【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件：第四章 第一节平面向量的概念及其线性运算

【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向
量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但
当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.
【变式训练】(1)在△ABC中， AC ＝b，若点D满足 AB ＝c，
BD ＝2DC ，则 AD ＝(
)
(A) 2 b 1 c
3 3 (C) 2 b 1 c 3 3
3.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( (A) EF ＝OF ＋OE (C) EF OF OE (B) EF OF OE (D) EF OF OE )
【解析】选B. EF ＝EO ＋OF ＝OF －OE .
4.如图，正六边形ABCDEF中，
BA ＋CD ＋EF＝(
a与b可为任意向量，不一定共线.综上①②③都不正确. 答案:①②③
【拓展提升】平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 . (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 .解题时 不要把它与函数图象的平移混为一谈. (3)
a a 是与a同向的单位向量， 是与a反向的单位向量. |a| |a|
又 AG AC CG AC mCF = AC m (CA CB)
2
= 1 m AC m AB m a 1 m b ,
2 2
m 1 λ , 2 解得λ=m= 2 ， ∴ 3 1 m λ , 2
∴ AG 1 a 1 b .
∴k＝ 1 ，λ＝－ 1 .
2
答案:－ 1
2
2
考向1 平面向量的有关概念
【典例1】(1)下列命题中： ①时间、速度、加速度都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③所有的单位向量都相等； ④共线向量一定在同一直线上. 其中真命题的个数是( (A)0 (B)1 ) (D)3
(C)2
(2)(2013²广州模拟)下列结论中，不正确的是(
形法则；
②平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为 邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线 OC 就是a与b的和，这种 作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则；
③向量加法的几何意义：如图所示.
(2)向量的减法 (-b) 即减去一个向量相当于加上这个向 ①定义：定义a-b=a+____,
③若|a|=|b|,则a∥b；④若a=b，则|a|=|b|.其中正确的个数
是(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选A.①中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一 定相同，故不一定相等；②中两向量的模相等，但方向不一定 相同，故这两向量不一定相等；③中两向量的模相等，但两向 量不一定共线；④中两向量相等，则模一定相等，故正确．
【思路点拨】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解． (2)将向量 AC 分解为以点P为起点的两向量的差，然后化简即 可. (3)结合图形，利用向量加法将 AG 表示为相关向量的线性运算 式.
【规范解答】(1)选A.∵ AB ＋BC ＋CA＝0，
∴ 2AD ＋2BE ＋2CF ＝0，
即 AD ＋BE ＋CF＝0.
第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
1.向量的有关概念
大小 ，又有_____ 方向 的量叫做向量. (1)定义：既有_____
(2)表示方法：
①用字母表示：a,b,c；
②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示：如 AB,CD, 大小 ，箭头所指的方向表示 其中有向线段的长度表示向量的_____ 方向 向量的_____.
1.D是△ABC的边AB上的中点，则向量 CD 等于( (A)－BC＋ 1 BA
2
)
(B) －BC 1 BA
2
(C) BC 1 BA
2
(D) BC 1 BA
2
【解析】选A.如图，
1 1 CD＝CB ＋BD＝CB ＋ BA＝－BC ＋ BA. 2 2
2.判断下列四个命题：
①若a∥b，则a=b；②若|a|=|b|，则a=b；
(B) BD－CF ＋DF ＝0
(C) AD ＋CE－CF ＝0
(D) BD－BE－FC ＝0
(2)(2013²泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，
且 PA＋PB ＋PC ＝AC ，那么一定有(
(A) PB ＝2CP (C) AP＝2PB (B) CP＝2PB (D) PB ＝2AP
)
(3)(2013²湛江模拟)在△ABC中， E，F分别为AC，AB的中点，BE与 CF相交于G点，设 AB =a， AC =b，试 用a,b表示 AG .
