三角函数知识整合与提高

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三角函数的知识点总结

三角函数的知识点总结1. 三角函数的基本概念三角函数源于三角形的角度关系，最开始是根据角度的定义和圆的性质推导得到。

三角函数最常用的有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

正弦函数是指直角三角形中对边和斜边的比值，余弦函数是指直角三角形中邻边和斜边的比值，正切函数是指对边和邻边的比值。

这些函数中的输入变量是角度，输出变量是一个无量纲的比值。

2. 三角函数的关系与性质（1）正弦函数与余弦函数的关系：在单位圆上，当一个角为Θ时，其余弦函数值等于该角的补角的正弦函数值，即cos(Θ)=sin(π/2-Θ)。

（2）正切函数与余切函数的关系：在单位圆上，对于角Θ，其正切函数值等于角Θ的补角的余切函数值的倒数，即tan(Θ)=1/cot(Θ)。

（3）函数性质：三角函数具有周期性，正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数的周期为π。

3. 三角函数的定义和图像（1）正弦函数的定义和图像：正弦函数sin(x)在整个实数集上都有定义，其图像为一条连续曲线，且在区间[-π, π]上是凹函数，区间[0, π]上是凸函数，在区间[-π/2, π/2]上是单调递增函数，在区间[π/2, 3π/2]上是单调递减函数。

（2）余弦函数的定义和图像：余弦函数cos(x)在整个实数集上都有定义，其图像也是一条连续曲线，且在区间[0, π]上是凹函数，在区间[-π, 0]上是凸函数，在区间[0, π/2]上是单调递减函数，在区间[π/2, 3π/2]上是单调递增函数。

（3）正切函数的定义和图像：正切函数tan(x)在实数集上有定义，其图像是一条有无数间断点的曲线，且在每个周期的中点有一个无穷大的间断点。

4. 三角函数的导数（1）正弦函数和余弦函数的导数：正弦函数sin(x)的导数是cos(x)，余弦函数cos(x)的导数是-sin(x)。

（2）正切函数的导数：正切函数tan(x)的导数是sec^2(x)。

5. 三角函数的应用三角函数在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在振动力学中，三角函数用于描述谐波振动的性质；在信号处理中，三角函数用于描述周期信号的特性；在工程中，正切函数用于计算斜面的坡度等。

三角函数知识点梳理

三角函数知识点梳理关键信息项：1、三角函数的定义正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数2、三角函数的基本关系式平方关系商数关系倒数关系3、三角函数的诱导公式正弦诱导公式余弦诱导公式4、三角函数的图像和性质正弦函数图像和性质余弦函数图像和性质正切函数图像和性质5、三角函数的周期性周期的定义常见三角函数的周期6、三角函数的最值和值域正弦函数的最值和值域余弦函数的最值和值域正切函数的最值和值域7、三角函数的和差公式正弦和差公式余弦和差公式正切和差公式8、三角函数的倍角公式余弦倍角公式正切倍角公式9、三角函数的半角公式正弦半角公式余弦半角公式正切半角公式11 三角函数的定义111 正弦函数：在直角三角形中，锐角的正弦等于其对边与斜边的比值。

即 sinA ＝ a/c，其中 A 为锐角，a 为 A 的对边，c 为斜边。

112 余弦函数：锐角的余弦等于其邻边与斜边的比值。

即 cosA ＝b/c，其中 b 为 A 的邻边。

113 正切函数：锐角的正切等于其对边与邻边的比值。

即 tanA ＝a/b。

114 余切函数：锐角的余切等于其邻边与对边的比值。

即 cotA ＝b/a。

115 正割函数：斜边与邻边的比值。

即 secA ＝ c/b。

116 余割函数：斜边与对边的比值。

即 cscA ＝ c/a。

12 三角函数的基本关系式121 平方关系：sin²A ＋ cos²A ＝ 1，1 ＋ tan²A ＝ sec²A，1 ＋ cot²A ＝ csc²A。

122 商数关系：tanA ＝ sinA ／ cosA，cotA ＝ cosA ／ sinA。

123 倒数关系：sinA × cscA ＝ 1，cosA × secA ＝ 1，tanA × cotA ＝1。

13 三角函数的诱导公式131 正弦诱导公式：sin(2kπ ＋ A) ＝ sinA，sin(π ＋ A) ＝ sinA，sin(A) ＝ sinA 等。

高三复习：三角函数-知识点、题型方法归纳

高三复习：三角函数-知识点、题型方法
归纳
一、知识点概述
1. 三角函数的定义和性质
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其在数轴上的周期性；
- 三角函数的基本性质和关系：正弦函数与余弦函数的关系，正切函数与正弦函数、余弦函数的关系。

