人教A高中数学选修2-2精刷题课件：第1章导数及其应用 1.4 课时作业10

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人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用夯实基础第二节导数的计算(共54张PPT)教育课件

心
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你
可
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说
知识点3 利用导数求曲线的切线方程答案
知识点3 利用导数求曲线的切线方程

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(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数的增量

人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用(一)

1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±f n)′＝□17f1′±f2′±…±f n′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf (x )±ng (x )]′＝□18mf ′(x )±ng ′(x )(m ，n 为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，当a ＝e 时，e x 的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x ·log a e ，当a ＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( ) (2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( ) (3)若f (x )＝－1x ，则f ′(x )＝12x x.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝________. (2)(2x )′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________. 答案 (1)－3x 4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3探究1 利用导数公式及运算法则求导例1 求下列函数的导数．(1)y ＝5x 3；(2)y ＝log 5x ；(3)f (x )＝(x ＋1)2(x －1)；(4)f (x )＝2－2sin 2x2；(5)f (x )＝e x ＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(5x 3)′＝(x35 )′＝35x －25 ＝355x 2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.(3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x .(5)解法一：f ′(x )＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.解法二：因为f (x )＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝2′(e x －1)－2(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数． (1)y ＝13x 2；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x － 23 )′＝－23x －23－1 ＝－23x － 53 .(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2 ＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2.探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解] 因为(e x )′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，所以所求切线方程为y －e x 0＝e x 0 (x －x 0)．因为切线过原点，所以－e x 0＝－x 0·e x 0，x 0＝1. 所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究] 已知点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. y ′＝(e x)′＝e x，e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′| x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12，所以切点为M⎝⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.探究3导数的综合应用例3已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】已知f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，当x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．解f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①若－b≤－1，即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，即1－2b＋c＝－1，②由①②，解得b＝14，不满足b≥1，应舍去．若－1＜－b＜3，即－3＜b＜1，则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，即b2－2b2＋c＝－1，③由①③，解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.若－b≥3，即b≤－3，f′(x)在[－1,3]上是减函数，所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，即9＋6b＋c＝－1，④由①④，解得b＝－94，不满足b≤－3，应舍去．综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求y＝x·x的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y＝x·x＝x 32，再求y′＝32x12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．已知函数f(x)＝5，则f′(1)等于()A．5 B．1 C．0 D．不存在答案 C解析因为f(x)＝5，所以f′(x)＝0，所以f′(1)＝0.2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为()A．3x2＋3x B．3x2＋3x·ln 3＋1 3C．3x2＋3x·ln 3 D．x3＋3x·ln 3 答案 C解析(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)＝13的错误，∵f(x)＝x3＋3x＋ln 3，∴f′(x)＝3x2＋3x·ln 3.3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1，故填1.5.已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值．解设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .。

(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.4

第一章导数及其应用
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解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<0，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上递减．故当 x＝9 时，y 有最大值．
答案： C
数学选修2-2
C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
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第一章导数及其应用
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第一章导数及其应用
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1．4 生活中的优化问题举例
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第一章导数及其应用
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第一章导数及其应用
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解析： (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝3x＋k 5，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x ＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．

