高中数学第1章直线多边形圆1.2.1极坐标系的概念学案北师大版选修

§2极坐标系

2.1 极坐标系的概念

1.了解极坐标系，理解极坐标的概念.(重点)

2.能在极坐标系中用极坐标判定点的位置.(难点)

3.能进行点坐标和极坐标的互化.(易错易混点)

[基础·初探]

教材整理极坐标系与极坐标

1.极坐标系的概念

如图1­2­1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.

图1­2­1

2.极坐标的概念

对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).

特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.

3.点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)极轴是以极点为端点的一条射线.( ) (2)极角θ的大小是唯一的.( )

(3)点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与点⎝

⎛⎭⎪⎫3，5π6是同一个点.( )

【解析】 (1)√ 极轴是以极点为端点的一条射线.

(2)× 因为极角是以极轴为始边，终边是过极点与目标点的射线，可正、可负，相差2k π.

(3)× 因为极角不相差2π的整数倍，故不表示同一个点. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

根据点的位置确定点的极坐标

设点A ⎝

⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、

直线l 、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π).

【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值.

【自主解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.

关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝

⎛⎭⎪⎫2，4π3.

四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.

1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.

2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.

[再练一题]

1.若使正六边形的一个顶点为极点且边长为a ，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的极坐标.

【导学号：12990004】

【解】 建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的极坐标为：

A (0,0)，

B (a,0)，

C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π6，

D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π3，

E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，π2，

F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ，23π.

极坐标确定点的位置

已知点A 的极坐标是⎝

⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，画出点A 关于极点O

的对称点A ′的位置，并写出A ′的极坐标：

(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.

【精彩点拨】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力.

【自主解答】 如图所示， |OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π

3

，

∠xOA ＝5π

3

，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知：

(1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫6，2π3；

(2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫－6，5π3；

(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫－6，－π3.

由极坐标确定点的位置的步骤： (1)取定极点O ；

(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；

(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；

(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置.

[再练一题]

2.在同一个极坐标系中，画出以下各点：

A ⎝

⎛⎭

⎪⎫

1，π4，B ⎝

⎛⎭

⎪⎫

2，32π，C ⎝

⎛⎭

⎪⎫

3，－π4，D ⎝

⎛⎭

⎪⎫

4，94

π.

【解】 如图所示.

[探究共研型]

极坐标系的建立及应用

探究1 【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.

探究2 为什么点的极坐标不唯一？能用三角函数的概念解释吗？

【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z ).

某大学校园的部分平面示意图如图1­2­2所示.