08线性代数(A)卷

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2008年线性代数考试A卷

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………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
0 0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ P = ⎜ 2 −1 0⎟ ， ⎜ − 4 1 1⎟ ⎠ ⎝
−1
所以有
0 0⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ A = PBP = ⎜ 2 − 1 0 ⎟⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 2 − 1 0 ⎟ ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ 0 0 − 1⎟⎜ − 4 1 1 ⎟ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝
⎛ λ1 0 ⎜ ⎜ 0 λ2 T −1 P AP = P AP = ⎜ " " ⎜ ⎜0 0 ⎝
0⎞ ⎟ " 0⎟ ， " "⎟ ⎟ " λn ⎟ ⎠ "
3．设 n 元非齐次线性方程组是 Ax = b ，它对应的齐次线性方程组是 Ax = 0 ，则下面结论中正确的是( ② ). ① 若 Ax = 0 有惟一解，则 Ax = b 也有惟一解； ② 若 Ax = b 有无穷多个解，则 Ax = 0 也有无穷多个解； ③ 若 Ax = 0 有无穷多个解，则 Ax = b 也有无穷多个解； ④ 若 Ax = 0 有惟一解，则 Ax = b 无解. 分析：A 未必是方阵。 4．设 α 1 , α 2 , β 线性无关， α 2 , α 3 , β 线性相关，则下面结论正确的是( ④ )。 ① ③ k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 仅有零解； k1α 2 + k 2α 3 = β 必有解； ② ④ k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 必有非零解； k1α 1 + k 2α 2 + k 3 β = α 3 必有解。

线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案

北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位：应用数学系课程名称：线性代数任课教师：__李兴斯考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3；（B ）6；（C ）9；（D ）12。

2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）8。

武汉理工2008年末-线代-A

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称——线性代数—— （ A 卷） |一、填空题：（每小题3分，共15分）1．6；2．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--233421（未写出的元素为0）；3．-128；4．2；5．.3535<<-t二、选择题： 1.B ； 2.C ； 3.B ； 4.C ； 5.A （每小题3分，共15分）三、计算题： 1．()20092008000020082008000200920091200800020092008000020092008200820082007⨯⨯-+⨯=D （5分）=2007200720092008+ (10分)2．首先，11)(6---=E A B （3分）其次，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-7431A ，（5分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--6321E A ，（7分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---6/13/12/111EA，（9分）最后， .123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B (10分) 注：矩阵中未写出的元素为0。

3．方程组的系数行列式()()⇒≠+-=---=012111111λλλλλA （3分）（1）21≠-≠λλand，时，方程组有唯一解；（5分）（2）当2=λ时，方程组的增广矩阵)()(100021104211~B R A R B <⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--此时方程组无解；（7分）（3）当1-=λ时，方程组的增广矩阵⇒<=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3)()(000000001111~B R A R B此时方程组有无穷多个解，其通解为.),(0011010112121R k k k k X ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （10分）4．解：观察知，矩阵A 的第一列加上第二列的（-1）倍，然后再交换第二列和第三列即得B ，（4分）根据初等方阵的定义，两次初等列变换所对应的初等方阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111111，；（8分）再根据初等行变换的实质得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111111111X . （10分）注：矩阵中未写出的元素为0。

2008线性代数A参考答案

2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。

2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。

3、4。

4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。

5、 3 。

6、3。

7、 0 。

8、2。

9、1/λ。

10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。

《线性代数》模拟试卷(A)卷

厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭　的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解，下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。

2008-2009学年线性代数试卷A及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期考试科目：线性代数考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六总分得分评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。