2. 三角函数的图像与性质
- 正弦函数、余弦函数的图像、特征和性质；
- 正切函数的图像、特征和性质。

3. 三角函数的基本变换
- 函数y = A · sin(Bx + C) + D的图像、特征和性质；
- 函数y = A · cos(Bx + C) + D的图像、特征和性质；
- 函数y = A · tan(Bx + C) + D的图像、特征和性质。

二、题型方法归纳
1. 计算题
- 利用三角函数的定义和性质，求解给定角的正弦、余弦、正切值；
- 利用三角函数的图像和性质，求解特定函数值。

2. 解方程和不等式
- 利用三角函数的定义和性质，解三角方程和三角不等式。

3. 图像分析题
- 分析三角函数的图像特征，如振幅、周期、对称轴等；
- 利用函数的基本变换，画出特定三角函数图像。

4. 证明题
- 利用三角函数的基本性质和关系，进行数学推导和证明。

三、总结
三角函数是高中数学的重要内容，通过复和掌握三角函数的知识点和题型方法，可以帮助学生提高解题能力和应用能力。

在复过程中，建议注重基本概念的理解、公式的记忆和方法的灵活运用，以及多做相关题目进行巩固和实践。

以上是三角函数复习的知识点和题型方法归纳，希望对你的高三复习有所帮助。

祝你学业进步，取得好成绩！。

三角函数知识点归纳总结

三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到三角函数的定义、性质、图像、公式等方面的知识。

下面是对三角函数知识点的归纳总结：一、三角函数的定义1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对边与斜边的比值。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，邻边与斜边的比值。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对边与邻边的比值。

4. 余切函数（cot）：在直角三角形中，邻边与对边的比值。

5. 正割函数（sec）：在直角三角形中，斜边与邻边的比值。

6. 余割函数（csc）：在直角三角形中，斜边与对边的比值。

二、三角函数的性质1. 奇偶性：sin和cos函数是奇函数，tan和cot函数是偶函数。

2. 周期性：sin和cos函数的周期为2π，tan和cot函数的周期为π。

3. 值域：sin和cos函数的值域为[-1, 1]，tan和cot函数的值域为实数集。

4. 单调性：sin和cos函数在每个周期内单调递增或递减，tan和cot函数在每个周期内单调递增。

5. 对称性：sin和cos函数关于原点对称，tan和cot函数关于坐标轴对称。

三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。

2. 余弦函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。

3. 正切函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。

4. 余切函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。

5. 正割函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。

6. 余割函数的图像：在直角坐标系中，以x轴为始边，以角θ为终边的一条线段。

四、三角函数的基本公式1. 和差公式：sin(a+b) = sina * cosb + cosa * sinb；cos(a+b) = cosa * cosb - sina * sinb；tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana * tanb)；cot(a+b) = (1 / tana + 1 / tanb) / (1 / tana * 1 / tanb - 1)；sec(a+b) = secab / (cosa * cosb - sina * sinb)；csc(a+b) = cscab / (cosa * cosb + sina * sinb)。

高中数学教案三角函数知识整合与提高

高中数学教案三角函数知识整合与提高授课对象：高中数学（一年级）课程时间：1节课（45分钟）学习目标：1.理解三角函数的定义与性质；2.掌握三角函数的基本运算方法；3.能够灵活运用三角函数解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学步骤：一、导入（5分钟）1.引导学生回顾三角函数的概念，并简要介绍三角函数的定义和基本性质；2.通过一个简单的例子，让学生对三角函数的使用和运算有一个初步的了解。

二、知识整合与巩固（20分钟）1.整合三角函数的基本性质，包括周期性、奇偶性、终边关系等；2.利用终边角和角度的计算公式，引导学生在解决问题时灵活运用三角函数；3.在教学过程中，适当设计一些练习题，让学生巩固所学的三角函数知识。

三、拓展与应用（15分钟）1.引导学生进一步思考三角函数在实际问题中的应用，如测量高度、角度、距离等；2.设计一些相关的应用题，让学生运用三角函数解决实际问题；3.鼓励学生积极思考，主动探索解题思路，培养解决问题的能力。

四、总结与归纳（5分钟）1.进行课堂小结，对整节课的内容进行总结归纳；2.强调三角函数知识的重要性和应用价值，鼓励学生继续深入学习和应用。

教学辅助工具：1.教材、课件、黑板、粉笔等；2.实物或模型，如三角板、直尺、量角器等，用于辅助解题。

教学反思：本节课主要通过整合高中数学中关于三角函数的知识点，让学生更加全面地了解和掌握三角函数的概念和性质。

通过灵活运用三角函数解决实际问题，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学中要注意启发学生的主动思考和探索，让他们在解决问题的过程中积极思考，提高问题解决能力。