人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用

1．1.3导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝□01f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的□02切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝□03limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的□04斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是□05 f′(x0)．相应地，切线方程为□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的□07导函数(简称□08导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝□09lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(3)导函数也简称导数．(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．(3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________.答案(1)45°(2)x＋y－3＝0(3)2x探究1求切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[解]易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[条件探究]将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？[解]∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)．由本例知k＝f′(x0)＝3x20＋2，切线方程为y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)．又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)．又∵y0＝x30＋2x0－1得x30＝－1，即x0＝－1，∴切线方程为5x－y＋1＝0.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线．解(1)∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x2·Δx＋3x·(Δx)2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20，故切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x30＝3x20(1－x0)，即2x30－3x20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴k ＝3或k ＝34. 故所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y －1＝34(x －1)，即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. 探究2 利用导数求切点坐标例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2上哪一点的切线． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0. [解] 因为f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．[结论探究] 在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°. [解] 由例题解析过程知f ′(x )＝2x ，因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【跟踪训练2】已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°； (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 解设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．探究3 导数几何意义的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] 因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，所以Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝3x 20＋2ax 0－9，所以f ′(x 0)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，所以该切线斜率为－12.所以－9－a 23＝－12，解得a ＝±3，又a <0，所以a ＝－3.(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x0处的导数f′(x0)并求出其最小值，建立等量关系求出a的值，再根据a<0这一条件对结果进行取舍．【跟踪训练3】已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝13x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．(1)求直线l的方程；(2)求以点F为焦点，直线l为准线的抛物线C的方程．解(1)因为y′＝limΔx→0ΔyΔx＝13(x＋Δx)3－4(x＋Δx)＋4－13x3＋4x－4Δx＝x2－4，所以y′|x＝2＝0，所以直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点，以直线y＝－1为准线，所以设抛物线方程为x2＝2py，则p2＝1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：第一步：求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为π2，此时切线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f′(x)．函数y＝f(x)在x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.1．已知曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，那么() A．f′(x0)＝0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)>0 D．f′(x0)不确定解析因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v －(m 3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4 答案 C解析如图所示，平均融化速度实际上是点A 与点B 连线的斜率k ；瞬时融化速度的几何意义就是曲线V (t )在某时刻的切线斜率，通过对比，t 3时刻曲线的切线斜率与k 相等，故瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是t 3.3．曲线y ＝x 2在x ＝0处的切线方程为________．答案 y ＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋Δx 2Δx＝2x ，所以f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.4．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．答案 3解析∵f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a，∴f′(1)＝a＝3.5．已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02(x＋Δx)2－7－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.因为2×32－7＝11≠9，所以点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x0,2x20－7)，则切线的斜率k＝4x0.又因为点P(3,9)，A(x0,2x20－7)都是切线上的点，所以k＝2x20－7－9x0－3＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.当x0＝2时，k＝8，切点为(2,1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.。

人教A版选修2-2第一章导数及其应用.docx

第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2精刷题课件：第1章导数及其应用 1.1 课时作业2

1＋1Δx＋1＝12.
答案
第二十三页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
当
x＝－1
时，Δy＝f－1＋Δx－f－1
Δx
Δx
＝1＋－1＋ΔΔxx2－1－－12＝Δx－2.
由导数的定义，得 f′(－1)＝lim (Δx－2)＝－2. Δx→0
所以 f′(1)·f′(－1)＝12×(－2)＝－1.
答案
第二十四页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
课时综合练
第十二页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
一、选择题
1．一物体的运动方程是 s＝12at2(a 为常数)，则该物体在 t＝t0 时的瞬时速度是( )
A．at0 1
C.2at0
B．－at0 D．2at0
答案 A 解析 ∵ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝12aΔt＋at0，
∴lim Δt→0
解根据导数的定义，得ΔΔyt ＝f2＋ΔΔtt－f2＝32＋ΔΔtt－3×2＝3，所以
f′(2)＝ lim Δt→0
ΔΔyt ＝3.f′(2)的意义是：水流在
2 s 时的瞬时流速为 3 m3/s，即如
果保持这一速度，每经过 1 s，水管中流过的水量为 3 m3.
答案
第十一页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
5．已知奇函数 f(x)满足 f′(－1)＝1，则 li m Δx→0
fΔx－Δ1x＋f1等于(
)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案 A
解析
由
f(x)为奇函数，得
f(1)＝－f(－1)，所以
li m Δx→0
fΔx－1＋f1＝ Δx
li m Δx→0

