数学精华生活中的优化问题举例
3.4生活中的优化问题举例
变式训练
2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程 只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用 为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
万元，(2假设桥x)墩x等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因
素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
费用最省、用料最少问题
例2.已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水 速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时(8<v≤v0)．若船每小时 的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/小时时，每 小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水中的速 度为多少？
第十三页，编辑于星期一：十四点 十二分。
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(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问 题的主要关系； (2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应 的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法 求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定 其答案． 注：在将实际问题转化成数学问题时，要注意所设变量的取值 范围．
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变式训练
3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销， 经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万 元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告
1.4生活中的优化问题举例
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
1 3 100 3 h( x ) ( x x 8). 128000 80 x 1 2 800 15 x (0 x 120) 1280 x 4
x 800 x3 803 h '( x) 2 (0 x 120) 2 640 x 640 x
这里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程
W 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 G . S
例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 g 的几何意 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ v w 义是什么？ 分析：每千米平均的汽油消耗量 G = ，这里 w是汽油 s 消耗量，s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt，s=vt 15 w gt g P(v，g) G = s vt v 10 g 所以由右图可知，当直线 OP 如图所示， 表示经过原点 v kmin f '(90) 为曲线的切线时，即斜率 k取 5 与曲线上的点 P(v，g)的直线 0.07 最小值时，汽油使用效率最高 的斜率k 90 120 v(km/h) O 30 50
例2、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为：
1 3 3 y x x 8(0 x 120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地要耗油为 17.5 升; （II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需 行驶
生活中的优化问题举例一
方法一：基本均值不等式法：“一正二定三相等”
S( x) 2x 512 8 2 2x 512 8 72
x
x
当且仅当2x 512即x 16时，S( x)取得最小值为72
方法二：（导数x法求最值）
S( x)
2
512 x2
2( x
16)(x x2
16)
当0 x 16时，S（x） 0 当x 16时，S（x） 0
可 口 可 乐 公 司 制 造 并 出售 圆 柱 形 瓶 装 饮 料 。 瓶子 的 底 面 半 径 为 rcm ， 瓶 高 为5rcm , 瓶 子 的 制 造 成 本 包 括 瓶身 和 瓶 底 （ 将 瓶 盖 部 分近 似看成上底）。其中瓶身为0.1分 / cm 2，瓶底为0.25分 / cm 2。已知每 出 售1ml的 饮 料 ， 公 司 将 获 利0.1分(此 处 利 润 指 除 出 饮 料 生产 成 本 后 的 利 润, 不 含 瓶 子 成 本 ） ， 且 公司 能 制 造 的 瓶 子 的 最 大半 径 为6cm 。
生活中的优化问题举例(一）
生活中经常遇到求利润最大、用料
最省、效率最高等问题， 这些问题 通常称为优化问题.通 过 前面的学
习, 我 们 知 道, 导 数 是 求 函 数 最 大小
值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化问题.
一、基础知识链接
1、函数y 2x3 3x2 12x 5在0,3上的最小值
(3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？
例3：现有一张半径为R的磁盘， 它的存储区是半径介于r与R的
R
环行区域。
r
(1)是不是r越小，磁盘的存
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
34生活中的优化问题举例
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．
2 由S′＝8－6 x2＝0，得唯一的极值点x ＝ 3 3，
2
由 V (x) 60x 3 x2 0 2
解得 x1=0 (舍), x2=40.
h x
解: 设箱底边长为 x, 箱子容积为h 60 x
V (x) x2(60 x) (0 x 60) 2
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10x)(50 x) (50 x) 20
10x2 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
x 17，利W 最大 房价：180 1017 350（元）
x
求导数，有
S'( x)
2
512 x2 ,
令s'(
x)
2
512 x2
0,
解得，x=16 (x=-16舍去）于是宽为128 128 8
x 16
当x (0,16)时, s'( x) 0; 当x (16,)时, s'( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
3.4 生活中的优化问题举例
x
令
()x ) S S (x 00
,得
2 3 3 22 33 2 2 x1x 22 , ,xx .. 1 2 2 2 3 33 3
x1 (0,2),
所以当
32 3 2 32 3 32 3 x 2 时, ( x) . . x2 S ( x )S max max 3 3 9 9
解:由于瓶子的半径为r, 所以每瓶饮料的利润是 4 3 y f ( r ) 0.2 πr 0.8πr 2 33 r 2 f ( x ) 0.8π( r ),0 r 6. r f ( r ) 0 . 8 ( r y 3 3
3
2
)
令 f ( r ) 0.8π( r 2 2r ) 0
2 3 因此当点B为 ( 2 2 ,0) 时, 32 3 . 矩形的最大面积是 9
课堂作业:
《课本 》 P104页 (2)、(6)
优化问题
用函数表示的 数学问题
优化问题 的答案
用导数解决 数学问题
3.4
生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率
最高等问题，这些问题通常被称为优化问题。
如何解决优化问题？ 即：求函数的最大（小）值的方法:
解决优化问题(即最值)的方法:
①二次函数
y x 2 2x 3
配方法或公式法
②线性规划
3 ） ③基本不等式 y x （x 0 x y f ( x) y 3 ④导数法 ● y x 4x 3
当r 2时, f ( r ) 0.
