2015年山东省枣庄市滕州二中新校高二上学期数学期中试卷和解析

2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中新校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），22．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y23．（5分）过点M（﹣2，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的切线l，且直线l1：ax+3y+2a=0与l平行，则l1与l间的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线y=2x2的焦点F到准线l的距离是（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2 B．a=0或a=2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤26．（5分）已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n7．（5分）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣48．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）A．B．1 C．2 D．49．（5分）已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．命题q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若“p∧q”是真命题，则实数a取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≤﹣2或a=1 C．a≤﹣1或1≤a≤2 D．a≥110．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=y﹣ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）若双曲线﹣=1的离心率为，则其渐近线方程为．14．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．（5分）下列命题成立的是．（写出所有正确命题的序号）．①a，bc∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②当x＞0时，函数，∴当且仅当x2=2x即x=2时f （x）取最小值；③当x＞1时，；④当x＞0时，的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C的方程，求与双曲线有共同焦点且经过点的椭圆的方程．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），．求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．20．（12分）已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）（文科做）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．（理科做）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B 的任一直线，都有•？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，集合B=．命题p：x∈A；命题q：x∈B．q是p的充分条件，求实数a的取值范围．22．（12分）已知椭圆M：，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为．（1）求椭圆M离心率；（2）若弦AC的最小值为，求椭圆M的方程．2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中新校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），2【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选：D．2．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则D．若x＜y，则x2＜y2【解答】解：A、由得=0，则x=y，为真命题；B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；C、若x=y，不一定有意义，为假命题；D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；故选：A．3．（5分）过点M（﹣2，4）作圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的切线l，且直线l1：ax+3y+2a=0与l平行，则l1与l间的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：因为点M（﹣2，4）在圆C上，所以切线l的方程为（﹣2﹣2）（x﹣2）+（4﹣1）（y﹣1）=25，即4x﹣3y+20=0．因为直线l与直线l1平行，所以﹣=，即a=﹣4，所以直线l1的方程是﹣4x+3y﹣8=0，即4x﹣3y+8=0．所以直线l1与直线l间的距离为=．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的焦点F到准线l的距离是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：抛物线化为：x2=y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=，故选：D．5．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2 B．a=0或a=2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故选：C．6．（5分）已知，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n【解答】解：a＞2时，，等号当且仅当，即a﹣2=1，a=3时等号成立x＜0时，有x2﹣2＞﹣2，可得由上知，m＞n故选：A．7．（5分）若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b﹣d，c=b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b=2，d=6，∴a=b﹣d=﹣4，故选：D．8．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x﹣2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x﹣2）过焦点．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．，则，|FQ|=x2+2．联立．化为k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．∵△＞0，∴，x1x2=4．∴+====．故选：A．9．（5分）已知命题p：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．命题q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若“p∧q”是真命题，则实数a取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≤﹣2或a=1 C．a≤﹣1或1≤a≤2 D．a≥1【解答】解：“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．则a≤x2，∵1≤x2≤4，∴a≤1，即p：a≤1．