2022高考数学文人教A版一轮复习学案：11.1 随机事件的概率

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高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案随机事件的概率1

第四节随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解两个互斥事件的概率加法公式．知识点一概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作P (A )．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.易误提醒易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：35知识点二互斥事件和对立事件事件定义性质互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，(事件A ，B是互斥事件)；P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(事件A 1，A 2，…，A n 任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A 和A 称为对立事件P (A )＝1－P (A )易误提醒互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．答案：A4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：A考点一事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥也不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω，故事件B ，C 是对立事件．答案：D2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日123456789101112131415 期天晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴气日161718192021222324252627282930 期天晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．[解](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案：32 0.437 5考点三互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[思想点评] (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确理解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA 组考点能力演练1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件．答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34 B.58 C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6，又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35， ∴P (B )＝0.25. 答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则 G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.B 组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。

高考数学第一轮复习第十一篇第1讲随机事件的概率课件理新人教A版

数频率分布表
20 20
4 20
7 20
3 20
2 20
(2)假定今天进超市顾客人数与近 20 天进超市顾客人数的分布规律相
同，并将频率视为概率，求今天营业额低于 10.6 万元高于 4.6 万元的
概率．
解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为 1 100 的有 3 个，为 1 600 的有 7 个，为 1 900 的有 3 个，为 2 200 的有 2 个．故近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表为（上图）
所以 P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
第十三页，共18页。
审题路线 (2)思路一：分别求等候人数为 3 人、4 人、5 人及 5 人以上的概率⇒根据互斥事件的概率求和公式可得．思路二：转化为求其对立事件的概率⇒根据 P(A)＝1－P( A )可求．
一是直接求解法，将所求事件的概率分解(fēnjiě)为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公
式 P(A)＝1－P( A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
规律方法
第十四页，共18页。
(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．( ) (2)“方程 x2＋2x＋8＝0 有两个实根”是不可能事件．( ) (3)(2014·广州调研 C 项)“下周六会下雨”是随机事件．( )
2．对互斥事件与对立(duìlì)事件的理解
(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) (5)(2014·郑州调研 B 项)从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1～10 各 10 张)中，任取一张，“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件．( )

高考数学总复习第11章第1节随机事件的概率文课件新人教A版

概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化，
故D错．答案：B
2．某人打靶，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( ) B．2次都中靶 D．只有1次中靶
A．至多有1次中靶 C．2次都不中靶
解析：“至少有1次中靶”包括中1次或中2次．
答案：C
3．甲、乙两个下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为( A．60% C．10% B．30% D．50% )
解法二：(利用对立事件求概率) (1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1 2 1 3 －P(A3)－P(A4)＝1－12－12＝4. (2)因为 A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4，所以 1 11 P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－12＝12. 12 分 9分
答案：25
1.事件的判断需要对三种事件即不可能事件、必然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假．
2．对随机事件的理解应包含下面两个方面： (1)随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究．

2分
5 4 1 2 1 则 P(A1)＝12，P(A2)＝12＝3，P(A3)＝12＝6， 1 P(A4)＝， 12 6分
根据题意知，事件 A1、A2、A3、A4 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 5 4 3 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝12＋12＝4； (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) 5 4 2 11 ＝12＋12＋12＝12. 12 分 9分

2023版高考数学一轮总复习11-1随机事件古典概型与几何概型课件

域用A表示(A⊆Ω),则P(A)= A的几何度量.
Ω的几何度量
考法一古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)

2022版新高考数学人教A版一轮课件：第十一章第三节随机事件与概率

的概率是( )
A.19
B．29
C．39
D．49
【解析】(1)选 A.试验的样本点可用(x，y，z)表示，如图，从 O，A，B，C， D 5 个点中任取 3 个点试验的样本空间 Ω＝{(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A， D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C， D)，(B，C，D)}共 10 种不同取法，
3 点共线样本点有(O，A，C)与(O，B，D)共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为120 ＝51 .
(2)选 D.三位数的回文数为 ABA， A 有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1，2B2，3B3…， B 有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0A，A1A，A2A，A3A，…共有 9×10＝90 个，其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即 2B2，4B4，6B6，8B8， B 有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0A，A1A，A2A，A3A，…共有 4×10＝40 个，所以三位数的回文数中，偶数的概率 P＝4900 ＝49 .
4．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】选 A.因为 P(A)＝38 ，P(B)＝28 ，P(C)＝62 ， P(D)＝13 ，所以 P(A)>P(C)＝P(D)>P(B).
5．若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)＝2－a， P(B)＝4a－5，则实数 a 的取值范围是________．
【解析】选 D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
3．某射手的一次射击中，射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为________．