当r ( 0,2 )时, f ( r ) 0; 当r ( 2,6 )时, f ( r ) 0
从图中可以看出: 1.当半径为2cm时, 利润最小, 这时f(2)<0. 2.当半径为6cm时, 利润最大。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
如何应用数学原理解决实际生活中的问题
如何应用数学原理解决实际生活中的问题数学作为自然科学中的一门基础学科，不仅在学术研究中起着重要的作用，也在实际生活中发挥着巨大的作用。
通过合理地运用数学原理，我们可以解决实际生活中的各种问题，从而提高生活的便利性和效率。
本文将讨论如何应用数学原理解决实际生活中的问题，并提供一些实际案例。
一、通过数学模型解决交通拥堵问题交通拥堵是城市中常见的问题之一。
而数学建模可以帮助我们解决这个问题。
首先，我们可以通过数据分析和统计，获取交通流量和行驶速度等相关数据。
然后，根据这些数据，建立交通流模型，通过计算机仿真，模拟不同的交通条件下的车流动态。
最后，我们可以通过调整交通灯的时间间隔、改变道路布局等方式，优化交通系统，减少拥堵现象的发生。
二、利用数学原理解决金融风险在金融领域，数学在风险评估和管理中发挥着重要的作用。
例如，在投资组合管理中，我们可以通过数学模型对不同投资资产的风险和收益进行评估和优化，从而制定出合理的投资策略。
此外，数学原理还能帮助我们对金融市场的波动性进行分析和预测，以便更好地制定风险管理策略，降低投资风险。
三、数学在医学中的应用数学在医学中的应用也非常广泛。
例如，在疾病传播模型中，我们可以利用数学原理和统计学方法，研究疾病的传播机制和规律，从而预测和控制疫情的爆发和传播。
此外，数学还被广泛用于医学图像处理和分析中，例如CT扫描、MRI等。
通过数学算法的应用，可以提取和分析医学图像中的信息，并辅助医生进行疾病的诊断和治疗。
四、数学在工程设计中的应用在工程设计领域，数学应用广泛。
例如，在建筑设计中，我们可以通过应力、变形的数学模型，对结构进行强度分析和优化设计，确保建筑的稳定性和安全性。
类似地，在电子电路设计中，数学原理也被广泛应用，例如电路分析和优化、信号处理等。
通过数学的应用，我们可以提高工程设计的效率和质量。
五、在日常生活中的数学应用除了以上几个领域，数学在日常生活中也有着许多应用。
例如，我们在购物时可以利用数学原理进行计算，比较不同品牌和规格商品的价格和价值，做出合理的购买决策。
用数学解决日常生活中的问题
用数学解决日常生活中的问题在我们日常生活中，数学是一门非常重要的学科，它不仅可以帮助我们解决各种数学问题，还可以应用到实际生活中，帮助我们解决各种日常问题。
本文将通过几个实例，来说明如何用数学解决日常生活中的问题。
案例一：购物打折假设你去商场购物，看到一件原价500元的衣服，标明全场打8折，那么你应该如何计算折后价格呢？这里我们可以利用数学中的百分比概念来解决。
打8折即表示打8/10的折扣，所以折后价格为500 ×（8/10）= 400元。
这样在购物时，你可以迅速计算出折后价格，做出明智的购物决策。
案例二：计算节水量随着水资源的日益紧缺，我们应该如何合理使用水资源并计算我们的节水量呢？这里我们可以运用数学中的面积和体积概念来解决。
比如我们可以测量我们家庭中使用的水桶的容积，然后将每个家庭成员每天使用的水量相加，再将结果乘以家庭成员的人数，就可以得到家庭每天的总用水量。
然后将总用水量与水桶的容积相除，就可以得到需要用多少个水桶才能装满一天的用水量。
通过数学计算，我们可以清楚地了解到自己的每日节水量。
案例三：出行时间的优化我们在日常生活中经常需要出行，如果我们知道目的地的距离和自己的行驶速度，我们可以通过数学计算出到达目的地所需的时间，从而帮助我们优化出行时间。
例如，我们知道某个目的地与起点之间的距离为100公里，我们的行驶速度为80公里/小时，那么到达目标地所需的时间为100/80=1.25小时，即1小时15分钟。
这样我们就可以更好地规划自己的行程，避免时间浪费。
案例四：比较价格在日常购物中，我们常常需要比较不同商品的价格，以选择性价比最高的商品。
这时候，我们可以利用数学中的比较大小概念来解决问题。
例如，我们需要购买一种洗发水，A牌子的价格为15元/瓶，B牌子的价格为20元/瓶，那么我们可以计算出A牌子的价格每毫升为15/250 = 0.06元，而B牌子的价格每毫升为20/400 = 0.05元。
生活中最优化问题案例
生活中最优化问题案例最优化问题是在生活中非常常见的一种问题类型。
它涉及了我们如何在给定的条件下，找到最佳的解决方案，以最大化或最小化某个目标函数。
在本文中，我将介绍一些生活中的最优化问题案例，并探讨它们的解决方法和应用。
1. 旅行路径规划：在我们的日常生活中，我们经常需要规划旅行路径，以使我们能够在最短的时间内到达目的地。
这是一个典型的最优化问题。
通过考虑交通状况、路况、距离和其他因素，我们可以使用最优化算法，如迪杰斯特拉算法或A*搜索算法来找到最佳路径。
这样，我们可以避免交通拥堵和浪费时间。
2. 资源分配问题：在许多组织和企业中，资源分配是一个重要的问题。
如何有效地分配有限的资源以达到最佳效果，是一个最优化问题。
一个公司可能需要决定如何分配有限的预算、人力和设备资源，以最大化利润或满足特定的目标要求。
通过使用线性规划等最优化方法，可以找到最佳的资源分配方案。
3. 股票组合优化：对于投资者来说，构建一个良好的股票组合是非常重要的。
在股票组合优化中，我们需要考虑投资目标、风险承受能力、预期收益率和相关性等因素，以找到一个最佳的投资组合。
通过使用现代投资组合理论和数学优化方法，如马科维茨均值-方差模型，可以帮助投资者构建一个高效的股票组合，以最大化收益并控制风险。
4. 生产计划优化：在制造业中，如何优化生产计划以最大化生产效率是一个关键问题。
通过考虑生产设备的利用率、库存管理、生产工序和交货期等因素，可以使用线性规划、模拟和其他最优化技术来制定最佳的生产计划。
这将帮助制造商提高生产效率，降低成本，并实现更好的交货能力。
5. 能源系统优化：在能源领域，如何优化能源系统以实现可持续发展是一个重要的问题。
通过综合考虑能源供应、需求、成本、环境影响和可再生能源利用等因素，可以使用最优化技术来设计和优化能源系统。
使用混合整数线性规划、动态规划和优化算法，可以找到最佳的电力系统规划，以最大限度地提高能源利用效率和减少碳排放。
生活中的优化问题举例