线性代数2008A答案

上海财经大学成人高等教育线性代数试题参考答案（2008A 卷）姓名学号专业班级一、单选题(每小题2分，共计10分)1. 设,A B 均为方阵，且0AB =, 则以下结论中正确的是 ( 4 ) .(1) 0AB = (2) 0,0A B == (3) 0A =或0B = (4) 0A =或0B =2. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( 2 ).(1) 123212025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)123204341⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 123211301⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 111011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 以下矩阵中是初等矩阵的是 ( 2 ).(1) 100010000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2)100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 101010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (4) 101011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列不是n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件的为 ( 1 ) .(1) 0A ≠ (2) 0A ≠ (3) ()R A n = (4) A 与单位阵E 等价5. 下列矩阵中是分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为 ( 4 ). (1) 1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ (2) 1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭(3) 1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭(4) 1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填选题(每小题3分，共计30分)6. 行列式 111253_____.4259= （- 6）7. 设4阶行列式的第三行元素为1，2，3，4，其对应的余子式为4，3，2，1，则该行列式的值等于______.（ 0 ）……………………………………………………………装订线…………………………………………………8. 设A 是3阶方阵，TA 是A 的转置矩阵且 2,A =则 3____.T A =；（ 54 ）9. 设211123223,322141113A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 则 _____________AB =；（487731112514⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭）10．设矩阵 120340002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=__________. ；（312212210000--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 11. 设矩阵 200030004A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*A =__________.（*A 是A 的伴随矩阵）；（12000800012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 12. 设矩阵 123024003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=__________；（12310246003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭）13. 设矩阵 121211212112121,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且AP B =,则初等阵P _____________；（1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭） 14. 设 123(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的秩等于_______.；（ 2 ） 15. 设123(1,1,1),(1,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的极大无关组的个数为 _____.（ 3 ）三、计算题（共计47分)16. 求解方程:2452450245x x x++=+ (本题满分10分)解：由于311113111132245(1)024500(1)47245(1)245047x r r x xx x x x x x c c x x a A x xx r r x x ++-+--+=-+-==-++-+++则原方程即2(11)0x x += 因而原方程的解为：120,11x x ==。

线性代数试卷

12008-2009-1年秋线性代数期末试卷(A)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 中有2n n -个以上元素为零，则A 的值为（） A.大于零; B. 等于零; C. 小于零; D. 不能确定.2.设n 阶方阵A 有一个特征值为零，则下列说法正确的是（）A. 0;A =B. ();R A n =；C.A 可逆；D. A 的列向量组线性无关. 3. 设A 为n 阶方阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，则方程组Ax b =有（）A. 无解；B. 有唯一解；C. 有无穷多解；D. 解的情况不能确定。

4. 设,A B 为三阶方阵，若A 可逆，()2R B =，则()R AB =（） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3。

5. 同阶方阵A 与B 相似的充要条件是（）A. 存在两个可逆矩阵P 与Q ，使得PAQ B =;B. 存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=;C. 存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =;D. ()()R A R B =。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．行列式1234003209156412a a a a 中4a 的代数余子式的值等于。

7．若2λ=是可逆方阵A 的一个特征值，则方阵1212A -⎛⎫⎪⎝⎭必有一个特征值为。

8．当t = 时，下列向量组()123(2,1,0),(3,2,5),10,6,a a a t ===线性相关。

9．设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知12A =，则()1*32A A --= 。

10．二次型121323222f x x x x x x =++的秩等于。

三、计算题（每小题10分，共50分）11. 若111121()11x x f x n x++=+，求(0)f 。

12．设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。

13. 问,a b 取何值时，向量()1,2,T b β=可由向量组()11,1,2T α=，()22,3,3Tα=，()33,6,Ta α=（1）唯一的线性表示，（2）无穷多的线性表示，（3）不能线性表示。

线性代数(A卷考题及答案)

（ 2008 至 2009 学年第一学期）课程名称：线性代数考试时间： 110 分钟课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分考试形式：闭卷学生自带普通计算器: 不允许1、设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（）A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 3．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（）A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =. 四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A -- 五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y 六、（10分）。

2007-2008第二学期线代试卷A及答案)

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠；4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)1100011111100100020012000200011i in i n i n r r r r n nn n n D n nn n nn n==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)1122000001(1)1(1)(1)()(1)1222000n n n n n n n n n n n n n n nn n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分）2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1760011000037012A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭－。