新高考一轮复习人教版随机事件、古典概型作业

专题十一概率与统计11.1 随机事件、古典概型基础篇固本夯基考点一随机事件的概率1.(2022届江苏百校联考,6)一次劳动实践活动中,某同学不慎将两件次品混入三件正品中,它们形状、大小完全相同,该同学采用技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的概率为( ) A.15B.14C.25D.310答案 D2.(2019课标Ⅰ理,6,5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.1116答案 A3.(2018课标Ⅱ理,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( ) A.112 B.114 C.115 D.118答案 C4.(2021广东韶关一模,5)假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625,则该射手每次射击的命中率为( ) A.925 B.25 C.35 D.34答案 C5.(2020广州番禺检测,10)中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( ) A.15 B.14 C.13 D.12答案 D6.(多选)(2022届河北张家口宣化一中考试,11)甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n ∈N *)局,且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12,如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n),则( ) A.P(2)=18B.P(3)=1132C.P(n)=12(1−C 2nn 22n )D.P(n)的最大值为14答案 BC7.(2022届广东茂名五校联考,16)田忌赛马的故事出自司马迁的《史记》.齐王,田忌分别有上、中、下等马各一匹.赛马规则:一场比赛需要比赛三局,每匹马都要参赛,且只能参赛一局.最后以获胜局数多者为胜.记齐王、田忌的马匹分别为A 1,A 2,A 3和B 1,B 2,B 3.每局比赛之间都是相互独立的,而且不会出现平局.用P A i B j (i,j ∈{1,2,3})表示马匹A i 与B j 比赛时齐王获胜的概率,若P A 1B 1=0.8,P A 1B 2=0.9,P A 1B 3=0.95,P A 2B 1=0.1,P A 2B 2=0.6,P A 2B 3=0.9,P A 3B 1=0.09,P A 3B 2=0.1,P A 3B 3=0.6,则一场比赛共有种不同的比赛方案;在所有的方案中,有一种方案田忌获胜的概率最大,此概率为 . 答案 6;0.8198.(2022届河北唐山十一中9月月考,17)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 解析 (1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34. (3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负轮空胜,负轮空胜胜,概率分别为116,18,18. 因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716. 考点二古典概型1.(2022届广东省级联测,6)十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”,现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数,算筹不能剩余,则这个三位数能被3整除的概率为( )A.14B.16C.512D.724答案 A2.(2021全国甲理,10,5分)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( ) A.13B.25C.23D.45答案 C3.(2020课标Ⅰ文,4,5分)设O 为正方形ABCD 的中心,在O,A,B,C,D 中任取3点,则取到的3点共线的概率为( )A.15B.25C.12D.45答案 A4.(2021广东汕头一模,8)在新的高考改革方案中规定:每位考生的高考成绩是按照3(语文、数学、英语)+2(物理、历史)选1+4(化学、生物、地理、政治)选2的模式设置的,则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率为( ) A.14B.13C.512D.12答案 C5.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45B.35C.25D.15答案 C6.(2022届河北邢台入学考试,14)小华、小明、小李、小章去A,B,C 三个工厂参加社会实践,要求每个工厂都有人去,且这四人都在这三个工厂实践,则小华和小李都没去B 工厂的概率是 . 答案718 7.(2020江苏,4,5分)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 . 答案198.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示). 答案15综合篇知能转换考法一古典概型概率的求法1.(2021湖南岳阳一模,5)“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线,一直受到广大旅游爱好者的欢迎.现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为( ) A.716 B.916 C.2764 D.81256答案 B2. (2021湖南长郡十五校第二次联考,4)十二生肖作为中国民俗文化的代表,是中国传统文化的精髓,很多人把生肖作为春节的吉祥物,以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图),并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案,作为春节的吉祥物.2021年春节前,兴趣小组的2个成员将模型随机抛出,希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面),2人各抛一次,则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为( )A.112 B.143144 C.1172 D.23144答案 C3.(2019课标Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B.35C.25D.15答案 B4.(2019课标Ⅲ文,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A.16B.14C.13D.12答案 D5.(2022届河北邢台9月联考,16)从3名男生、2名女生中选出2人参加数学竞赛,则选出的这2人性别不一样的概率为 . 答案35 6.(2022届江苏第一次月考,14)一只口袋内装有4个白球,5个黑球,若将球不放回地随机一个一个摸出来,则第4次摸出的是白球的概率为 . 答案497.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 答案3108.(2021辽宁百校联盟调研,14)某中学为了解学生学习物理的情况,抽取了100名物理成绩在60~90分(满分为100分)之间的学生进行调查,将这100名学生的物理成绩分成了六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],绘成频率分布直方图,如图所示.从成绩在[70,80)的学生中任意抽取2人,则成绩在[75,80)的学生中恰好有一人的概率为 .答案2449考法二求复杂的互斥事件的概率1.(2018课标Ⅲ文,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案 B2.(2021沈阳期末,5)已知某药店只有A,B,C 三种不同品牌的N95口罩,甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩,若甲,乙买A 品牌口罩的概率分别为0.2,0.3,买B 品牌口罩的概率分别为0.5,0.4,则甲,乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.26 答案 C3.(2020湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( ) A.79B.29C.49D.59答案 A4.(多选)(2022届江苏新高考第一次月考,10)从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( ) A.2个球都是红球的概率为16B.2个球中恰有1个红球的概率为12C.至少有1个红球的概率为56D.2个球不都是红球的概率为13 答案 AB创新篇守正出奇创新生活中的概率问题1.(2021湖南衡阳联考,3)衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中,大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”三种不同的垃圾桶,一天,居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋,随机每桶投一袋,则恰好有一袋垃圾投对的概率为( ) A.19B.16C.13D.12答案 D2.(2022届山东济宁第一中学开学考试,13)为庆祝建党100周年,讴歌中华民族伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,共有50道党史题,其中35道单选题、10道多选题和5道判断题,其中小王每道单选题答对的概率为0.8,多选题答对的概率为0.7,判断题答对的概率为0.9,则他随机抽取一道题,答对的概率为 . 答案 0.793.(2021重庆二模,14)已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成,每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号,乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个,丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站,丁基站只接收信号.对于信号源甲发出的一条信号,丙基站能接收到的概率为 . 答案12 4.(2022届江苏百校联考,19)冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会,是世界规模最大的冬季综合性运动会,每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行,为了弘扬奥林匹克精神,增强学生的冬奥会知识,某市多所中小学学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在全市中小学学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如下:(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率;(2)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中,甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.解析 (1)记“选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件A,参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所,所以P(A)=C 62C 102=13.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为13.(2)答案不唯一.答案示例1:可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下:指导前,甲同学总考核为“优”的概率为C 32·0.12·0.9+C 33·0.13=0.028.指导前,甲同学总考核为“优”的概率非常小,所以有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.答案示例2:无法确定.理由如下:指导前,甲同学总考核为“优”的概率为C 32·0.12·0.9+C 33·0.13=0.028.虽然概率非常小,但是也可能发生,所以无法确定指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.。

