D6.2.3多元复合函数求导的链式法则解读
多元复合函数的求导法则
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x
多元复合函数求导的链式法则
多变量函数的导数定义为所有偏导数 的线性组合，即全导数。
链式法则的推导过程
链式法则推导
链式法则是基于复合函数的求导 法则和单变量、多变量函数的导 数定义推导出来的。
链式法则公式
如果$u = g(x)$是一个单变量函 数，$f(u)$是一个多变量函数，则 $f(g(x))$的导数为$f'(u) cdot g'(x)$。
链式法则在数学分析、微积分、偏微分方程等领域中都有重要的应用，是解决复杂数学问题的关键技术 之一。
多元复合函数求导的链式法则的未来发展方向
01
随着数学理论和计算机技术的不断发展，链式法则的应用前景将更加广阔。未 来可以进一步探索链式法则在机器学习、数据科学、数值分析等领域中的应用 ，以解决更为复杂的实际问题。
02
随着高维数据的不断涌现，如何高效地处理高维数据成为一个重要的研究方向 。链式法则在高维数据处理和分析中具有潜在的应用价值，未来可以进一步挖 掘其应用潜力。
03
链式法则的证明和推导过程可以进一步优化和简化，以提高其在数学教育和实 际应用中的可操作性。同时，可以探索更加直观和易于理解的方法来解释链式 法则的原理和证明过程，以促进其在数学领域中的普及和应用。
实际问题的链式求导
总结词
实际问题的链式求导需要将数学模型与实际问题相结 合，通过建立数学模型并应用链式法则来求解实际问 题。
详细描述
在解决实际问题时，如物理、工程和经济等领域的问 题，我们常常需要建立数学模型来描述问题。在这些 模型中，变量之间通常存在复杂的依赖关系，需要利 用链式法则对模型进行求导，以分析模型的性质和求 解相关问题。例如，在经济学中，对需求函数进行求 导可以分析价格变动对需求量的影响；在物理学中， 对弹性势能函数进行求导可以分析弹性体的位移和应 力分布。
多元函数的求导法则-精选
z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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主讲人： 苏本堂
例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可 点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]
多元复合函数求导的链式法则
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1
z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y
z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。
第四节多元复合函数的求导法则
第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。
在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。
多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。
根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。
例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。
根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。
3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。
偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。
同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。
总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。
通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。
在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。
这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。
求复合函数偏导数的链式法则解
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
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§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