………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分）于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～10110122002200-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～10000104001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………...（4分）则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分）且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分）或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t tt t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～ 22321101100(1)(2)1t tt t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分）所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分）当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。

模拟(1) 07-08线性代数A

模拟试卷一一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15 分）1. 设 1231231234a a a b b b c c c =，则 123312331233222a a a a b b b b c c c c -+-+-+= -8 2. n 元齐次线性方程AX=0,若R(A)=r<n, 则AX=0必有解，基础解系含有个解向量，解空间的维数是3. 设 1403,2112A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则TAB =（） -4 1 11 -8 4. 向量组1(1,0,0)Tα→=, 2(1,3,0)Tα→=-, 3(1,2,1)T α→=-的秩为 . 5. 设 12,,βαα 线性相关，23,,βαα线性无关，则123,,,βααα线性二、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分）1. 设,A B 为n 阶方阵，且0,0A AB ≠=，下列结论必然正确的是（） (A) 0B =; (B) ()222A B A B +=+; (C) ()222A B A BA B -=-+; (D) ()()22A B A B A B -+=-. 2. 设A 为三阶方阵，且det 2A =，则det(3)A -=（） (A) -54; (B) 18;(C) 27; (D) -6.3. 设A 是m n ⨯阶矩阵，()()min ,R A r m n =<，则A 中（）（A ）至少有一个r 阶子式不等于零，没有等于零的r 阶子式； (B) 有不等于零的r 阶子式，没有不等于零的r +1阶子式； (C ) 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的r +1阶子式； (D) 任何r 阶子式等于零，任何r +1阶子式都等于零。

4．下列向量中与121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭正交的是( )(A) 011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭; (B)201⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭; (C) 311⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭; (D) 101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5. 若A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵，C 是p m ⨯矩阵，则下列运算不可行的是（）(A) ()TC AB + ; (B) ABC ; (C) ()TBC A - ; (D) T AC . 三、证明行列式（共计 10分）0111111111111111144342414433323134232221241312111=++++++++++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x四．（10）解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010101000200320X X 五. （10）求下列非齐次线性方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=+-694432542321321321x x x x x x x x x 六、（共2 小题，每题 8 分，共计16 分）（1）求向量组123411204012,,,13160133αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个最大无关组。

《2008线性代数》试卷参考答案(不完整版)

2 3 10
0
3
C1 证明：β = AZ 有解，Z0 = ⋮ ,则β = C1α1 + ⋯ + Cnαn，故（A，β）的列向 Cn 量组与 A 的列向量组等价，从而秩相等反过来，（A，β）的列向量组与 A 的列向量组等价故β可用α1， ⋯ ，αn线性表示令β = C1α1 + ⋯ + Cnαn,则 Z0= C1 ⋮ 为 AZ=β的解 Cn
1 1 = (a + 2)(a − 1)2 a
当 a≠ −2, a ≠ 1 时，有唯一解；当 a= 1时，无解；当 a=-2 时，有无数解。方程为-2x1+x2+x3=2，,x1+x2-2x3=4 对应齐次方程组基础解为 −1， − 1，1
T
求一特解为 x1=3，x2= 3 ，x3=0
2
10
−1 故通解为 a −1 + −1 六、证明题
n −2 n −1
n
=nn −1
1 + n +n + ⋯+ 0 0 ⋮ 0 0
n+1 2
n −1
0 0 0 0 ⋮ ⋮ 0 −1 −1 0
n+1 2
0 −1 ⋮ 0 0
n
−1 0 ⋮ 0 0
n
=nn −1 五、 a 1 解： A = 1 a 1 1
(−1)n+
n (n +1) 2
= nn −1
(−1)n(n+1)
1 1 1 3、解： A = ⋮ 1 1
2 1 1 ⋮ 1 1−n
3 1 1 ⋮ 1−n 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯
2 n
⋯ n−2 n−1 ⋯ 1 1 ⋯ 1 1−n ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 1 1 ⋯ 1 1