高考第一轮复习数学：11.1 随机事件的概率高考数学第一轮复习教案集新课标人教版高考数学第

11.1 随机事件的概率
●知识梳理
1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件.
3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.
A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.
解析：10位同学总参赛次序A .一班3位同学恰好排在一起,而二班的2位同学没有排在一起的方法数为先将一班3人捆在一起A ,与另外5人全排列A ,二班2位同学不排在一起,采用插空法A ,即A A A .
∴所求概率为 = .
答案：B
3.（2004年某某,9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是
答案：B
2.（2004年某某模拟题）甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有12个不同的题目,其中选择题8个,判断题4个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是
A. B. C. D.
解析：甲、乙二人依次抽一题有C ·C 种方法,
而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有C C 种.
∴P= = .
（2）当m=7时,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有6种,此时P= = 最大.
●思悟小结
求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：
（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.
（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.
●点击双基
1.（2004年全国Ⅰ,文11）从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是

2022年人教版高考数学考点总复习11.1 随机事件的概率

出的球是黄球或白球的概率为(
A.0.7
B.0.5
C.0.3
D.0.6
)
答案 A
解析设摸出红球的概率为P(A),摸出黄球的概率是P(B),摸出白球的概率为
P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,
所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
答案 C
解析 A,B中的两个事件都不是互斥事件;C中的两个事件是互斥而不对立
的两个事件;D中的两个事件是对立事件.
5.口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球,从中任意摸出一球,摸出的
球是红球或黄球的概率为0.4,摸出的球是红球或白球的概率为0.9,那么摸
故P(B)的估计值为0.3.
=0.3,
(3)由所给数据得
保费
频率
0.85a
0.30
a
0.25
1.25a
0.15
1.5a
0.15
1.75a
0.10
2a
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05
2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85
克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为(
)
A.0.62 B.0.38

高考数学一轮复习 11.1 随机事件的概率精品教学案(教师版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案11.1 随机事件的概率（新课标人教版，教师版）【考纲解读】【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件．(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)(A1，A2，…，A n彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．【例题精析】考点一互斥事件与对立事件例1.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解析】(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．【名师点睛】本小题主要考查互斥事件与对立事件,对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．.【变式训练】1.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )．A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件考点二随机事件的概率与频率例2.（2011年高考湖南卷文科18)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（I）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【名师点睛】本小题主要考查随机事件的概率与频率,考查了学生分析问题、解决问题的能力. 【变式训练】2. 某市统计的2008～2011年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：(1)(2)该市男婴出生的概率约是多少？【易错专区】问题：综合应用例. (2012年高考湖南卷文科17)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 【课时作业】1.(2010年高考江西卷文科9)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(01)p p ＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A ．(1)n p -B ．1n p -C ．n pD ．1(1)n p --2．（2010年高考重庆卷文科14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为___________ . 【答案】370【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=. 3．（2010年高考安徽卷理科15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：11.1随机事件的概率(备课资料)

