四年级上册奥数讲义-第十讲格点图形的计算-冀教版(无答案)

四年级奥数题及答案-求格点图案面积

四年级奥数题及答案-求格点图案面积
【题目】以下这张图里的三个格点图案面积分别是多少?
【解析】
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积：
格点多边形面积 = 内格点个数 + 边格点数÷ 2 - 1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

我们先来看喇叭图案：
这个图案周界上有8个格点，图内却没有格点，那么利用格点面积公式我们可以求得这个喇叭形状的面积为：0+8÷2-1=3;
接下来这只小猫的图案：
小猫图案的周界上有20个格点，而图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11;
小狗图案同理：
我们可以看到小狗图案是由两个格点多边形组成，那我们可以将两个图案分开求解，先求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5;
尾巴面积：0+4÷2-1=1;
总面积：5+1=6。

我们在计算像小狗图案这样的有两个或以上的独立格点多边形组成的图案时，可以先求每个独立的格点多边形的面积，再进行求和计算总面积，这样可以避免数漏多个独立图形公共格点而导致计算错误。

四年级数学专题讲义第十讲格点与面积

第十一讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。

例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。

法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成平置的长方形来求。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

四年级上册奥数讲义-第十讲格点图形的计算-冀教版(无答案)

四年级第十讲格点图形的计算◆温故知新：1. 正方形的面积＝；长方形的面积＝；平行四边形的面积＝；三角形的面积＝梯形的面积＝2、对于不规则的图形，可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形。

3、把大图形分成好几块规则的小图形，这种方法称为“分割法”。

4、格点多边形的面积计算公式：（1）在最小的正方形面积为1的图形中：正方形格点多边形面积＝边界格点数÷2＋内部格点数－1（2）在最小正三角形面积为1的图形中：三角形格点多边形面积＝边界格点数＋内部格点数×2－2◆练一练1、判断下列图形哪些是格点多边形？2、如图，计算各个格点多边形的面积（相邻两点的距离为1厘米）．⑴⑵⑶◆例题展示例题1图中相邻两个点间的距离均为1厘米，求多边形的面积分别是多少平方厘米？练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，求多边形的面积是多少平方厘米？例题2下图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1平方厘米。

这个多边形的面积是多少平方厘米？练习2（1）下图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1平方厘米.这个多边形的面积是多少？（2）求下列各个格点多边形的面积．例题3下图中相邻格点围成的最小正三角形的面积为1平方厘米。

这个多边形的面积是多少平方厘米？练习3 下图中相邻格点围成的最小正三角形的面积为1平方厘米.这个多边形的面积是多少？（1）（2）（3）（4）例题4 下图中每个最小正方形的面积是2平方厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？练习4图中每个最小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米◆拓展提高拓展1下图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？练习1下图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？拓展2 如图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积。

练习2 如图，每个小方格的面积都是4平方厘米，求阴影图形的面积。

◆思维挑战挑战1如图，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？挑战2如图，三角形网格的总面积是36平方厘米。

小学奥数讲义4年级-16- 格点面积 -难版

生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。

同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。

这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。

先来介绍什么是“格点”。

见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

正方形格点阵中多边形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）三角形格点阵中多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。

【例1】★判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵ ⑶典型例题知识梳理【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例2】★计算下图中各图形的面积：【解析】先仔细观察图中的每个图形，选择方法。

显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。

而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。

（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。

（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。

（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。

四年级奥数格点与面积

格点与面积
知识点介绍：
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。

计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。

皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶
练习下图中喇叭、小猫、小狗是格点多边形吗？
例题2、求下面各图形的面积。

练习
如图，计算各个格点多边形的面积．
例题3、下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

练习
下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
例题4、你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
练习
1、(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
2、如图，44 的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．
F E D
C
B A
1cm 1cm
课后训练
1.如图，计算各个格点多边形的面积．
2.求下列各个格点多边形的面积．
3、“乡村小屋”的面积是多少？
⑵
⑴⑷
⑶
4、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？。