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2精刷题课件：第1章导数及其应用 1.4 课时作业1

D．4∶1
答案 A
答案
第五页，编辑于星期六：二十三点四十分。
解析设其体积为 V，高与底面半径分别为 h，r，则 V＝πr2h，即 h＝πVr2. 由题意，知当表面积 S 最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·πVr2＝
2πr2＋2rV.令 S′＝4πr－2rV2 ＝0，得 r＝ 3
2Vπ，当 r＝ 3
2Vπ时，h＝ π
3
V＝
V 2 2π
3 4πV，则 h∶r＝2∶1 时，所用材料最省．
第六页，编辑于星期六：二十三点四十分。
知识点三利润最大问题 3.某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
三、解答题 9．某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
第十九页，编辑于星期六：二十三点四十分。
解析设轮船的速度为 x km/h 时，燃料费用为 Q 元，则 Q＝kx3(k≠0)．因为 6＝k×103，所以 k＝5300，所以 Q＝5300x3. 所以行驶每千米的费用总和为 y＝5300x3＋96·1x＝5300x2＋9x6(x＞0)．所以 y′＝2350x－9x62 .令 y′＝0，解得 x＝20.
A．0.0162 B．0.0324 C．0.0243 D．0.0486
答案 B

2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第1章导数及其应用 1-1-1

即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s. 它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加．
第二十七页，编辑于星期六：二点四十一分。
12．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3 ＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．
第二十五页，编辑于星期六：二点四十一分。
解：(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，
第十四页，编辑于星期六：二点四十一分。
解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则s1t0－t0 s10<s2t0－t0 s20，即 v 甲< v 乙．答案：小于
第十五页，编辑于星期六：二点四十一分。
8．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.
＝ 5
5 10 .
答案： 105
第十九页，编辑于星期六：二点四十一分。
三、解答题：每小题15分，共45分． 10．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋ Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔΔyx；(2)f′(1)．
第二十页，编辑于星期六：二点四十一分。
解：(1)ΔΔyx＝f1＋ΔΔxx－f1
想及其内涵．③会利用导数定义求函数在某一点
处的导数．
作业设计
限时：40分钟满分：90分
第四页，编辑于星期六：二点四十一分。
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2精刷题课件：第1章导数及其应用 1.1 课时作业3

A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 B
答案
第五页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
解析由图象易知，点 A，B 处的切线斜率 kA，kB 满足 kA<kB<0.由导数的几何意义，得 f′(xA)<f′(xB).
第六页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率 k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即 a＝b，故可得ab＝＝33，.
答案
第二十八页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
本课结束
第二十九页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
答案 A
解析 ∵点(0，b)在直线 x－y＋1＝0 上，∴b＝1.又 y′＝li m Δx→0
x＋Δx2＋ax＋ΔΔxx＋1－x2－ax－1＝2x＋a，∴过点(0，b)的切线的斜率为 y′|x＝0＝a＝1.
答案
解析
第十七页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
4．设 P0 为曲线 f(x)＝x3＋x－2 上的点，且曲线在 P0 处的切线平行于直
解析 ∵f′(x)
＝ lim Δx→0
x＋Δx2＋2x＋Δx＋3－x2＋2x＋3 Δx
＝ lim Δx→0
2x＋2·ΔΔxx＋Δx2＝Δlixm→0
(Δx＋2x＋2)
＝2x＋2.
∴可设 P 点横坐标为 x0，则曲线 C 在 P 点处的切线斜率为 2x0＋2.
由已知得 0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－12，
∴点 P 横坐标的取值范围为－1，－12.
第二十四页，编辑于星期六：二十三点三十九分。