多元复合函数求导
多元复合函数求导
求多元复合函数的导数是高等数学中的重要内容，在解决实际问题的过程中，求导也起着重要的作用。
让我们一起来看下多元复合函数求导的相关知识，解决多元复合函数求导的问题。
多元复合函数是将不同多元函数按照一定方式链接起来形成的函数式。
它属于高等数学中的复杂函数类型，也是实际问题的体现，在解决实际问题的过程中，求解多元复合函数是重要的任务。
首先，多元复合函数的求导需要使用泰勒公式，它是一个递推公式，用于求多元函数的导数，它可以表达为：f'(x) = f'0(x) +f'1(x) +f'2(x)..。
其中，f'0(x) 为函数的最简项导数，
f'1(x)为函数的一阶项导数，f'2(x)为函数的二阶项导数，以此类推，泰勒公式可以求多元函数的任意阶项导数。
其次，当多元复合函数中只含有一元函数时，可以使用链式法则来求导。
链式法则指的是在求多元复合函数导数的过程中，先求出各函数的导数，再将导数串联起来，即可求出多元复合函数的导数。
最后，还有一类多元复合函数叫做合成函数，它的求导也可以使用链式法则。
因为合成函数的求导也是将不同的函数将层层合成，使用链式法则可以求出它的导数。
总结以上所述，求多元复合函数的导数主要有三种方法，分别是泰勒公式、链式法则和合成函数链式法则。
每种方法都有它自身的特点，在使用时也应该适当利用它们可以找到正确的答案。
这就是关于求多元复合函数导数的知识，希望上述内容能够对您有所帮助。
4多元复合函数的求导法则
4多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则可以通过链式法则来进行推导和应用。
链式法则是微积分中一种基本的求导法则，用于求解复合函数的导数。
在多元函数的情况下，链式法则也同样适用。
1.一元函数的链式法则首先回顾一下一元函数的链式法则。
对于一个一元函数f(g(x))，其中g(x)是x的函数，我们可以使用链式法则求导：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)这个法则的核心思想在于，我们把函数f的导数与待求函数对x的导数相乘。
2.二元函数的链式法则推广到二元函数的情况，假设我们有一个二元函数z=f(x,y)，其中x 是自变量，y是中间变量。
我们可以通过链式法则来求导。
首先，我们考虑z关于x的偏导数，记作∂z/∂x。
由链式法则可得：∂z/∂x = (∂f/∂x)(dx/dx) + (∂f/∂y)(dy/dx)由于dx/dx=1，dy/dx是变量关于中间变量的导数，我们可以令∂z/∂x 简化为：∂z/∂x = (∂f/∂x) + (∂f/∂y)(dy/dx)同理，我们也可以求z关于y的偏导数∂z/∂y：∂z/∂y = (∂f/∂x)(dx/dy) + (∂f/∂y)(dy/dy)由于dy/dy=1，dx/dy是变量关于中间变量的导数，我们可以令∂z/∂y简化为：∂z/∂y = (∂f/∂x)(dx/dy) + (∂f/∂y)3.多元函数的链式法则如果函数z与多个自变量有关，即z=f(x1, x2, ..., xn)，我们可以使用类似的方式计算其偏导数。
对于z关于x1的偏导数∂z/∂x1，我们需要乘以x1关于中间变量的导数。
具体来说，我们可以写出：∂z/∂x1 = (∂f/∂x1)(dx1/dx1) + (∂f/∂x2)(dx2/dx1) + ... +(∂f/∂xn)(dxn/dx1)同理，我们也可以对z关于其他自变量求偏导数，得到类似的表达式。
4.链式法则的应用链式法则在实际问题中有广泛的应用，特别是在多元函数的求导计算中。
多元复合函数求导法则
例 3 设z uv sint ，而u et，v cos t ，
求全导数 dz . dt
u z vt
解 d zzd uzd vz t
dtudtvdtt
vte u sit n co t s
e tcto e tsti n ctos
et(cto ssit)n co t. s
编辑版pppt
11
eu(ysivn co v)s, z
vy
z y
z u
u y
z v v y
e u sv ix n e u cv o 1 s eu(xsivn co v)s.
编辑版pppt
8
链式法则的规律：“连线相乘，分线相加”
设 u(x,y),v(x,y),w(x,y)
都在点 (x, y) 具有偏导数，zf(u,v,w)在
d u d (x y ) y d x x d y ,d v d (x y ) d x d y ,
d z ( e u c o s v y e u s i n v ) d x ( e u c o s v x e u s i n v ) d y dzzdxzdy e x y [y c o s (x y ) s in (x y )]d x
编辑版pppt
14
dzzdxzdy x y
u zu xvzxvdxuzu yvzvydy
zudxudy ux y
zvdxvdy vx y
z du z dv . u v
编辑版pppt
15
例5 设 z eucosv,而 u x y ,v x y ,
求 z ,z .
