直线与圆的位置关系PPT
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
直线和圆的位置关系-PPT课件
l 这时的直线叫切线，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
第18讲直线与圆的位置关系复习课件(共41张PPT)
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(－5， 0)，
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横 坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的 半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离．
全效优等生
图6－18－7
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解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，
变式跟进6答图
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
全效优等生
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∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD
＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
例4答图
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
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(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
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切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决 图中有关相切问题的常用辅助线．
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横 坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
全效优等生
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直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的 半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离．
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图6－18－7
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解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，
变式跟进6答图
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
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∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD
＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
例4答图
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
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(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
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切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决 图中有关相切问题的常用辅助线．
2.5.1 直线与圆的位置关系(共27张PPT)
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
2
,求圆C的标准方程.
解:(1)由已知得:
2x-y-3 = 0,
x = 2,
解得
y = 1,
4x-3y-5 = 0,
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
|2-1--1|
心(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=
当
当
当
1+2
=
|-2|
1+2
.
4
d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
3
4
d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
4
d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
轴,建立直角坐标系,设圆心为 C,水面所在弦的端点为 A、
B,则由已知得 A(6,-2).
设圆的半径为 r,则 C(0,-r),即圆的方程为
x2+(y+r)2=r2.①
将点 A 的坐标为(6,-2)代入方程①,解得 r=10.
∴ 圆的方程为 x2+(y+10)2=100.②
当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),
当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线
直线与圆的位置关系PPT教学课件
即 (x 2)2 ( y 1)2 25
P134 A2 （2）
解：AB中点为（2，5）
AB 中垂线中垂线方程为x=2 52
kBC 5 6 7
设AB 的中垂线的斜率为k
k kOA 1
BC中点为
11 2
k
,
3 2
1 7
A(-1,5) O
y
(2,5)
E 2
B(5,5)
x
C(6,-2)
OA 中垂线中垂线方程为
A. ②④ C. ①③
√ B. ①②④ D. ①②③
3、汉武帝“独尊儒术，主要是利用儒家的 :（2002年高考题）
A. “已所不欲，勿施于人”的主张 B. “民贵君轻”的思想
√C. “性善论” D. “大一统”思想
假如有一台时光倒流机，让你 回到西汉王朝，你有幸参见汉武帝 ，你会说什么？
发表高见
β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
线面垂直
▪ 正方体中包含了丰富的线面关系
线面垂直关系——棱和侧面垂直
D1
C1
A1
B1
D A
C B
D1 A1
C1 B1
D
C
BC1 B1C
BC1 A1B1 B1C A1B1 B1
A
B1C
平面A1B1CD
BC1 BC1
B
平面A1B1CD 平面ABC1D1
y 3 1 (x 11) 27 2
联立两条直线方程
y
3
1
(x
11)
27 2
x 2
x y
2 1
圆心2，1 半径r | OB | 5
P134 A2 （2）
解：AB中点为（2，5）
AB 中垂线中垂线方程为x=2 52
kBC 5 6 7
设AB 的中垂线的斜率为k
k kOA 1
BC中点为
11 2
k
,
3 2
1 7
A(-1,5) O
y
(2,5)
E 2
B(5,5)
x
C(6,-2)
OA 中垂线中垂线方程为
A. ②④ C. ①③
√ B. ①②④ D. ①②③
3、汉武帝“独尊儒术，主要是利用儒家的 :（2002年高考题）
A. “已所不欲，勿施于人”的主张 B. “民贵君轻”的思想
√C. “性善论” D. “大一统”思想
假如有一台时光倒流机，让你 回到西汉王朝，你有幸参见汉武帝 ，你会说什么？
发表高见
β
a l
A α
a
l
a
a l
面面垂直线面垂直
线面垂直
▪ 正方体中包含了丰富的线面关系
线面垂直关系——棱和侧面垂直
D1
C1
A1
B1
D A
C B
D1 A1
C1 B1
D
C
BC1 B1C
BC1 A1B1 B1C A1B1 B1
A
B1C
平面A1B1CD
BC1 BC1
B
平面A1B1CD 平面ABC1D1
y 3 1 (x 11) 27 2
联立两条直线方程
y
3
1
(x
11)
27 2
x 2
x y
2 1
圆心2，1 半径r | OB | 5
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利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
设方程组(AxxaB)2y(Cy
0 b)2
r2
的解的个数为n
△<0
△=0 △>0
n=0
直线与圆相离
n=1
直线与圆相切
n=2
直线与圆相交
直线圆的位置关系
7 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
几何法：
直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共 解 个数判断；
方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的 大小关系判断.