在教学过程中，要结合具体例子和实际问题，让学生更加直观地理解和应用三角函数知识。

同时，要根据学生的实际水平和问题难度，适当调整教学的难易程度，确保教学达到预期效果。

(完整版)高中三角函数知识点总结

(完整版)高中三角函数知识点总结高中三角函数知识点总结1. 基本三角函数概念- 三角函数是以单位圆为基础的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值称为正弦值。

即：sinA = 对边/斜边。

- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值称为余弦值。

即：cosA = 邻边/斜边。

- 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值称为正切值。

即：tanA = 对边/邻边。

2. 基本三角函数性质和公式- 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π；正切函数的周期是π.- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

- 三角函数的同角关系：sinA/cosA = tanA。

- 三角函数的和差化积公式和积化和差公式：具体公式可根据需要进行查阅。

3. 三角函数图像和性质- 正弦函数图像：在0到2π的区间内，正弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于零值。

- 余弦函数图像：在0到2π的区间内，余弦函数的图像为一条周期性的波浪线，最高点为1，最低点为-1，对应于最大值和最小值，0点对应于最大值。

- 正切函数图像：在0到π的区间内，正切函数的图像无法在x=π/2和3π/2时定义，其他点对应的图像为一条连续的射线。

4. 三角函数的应用- 三角函数广泛应用于科学和工程领域中的周期性现象的描述和计算，例如电流的正弦波，声波的波动等。

- 在几何学中，三角函数也应用于测量角度和距离等问题的解决。

以上为高中三角函数的基本知识点总结，更详细的内容和公式可以参考相关教材或资料。

(完整版)三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

三角函数最全知识点总结

三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。

一、正弦函数（sin）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的纵坐标y即为θ的正弦值，记作sinθ。

正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，sin(θ+π)=-sinθ。

其中π为圆周率。

3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。

4. 正负性：当θ为锐角时，sinθ>0；当θ为钝角时，sinθ<0。

5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，sinθ从0增加到1，然后再从1减小到0。

二、余弦函数（cos）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的横坐标x即为θ的余弦值，记作cosθ。

余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，cos(θ+π)=-cosθ。

3. 奇偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。

4. 正负性：当θ为锐角时，cosθ>0；当θ为钝角时，cosθ<0。

5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，cosθ从1减小到0。

三、正切函数（tan）：1. 定义：正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值，即tanθ=sinθ/cosθ。

正切函数的定义域为实数集，值域为实数集。

2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ。

3. 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ，即正切函数关于原点对称。

4. 正负性：当θ为锐角时，tanθ>0；当θ为钝角时，tanθ<0。

四、反三角函数：1. 反正弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[-π/2，π/2]。

记作arcsin x或sin⁻¹x。

2. 反余弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。

三角函数拓展知识点总结

三角函数拓展知识点总结一、三角函数的定义与性质1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三角函数为一个角的对边、邻边和斜边之比。

具体来说，正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等，它们的定义分别如下： - 正弦函数：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的性质* 周期性：对于任意角θ，三角函数都是周期函数，具有周期2π。

* 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数则是奇函数。

* 定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]；而正切函数的定义域是全体实数，值域是实数集。

二、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在每个周期内有一个最大值1和一个最小值-1，而且它的图像是周期性的。

正弦函数的性质还包括：- 对称性：正弦函数关于原点对称。

- 单调性：一个周期内，正弦函数在(0, π)上是增函数，在(π, 2π)上是减函数。

- 零点：正弦函数有无穷多个零点，即sin(kπ)=0，其中k为整数。

2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在每个周期内有一个最大值1和一个最小值-1，而且它的图像也是周期性的。

余弦函数的性质还包括：- 对称性：余弦函数关于y轴对称。

- 单调性：一个周期内，余弦函数在(0, π)上是减函数，在(π, 2π)上是增函数。

- 零点：余弦函数的零点为cos((2k+1)π/2)=0，其中k为整数。

3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的周期性函数，其图像在每个周期中有许多奇点，其性质包括： - 奇点：正切函数在每个周期内有许多奇点，即在θ=(2k+1)π/2处，tanθ的值无定义。

- 增减性：正切函数在每个周期内有无穷多个极大值和极小值，并且在每个周期内均为增函数或减函数。

完整版)三角函数知识点总结

千里之行，始于足下。

完整版)三角函数知识点总结三角函数是高中数学中的重要部分，它与几何图形的性质、三角形的边角关系、周期函数等有着密切的联系。

以下是三角函数的一些重要的知识点总结：一、三角函数的定义：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正弦函数的值等于对边长度与斜边长度的比值。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，余弦函数的值等于邻边长度与斜边长度的比值。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正切函数的值等于对边长度与邻边长度的比值。