四年级奥数巧箱格点与面积

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

四年级奥数题：格点与面积习题及答案

九、格点与面积(B)年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题:1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).3.在一个9⨯6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积.5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?8.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.二、解答题:1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC∆的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 5.5面积单位.分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位).2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位).3. 27.5面积单位.解: ①由毕克定理得:25+7÷2-1=27.5(面积单位).②用拼割方法得:ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9⨯6-(6⨯2÷2+3⨯3÷2+4⨯3÷2+4⨯5÷2)=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).4. 48平方厘米.解: ①内部格点数为: 9个;②周界上格点数为: 8个;③阴影部分的面积是: 4⨯(9+8÷2-1)=48(平方厘米).5. 30面积单位.解: 因为ABCD不是凸四边形,所以如在原题图上取格点E,则三角形BCE及四边形AECD都是凸的图形,故:S=(4+6÷2-1)+(21+8÷2-1)ABCD=6+24=30(面积单位).6. 46面积单位.解: 因为ABCDEFGH不是凸多边形,所以,连结GC、MN,则ABH∆、矩形GCNM、三角形MFE、EDN都是凸的图形.故箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2=12+32+2=46(面积单位).7. 67.5面积单位.解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19.所以图形的面积为:59+19÷2-1=67.5(面积单位).8. 23.5(平方厘米).分析与解: 这是一个5⨯5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4⨯4=16,周界上格点数最多为5⨯4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如右上图所示,就得到了面积最大的图形.所围成图形的最大面积为: 16+17÷2-1=23.5(平方厘米).9. 8.5平方分米.解:图形内部格点数为7,图形周界上格点数为 5.阴影部分的面积为:7+5÷2-1=8.5(平方分米).10. 18.5面积单位.解: 图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7.图形的面积为: 16+7÷2-1=18.5(面积单位).二、解答题:1. 10面积单位.分析: 由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形 ,可以推出如下计算这类格点面积的公式:图形面积=(内部格点数+周界上格点数÷2-1)⨯2.解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.ABC S ∆=(4+4÷2-1)⨯2=10(面积单位).2. 12面积单位.解: DEFG S 四边形=(5+4÷2-1)⨯2=12(面积单位).3. 11面积单位.解: 图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3. DEF S ∆=(5+3÷2-1)⨯2=11(2cm ).4. 26面积单位.解: 图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4. 图形的面积为: (12+4÷2-1)⨯2=26(面积单位).。

四年级奥数讲义：格点与面积

四年级奥数讲义：格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。

例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

典型例题例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。

它们的面积分别是多少？· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·（1）（2）（3）（4）分析题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。

小学数学四年级格点与面积教案例题+练习+作业+答案

格点与面积知识点总结1：正方形格点多边形面积公式2：三角形格点多边形面积公式3：割补法求不规则多边形面积【例题精讲】例1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

请据此计算下面两个图形的面积。

【答案】13平方厘米和15平方厘米。

正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1（1）边界格点数：20个，内部格点数：4个，面积：20÷2+4-113（平方厘米）（2）边界格点数：14个，内部格点数：9个，面积：14÷2+9-1=15（平方厘米）【例题小结】对比已学割补法与格点面积的优势，引导学生掌握更高效的方法。

练1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

网格中多边形的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米【解析】边界格点数是34个，内部格点数是20个，因此面积是34÷2+20-1=36平方厘米。

例2在下图中，每个小方格的面积都是2平方厘米，那么格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】13平方厘米正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1边界格点数：7 个，内部格点数：4 个面积：（7÷2+4-1）×2=13（平方厘米）【例题小结】单位小正方形面积是几，利用格点公式求出的面积也要扩大几倍。

练2小新将某市的地图轮廓绘制到了网格上，且每相邻的四个点围成的正方形的面积都是1平方厘米。

请帮小新计算出该市在地图上的面积。

【答案】20平方厘米【解析】边界格点数是14个，内部格点数是14个，因此面积是14÷2+14−1=20（平方厘米）。

例3在下图中，每个小方格的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】22平方厘米。

割补方法：整体－空白整体：6×6=36（平方厘米）空白：正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-112÷2+9－1=14（平方厘米）阴影：36-14=22（平方厘米）【例题小结】阴影部分面积=整体-空白练3在下图中，每个小正方形的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】14平方厘米【解析】可以将阴影部分面积和十字形的空白部分看做一个整体，面积是：8÷2+21－1=24（平方厘米），十字形的空白部分的面积是12÷2+5－1=10（平方厘米），因此阴影部分面积是24-10=14（平方厘米）。

长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法

长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：（四年级8月1号天天练）【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