学案60答案 生活中的优化问题举例例1. 用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的容积为V ，则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)，即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x .因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36. 因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24，所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.例2.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v小时，所以行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．例3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值．解： (1)设日销量q ＝k e x ，则k e 30＝100，所以k ＝100e 30， 所以日销量q ＝100e 30e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）e x . 由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减，所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．四、反馈训练1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件1.解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2.用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．2.解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数，当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数，所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)．3.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)．(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当12＜x ＜1时，y ′＜0，当0＜x ＜12时，y ′＞0； 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得极大值，即最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．五、课时作业．1.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)．(2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2，从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，f (2)＝1， 所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．2．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解：(1)∵蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 由h >0且r >0，可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．3.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．当x所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大4．已知某公司生产某种产品的年固定成本为10万元，每生产1千件该产品需要另投入1.9万元．设R (x )(单位：万元)为销售收入，根据市场调查知R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3，0≤x ≤10，2003，x >10.其中x 是年产量(单位：千件)． (1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式；(2)求年产量为多少时，该公司可从这一产品生产中获得最大利润？解：(1)设年产量为x 千件，年利润为W 万元，依题意有W ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x >10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10，0≤x ≤10. f ′(x )＝－110x 2＋8.1，令f ′(x )＝0得x 1＝9，x 2＝－9(舍去)．当0<x <9时，f ′(x )>0；当9<x <10时，f ′(x )<0，故当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x >10时，f (x )＝1703－1.9x <1133<38.6. 即当年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．5．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3. 当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
生活中的优化问题举例(含过程)
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求 最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问 每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收 入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本 ＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同 的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截 下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长， 根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．
生活中的优化问题举例 课件(人教版)
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包 装盒的高与底面边长的比值.