二、三角函数的重要性质：1. 三角函数的周期性：sin、cos、tan函数的周期都是2π。

2. 三角函数的奇偶性：（1）正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

（2）余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

（3）正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

3. 三角函数的界值：（1）正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，即-1≤sin(x)≤1。

（2）余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间，即-1≤cos(x)≤1。

（3）正切函数的取值范围为全体实数。

三、三角函数的基本关系与恒等式：1. 余弦与正弦的基本关系：cos(x)=sin(x+π/2)。

2. 正切与正弦、余弦的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。

3. 三角函数的和差公式：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

（1）sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。

（2）cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。

4. 三角函数的倍角公式：（1）sin(2x)=2sin(x)cos(x)。

（2）cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)。

（3）tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x))。

5. 三角函数的半角公式：（1）sin(x/2)=√[(1-cos(x))/2]。

高中数学三角函数知识点归纳总结

高中数学三角函数知识点归纳总
结
一、任意角的概念与弧度制
二、任意角的三角函数
三、三角函数的图象与性质
四、三角恒等变换
还可以再加上解三角形的知识，正弦定理，余弦公式，三角形面积公式，以及基本不等式。

三角函数这部分可以从两大方面来掌握，一个是恒等变换，另一个是图象和性质。

从解题所用到的知识点来串讲的话，重要有以下几点：
1、三角函数定义式；
2、同角关系；
3、诱导公式；
4、和差公式；
5、二倍角公式；
6、辅助角公式；
7、万能公式；
8、三角函数的图象与性质；
9、特殊角度的三角函数值；
10、正弦定理；
11、余弦公式；
12、三角形面积公式；
13、基本不等式。

如果学生能把这些基础知识点熟练写出来，三角函数和解三角形就不怕了。

接下来再掌握一些常考题型的解题方法和解题技巧、解题思想，这个大专题很轻松就能熟练掌握了。

三角函数的知识点比较多，公式也多，不去梳理和总结的话，就容易乱糟糟一团。

建立自己的知识体系很重要。

这一直都是我强调的学习方法。

(完整版)三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表： (2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。

三角函数相关知识点总结

三角函数相关知识点总结一、三角函数的定义。

1. 锐角三角函数。

- 在直角三角形中，设一个锐角为α。

- 正弦sinα=(对边)/(斜边)。

例如，在直角三角形ABC中，∠ C = 90^∘，∠A=α，BC为∠ A的对边，AB为斜边，则sinα=(BC)/(AB)。

- 余弦cosα=(邻边)/(斜边)，对于上述三角形，AC为∠ A的邻边，cosα=(AC)/(AB)。

- 正切tanα=(对边)/(邻边)=(BC)/(AC)。

2. 任意角三角函数（单位圆定义）- 设角α终边上一点P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}。

- sinα=(y)/(r)。

- cosα=(x)/(r)。

- tanα=(y)/(x)(x≠0)。

二、三角函数的基本性质。

1. 定义域。

- y = sin x和y=cos x的定义域都是R（全体实数）。

- y=tan x的定义域是<=ft{xx≠ kπ+(π)/(2),k∈ Z}。

2. 值域。

- y = sin x和y=cos x的值域都是[ - 1,1]。

- y=tan x的值域是R。

3. 周期性。

- y = sin x和y=cos x的最小正周期都是2π。

即sin(x + 2kπ)=sin x，cos(x +2kπ)=cos x，k∈ Z。

- y=tan x的最小正周期是π，tan(x + kπ)=tan x，k∈ Z。

4. 奇偶性。

- y=sin x是奇函数，因为sin(-x)=-sin x。

- y = cos x是偶函数，因为cos(-x)=cos x。

- y=tan x是奇函数，因为tan(-x)=-tan x。

5. 单调性。

- y=sin x在<=ft[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递增，在<=ft[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈ Z)上单调递减。

- y=cos x在[2kπ-π,2kπ](k∈ Z)上单调递增，在[2kπ,2kπ + π](k∈ Z)上单调递减。

三角函数高阶知识点总结

三角函数高阶知识点总结一、三角函数的定义1. 基本三角函数在三角函数的研究中，最基本的三个函数分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。

这三个函数分别表示了一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边之间的关系。

它们的定义如下：正弦函数：sin(θ) = 对边 / 斜边余弦函数：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数：tan(θ) = 对边 / 邻边其中，θ为角度。

2. 基本性质三角函数具有很多基本性质，包括周期性、奇偶性、单调性等。

这些性质在研究三角函数的图像、性质和应用时非常重要。

3. 反三角函数反三角函数是指与三角函数互为反函数的函数。

常见的反三角函数包括正弦函数的反函数arcsin(x)、余弦函数的反函数arccos(x)和正切函数的反函数arctan(x)。

它们的定义和性质在解三角方程、求解三角函数的值等方面有着重要的应用。

二、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质正弦函数的图像是一条周期性的曲线，其周期为2π，在每个周期内呈现出上下波动的特点。