x y
解 dzd(eucosv) eu c o sv d u eu ( sin v)d v
复合函数求导中链式法则的新型理解
222020年第 5 期下复合函数求导中链式法则的新型理解李安玭一、复合函数的求导公式定理[1] 如果()u g x =在点x 可导，而()y f u =在点()u g x =可导，那么复合函数[()]y f g x =在点x 可导，且其导数为:()()dyf ug x dx′′=⋅或dy dy du dx du dx =⋅.这是一元复合函数的求导公式，即链式求导法则。
链式法则是隐函数、反函数以及参数方程式函数求导法的基础，对于微积分后续内容的学习有着至关重要的作用。
另一方面，链式法则的关键在于如何选取中间变量，复合函数特别是多元复合函数中间变量及自变量的复杂性，使得复合函数的求导法又成为高等数学课程的难点之一。
二、复合函数求导中常见的问题一元复合函数求导是求导运算中的基础，能够熟练地对一元复合函数进行求导，是学习二元甚至多元复合函数的偏导数以及积分等重要知识点的前提。
然而，学生在对一元复合函数进行求导时经常出现以下几种类型的问题：（一）是求导不全比如：2(sin 3)2sin 3cos3,x x x ′= 这类问题源于对基本初等函数的概念理解不透彻，导致复合函数拆分不到位。
（二）是复合运算概念模糊比如：将2sin x x 看成是由2x 与sin x 复合的函数，对其进行错误拆分，错误地运用链式法则进行计算：22(sin )()(sin )2cos x x x x x x ′′′==，出现这类问题的根本原因是没有真正理解复合运算的概念，同时没能将复合运算与混合复合函数求导是高等数学与微积分教学中的重难点，而对于复合函数的拆分与链式法则的理解是求导的关键所在，复合函数求导是高等数学与微积分中重要模块之一，它与其他模块的知识紧密联系、不可分割。
但也因此，许多学生因为没能掌握好复合函数求导的技巧与方法，导致后面的学习非常吃力，难以理解积分、多元复合函数的偏导数和高阶混合偏导数等知识点。
而对于复合函数求导，关键的是要掌握对复合函数的拆分方法，这也是对链式法则的理解与运用。
复合函数链式求导法则
思考题解答
不相同. 不相同
的函数， 等式左端的 z 是作为一个自变量x 的函数，
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 u , v, x 的 三 元 函 数 ，
写出来为
dz dx
x
∂f = ∂u
du ∂f ( u ,v , x ) ⋅ x + dx ∂v
dv ( u ,v , x ) ⋅ dx
u v w
x
y
特殊地 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
w = y,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
∂w = 1. ∂y
区 别 类 似
∂ z ∂f ∂ u ∂ f = ⋅ + , ∂x ∂u ∂ x ∂ x
dz 三、设 z = arctan(xy ) ,而 y = e ,求 . dx
x
四、设 z = f ( x 2 − y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导
∂z ∂z 数),求 , . ∂ x ∂y ,(其 五、设 u = f ( x + xy + xyz ) ,(其中f具 有一阶连续偏导 ∂u ∂u ∂u ),求 数),求 , , . ∂x ∂y ∂z x ,(其 有二阶连续偏导数), ),求 六、设 z = f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y ∂2z ∂2z ∂2z , , 2. 2 ∂x ∂x∂y ∂y
∂2z 八、 2 = φ 11 (1 + ϕ ′ ) 2 + φ 1ϕ ′′, ∂x ∂2z = φ 11 (ϕ ′ ) 2 − φ 12ϕ ′ + φ 1ϕ ′′ − φ 21ϕ ′ + φ 22 . ∂y 2
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
复合函数链式求导法则
复合函数链式求导法则复合函数的求导法则是导数链式法则的应用。
在微积分中，给定函数f(x)和g(x)，复合函数可以表示为h(x)=f(g(x))。
求导求解的是h'(x)的值。
1.隐式表示法：如果函数h(x)=f(g(x))可以表示为一个或多个函数的复合，则h(x)的导数可以通过以下方式来求解：h'(x)=f'(g(x))*g'(x)2.显式表示法：如果函数h(x)=f(u)和u=g(x)可以表示为一个或多个函数的复合，则h(x)的导数可以通过以下方式来求解：h'(x)=f'(u)*g'(x)其中，f'(u)表示对f(u)求导，并且u是一个中间变量。
这个复合函数链式求导法则的核心思想是将求导过程拆分成两个步骤。