【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：11.1随机事件的概率(备课资料)一、参考例题［例1］先后抛掷3枚均匀的一分，二分，五分硬币. (1)一共可能出现多少种不同的结果？(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？ (3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？分析：(1)由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有2×2×2=8种.(2)出现“2枚正面，1枚反面”的情况可从(1)中8种情况列出.(3)因为每枚硬币是均匀的，所以(1)中的每种结果的出现都是等可能性的. 解：(1)∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况, ∴共可能出现的结果有2×2×2=8种.故一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为： (正，正，正)，(正，正，反)， (正，反，正)，(正，反，反)， (反，正，正)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反).(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)∵每种结果出现的可能性都相等，∴事件A “2枚正面，1枚反面”的概率为P (A )=83. ［例2］甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率.分析：这里从甲、乙、丙、丁中选3名代表就是从4个不同元素中选3个元素的一个组合，也就是一个基本事件.解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁选为代表. ∵每种选为代表的结果都是等可能性的，甲被选上的事件个数m =3,∴甲被选上的概率为43. ［例3］袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球. (1)共有多少种不同结果？(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？ (3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？ (4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.分析：(1)设从4个白球，5个黑球中，任取3个的所有结果组成的集合为I ，所求结果种数n 就是I 中元素的个数.(2)设事件A ：取出的3球,2个是白球，1个是黑球，所以事件A 中的结果组成的集合是I 的子集.(3)设事件B ：取出的3球至少有2个白球，所以B 的结果有两类：一类是2个白球，1个黑球；另一类是3个球全白.(4)由于球的大小相同，故任意3个球被取到的可能性都相等.故由P (A )=)(card )(card I A ,P (B )=)(card )(card I B ，可求事件A 、B 发生的概率.解：(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I , ∴card(I )=39C =84.∴共有84个不同结果. (2)设事件A ：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A , ∴card(A )=24C ·15C =30.∴共有30种不同的结果. (3)设事件B ：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B , ∴card(B )=34C +24C ·15C =34.∴共有34种不同的结果.(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同, ∴事件A 发生的概率为1458430=,事件B 发生的概率为42178434=. 二、参考练习1.选择题(1)如果一次试验中所有可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率A.都是1B.都是C.都是D.不一定答案：B(2)抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的数都是3的概率是A.31 B.1 C.21D.61 答案：D(3)把十张卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率是A.101B.103 C.105D.107答案：D(4)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为A.31 B.21 C.53D.32答案：D(5)甲袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从2个袋内各摸出一个球，那么125等于 A.2个球都是白球的概率B.2个球中恰好有一个是白球的概率C.2个球都不是白球的概率D.2个球都是白球的概率答案：B(6)某小组有成员3人，每人在一个星期(7天)中参加一天劳动，如果劳动日可任意安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为A.73 B.353 C.4930D.701答案：C 2.填空题(1)随机事件A 的概率P (A )应满足________. 答案：0≤P (A )≤1(2)一个口袋内装有大小相同标号不同的2个白球，2个黑球，从中任取一个球，共有________种等可能的结果.答案：4(3)在50瓶饮料中，有3瓶已经过期，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率是________.答案：503 (4)一年以365天计，甲、乙、丙三人中恰有两人在同天过生日的概率是________.解析：P (A )=22233651092365364C =⨯. 