正弦函数的性质包括奇函数、有界性、单调性等。

2. 余弦函数的图像和性质余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，其周期为2π，但与正弦函数的图像相位差π/2。

余弦函数的性质包括偶函数、有界性、单调性等。

3. 正切函数的图像和性质正切函数的图像是多条周期性的曲线，其周期为π，在每个周期内也呈现出上下波动的特点。

正切函数的性质包括奇函数、无界性、单调性等。

4. 反三角函数的图像和性质反三角函数的图像通常是一条曲线或直线，其性质包括定义域、值域、单调性等。

三、三角函数的运算与恒等变换1. 三角函数的运算三角函数具有一系列的运算规则，包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。

这些运算规则在化简三角函数的表达式、求解三角方程、证明三角函数的恒等式等方面都有着重要的应用。

2. 三角函数的恒等变换三角函数的恒等变换是指一组等价的三角函数的形式变换。

常见的恒等变换包括同角三角函数的恒等变换、差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。

三角函数知识点整理复习

三角函数知识点整理复习三角函数是初等数学的重要分支，是描述直角三角形中各个角的函数关系。

在几何、力学、电磁学等学科中都有广泛的应用。

下面是对三角函数常识的整理和复习。

1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期性的函数，其定义域为所有实数，值域为[-1,1]。

根据单位圆的定义，正弦函数可以表示为一些角的斜边长度与半径长度之比。

在单位圆上，角度为θ时，正弦函数的值等于斜边长度（垂直边）与半径长度之比。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期性函数，其定义域为所有实数，值域也是[-1,1]。

余弦函数可以表示为一些角的直角边长度与半径长度之比。

在单位圆上，角度为θ时，余弦函数的值等于直角边长度（底边）与半径长度之比。

3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期性函数，其定义域为所有实数，值域为整个实数集。

正切函数可以表示为一些角的直角边长度的比值。

在单位圆上，角度为θ时，正切函数的值等于直角边长度（垂直边）与直角边长度（底边）之比。

4. 余切函数（cot）：余切函数也是一个周期性函数，其定义域为所有实数，值域为整个实数集。

余切函数可以表示为一些角的直角边长度的比值。

在单位圆上，角度为θ时，余切函数的值等于直角边长度（底边）与直角边长度（垂直边）之比。

5.正弦函数和余弦函数的关系：正弦函数和余弦函数是互为余弦的关系，即sin(θ) = cos(π/2 - θ) 和cos(θ) = sin(π/2 - θ)。

这意味着两个角的正弦值相等，当且仅当这两个角互为余弦。

6.正切函数和余切函数的关系：正切函数和余切函数是互为余切的关系，即tan(θ) = cot(π/2 - θ) 和cot(θ) = tan(π/2 - θ)。

这意味着两个角的正切值相等，当且仅当这两个角互为余切。

7.正弦函数和余切函数的关系：正弦函数和余切函数是互为正弦的关系，即sin(θ) = 1/csc(θ) 和csc(θ) = 1/sin(θ)。

三角函数知识点及题型总结

三角函数知识点及题型总结
三角函数是数学中的一种基本概念，主要用于研究三角形的几何性质和三角函数的性质。

下面是三角函数的知识点和题型总结：
知识点：
1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

它们分别表示三角形中的角度与其对应的边长或高度之间的关系。

2. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像呈周期性变化，余切函数和正切函数的图像呈双曲线形状。

三角函数的图像可以用来确定角度的大小和方向。

3. 三角函数的性质：三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。

这些性质可以用来解决三角函数的相关问题。

题型总结：
1. 三角函数的定义和性质：这类题目主要考察对三角函数定义和性质的理解和掌握程度。

例如，给出一个角度和对应的边长或高度，要求计算该角度的正弦值、余弦值或正切值等。

2. 三角函数的图像：这类题目主要考察对三角函数图像的观察和理解能力。

例如，给定一个角度或一个角度范围，要求画出对应的三角函数图像。

3. 三角函数的应用：这类题目主要考察三角函数在实际问题中的应用能力。

例如，要求解决一个三角形的几何问题，需要利用三角函数的性质和图像来求解。

总之，三角函数是数学中的一个重要概念，需要掌握其定义、性质和图像，并能够在实际问题中灵活运用。

高考数学三角函数知识点总结及练习

高考数学三角函数知识点总结及练习三角函数总结及统练本文旨在总结和统练三角函数的基础知识，包括以下内容：一、基础知识1.集合S表示与角α终边相同的角的集合，其中β=2kπ+α，k∈Z。