（三）扩展法将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！例、如图所示，计算下面格点多边形的面积（五年级8月1号天天练）【详解】这虽然是一个规则的三角形，但是可以直接用面积公式计算，或者通过数格子么？好像不行，因为我们现在不能直接算出相应边的长度和高！现在尝试用分割法和扩展法来解！方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成两个小三角形。

(完整版)格点与割补

学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。

同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。

这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。

先来介绍什么是“格点”。

见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

禾I」用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例1计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。

显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。

而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。

(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X 2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X 2=6。

(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。

(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。

(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。

长方形的面积为(2+ 4) X 3=18, 而梯形的面积为长方形的面积的一半。

所以梯形的面积为：(2 + 4)X 3十2=9。

(6)将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。

(完整)四年级奥数-格点与面积

格点与面积
知识点介绍：
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。

计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。

皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶⑷。

第10讲-格点与面积

图10-1图10-24第十讲：几何问题（五）——格点与面积一、训练目标知识传递：基本图形的面积计算。

能力强化：观察能力、分析能力、转化能力。

思想方法：图形思想、分析思想、转化思想、公式思想。

二、知识与方法归纳解答比较复杂的关于长方形、正方形的周长和面积的计算问题时，不能生搬硬套公式，需要运用移位、合并、分解、转化等解题技巧。

因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中至关重要。

三、典型例题例1.如图10-1所示，一块长方形草地，长215米，宽75米，中间有两条道路，一条是长方形的，一条是平行四边形的，宽都是5米。

问草地部门的面积是多少？解：例2.如图10-3所示，求面积（单位：厘米）。

[用三种方法来解]解：图10-3体验训练1.如图10-2所示，一块长方形草地，长100米，宽80米，中间有一条宽4米的道路，求草地（阴影部分）的面积。

解：例3.如图10-5所示，一块菜地长18米，宽10，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块。

每一块地的面积是多少？[两种方法来解]解：图10-5例4.如图10-7所示，5个相同的小长方形拼成的一个大长方形，大长方形的周长是44厘米。

求大长方形的面积。

解：图10-7体验训练2 .如图10-6所示，一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有两道红条（阴影部分），红条宽2厘米。

问这条手帕白色部分的面积是多少？解：图10-6例5.如图10-9所示，一个正方形的花坛，四周有1米宽的水泥路，水泥路的总面积是12平方米。

问：中间花坛的面积是多少平方米？解：图10-9例6.如图10-11所示，正方形的边长为12厘米，长方形的顶点恰好分别把正方形四条边都分成了两段，其中长的一段是短的一段的2倍。

这个长方形的面积是多少？解：图10-11﹡例7.把长2厘米、宽1厘米的长方形摆成如图13—4的形状，求该图形的周长。

解：四、内化训练1.一张长5分米、宽4分米的长方形纸板，从四个角上各裁去一个边长为1分米的正方形，所剩部分的周长是多少分米？解：2.如图13—10所示的多边形，它的周长是多少厘米？解：3.用15个边长2厘米的小正方形摆成如图13—11的形状，求它的周长。

四年级上册数学奥数讲义-线段含解析冀教版

线段平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：(1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )．A．1 B．2 C．3 D．4思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．思路点拨引人未知数，通过列方程求解．【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；(3)如图c ，有一正方体的盒子ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C l 处不动)思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．注：恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．【例6】摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走C 市到这里路程的一半就到达目的地．问A 、B 市相距多少千米?思路点拨画出线段图进行分析．如图13—1所示，设小镇为D 点，傍晚在正点休息．∵GE=2EB ，∴GE=32BC ∵AD=31AC ，∴DC=32AC ． ∵DC+CE=32（BC+AC ）=32AB ∴DE=32AB ，又DE=400km ； ∴ AB=600 km ．注：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km ”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C 市到这里路程的31就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．【例7】如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短?思路点拨虽然A 、B 两点在河两侧，但连结AB 的线段不垂直于河岸．如图13-8，关键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点

小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。

(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

多边形面积奥数

第十讲格点与切割备考导航格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。

通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。

利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1典型例题【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。

求长方形EFGH的面积。

【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。

【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。

请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?小试身手（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。

三个多边形的面积分别为多少平方厘米?（2）图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积（3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?星级挑战（一）夯实基础★★★1、图中相邻两格点问的距离均为l厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?2、图中每个小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?3、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?4、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?5、下图的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

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