答案：23651092 (5)有6间客房准备安排3名旅游者居住，每人可以住进任一房间，且住进各房间的可能性相等，则事件A ：“指定的3个房间各住1人”的概率P (A )=________；事件B ：“6间房中恰有3间各住1人”的概率P (B )=________；事件C ：“6间房中指定的一间住2人”的概率P (C )=________.解析：P (A )=3616A 333=；P (B )=956A C 33336=⋅； P (C )=72565C 323=⋅. 答案：36195 725 3.有50张卡片(从1号到50号)，从中任取一张，计算： (1)所取卡片的号数是偶数的情况有多少种？ (2)所取卡片的号数是偶数的概率是多少？解：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有25种. (2)所取卡片的号数是偶数的概率为P =5025=21. ●备课资料一、参考例题［例1］一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在此楼的同一单元的概率.分析：因为李明住在此楼的情况有6种，王强住在此楼的情况有6种，所以他们住在此楼的住法结果有6×6=36个，且每种结果的出现的可能性相等.而事件A ：“李明和王强住在同一单元”含有6个结果.解：∵李明住在这栋楼的情况有6种，王强住在这栋楼的情况有6种, ∴他们同住在这栋楼的情况共有6×6=36种. 由于每种情况的出现的可能性都相等, 设事件A ：“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A 所含的结果有6种,∴P (A )=61366=. ∴李明和王强住在此楼的同一单元的概率为61. 评述：也可用“捆绑法”，将李明和王强视为1人，则住在此楼的情况有6种.［例2］在一次口试中，要从10道题中随机选出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格.某考生会回答10道题中的8道，那么这名考生获得及格的概率是多少？分析：因为从10道题中随机选出3道题，共有310C 种可能的结果，而每种结果出现的可能性都相等，故本题属于求等可能性事件的概率问题.解：∵从10题中随机选出3题，共有等可能性的结果310C 个.设事件A ：“这名考生获得及格”，则事件A 含的结果有两类，一类是选出的3道正是他能回答的3题，共有38C 种选法;另一类是选出的3题中有2题会答，一题不会回答，共有28C ·12C 种选法，所以事件A 包含的结果有38C +28C ·12C 个. ∴P (A )=1514C C C C 310122838=+.∴这名考生获得及格的概率为1514. ［例3］7名同学站成一排，计算： (1)甲不站正中间的概率；(2)甲、乙两人正好相邻的概率； (3)甲、乙两人不相邻的概率.分析：因为7人站成一排，共有77A 种不同的站法，这些结果出现的可能性都相等. 解：∵7人站成一排，共有77A 种等可能性的结果, 设事件A ：“甲不站在正中间”；事件B ：“甲、乙两人正好相邻”；事件C ：“甲、乙两人正好不相邻”；事件A 包含的结果有666A 个；事件B 包含的结果有66A 22A 个;事件C 包含的结果有55A ·26A 个.(1)甲不站在正中间的概率P (A )=76A 6A 7766=.(2)甲、乙两人相邻的概率P (B )=72A A A 772666=. (3)甲、乙两人不相邻的概率P (C )=75A A A 772655=. ［例4］从1，2，3，…，9这九个数字中不重复地随机取3个组成三位数，求此数大于456的概率.分析：因为从1，2，3，…，9这九个数字中组成无重复数字的三位数共有39A =504个，且每个结果的出现的可能性都相等，故本题属求等可能性事件的概率问题.由于比456大的三位数有三类：(1)百位数大于4，有15A ·28A =280个;(2)百位数为4，十位数大于5，有14A ·17A =28个;(3)百位数为4，十位数为5，个位数大于6有2个,因此，事件“无重复数字且比456大的三位数”包含的结果有280+28+3=311个.解：∵由数字1，2，3，…，9九个数字组成无重复数字的三位数共有39A =504个，而每种结果的出现的可能性都相等.其中，事件A ：“比456大的三位数”包含的结果有311个,∴事件A 的概率P (A )=504311.∴所求的概率为504311. ［例5］某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等，若选出的2人性别相同的概率是21，求该班男生、女生的人数. 分析：由于每人当选的可能性都相等，且从全班36人中选出2人去完成一项任务的选法有236C 种，故这些当选的所有结果出现的可能性都相等.解：设该班男生有n 人，则女生(36-n )人.(n ∈N *,n ≤36)∵从全班的36人中，选出2人，共有236C 种不同的结果，每个结果出现的可能性都相等.其中，事件A ：“选出的2人性别相同”含有的结果有(2C n +236C n -)个,∴P (A )=21C C C 2362362=+-nn . ∴n 2-36n +315=0.∴n =15或n =21.∴该班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.评述：深刻理解等可能性事件概率的定义，能够正确运用排列、组合的知识对等可能性事件进行分析、计算.二、参考练习 1.选择题(1)十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为A.151 B.457 C.158D.157答案：D(2)将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是A.21 B.41 C.43D.31答案：A(3)从数字0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率等于A.253 B.2512 C.2516D.2524答案：B(4)盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个不合格铁钉的概率为A.0.9B.91 C.0.1D.1010010090C C 答案：D(5)将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是A.21 B.41 C.43D.1答案：C 2.