2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.4 课后课时精练

答案
解析
第十三页，编辑于星期日：点二十分。
8．某超市中秋前 30 天，月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30，t∈Z)的关系大致满足 f(t) ＝ t2 ＋ 10t ＋ 12 ，则该超市前 t 天平均售出如前10天的平均售出为f1100的月饼最少为________．
∴h＝43R 时，圆锥体积最大．
第十二页，编辑于星期日：点二十分。
二、填空题 7．若商品的年利润 y(万元)与年产量 x(百万件)的函数关系式为 y＝－x3 ＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．答案 3
解析依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当 0<x<3 时， y′>0；当 x>3 时，y′<0.因此，当 x＝3 时，该商品的年利润最大．
(1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大？并求出 L(x)的最大值．
参考公式：(eax＋b)′＝aeax＋b(a，b 为常数)．
第二十三页，编辑于星期日：点二十分。
解 (1)由于年销售量为 Q(x)＝ekx，则ek40＝500，所以 k＝500e40，则年售量为 Q(x)＝50e0xe40万件，
答案
第二十四页，编辑于星期日：点二十分。
②当 4<a≤5 时，35<a＋31≤36，令 L′(x)＝0，得 x＝a＋31，易知 x＝a＋31 时，L(x)取最大值为 500e9－A．综上所述，当 2≤a≤4，每件产品的售价为 35 元时，该产品一年的利润最大，最大利润为 500(5－a)e5 万元；当 4<a≤5，每件产品的售价为(31＋a) 元时，该产品一年的利润最大，最大利润为 500e9－a 万元．

2017年春高中数学人教A版选修2-2习题课件-第1章导数及其应用 1-2-3

′＝
－0－xx12′＝12x－x 12＝12x－32＝2x1
，所以④正确． x
答案：B
第九页，编辑于星期六：二点四十一分。
4．设函数y＝excosx，则y′等于( )
A．excosx
B．－exsinx
C．excosx＋exsinx D．excosx－exsinx
解析：∵y＝excosx， ∴y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx.
x2 a
－1(a>0)的图象在x＝1处的切线为l，
求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．
第二十九页，编辑于星期六：二点四十一分。
解：∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a，又∵f(1)＝1a－1， ∴切线l的方程为y－1a＋1＝2a(x－1)．分别令x＝0，y＝0得y＝－1a－1，x＝a＋2 1， ∴三角形的面积为 S＝12|－1a－1|·|a＋2 1|
答案：D
第十页，编辑于星期六：二点四十一分。
5．曲线y＝
sinx sinx＋cosx
－
1 2

在点M
4π，0
处的切线的斜率为
()
A．－12
1 B.2
C．－
2 2
2 D. 2
第十一页，编辑于星期六：二点四十一分。
解析：y′＝cosxsinx＋csoinsxx＋－csoisnxx2cosx－sinx＝1＋s1in2x，把x＝4π代入得导数值为12.
(1)直线l2的方程； (2)由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
第二十六页，编辑于星期六：二点四十一分。
解：(1)y′＝2x＋1，所以l1的斜率k1＝y′|x＝1＝3. 因为l1⊥l2，所以l2的斜率k2＝－13. 由y′＝2x＋1＝－13，得x＝－23，所以l2与曲线相切的切点为－23，－290，l2的方程为y＋290＝－13x＋23，即3x＋9y＋22＝0.