类型二 利润最大问题
例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千
件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完， 每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－310x2，0<x≤10，
生活中的优化问题举例
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为 优化问题. 2.利用导数解决优化问题的实质是 求函数最值 . 3.解决优化问题的基本思路是：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形 硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折 起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点， 设AE＝FB＝x cm. (1) 若 广 告 商 要 求 包 装 盒 侧 面 积 S(cm2) 最 大 ， 则 x 应 取 何 值 ？
10x8－130x020，x>10.
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函司在这一品牌服装的生产中所获得的年 利润最大，并求出最大值. 解 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利 润最大，最大利润为38.6万元.
类型三 费用(用材)最省问题 例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速 为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0).若船每小时的燃料费 与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费 为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
生活中的优化问题举例课件
∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)． f′(x)＝d2－3x2.
令f′(x)＝0，解得x＝
d3，y＝
6 3 d.
根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此f
d 3
为
强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为
3 3
d，高为
6 3
d时，横梁的强度最大．
题型二 用料最省问题 例2 要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧 面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h 之比为何值时造价最省？ 分析 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价 表示为r的函数．
∴f(80)＝418×803－52×802＋6000＝20300(元)． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成 本最小，最小值为20300元．
规律技巧 用导数求解实际问题中的最大小值时，如 果函数在区间内只有一个极值点，那么依实际意义，该极值 点就是最值点.
解 由V＝πr2h，得h＝πVr2， 设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为 S(r)＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋4arV. 由S′(r)＝10aπr－4ra2V＝0，
3 解得r＝
25Vπ，于是h＝πVr2＝ 3
25V 4π .
由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最 小值点．
3 5时，储油罐的造价最省． 25V
4π
规律技巧 本题用半径r把高h表示出来，把实际问题转 化为关于半径r的函数问题是关键.
题型三 成本最低利润最大问题
例3 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶
到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运
《生活中的优化问题举例》_OK
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• 2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内
接矩形面积的最大值为 ()
• A．10
B．15
• C．25
D．50
• [答案] C
[解析] 设矩形长为 2a，宽为 b，则 S＝2ab，且 a2
＋b2＝25，∴S＝2a 25－a2(0<a<5)，
∴S′＝2
25－a2－
数据，建立与其相应的数学模型，再通过研
究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个
有利的工具。 2021/7/27
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[例 4] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200 －15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问该产 品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润 是多少？(利润＝收入－成本)．
• [解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h， • 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
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∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2π2rπr2， 又圆柱的体积 V＝πr2h＝rS－22πr3，V′＝S－26πr2， 令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
又 r＝
• [解析] 20设21/7/广27 告的高和宽分别为xcm，ycm， 31
则每栏的高和宽分别为 x－20，y－225，其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18000，
由此得 y＝1x－802000＋25.
广告的面积 S＝xy＝x1x－802000＋25＝1x8－00200x＋25x，
3.4生活中的优化问题举例(用)
R2
R
R
令
s( R)
2V R2
+4πR=0,
解得，R= 3
V
2
，
从而 h= V = V = 3 4V =2 3 V 即 h=2R
R2 (3 V )2
2
∵S(R)只有一个极值，所以它是最小值 新疆 王新敞 奎屯
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 新疆 王新敞 奎屯
变式题:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，
解：设版心的高为x dm，则版心的
宽为 128 dm，此时四周空白面积为
x
S
x
=
x
+
4
128 x
+
2
-
128
S='2xx+
512
=x2
-+58x1,2x2
>.02
x
2
512 x2
2(x 16)(x 16) x2
令S(x) 0 解得x 16 (x 16舍去)
当x∈(0,16)时，S' x > 0; 当x∈(16,+∞)
当 r (0, 2) 时 , f '(r) 0
当 r (2, 6) 时 , f '(r) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
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基本存储单元,根据其磁化与否
r
可 分 别 记 录 数 据0 或1, 这 个 基 本
单 元 通 常 称 为 比特 bit.磁 盘 的
构造如图1.4 3所示.