2.三角函数是x、y、r三个量的比值，共有六种定义。

3.三角函数的符号口诀为“一正二弦，三切四余弦”。

4.三角函数线包括正弦线MP=sinα、余弦线OM=cosα和正切线AT=tanα。

5.同角三角函数的关系包括平方关系、商数关系和倒数关系，可以用“凑一拆一，切割化弦，化异为同”的口诀记忆。

6.诱导公式口诀为“奇变偶不变，符号看象限”，其中包括正弦、余弦、正切和余切的公式。

7.两角和与差的三角函数包括正弦、余弦、正切和余切的公式，以及三角函数的和差化积公式。

8.二倍角公式包括sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cosα-sinα、tan2α=2tanα/1-tan2α，以及对应的cos、tan公式。

9.三角函数的图象和性质，包括函数y=sinx、y=cosx和y=tanx的定义和定义域。

总之，三角函数是数学中的重要概念，掌握其基础知识对于研究高等数学和其他相关学科都有很大的帮助。

对于函数 $y=\sin x$，其定义域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，值域为$[-1,1]$。

当 $x=2k\pi+\pi/2$ 时，函数取最大值 $1$；当$x=2k\pi-\pi/2$ 时，函数取最小值$-1$。

函数的周期为$2\pi$，是奇函数。

在区间 $[2k\pi-\pi/2,2k\pi+\pi/2]$ 上是增函数，在区间$[2k\pi-\pi,2k\pi]$ 上也是增函数，其中$k\in\mathbb{Z}$。

在区间 $[2k\pi,2k\pi+\pi]$ 上是减函数。

对于函数 $y=Asin(\omega x+\phi)$，当 $A>0$ 且$\omega>0$ 时，函数图像可以通过将横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{\omega}$ 倍，纵坐标伸长为原来的 $A$ 倍，再将图像左移$\dfrac{\phi}{\omega}$ 个单位得到。

