10-11-3高等代数下理工班期终考试试卷A卷

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东南大学期终考试试卷(A 卷)
课程名称 高等代数（下） 考试学期 10-11-3
得分
适用专业 理工实验班10级 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟
一．（12%）f 是2
2⨯C
上的线性变换：对任意a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()a b a b f X c d c d ++⎛⎫
= ⎪--⎝⎭。

求f 在2
2⨯C
的基11122122,,,E E E E 下的矩阵，并分别求f 的值域(
)R f 和核子空间
()K f 的基及它们的维数。

二．（12%）设4231A -⎛⎫=
⎪-⎝⎭
，求参数,a b 使得100
A aE bA =+。

三．（12%）已知
221
00
122
A a
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭。

根据参数a的值讨论矩阵A是否相似于对角阵。

四．（12%）若
13
02
001
y
A x
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
与
00
120
2
a
B
c b
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
相似，问：参数,,,,
a b c x y应满足什
么条件？
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五．（12%）已知3
R 中向量(1,0,1),(1,2,1),(1,0,0)αβη===，(,)W L αβ=。

求
0W η∈，使得0min W
ξηηξη∈-=-。

六．（16%）（1）假设ω是欧氏空间V 中的单位向量，:f V V →定义为：对任意x V ∈，
()2(,)f x x x ωω=-，证明：f 是V 上的正交变换。

（2）在3[]R x 中定义内积：对3(),()[]x x R x ϕψ∈，1
1
((),())()()x x x x dx ϕψϕψ-=
⎰。

分别求3[]R x 中向量1α=及x β=的长度，并求正实数k 及单位向量3[]R x ω∈，使得如上的正交变换f 将α变成k β。

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七．（16%）设二次型222
123123121323(,,)255448f x x x x x x x x x x x x =+++--。

求一正交
变换将此二次型化为标准形，并写出相应的标准形。

八．（8%）证明题：
1. 假设f 是欧氏空间V 上的正交变换。

证明：f 的特征值只能是1±，并且，f 的属于不同特征值的特征向量相互正交。

2. 假设0是n n ⨯矩阵A 的p 重特征值。

证明： 2()()r A r A =当且仅当()r A n p =-（其中，()r M 表示矩阵M 的秩）。