第一个步骤是对外层函数f(u)进行求导，第二个步骤是对内层函数u=g(x)进行求导。
两个求导结果相乘就得到了复合函数的导数。
下面通过几个例子来解释和应用复合函数链式求导法则：例子1：已知h(x)=(2x+1)²，求h'(x)。
首先令u=2x+1，则h(x)=u²。
对u=2x+1求导得到u'=2对h(u)=u²求导得到h'(u)=2u。
根据复合函数链式求导法则：h'(x)=h'(u)*u'=2u*2=4u=4(2x+1)=8x+4例子2：已知 p(x) = sin(2x + 1)，求 p'(x)。
令 u = 2x + 1，则 p(x) = sin(u)。
对u=2x+1求导得到u'=2对 p(u) = sin(u) 求导得到 p'(u) = cos(u)。
根据复合函数链式求导法则：p'(x) = p'(u) * u' = cos(u) * 2 = 2cos(2x + 1)。
例子3：已知f(x)=√x²+1，求f'(x)。
复合函数的链式法则
复合函数的链式法则复合函数是数学中一个重要的概念，它描述了多个函数组合而成的新函数。
而链式法则则是用于求解复合函数导数的一种方法。
本文将围绕复合函数的链式法则展开，详细介绍其原理和应用。
一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数通过函数的输出作为另一个函数的输入而组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。
复合函数的性质包括：1. 复合函数的定义域是使得内层函数的输出在外层函数的定义域内的那些实数。
2. 复合函数的值域是使得内层函数的输出在外层函数的值域内的那些实数。
3. 复合函数满足结合律，即f(g(h(x))) = (f∘g)∘h(x) = f(g(h(x)))。
二、复合函数的导数求解复合函数的导数是微积分中的重要问题之一。
对于复合函数f(g(x))，我们需要求解它的导数f'(g(x))。
根据链式法则，可以将复合函数的导数表示为两个函数导数的乘积。
具体来说，设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
根据链式法则，这两个导数的乘积即为复合函数的导数。
三、链式法则的推导为了推导链式法则，我们先考虑函数y=f(u)对u的导数dy/du。
根据微分的定义，当u变化一个很小的量du时，函数y=f(u)相应地变化了一个很小的量dy。
因此，可以得到以下近似关系：dy ≈ f'(u) * du将上述关系两边同时除以du，可得：dy/du ≈ f'(u)由此可见，当u的变化量du趋近于0时，dy/du趋近于f'(u)。
这就是函数y=f(u)对u的导数的定义。
接下来，我们考虑函数u=g(x)对x的导数du/dx。
同样地，当x变化一个很小的量dx时，函数u=g(x)相应地变化了一个很小的量du。
求导 链式法则
求导链式法则链式法则是数学中一个重要的概念，它是求解复杂算式的基础。
它可以将一个复杂的微分方程化为求一系列简单的微分，从而让求解变得简单。
链式法则的概念比较重要，下面将对它进行讲解。
什么是链式法则？链式法则是指将复杂微分算式用简单的方式求解，即将复杂的求导变成一系列简单的微分问题，从而获得最终结果。
其中需要用到微积分中的多元函数，还有复合函数、复合极限和偏导数等概念。
在说明链式法则的原理之前，有必要先对它的定义有一个清楚的了解。
链式法则的定义：链式法则是指，如果有一个复合函数f(x) = g(h(x))，那么f的导数可以用链式法则表示为：f(x) = g(h(x)) h(x)其中，g(x)代表g函数的导数，h(x)代表h函数的导数。
链式法则的特点：1、链式法则可以将复杂的求导问题分解为简单的求导问题，从而让求解变得更容易。
2、链式法则也可以让我们省去求解许多复杂的算式的步骤，从而更有效地求解问题。
3、链式法则的关键在于，我们可以根据不同的函数，比如多项式、指数函数和对数函数等等，分别计算每个函数对应的导数，然后将每个导数乘在一起，就可以求出整个复合函数的导数了。
运用链式法则求导的具体步骤：首先，我们要根据函数求出每个函数的导数，并将它们在乘号两边分开。
其次，把乘号变为乘除号，然后将整个式子转换为关于x的式子，这时候系数不变，变量也不变，变的只是符号。
最后，将每个变量的对应的系数乘起来，就得到了最终的复合函数的导数。
链式法则的运用：在实际应用中，链式法则可以用来计算复合函数的导数，还可以求解一般复杂的求导问题。
例如，当需要计算一个多项式f(x) = x^7 + 2x^5 4x^3 + 6的导数时，我们可以使用链式法则，从而获得f(x) = 7x^6 + 10x^4 12x^2的结果。
总结：以上就是关于链式法则的相关介绍，链式法则是一个重要的概念，它可以用来将复杂的微分问题分解成简单的微分问题，从而更有效地求解问题。