三角函数综合_知识讲解_提高

三角函数综合【学习目标】1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解A ωϕ、、的物理意义. 5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.【知识网络】【要点梳理】要点一：终边相同的角 1．终边相同的角凡是与α终边相同的角，都可以表示成360k α⋅︒+的形式. 要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 特例：终边在x 轴上的角集合{}|180k k Z αα=⋅︒∈，，终边在y 轴上的角集合{}|18090k k Z αα=⋅︒+︒∈，，终边在坐标轴上的角的集合{}|90k k Z αα=⋅︒∈，.在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小. 2．弧度和角度的换算(1)角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度'180()5718π=≈(2)弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121r r l S α==.(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：1.三角函数定义：角α终边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=． 2.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．22sin sin cos 1;tan cos ααααα+==(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取． 5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):sin(πα-)=sin α，cos(πα-)=-cos α，tan(πα-)=-tan α sin(πα+)=-sin α，cos(πα+)=-cos α，tan(πα+)=tan α sin(α-)=-sin α，cos(α-)=cos α，tan(α-)=-tan αsin(2πα-)=-sin α，cos(2πα-)=cos α，tan(2πα-)=-tan αsin(2k πα+)=sin α，cos(2k πα+)=cos α，tan(2k πα+)=tan α，()k Z ∈ sin(2πα-)=cos α，cos(2πα-)=sin α sin(2πα+)=cos α，cos(2πα+)=-sin α要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ 90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 1.三角函数sin cos ，y x y x ==的图象与性质：y=cosx 的图象是由y=sinx 的图象左移2得到的. 2．三角函数tan y x =的图象与性质：要点四：函数sin()y A x =+ωϕ的图象与性质 1．“五点法”作简图用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释：用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T . 2．sin ()y A x x =+ωϕ的性质(1)三角函数的值域问题三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于sin (cos )x x 的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.(2)三角函数的单调性函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间的确定，基本思想是把ϕω+x 看作一个整体，比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间；要点诠释：（1）注意复合函数的解题思想；（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.3．确定sin ()y A x x =+ωϕ的解析式的步骤 ①首先确定振幅和周期，从而得到A ω，；②确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.要点五：正弦型函数sin()y A x =+ωϕ的图象变换方法先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ϕ=++的图象.先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ωϕ=++的图象.【典型例题】类型一：三角函数的概念例1. 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值. 【思路点拨】分0,0a a ><两种情况求α的三个三角函数值．【解析】因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==.当0sin5y a r α>====时，；cos5x r α===，2tan =α.当0sin5y a r α<====-时，cos 5x r α===-；2tan =α. 【总结升华】(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；(2)若角α已经给定，不论点选在α的终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角α的三角函数值也是确定的.举一反三：【变式1】已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=cos ,tan αα的值.【解析】由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x == cos 1,tan 0x yr xαα==-==；当m =r x == cos tan x y r x αα====；当m =r x == cos tan x y r x αα====类型二：扇形的弧长与面积的计算例2．已知一半径为r 的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？【答案】2π-65.44︒21(2)2r π-【解析】设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长是θr ，所以扇形的周长是2.r r θ+ 依题意，得2,r r r θπ+=()2rad θπ∴=-180(2)ππ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≈1.14257.30⨯︒≈65.44,︒2211(2).22S r r θπ∴==-【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式2C r π=⋅和圆面积公式2122S r π=⋅⋅，当用圆心角的弧度数α代替2π时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：211,.22l r S lr r αα=⋅==⋅类型三：同角三角函数的基本关系式例3．已知1sin cos ,(0,),5A A A π+=∈，求tan A 的值. 【思路点拨】由题意知，12sin cos ,(0,),25A A A π=-∈所以A 为钝角，然后求出3cos 5α=-即可求得．【解析】方法一：由51cos sin =+A A ，得(),251cos sin 2=+A A),,0(,2512cos sin π∈-=∴A A A .0cos sin ,0cos ,0sin ,2>-<>∴<<∴A A A A A ππ又().57cos sin ,2549cos sin 21cos sin 2=-∴=-=-A A A A A A 由,57cos sin 51cos sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+A A A A 得,.53cos 54sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==A A.34tan -=∴A方法二：由51cos sin =+A A 可得,sin 51cos 22⎪⎭⎫⎝⎛-=A A即,sin 51sin 122⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A 整理得,012sin 5sin 252=--A A即,0)3sin 5)(4sin 5(=+-A A54sin =∴A 或53sin -=A ，由已知π<<A 0知53sin -=A 不合题意，舍去.1sin cos 5A A +=，两边平方得：12sin cos ,(0,),25A A A π=-∈(,)2A ππ∴∈，所以3cos 5A =- .34tan -=∴A【总结升华】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法．举一反三：【变式1】已知cosθ－sinθ=－2，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．【答案】18【解析】23(cos sin )4θθ-=，312sin cos 4θθ∴-=，1sin cos 8θθ∴=cos sin 0,sin cos 0θθθθ-<>，sin cos 2θθ∴+=±【变式2】证明：()2222sin cot tan sin θθθθ=-. 【证明】 [法1]——右到左，切化弦，由繁到简.右222cot (tan sin )θθθ=-2222222cos sin sin 1cos sin sin cos θθθθθθθ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭左.[法2](证与原式等价的式子)即证：2222sin tan tan sin θθθθ⋅=-. 左2222tan (1cos )tan sin θθθθ=-=-=右. 类型四：三角函数的诱导公式例4．已知sin(3π＋θ)＝13，求()()()cos cos(2)33cos cos 1sin cos sin 22πθθπππθπθθθπθ+-+--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎣⎦---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【思路点拨】利用诱导公式，求出sin θ＝－13．然后化简要求的式子，即可求得结果．【答案】18【解析】 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13， ∴原式＝()cos cos(2)3cos cos 1sin cos()cos 2θπθπθθθπθθ--+--⎛⎫---+ ⎪⎝⎭＝21cos 1cos cos cos θθθθ++-+＝11cos θ+＋11cos θ-＝221cos θ-＝22sin θ＝221()3-＝18. 【总结升华】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k πα⋅+的整数k 来讲的，象限指2k πα⋅+中，将α看作锐角时，2k πα⋅+所在象限，如将3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭写成cos 32πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又32πα+看作第四象限角，3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭为“+”，所以有3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.举一反三：【变式1】（2016 东湖区期末）已知3sin()cos(2)tan()2()cos()f ππαπαααπα---+=-，则31()3f π-的值为（）A ．12 B ．12- CD．【答案】B【解析】sin cos cot ()cos cos f αααααα==--则31311()cos()cos(10)cos 33332f πππππ-=--=-+=-=-．故选B ．【变式2】化简(1))(2sin Z n n ∈π(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．【解析】(1)当n=4k(k ∈Z)时，02sin 2sin ==ππk n当n=4k+1(k ∈Z)时，1)22sin(2sin=+=πππk n 当n=4k+2(k ∈Z)时，0)2sin(2sin =+=πππk n当n=4k+3(k ∈Z)时，123sin )232sin(2sin -==+=ππππk n(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-．②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+．【总结升华】关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．类型五：三角函数的图象和性质例5.（2015 山东临沂模拟）函数sin ln()sin x xy x x-=+的图象大致是（）【解析】∵函数sin ln()sin x xy x x-=+，∴x +sin x ≠0，x ≠0，故函数的定义域为{x ｜x ≠0}．再根据y =f （x ）的解析式可得sin sin ()ln()ln()()sin sin x x x xf x f x x x x x-+--===--+，故函数f （x ）为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．当x ∈（0，1）时，∵0＜sin x ＜x ＜1，∴sin 01sin x xx x-<<+，∴函数sin ln()0sin x xy x x-=<+，故排除C ，只有A 满足条件，故选：A ．举一反三：【高清课堂：三角函数的综合395043 例1】【变式1】函数()cos f x x =在[0,)+∞内（）A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点【答案】B例6．把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（）【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos （x+1），然后将曲线y=cos （x+1）的图象和余弦曲线y=cosx 进行对照，可得正确答案．【答案】A【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos （x+1），∵曲线y=cos （x+1）由余弦曲线y=cosx 左移一个单位而得，∴曲线y=cos （x+1）经过点1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和31,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且在区间31,122ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上函数值小于0，由此可得，选项A 正确，故选A ．举一反三：【变式1】已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 ()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【思路点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚．【答案】A【解析】由题知,T π=又0ω>，所以222,T ππωπ===所以 ()sin(2)cos (2)424f x x x πππ⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦ =cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 28x π⎛⎫- ⎪⎝⎭显然将()f x =cos 28x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度便可得到()cos 2g x x =的图象．故选A ．例7．已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<（I ）若cos cos sin sin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．【思路点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出tan ϕ，由0ω>，||2πϕ<，求出ϕ的值．（Ⅱ）由题意求得，23T π=，故3ω=，进一步求出()f x 的解析式．【答案】（I ）4π（Ⅱ）()sin(3)4f x x π=+ 12π 【解析】（I ）由3cos cos sinsin 044ππϕϕ-=，得cos 022ϕϕ-=，得tan 1ϕ= 又||,24ππϕϕ<∴=．（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+依题意，23T π= 又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()s i n 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈ 即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数sin()y A x ωϕ=+的性质，属中等难度题．举一反三：【变式1】（2015 安徽枞阳县模拟）已知f （x ）的定义域为[－π，π]，且f （x ）为偶函数，且当x ∈[0，π]时，()2sin()3f x x π=+．（1）求f （x ）的解析式及f （x ）的单调递增区间；（2）若2[()]()0f x x =，求x 的所有可能取值．【答案】（1）[,]6ππ--和[0,]6π；（2）0，13π±，23π± 【解析】（1）当x ∈[―π，0]时，―x ∈[0，π]，()2sin()3f x x π-=-+ 由于f （x ）为偶函数，则f （－x ）=f （x ），故()2sin()3f x x π=-+，x ∈（－π，0] 即2sin(),[0,]3()2sin(),[,0]3x x f x x x ππππ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩．画出f （x ）的图象由图象易得f （x ）的单调增区间为[,]6ππ--和[0,]6π．（2）方程等价于f （x ）=0或()f x = 当23x π=±时f （x ）=0；当0或13π±时()f x =综上可知x 的所有可能取值为0，13π±，23π±．。