填空题(1)从甲地到乙地有A 1，A 2，A 3，A 4共4条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3共3条路线，其中A 1B 1是甲地到丙地的最短路线，某人任选了一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为________.答案：121 (2)袋内装有大小相同的4个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个白球的概率为________.答案：3512 (3)有数学、物理、化学、语文、外语五本课本，从中任取一本，取到的课本是理科课本的概率为________.答案：53 (4)从1，2，3，…，10这10个数中任意取出4个数作为一组，那么这一组数的和为奇数的概率是________.答案：2110 (5)一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚好十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为________.解:由题意，知婴儿受到夸奖的概率为P =1801A A 22266=. (6)在2004年8月18日雅典奥运会上,两名中国运动员和4名外国运动员进入双多向飞蝶射击决赛.若每名运动员夺得奖牌(金、银、铜牌)的概率相等,则中国队在此项比赛中夺得奖牌的概率为________.解:由题意可知中国队在此项比赛中不获得奖牌的概率为P 1=51)A A (C C 66343634=或.则中国队获得奖牌的概率为P =1-P 1=1-5451=. 3.解答题(1)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中任取2枝，求： ①恰好都取到正品的概率；②取到1枝正品1枝次品的概率； ③取到2枝都是次品的概率.解：①4528C C 21028=.②4516C C C 2101218=⋅. ③451C C 21022=. (2)某球队有10人，分别穿着从1号到10号的球衣，从中任选3人记录球衣的号码，求：①最小的号码为5的概率； ②最大的号码为5的概率.解：①121C C 31025=.②201C C 31024=. (3)一车间某工段有男工9人，女工5人，现要从中选3个职工代表，求3个代表中至少有一名女工的概率.解：1310C C C C C C 3143519252915=+⋅+⋅. (4)从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两数相乘而得到积，求：①积为零的概率； ②积为负数的概率； ③积为正数的概率.解：①72C C 2716=； ②73C C C 271313=； ③72C C C 272323=+.(5)甲袋内有m 个白球，n 个黑球；乙袋内有n 个白球，m 个黑球，从两个袋子内各取一球.求：①取出的两个球都是黑球的概率； ②取出的两个球黑白各一个的概率； ③取出的两个球至少一个黑球的概率.解：①2)(m n mn +⋅; ②222)(n m n m ++; ③222)(n m n m n m +⋅++. ●备课资料一、参考例题［例1］一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6.求： (1)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和是6的概率. (2)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和小于5的概率.分析：以(x 1,x 2)表示先后抛掷两次玩具朝上的面的数，x 1是第一次朝上的面的数，x 2是第二次朝上的面的数，由于x 1取值有6种情况，x 2取值也有6种情况，因此先后两次抛掷玩具所得的朝上面数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现都是等可能性的.解：设(x 1,x 2)表示先后两次抛掷玩具后所得的朝上的面的数，其中x 1是第一次抛掷玩具所得的朝上的面的数，x 2是第二次抛掷玩具所得的朝上的面的数.∵先后两次抛掷这个玩具所得的朝上的面的数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现的可能性都相等.(1)设事件A 为“2次朝上的面的数之和为6”， ∵事件A 含有如下结果：(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，∴P (A )=365. (2)设事件B 为“2次朝上的面上的数之和小于5”， ∵事件B 含有如下结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个， ∴P (B )=61366=. ［例2］袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的，5枚是壹分的.现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率.分析：由于从10枚硬币中，任取5枚所得的钱数结果出现的可能性都相等. 记事件A ：“取出的5枚对应的钱数不超过壹角”， ∴事件A 含有结果有：①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共12C ·13C ·35C 种取法. ②1枚伍分，4枚壹分，共12C ·45C 种取法.③3枚贰分，2枚壹分，共33C ·25C 种取法. ④2枚贰分，3枚壹分，共23C ·35C 种取法. ⑤1枚贰分，4枚壹分，共13C ·45C 种取法.⑥5枚壹分共C 55种取法.∴P (A )=510554513352325334512351312C C C C C C C C C C C C C +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=21252126=. ［例3］把10个足球队平均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在：(1)不同组的概率；(2)同一组的概率.