图1.4 3
为 了 保 障 磁 盘 的 分 辩 率,磁 道 之 间 的 宽 度 必 须 大于
m,每 比 特 所 占 用 的 磁 道 长度 不 得 小 于n .为 了 数 据
统计数据,并对数据进行整理和分析,建立与其
相应的函数模型 ;再通过研究相应函数的性 质,
提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,
导数往往是一个有力的工具.
gL / h 通过大量的统计数据,并
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对数据进行分析、研究,
人们发现， 汽车在行驶 10
过程中， 汽油平均消耗 5
率g(即每小时的汽油消 耗量,单位：L / h)与汽车 o
速度v的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题:
1是不是汽车的速度越快,汽油的消越量越大? 2"汽油的使用效率最高"的含义是什么?
现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们希望汽油 的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗量最少 或每升汽油能够使汽车行驶最长路程.这就需要考 虑 如 何 提 高 汽 油 的 使 用效 率, 使 汽 油 使 用 效 率 最 高.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.
导数的应用三：求函数的最值
设函数f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值
在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的 函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一 个为最小值.
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题， 这些问题
通常称为优化问题 .通 过 前面的学
习,我们知道,导数是求函数最大小
值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化问题.
例1 汽油的使用效率何时最高
我们知道,汽油的消耗量w 单位 : L与汽车的速度v 单位 : km / h之间有一定关系,汽油的消耗量w是汽车
30 50 60 90
图1.4 1
vkm/ h
120
行驶的平均速度v(单位 : km / h)之间有如图1.4 1
所示的函数关系g fv.
那么,我们如何根据这个图象中的数据信息,解决汽 油使用效率最高的问题呢 ?
从图象中我们不能直接 gL /h
解决汽油使用效率最高 15
问题.因此,我们首先需要 10
检 索 的 方 便,磁 盘 格 式 化 时 要 求 要 求所 有 磁 道 具 有
相 同 的 比 特 数.
问题 : 现有一张半径为R的磁盘,
它的存储区是半径介于r 与R的
R
环形区域.
1 是不是 r越小,磁经盘的存储
量越大?
2 r为多少时,磁盘具有最大的
r
图1.4 3
存 储 量(最 外 面 的 磁 道 不 存 储 任何 信 息) ?
1你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? 2你知道磁盘的结构吗? 3如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的
信息?
背景知识 计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带
有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁
道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道,
扇区是指被圆心角分割成扇形
R
区域.磁道上的定长的弧可作为
解 存储量 磁道数每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽
度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所
以磁道数最多可达 R r . m
又由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内 一条磁道必须装满,即每条磁 道上的比特数可达到2πr .所
n 以,磁盘总存储量
fr R r 2πr 2π rR r.
研究汽油的使用效率单位 : L / km就是研究汽
油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示
每千米平均的汽油消耗量,那么 G w ,其中,w s
表示汽油消耗量单位 : L,s表示汽车行驶的路 程单位 : km.这样,求"每千米路程的汽车消耗
量最少",就是求G的最小值问题. 解决" 优化问题"的途径之一是通过搜集大量的
生活中的优化问题举例
鹿邑三高高二数学组 史琳
一、复习与引入
导数的应用一:判断单调性、求单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数f ’(x) （2）求解不等式f ’ (x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f ’ (x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
解
因为G W W / t .
gL / h
15
S S/t 这样,问题就转化为求g
的
10
斜率
g v
L
/
km
•
v
g
最小值.从图象上看, g 表示 5
v
什么?
o
30 50 60 90
图1.4v 2
vkm/ h
120从图1.4 2可以看出, g来自表示经过原点与曲线上点v
v,g的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,
注、单调区间不 以“并集”出现。
导数的应用二:求函数的极值
1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f’(x)=0.当f ’(x0)=0时. ①如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小）
将问题转化为汽油平均 5
消耗率 g(即每小时的汽
vkm/ h
油消耗量,单位 : L / h) 与 o
30 50 60 90 120
图1.4 1
汽车行驶的平均速度v 之间关系的问题,然后利用
图象中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.
如图1.4 1,函数 g fv 最小值的意义是什么?它是
否表示在此点处汽油的使用效率最高?
当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速 度约为90km / h.
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油 的使用效率最高,即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为90km / h . 从数 值上看,每千米的汽油消耗量就是图1.4
2中切线的斜率,即f ' 90,约为 L.
例2 磁盘的最大存储量问题