[推荐学习]高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用1.4

1.4生活中的优化问题举例课时过关·能力提升基础巩固1已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析y'=-x2+81,令y'=0,得x=9(舍去x=-9),且经讨论知x=9是函数的极大值点,所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件.答案C2某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台解析设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),所以y'=-6x2+36x=-6x(x-6).令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点也是函数的最大值点.答案A3某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是() A.6时 B.7时C.8时D.9时解析y'=-38t 2-32t+36,令y'=0解得t=8或t=-12(舍去), 当0<t<8时,y'>0;当t>8时,y'<0, 所以t=8为函数的最大值点. 故当t=8时,通过该路段用时最多. 答案C4某厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为( ) A.32 m,16 m B.64 m,8 m C.25.6 m,20 mD.51.2 m,10 m解析设新建堆料场与原墙平行的一边长为x m,与原墙垂直的一边长为y m,则xy=512,新建围墙的长l=x+2y=512y+2y (y>0). 令l'=-512y 2+2=0,解得y=16(另一负根舍去). 当0<y<16时,l'<0; 当y>16时,l'>0.所以当y=16时,函数l=512y +2y (y>0)取得极小值,也就是最小值,此时x=51216=32. 答案A5做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( )A.6 mB.8 mC.4 mD.2 m解析设底面边长为x m,高为h m,则有x 2h=256,所以h=256x 2.设所用材料的面积为S m 2,则有S=4x ·h+x 2=4x ·256x 2+x 2=256×4x +x 2,S'=2x-256×4x2. 令S'=0,得x=8,因此h=25664=4(m). 答案C6做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为 .解析用料最省,即水桶的表面积最小.设圆柱形水桶的表面积为S ,底面半径为r (r>0),则水桶的高为27r 2,所以S=πr 2+2πr×27r2=πr 2+54πr (r>0).求导,得S'=2πr-54πr 2. 令S'=0,解得r=3.当0<r<3时,S'<0;当r>3时,S'>0.所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省. 答案37某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )=1 200+275x 3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为件时总利润最大. 答案258已知矩形的两个顶点位于x 轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x 2在x 轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的长和宽分别为 .解析设第一象限中位于抛物线上的矩形的顶点为(x ,y ),其中0<x<2,y>0,则在抛物线上的另一个顶点为(-x ,y ),在x 轴上的两个顶点分别为(-x ,0),(x ,0).设矩形的面积为S ,则S=2x (4-x 2)(0<x<2),则S'=8-6x 2.令S'=0,得x=2√33或x=-2√33(舍去).当0<x<2√33时,S'>0;当2√33<x<2时,S'<0. 因此,当x=2√33时,S 取得极大值,也就是最大值,此时,2x=4√33,4-x 2=83.所以矩形的长和宽分别为83和4√33时,矩形的面积最大.答案83和4√339一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为10海里/时时,燃料费是6元/时,而其他与速度无关的费用是96元/时,问轮船的速度是多少时,航行1海里所需的费用总和最小?分析本题主要考查利用导数解决实际问题.应当先求出比例系数,再利用已知条件将航行1海里的费用总和表示为速度的函数,利用导数求解.解设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时,由题设的比例关系得p=k ·v 3,其中k 为比例系数.由v=10,p=6,得k=6103=0.006,于是p=0.006v 3. 设船的速度为v 海里/时时,航行1海里所需的总费用为q 元,而每小时所需的总费用是(0.006v 3+96)元,航行1海里所需时间为1v时,所以航行1海里的总费用为q=1v(0.006v 3+96)=0.006v 2+96v(v>0). 所以q'=0.012v-96v 2=0.012v2(v 3-8 000). 令q'=0,解得v=20. 因为当0<v<20时,q'<0;当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q 取得最小值. 故速度为20海里/时时,航行1海里所需费用总和最小.能力提升1若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则当其表面积最小时,底面边长为( )A.√V 3B.√2V 3C.√4V 3D.2√V 3解析设直棱柱的底面边长为x ,侧棱长为l ,则V=12x 2·sin 60°·l ,∴l=√3x 2. ∴S 表=x 2sin 60°+3xl=√32x 2+4√3Vx .令S 表'=√3x-4√3Vx 2=0, ∴x 3=4V ,即x=√4V 3.