三角函数九年级知识点总结

三角函数九年级知识点总结数学是一门严谨而精密的学科，它包含着丰富的知识点和概念。

而在数学中，三角函数是一项重要而广泛应用的内容。

它不仅在几何学中有着重要作用，还广泛应用于物理学、工程学等领域。

在这篇文章中，我们将对九年级学生所学的三角函数知识点进行总结和归纳。

一、初识三角函数在开始学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念。

三角函数是描述角度与三角形边的关系的函数。

在三角函数中，最基本的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。

这些函数可以用来计算直角三角形中的角度和边长之间的关系。

二、弧度制与角度制在使用三角函数计算时，我们通常使用的是角度制。

但是，在一些数学和物理问题中，使用弧度制更为方便。

因此，九年级学生需要了解两种制度之间的转换关系。

一圈的角度是360度或2π弧度，这是两个制度之间的基本换算。

三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最常用的两个函数。

其中，正弦函数表示角度的对边与斜边的比值，用sin表示；而余弦函数表示角度的临边与斜边的比值，用cos表示。

这两个函数的取值范围都在-1到1之间。

四、正切函数正切函数是三角函数中另一个重要的函数。

它表示角度的对边与临边的比值，用tan表示。

正切函数的取值范围涵盖整个实数集，没有上限和下限。

五、诱导公式诱导公式是三角函数中的一个重要概念。

它用于计算角度和函数值的互相转换。

三角函数中的诱导公式有：sin(-x) = -sin(x)cos(-x) = cos(x)tan(-x) = -tan(x)sin(π-x) = sin(x)cos(π-x) = -cos(x)tan(π-x) = -tan(x)其中，π表示圆周率，也可以用3.14来近似表示。

六、三角函数的图像与性质在学习三角函数时，了解它们的图像和性质是十分重要的。

正弦函数和余弦函数都可以表示为周期性函数，周期为2π。

它们的图像都是沿水平轴做周期性运动的波形。