分析：由于把10支球队平均分成两组，共有510C 21种不同的分法，而每种分法出现的结果的可能性都相等.(1)记事件A ：“最强两队被分在不同组”，这时事件A 含有2248A C 21⋅种结果. ∴P (A )=95C 21A C 215102248=⋅. (2)记事件B ：“最强的两队被分在同一组”，这时事件B 含有552238C C C ⋅⋅种. ∴P (B )=94C 21C 51038=. ［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐标系中，点(x ,y )的坐标x ∈A , y ∈A ,且x ≠y ,计算：(1)点(x ,y )不在x 轴上的概率； (2)点(x ,y )正好在第二象限的概率.分析：由于点(x ,y )中，x 、y ∈A,且x ≠y ,所以这样的点共有210A 个，且每一个结果出现的可能性都相等.解：∵x ∈A,y ∈A,x ≠y 时，点(x ,y )共有210A 个，且每一个结果出现的可能性都相等，(1)设事件A 为“点(x ,y )不在x 轴上”，∴事件A 含有的结果有19A ·19A 个.∴P (A )=10991099=⨯⨯.(2)设事件B 为“点(x ,y )正好在第二象限”， ∴x ＜0,y ＞0.∴事件B 含有15A ·14A 个结果. ∴P (B )=92A A A 2101415=⋅. ［例5］从一副扑克牌(共52张)里，任意取4张，求：(1)抽出的是J 、Q 、K 、A 的概率； (2)抽出的是4张同花牌的概率.解：∵从一副扑克牌(52张)里，任意抽取4张，共有452C 种抽法.每一种抽法抽出的结果出现的可能性都相等, (1)设事件A ：“抽出的4张是J ，Q ，K ，A ”,∵抽取的是J 的情况有14C 种, 抽取的是Q 的情况有14C 种, 抽取的是K 的情况有14C 种, 抽取的是A 的情况有14C 种, ∴事件A 含有的结果共有44个.∴P (A )=4522C 4=812175768.(2)设事件B ：“抽出的4张是同花牌”,∴事件B 中含14C ·413C 个结果. ∴P (B )=41651054C C C 45241314=⋅. 二、参考练习1.选择题(1)某一部四册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1，2，3，4册的概率等于A.81 B.161 C.121D.241答案：C(2)在100件产品中，合格品有96件，次品有4件，从这100件产品中任意抽取3件，则抽取的产品中至少有两件次品的概率为A.310019624C CC ⋅B.31003424C C C +C.31003419624C C C C +⋅D.310034C C答案：C(3)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选3台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是A.53 B.107 C.54D.109答案：D(4)正三角形各顶点和各边中点共有6个点，从这6个点中任意取出3个点构成的三角形恰为正三角形的概率是A.41 B.51 C.174D.175答案：D(5)在由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意抽取一个，正好抽出两位自然数的概率是A.133 B.31 C.152D.52答案：A 2.填空题(1)设三位数a 、b 、c ,若b ＜a ,c ＞a ,则称此三位数为凹数.现从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字，组成三位数，其中是凹数的概率是________.答案：52 (2)将一枚硬币连续抛掷5次，则有3次出现正面的概率是________.答案：5352C(3)正六边形的各顶点和中心共有7个点，从这7个点中任意取3个点构成三角形，则构成的三角形恰为直角三角形的概率是________.解：P =8332123C 2637==-⨯.答案：83 (4)商品A 、B 、C 、D 、E 在货架上排成一列，A 、B 要排在一起，C 、D 不能排在一起的概率是________.解：P =55232222A A A A ⋅⋅=12345622⨯⨯⨯⨯⨯⨯=51.答案：51 (5)在平面直角坐标系中，点(x ,y )的x 、y ∈{0,1,2,3,4,5}且x ≠y ,则点(x ,y )在直线y =x 的上方的概率是________.解：P =2612131415A 1C C C C ++++=5615⨯=21. 答案：213.解答题(1)已知集合A ={a ,b ,c ,d ,e },任意取集合A 的一个子集B ，计算： ①B 中仅有3个元素的概率; ②B 中一定含有a 、b 、c 的概率.解：①P =1652C 535=.②P =81211C 512=++. (2)某号码锁有六个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数号码(开锁号码)时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开一次就能打开锁的概率是多少？如果未记准开锁号码的最后两位数字，在使用时随意拨下最后两位数字，正好把锁打开的概率是多少？解：①P =6101. ②P =10011012=.(3)9国乒乓球队内有3国是亚洲国家，抽签分成三组进行预赛(每组3队)，试求： ①三个组中各有一个亚洲国家球队的概率； ②三个亚洲国家集中在某一组的概率. 解：①P =［222426CC C ⋅⋅］÷［33333639A C C C ⋅⋅］=289. ②P =36C 21·33C ÷［33333639A C C C ⋅⋅］=281. (4)将m 个编号的球放入n 个编号的盒子中，每个盒子所放的球数k 满足0≤k ≤m ,在各种放法的可能性相等的条件，求：①第一个盒子无球的概率； ②第一个盒子恰有一球的概率.解：①P =(n n 1-)m. ②P =n m ·(nn 1-)n -1.。