直线圆的位置关系
5 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如 何？
1.把直线方程化为一般式,并求出圆心坐标和半径r ；2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；
aA bB C d
A2 B2
3.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r
直线与圆相离
d=r
直线与圆相切
d<r
直线与圆相交
直线圆的位置关系
8 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
21 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
思考4:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2外一点，过点M作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程如何？
解：设A(x1, y1), B(x2, y2 )
y
M
则lAP : x1x y1 y r 2 , lBP : x2 x y2 y r 2
直线圆的位置关系
1 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风 预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长 为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的圆 ，判x2断直y线2 l 2与y圆的4 位 0置关系；如果相交，求它们交点的
坐标．
解法二：圆 x2 y2 2y 4 0可化为 x2 ( y 1)2 5.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C （0，1）到
代数法
1.将直线方程与圆方程联立成方程组；
2.通过消元，得到一个一元二次方程； 3.求出其判别式△的值； 4.比较△与0的大小关系：
直线圆的位置关系
6 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线 与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．
港口
台风
轮船
直线圆的位置关系
2 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定
思考1:在平面几何中,直线与圆的位置关系有几种？ 思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的 位置关系？
d r
d<r
直线圆的位置关系
d r
D=r
3 of 23
52 ( 4 5 )2 5 即圆心到所求直线的距离为 5 ．
2 因为直线l 过点 M (3,，3)
所以可设所求直线l 的方程为：y 3 k(x 3) kx y 3k 3 0
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
d | 2 3k 3 | k2 1
A
x1x0 x2 x0
y1 y0 y2 y0
r2 r2
(1) ( 2)
o
x
B
由(1)说明点(x1, y1)在直线x0 x y0 y r 2上 由(2)说明点(x2 , y2 )在直线x0 x y0 y r 2上
lAB : x0x y0 y r2
x0x+y0y=r2
直线圆的位置关系
22 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
THANK YOU！
XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
直线圆的位置关系
23 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
直线 l 的距离
d |3016| 5 5
32 12
10
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
直线圆的位置关系
15 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
典型例题
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 0和圆心为C的圆 ，判x2断直y线2 l 2与y圆的4 位 0置关系；如果相交，求它们交点的
坐标．
解： 由 x2 3x 2 0 ，解得： x1 2, x2 1
把 x1 2,代x2入方1程①，得 y1 0 ； x1 把2, x2 1代入方程① ，得 y2 3．
所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：
A（2，0），B（1，3）
直线圆的位置关系
坐标．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0, x2 y2 2y 4 0. 消去y，得： x2 3x 2 0
因为： (3)2 4 1 2
=1>0 所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
直线圆的位置关系
14 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
y 1 7(x 2) 或 y 1 (x 2) 即 7x y 15 0 或 x y 1 0 .
直线圆的位置关系
12 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
例2 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的圆 ，判x2断直y线2 l 2与y圆的4 位 0置关系；如果相交，求它们交点的
判断直线与圆 的位置关系
直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解，有几个解．
直线圆的位置关系
判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系（大 于、小于、等于）．
20 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
作业:P132习题4.2A组：2，3，5．
直线圆的位置关系
直线圆的位置关系
10 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
思考3:设点M(x0，y0)为圆 x2＋y2=r2外一点 ，如何求过点M的圆的切线方程？
y
M
o
x
直线圆的位置关系
11 of 23
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线， 切点为A、B。求切线直线PA、PB的方程；
XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
思考题：求过点P（2，1），圆心在 直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0相切 的圆方程.
y
2x+y=0 P
o
X
直线圆的位置关系
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XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
知识小结
有无交点，有几个．
：
两边平方，并整理得到：2k 2 3k 2 0
解得 k 1，或k 2
：
2
所以，所求直线l有两条，它们的方程
分别为：
y 3 1 (x 3) 2
或
y 3 2(x 3)
即: x 2y 9 0,或2x y 3 0
直线圆的位置关系
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XXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
例3 已知过点 M (3,3)的直线被圆x2 y2 4y 21 0
所截得的弦长为 4 5，求直线的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得：x2 ( y 2)2 25
如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ，所以弦心距为
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
组长：
XXX
小组成员： XXX
XXX
XXX
XXX
问题提出
小组的名字
1、点到直线的距离公式,圆的标准方程和一 般方程分别是什么？
d | Ax0 By0 C | A2 B2
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
坐标．
分析：方法一，判断直线l与圆的 位置关系，就是看由它们的方程组成 的方程组有无实数解；
方法二，可以依据圆心到直线的距 离与半径长的关系，判断直线与圆的 位置关系．
直线圆的位置关系
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典型例题
例1 如图，已知直线l： 3x y 6 和0 圆心为C的圆 ，判x2断直y线2 l 2与y圆的4 位 0置关系；如果相交，求它们交点的