=x x y 的极值点和极值的结论下面正确的是（ C ）A. 0极小值点，极小值为3B. 2是极大值点，极大值为2C. 0极大值点，极大值为6D. 2是极小值点，极小值为62. 设R x x x x f ∈+-=),1)(2()('则在区间()2,0内函数)(x f 是（ D ）A. 先增后减，拐点的横坐标为1B. 先增后减，拐点的横坐标为1.5C. 先减后增，拐点的横坐标为2D. 先减后增，拐点的横坐标为2.53. 由曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积为（ C ） A 2 B 1 C 31 D 32 4.函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ A ）。

A. 必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关的条件5. 若()()11-=-x x x f ，则()=x f （B ）A.()1+x xB.)2)(1(--x xC.()1-x xD.()12-x x三、计算题（共6小题，每题8分，）1若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰020sin 1)(023x x dt mt x x f x 在0=x 连续，求 m 的值.解： 22002303sin lim sin 1lim x mx dt mt x x xx →→=⎰ ………………………………………….….4分 3m =…………………………………………………………………………………….…...6分由连续，则2)0(3==f m …………………………………………………………………7分则6=m ………………………………………………………………………………………8分2.计算定积分：I=x x x d ln 51e 1⎰+. 解：I=x x x d ln 51e 1⎰+ )(ln d )ln 51(e 1x x ⎰+=................................................................2分 )ln 51(d )ln 51(51e 1x x ++=⎰.....................................................4分 []e x 1ln 512151+⨯=......................................................................6分21= ....................................................................8分3. 计算广义积分：I=⎰+∞∞-++26102x x dx 解：原积分=⎰+∞∞-++1)5(2xdx ………………………………………………………………………3分 []+∞∞-+=)5arctan(x ………………………………………………………………………4分)5arctan(lim )5arctan(lim +-+=-∞→+∞→x x x x ……………………………………………6分 πππ=--=)2(2…………………………………………………………………………8分4.计算二重积分：I=⎰⎰D dxdy y x 22 ，其中D 是由曲线2,2==x x y 所围成的闭区域.解：积分区域D ：x y x ≤≤≤≤0,20……………………………………………………………2分⎰⎰D dxdy y x22⎰⎰=x dy y x dx 02220………………………………………………………………4分 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003231dx y x x ………………………………………………………………5分 ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202731dx x ………………………………………………………………6分 20299231⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x ……………………………………………………………………7分 22732=……………………………………………………………………………8分5.已知)(x f 的一个原函数为x x sin ，计算I=⎰'dx x f x )(解：x x x x x x f cos sin )sin ()(+='=，…………………………………………………2分⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ……………………………………………………………..5分⎰-=dx x f x xf )()(………………………………………………………………..7分C x x +=cos 2……………………………………………………………………….8分6.设方程0=+-yx e e xy 所确定的隐函数为)(x f y =，求其在当0=x 时的切线方程.解两边同时对x 求导，注意y 是x 的函数，所以y e 是x 的复合函数，可得 0=+-+dxdy e e dx dy xy y x …………………………………………3分解得 yx e x y e dx dy +-=. ………………………………………5分当0=x 时，0=y ………………………………………6分10==x dxdy………………………………………7分则切线方程为y = x ………………………………………8分五、证明不等式：（本题7分）0>x 时， x e x +>1.证明：令)1()(x e x f x+-=，则0)0(=f …………………………………………2分当0>x 时，01)(>-='xe xf …………………………………………………………………4分则在区间),0[+∞，上)(x f 单调递增，所以0)0()(=>f x f ，…………………………………6分即 x e x+>1 ………………………………………………………………………………7分六、应用题（本题15分）某化肥厂生产某类化肥，假设生产的产品都能销售出去，其总成本函数为 23()1000600.30.001C x x x x =+-+ (元)销售该产品的需求函数为 x =p 320800-(吨), p 为价格，x 为销售量，问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价格为多少?解：设利润函数为)(x C xp y -=，203120x p -=………………………………………3分则)0(100060203001.0)001.03.0601000()203120()(2332>-++-=+-+--=-=x x x x x x x x x x C xp y …………………………8分令0='y ，即060103003.02=++-='x x y ………………………………………………12分解得200=x 为唯一驻点，由题意即为最大值点………………………………………………14分此时，价格90=p ………………………………………………15分。

部分高数一(微积分)2011-2012年自考试题及答案

全国2011年1月自学考试高等数学（一）试题课程代码:00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．函数f （x ）=2+x +ln （3-x ）的定义域是（ )A ．［-3，2］B ．［—3,2）C ．［-2，3)D ．［—2,3］2．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1sin x x x x k 在x =0处连续,则常数k 的取值范围为(） A ．k ≤0 B ．k 〉0C ．k 〉1D ．k >23．曲线y =2ln 33-+x x 的水平渐近线为( )A ．y =-3B ．y =-1C ．y =0D ．y =24．定积分⎰---11d 2e e x xx =（）A ．0B ．e 1C ．1D ．e5．若0),(,0),(0000==''y x f y x f y x ，则点（x 0，y 0)是函数f (x ,y )的( ）A ．极小值点B ．极大值点C ．最值点D ．驻点二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．已知2ln )1(222-=-x x x f ，则f （x ）=_________。

7．函数f （x ）=6512--+x x x 的间断点是_________.8．设函数y =sin （2x +2x ），则d y =_________。

9．极限x x x x ln 1lim 1-→=_________.10．曲线y =ln （1+x 2)的凹区间为_________.11．函数f (x )=2e x x 的单调减少区间是_________. 12．定积分⎰--222d 4x x =_________。

13．极限x t t x x ⎰→020d sin lim =_________.14．无穷限反常积分⎰∞-02d e x x =_________.15．设二元函数z =cos （2y -x ）,则yx z ∂∂∂2=_________. 三、计算题（一）（本大题共5小题,每小题5分，共25分）16．求极限xx x x sin 11lim 0--+→。

2013高数A1试卷A标准答案

ln b ln a

又由 a b.

ba ba ba b a
当 0 a b 时，
ba b ba ln b a a
4分
共2页第2页
3分
dy dx dt 3t 2 4t dt dx a cost dt
x2
14. 解：设 A lim f ( x), 则 f ( x) x3 3Ax.
3 分两端当 x 2 时取极限 2分
A 8 6A
15.
3分
可解得
8 24 A , 因此 f ( x) x 3 x. 5 5
S ( x 2 1 2 x)dx (
0
1
1 1 x3 x x2 ) 3 3 0
2分
五、19. 设 f ( x) x sin x 2cos x x, x [0, ]
3分
f ( x) sin x 0
f ( ) 0
3 分故 f ( x) 严格单调减少， f ( x ) f ( ) 0 得证 2分 4分 4分
Hale Waihona Puke x122 1 2 2 sin( 3)dx sin( 3)d ( 3) x 2 x x
1 2 cos( 3) C 2 x
4分 4分
16、

2
0
0 1 dx 1 0 1 x f ( x 1)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 1 e dx 0 1 x
1
1
0
4分
e x |0 1 ln(1 x ) 0 1 e1 ln 2
四、17. V r h