2022版高考数学一轮复习第十章概率文第一讲随机事件的概率文第四讲随机事件的概率学案理含解析新人教版

(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件． (4)在条件 S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件，简称随机事件．
知识点二概率与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ率
(1)概率与频率的概念：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的__频数__，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nA为
ABD，ACD，BCD 十种，
其中共线为 A，O，C 和 B，O，D 两种，
故取到的 3 点共线的概率为 P＝ 2 ＝1， 10 5
故选 A．
考点突破·互动探究
考点一随机事件的关系——自主练透
例 1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个
球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )
__B⊇A__ __(或 A⊆B)__
相等关系
若 B⊇A，且__A⊇B__，则称事件 A 与事件 B 相等
__A＝B__
并事件 (和事件)
交事件
若某事件发生__当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生__，则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生__当且仅当事件 A 发生且事件 B
A．“至少有 1 个白球”和“都是红球”
B．“至少有 2 个白球”和“至多有 1 个红球”
C．“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”
D．“至多有 1 个白球”和“都是红球”
(2)(2021·中山模拟)从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

2022届高考数学统考一轮复习第十章随机事件的概率学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习：第一节随机事件的概率【知识重温】一、必记4个知识点1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________f n(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：⑬____________.(2)必然事件的概率P(E)＝⑭____________.(3)不可能事件的概率P(F)＝⑮____________.(4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯____________.②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰____________.二、必明3个易误点1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) (6)两互斥事件的概率和为1.( ) 二、教材改编2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是( )A ．至多一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都没有中靶3．从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A ＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P (A )＝P (B )＝14，则P (“抽到红花色”)＝________，P (“抽到黑花色”)＝________.三、易错易混4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________．5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．四、走进高考 6．[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．考点一随机事件关系的判断[自主练透型]1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A ：“甲分得语文书”，事件B ：“乙分得数学书”，事件C ：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )A ．A 与B 是不可能事件 B ．A ＋B ＋C 是必然事件 C ．A 与B 不是互斥事件D ．B 与C 既是互斥事件也是对立事件2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡3．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件悟·技法互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.考点二随机事件的频率与概率[互动讲练型] [例1] [2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．悟·技法计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.[变式练]——(着眼于举一反三)1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成频率分布表．近20年六月份降雨量频率分布表求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．考点三互斥事件与对立事件的概率 [互动讲练型][例2] 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．听课笔记：悟·技法(1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A －)求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.[变式练]——(着眼于举一反三)2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，假设汽车A 12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A 和汽车B 选择的最佳路径分别为( )A ．公路1和公路2B ．公路2和公路1C ．公路2和公路2D ．公路1和公路1第十章概率第一节随机事件的概率【知识重温】①一定会发生 ②一定不会发生 ③可能发生也可能不发生 ④f n (A )＝n An⑤频率 ⑥常数 ⑦常数 ⑧包含 ⑨B ⊇A ⑩并事件⑪事件A 发生 ⑫事件B ⑬0≤P (A )≤1 ⑭1 ⑮0 ⑯P (A )＋P (B ) ⑰1－P (B ) 【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×2．解析：连续射击两次的结果有四种：①第一次中靶第二次中靶；②第一次中靶第二次没中靶；③第一次没中靶第二次中靶；④第一次没有中靶第二次没有中靶，事件“至少一次中靶”包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是D.答案：D3．解析：因为A 与B 不会同时发生，所以A 与B 是互斥事件，则P (“抽到红花色”)＝P (A )＋P (B )＝14＋14＝12，又事件“抽到黑花色”与“抽到红花色”是对立事件，则P (“抽到黑花色”)＝1－P (“抽到红花色”)＝1－12＝12.答案：12 124．解析：设平局(用△表示)为事件A ，甲赢(用⊙表示)为事件B ，乙赢(用※表示)为事件C ，容易得到如图．平局含3个基本事件(图中的△)，P (A )＝39＝13，甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P (B )＝39＝13.答案：13 135．解析：∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.答案：0.356．解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有C 25＝10种选法，其中选出的2名同学都是男同学的选法有C 23＝3种，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P ＝1－310＝710.答案：710课堂考点突破考点一1．解析：“A ，B ，C ”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A 、B 两项错误；“A ，B ”可能同时发生，故“A ”与“B ”不互斥，C 项正确；“B ”与“C ”既不互斥，也不对立，D 项错误，故选C.答案：C 2．解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．答案：A3．解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分条件．答案：B 考点二例1 解析：(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.变式练1．解析：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为(2)由已知可得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.考点三例2 解析：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14，因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.变式练2．解析：通过公路1的频率为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2的频率为0.1,0.4,0.4,0.1，设A 1，A 2分别表示汽车A 在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙．B 1，B 2分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙，则P (A 1)＝0.2＋0.4＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (B 1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A 的最佳路径为选择公路1，汽车B 的最佳路径为选择公路2.答案：A。

高考数学一轮复习 121 随机事件的概率课件新人教A

课堂总结
解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B， “2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以 P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝ 0.56.
课堂总结
诊断自测
1．判断正误(在括号内频率与概率是相同的．
(×)
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ( √ )
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生． ( × )
(4)两个事件对立时一定互斥，但两个事件是互斥时这两
个事件未必对立．
(√ )
课堂总结
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为5＋ 10020＝14，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为14.
课堂总结
(2)根据抽样结果，可得寿命大于 200 小时的两种品牌产品共有 75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有 75 个，所以在样本中，寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是17455＝ 1259.据此估计已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 1259.
解析 ∵P(A)＝512，P(B)＝1532，且 A 与 B 是互斥事件．
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝512＋1532＝1542＝276.
答案
7 26
课堂总结
5．(人教A必修3P123A1改编)若A，B为互斥事件，则P(A)＋ P(B)________1(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．答案 ≤

2022年高中数学新人教版A版精品教案《随机事件的概率》

设计了两道关于三种事件的训练题，帮助学生区分三种事件。而第三题引导学生仔细观察，让学生学会自己分析，再由教师进行点评纠正，帮助学生正确理解频率与概率的关系。
六、课堂小结
一、事件的分类
必然事件
确定事件
事件不可能事件
随机事件
二、相关概念
频数：在相同的条件S下重复n次试验，某一事件A出现的次数
频率：事件A出现的比例
五、课堂练习
1、在2021产品中，有192件一级品，8件二级品，那么以下事件：
①在这2021产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这2021产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这2021产品中任意选出9件，不全是一级品；
④在这2021产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100，
其中④是必然事件；②是不可能事件；①③是随机事件。
1、正确理解概率的定义；
2、理解随机事件发生的不确定性和
频率的稳定性；
18
47
95
189
474
951
击中靶心频率
得出结论：随着次数的不断增加，击中靶心的频率接近于。
例子3：油菜籽的发芽率，结果如下表所示：
每批粒数n
5
10
70
130
700
1500
2021
3000
发芽的粒数m
4
9
62
116
625
1354
通过提问自己的结果与其他同学是否一致，让学生思考原因，进而使学生理解随机事件的发生具有随机性；
通过小组内的交流合作，引导学生发现随着试验次数的增加，频率的值逐渐趋于稳定，并在某个常数附近上下摆动，表现出一定的规律性。
为了描述问题的方便，教师给出确切的频数与频率的定义。