3 3
【拓展提升】向量线性运算的注意点
(1)一个关系
①当向量a,b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且
满足|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|；
②当a,b共线同向时，则a+b的方向与a,b的方向都相同，且
|a+b|=|a|+|b|；
③当a,b共线反向时，若|a|>|b|，则a+b与a同向，且
(2)选D.由题意得 PA＋PB ＋PC ＝PC －PA ，
即 PB ＝－2PA＝2AP .
(3)设 BG λBE， CG mCF (λ，m＞0)，则
AG AB BG
= AB λ BE AB λ (BA BC)
2 = (1 λ )AB λ (AC AB) 2 2 = 1 λ AB λ AC 1 λ a λ b . 2 2
(2)运算律：设λ ，μ 是两个实数，则 λ ( μ a ) λ μ ) a； ①________=( λ a+ μ a ； ②(λ +μ )a=_________ λ a+ λ b ③λ(a+b)=________. 5.共线向量定理 b= λ a 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ ,使______.
不正确.综上选A.
(2)选D.向量的共线与向量的平行是同义的，故A正确；根据相
反向量的概念可得B正确；由向量相等的概念可知C正确；当两
向量的模相等时，方向不一定相同.故D不正确.
(3)①不正确，虽然终点相同，但两个向量也
可能不共线，如图，a,b即不共线；②不正确，
向量不能比较大小；③不正确，当λ=μ=0时，
)
(A)0
(B) BE
(C) AD
(D) CF
【解析】选D. BA＋CD ＋EF ＝CD DE ＋EF ＝CE ＋EF ＝CF .
5.设a,b是两个不共线的向量，且向量a+λ b与2a-b共线， 则λ ＝_______.
＝2k， 1 【解析】由题意知a+λb=k(2a-b)，则有 λ＝－k，
(3)模：向量的长度 ____叫做向量的模，记作|a|,|b|或 AB ， CD .
2.特殊向量
名 称 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 相反向量 说 明 0 的向量，其方向是_______ 任意的 ，记作0 长度等于__ 1个单位 的向量 长度等于________ 相同或相反 的非零向量，又叫共线向量， 方向___________ 规定：0与任一向量共线
(4)正确.当|a|=|b|时，说明a,b的模相等，与方向无关.故正
确.
(5)正确.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点 指向最后一个向量终点的向量，故正确. (6)错误.当a=0且b=0时，则实数λ可为任意实数，故不唯一；
当a=0且b≠0时，λ不存在.故不正确.
答案:(1)〓 (2)√ (3)〓 (4)√ (5)√ (6)〓
相同 的向量 长度相等且方向_____
相反 的向量 长度相等且方向_____
3.向量的加法与减法 (1)向量的加法
①三角形法则：已知非零向量a,b,在平面内任取一点A，作
a+b 即____ a+ b AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作____,
= AB BC AC ,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角
(2)给出下列命题： ①若A，B，C，D是不共线的四点，则 AB ＝DC 是四边形ABCD为 平行四边形的充要条件；
②0²a=0；
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；
④若a与b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等．
其中正确命题的序号是_______．
【解析】①正确；②一方面，数乘向量的结果为向量，而不是
【变式训练】(1)设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则 下列表示形式中正确的是( (A)e= a
|a|
)
(B)a=|a|e
(C)a=-|a|e
(D)a=±|a|e
a 【解析】选D.对于A，当a=0时， 没有意义，错误；对于B， |a|
C，D当a=0时，选项B，C，D都对；
当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”). (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量.( ) ) )
(2)两向量不能比较大小.(
(3)若向量a,b共线，则向量a,b的方向相同或相反.( (4)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.( (5) AB BC CD AD .( ) )
(B) 5 c 2 b
3 3 (D) 1 b 2 c 3 3
【解析】选A.∵ BD＝2DC ，∴ AD －AB ＝2(AC －AD) ， ∴ 3AD＝2AC ＋AB , ∴ AD＝ 2 AC＋1 AB＝ 2 b＋1 c.