若“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a2+a﹣2≥0，解得a≥1或a≤﹣2，即q：a≥1或a≤﹣2．若“p∧q”是真命题，则p，q同时为真命题，即，解得a=1或a≤﹣2．实数a取值范围是a=1或a≤﹣2．10．（5分）实数x，y满足不等式组，则目标函数z=y﹣ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=ax+z，要使目标函数z=y﹣ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，即直线y=ax+z经过点A（1，3）时，截距最大，由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右下方，此时只要满足直线y=ax+z的斜率a大于直线AB的斜率即可，直线AB方程为x﹣y+2=0，即y=x+2，直线的斜率为1，∴a＞1．故a的取值范围是（1，+∞）．故选：C．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选：A．12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F 1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）若双曲线﹣=1的离心率为，则其渐近线方程为y=x．【解答】解：双曲线的离心率e==即：c=a，∴c2=a2+b2=3a2，∴b2=2a2，b=a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x=x，故答案是14．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为若x∉A∩B，则x∉A 且x∉B．【解答】解：同时否定条件和结论，得到否命题，所以命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题是：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．故答案为：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．15．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F 2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：816．（5分）下列命题成立的是①③④．（写出所有正确命题的序号）．①a，bc∈R，a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②当x＞0时，函数，∴当且仅当x2=2x即x=2时f （x）取最小值；③当x＞1时，；④当x＞0时，的最小值为．【解答】解：①由（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，展开得a2+b2+c2≥ab+bc+ac，故正确；②当x＞0时，==3，当且仅当x=1时取等号，∴f（x）最小值为3，故不正确；③当x＞1时，=x+==5，当且仅当x=3时取等号，∴最小值为5，正确；④当x＞0时，=2，当且仅当x=1时取等号，令x+=t≥2，=，令f（t）=，（t≥2）．则f′（t）=1﹣=，∴函数f（t）在[2，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（2）=．故的最小值为，因此正确．综上可知：只有①③④正确．故答案为①③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C的方程，求与双曲线有共同焦点且经过点的椭圆的方程．【解答】解：∵双曲线的焦点为，∴椭圆焦点在y轴上且半焦距是，设椭圆方程为，将点代入得a4﹣26a2+25=0，∴a2=25或a2=1（舍），∴椭圆方程为．18．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N+），．求数列{b n}的前n项和S n．﹣a n=n+1（n∈N+），∴n≥2时a n﹣a n﹣1=n，【解答】解：∵a n+1∴，累加得，又a1=1，∴，经检验n=1也成立，∴，∴，∴．19．（12分）已知函数f（x）=x2+2x+a（1）当时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若对于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=时，f（x）＞1即，化简得2x2+4x﹣1＞0，解得x＞﹣1+或x＜﹣1﹣，∴不等式f（x）＞1的解集为：；（2）f（x）＞0即x2+2x+a＞0对∀x∈[1，+∞）恒成立，可化为a＞﹣x2﹣2x对∀x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=﹣x2﹣2x，可知g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，g max（x）=﹣3，∴a＞﹣3．20．（12分）已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）（文科做）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．（理科做）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B 的任一直线，都有•？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意可知：C上每一点到点F（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等，点P的轨迹是抛物线（去掉顶点）．可得曲线C的方程为y2=4x（x＞0）．（2）（文科）设点P（x，y），满足y2=4x，则点P到直线x+2y+5=0的距离|PQ|====，当y=﹣4时最小，即|PQ|最小值为．（理科）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B （x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，且①又，∵•，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，②式可化为即将①代入上式，得m2﹣6m+1＜4t2．∵对任意实数t上式成立，∴m2﹣6m+1＜（4t2）min，而（4t2）min=0．即m2﹣6m+1＜0∴．∴存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有•，且m的取值范围．21．（12分）已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，集合B=．命题p：x∈A；命题q：x∈B．q是p的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}①当2=3a+1，即时，A=∅，而B≠∅，不满足题意．②当2＜3a+1，即时，A={x|2＜x＜3a+1}∵2a≤a2+1，∴当a=1时，B=∅，B⊆A满足题意．当a≠1时，B={x|2a＜x＜a2+1}∵B⊆A，∴，解得1＜a≤3．③当2＞3a+1，即时，A={x|3a+1＜x＜2}∵B⊆A，∴，解得a=﹣1．综上，a的取值范围为{a|1≤a≤3，或a=﹣1}．22．（12分）已知椭圆M：，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为．（1）求椭圆M离心率；（2）若弦AC的最小值为，求椭圆M的方程．【解答】解：（1）设A（x1，y1），由对称性得B（﹣x1，﹣y1）．将A（x 1，y1）代入椭圆得，∴．∴．又，∴，∴，∴．（2）椭圆方程可化为x2+2y2=a2，联立解得，设O为坐标原点，则|OA|2=，同理可得|OC|2=．∴|AC|2=+==．当且仅当k2=1即k=±1时取等号，此时，∴a2=2．∴椭圆方程为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。