又当x ∈(0,√4V 3)时,S 表'<0,x ∈(√4V 3,V )时,S 表'>0,∴当x=√4V 3时,直棱柱的表面积最小.答案C2某银行准备设立一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k (k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x (x ∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为( ) A.3.2% B.2.4% C.4%D.3.6%解析依题意知存款额是kx 2,银行应支付的存款利息是kx 3,银行应获得的贷款利息是0.048kx 2,所以银行的收益是y=0.048kx 2-kx 3(0<x<0.048).故y'=0.096kx-3kx 2.令y'=0,解得x=0.032或x=0(舍去). 当0<x<0.032时,y'>0; 当0.032<x<0.048时,y'<0.因此,当x=0.032时,y 取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.答案A★3已知横梁的强度和它的矩形横断面的宽与矩形横断面的高的平方的积成正比,要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为( )A.√3d ,√33d B.√3d ,dC.√63d ,√33d D.√63d ,√3d解析如图,设矩形横断面的宽为x ,高为y ,由题意知当xy 2取最大值时,横梁的强度最大.∵y 2=d 2-x 2,∴xy 2=x (d 2-x 2)(0<x<d ).令f (x )=x (d 2-x 2)(0<x<d ), 求导,得f'(x )=d 2-3x 2.令f'(x )=0,解得x=√33d 或x=-√33d (舍去).当0<x<√33d 时,f'(x )>0;当√33d<x<d 时,f'(x )<0,因此,当x=√33d 时,f (x )取得极大值,也是最大值.此时y=√63d.综上,当矩形横断面的高为√63d ,宽为√33d 时,横梁的强度最大.答案C4将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,若S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S 的最小值是 .解析设剪成的上面一块正三角形的边长为x.则S=(3-x )2√34-√34x =4√33·(3-x )21-x 2(0<x<1),S'=4√33·-6x 2+20x -6(1-x 2)2 =-8√33·(3x -1)(x -3)(1-x 2)2. 令S'=0,得x=13或x=3(舍去).故x=13是S 的极小值点且是最小值点,且S min =4√33×(3-13)21-19=32√33.答案32√33★5设一个容积V 固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,高为h ,底面半径为r.已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,则当h ∶r= 时,造价最低. 解析由题意知铁桶的高为h ,底面半径为r ,设单位面积铁的造价为m ,桶的总造价为y , 则y=3m πr 2+m (πr 2+2πrh ).∵V=πr 2h ,得h=V πr 2, ∴y=4m πr 2+2mVr . ∴y'=8m πr-2mVr 2. 令y'=0,解得r=(V 4π)13,此时h=4(V 4π)13.故当r<(V 4π)13时,y'<0,函数单调递减;当r>(V 4π)13时,y'>0,函数单调递增.∴r=(V 4π)13为函数的极小值点,且是最小值点.故当r=(V4π)13时,y有最小值,故当h∶r=4∶1时,总造价最低.答案4∶16在边长为60 cm的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少?解设箱高为x cm,则箱底边长为(60-2x)cm,则得箱子容积V关于x的函数为V(x)=(60-2x)2·x(0<x<30).∵V'(x)=12x2-480x+3 600,∴令V'(x)=0,即12x2-480x+3 600=0,解得x=10或x=30(舍去).易知x=10是V(x)唯一的极大值点也就是最大值点.由于V(10)=16 000,故当x=10 cm,箱底的边长为40 cm时,箱子的容积最大,且为16 000 cm3.★7某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5 km和40 km,点N到l1,l2的距离分别为20 km和2.5 km.以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y=ax2+b(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax 2+b, 得{a25+b =40,a 400+b=2.5,解得{a =1 000,b =0.(2)①由(1)知,y=1 000x 2(5≤x ≤20), 则点P 的坐标为(t ,1 000t 2),设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,y'=-2 000x 3,则l 的方程为y-1 000t 2=-2 000t3(x-t ), 由此得A (3t 2,0),B (0,3 000t2). 故f (t )=√(3t 2)2+(3 000t2)2=32√t 2+4×106t4,t ∈[5,20].②设g (t )=t 2+4×106t 4,则g'(t )=2t-16×106t 5. 令g'(t )=0,解得t=10√2.当t ∈(5,10√2)时,g'(t )<0,g (t )是减函数; 当t ∈(10√2,20)时,g'(t )>0,g (t )是增函数.从而,当t=10√2时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15√3.答:当t=10√2时,公路l的长度最短,最短长度为15√3 km.。

人教A高中数学选修2-2精刷题课件：第1章 导数及其应用 1.4 课时作业10

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