沈阳建筑大学08秋-线性代数试卷A答案

沈阳建筑大学考试评分标准专用纸2008年秋季学期科目：线性代数1（A 卷）适用年级、专业：07级土木、环境、交通机械、管理、信息（除计算机）学院 ————————————————————————————————一、填空（每小题4分，共20分） 1．0； 2．AA； 3．-4； 4．!n ； 5．22t -<< 二、选择题（每小题4分，共20分） 1． D ； 2．D ； 3．B ； 4．C ；5．C 三、（6分）原式＝222222()(()())16x y x yx y x y x y x y x y x y-+-=--+=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6' 四、（6分）证明：设存在121,,,s l l l - 满足 1122110s s l l l βββ--+++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 则有111222111()()()s s s s s s l k l k l k αααααα---++++++112211112211()0s s s s s l l l l k l k l k αααα----=+++++++=因为 12,,,s ααα无关，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 所以 1211122110s s s l l l l k l k l k ---====+++=故 121,,,s βββ-无关. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2'五、（6分）解：32213211111111122200()3203200r r r r A a b aba b a a b aa ba ab a b+----=+--=-=-=--+-+-．．2'当()0a a b -=时，即0a =或a b =时，()3R A < （1）若0a b ==，则111100010000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()1()2R A R =<=，无解. .．．．．．．．．．．．．2' （2）若0,0a b =≠，则2132221 1 1 1111 1222300100 23002311 1100100 01r r r r A b b b b b -+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()2()3R A R A =<=，无解. ．．．．．．．．．．．．．2' 六、（6分）解：()12341525100236330101,,,2215001110110000a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.．．．．．．．．．．．．．3' 秩为3，123,,a a a 为一个最大无关组，41232a a a a =-+. ..．．．．．．．．．．．．．3' 七、（6分）解：1122r n n n D D D --=-按展..．．．．．．．．．．．．．3'232232(2)32n n n n n D D D D D -----=--=-34334213(2)243(1)(2)n n n n n D D D D D n D n D -----=--=-==---21(1)(2)2(1)32(2) 1.12n n n n n =---=---=+ ..．．．．．．．．．．．．．3' 八、（6分）解：由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2' 由于001010,0100A E A E ⎡⎤⎢⎥-=-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦201030102X A E ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ..．．．．．．．．．．．．．4' (或者)由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2'11001001001010,()010010100100100A E A E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦..．．．．．．．．．．．．．2'12()()X A E A E -=--001102201010030030100201102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ..．．．．．．．．．．．．．2' 九、（6分）解：222222A B αααηζηζβββ+=+=+4444A B ααηζββ=+=+ .．．．．．．．．．．．．．4' 454(2)12.=⨯+⨯-= ..．．．．．．．．．．．．．2'十、（8分）解：100023032A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (5)(1)(1)E A λλλλ-=--+ ..．．．．．．．．．．．．．1' 5λ=的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=特征向量2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=-特征向量3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭单位化11011q β⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ ，222q βξ==，333011q βξ⎛⎫⎪===⎪⎪-⎭..．．．．．．．．．．．．．4'正交变换01000X Y ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪..．．．．．．．．．．．．．1'2221235f y y y =+-. ..．．．．．．．．．．．．．1' 由顺序主子式不全大于等于0或标准形中有负项，得不是正定的...．．．．．．．．．．1' 十一、（6分）解：由 ,P PA Λ=故11,k k A P P A P P --=Λ=Λ所以 175()(62)A P E P ϕ-=Λ-Λ+又10,11P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以110,11P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 75175101010()62010(1)0(1)103010110711A P P ϕ-⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦30.107-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 十二、（4分）解：由1234b αααα=+++得线性方程组Ax b = 的特解*T (1,1,1,1)η= . 由234,,ααα 线性无关，1232ααα=-知()3R A =，线性方程组0Ax = 的基础解系含有431-=个解向量。

线性代数期末考试试卷A答案

…………(2分)
它的特征多项式为
，
…………(4分)
由于其有一特征值，故，所以A的特征值为
，。
…………(6分)
当时，解方程。
，
得基础解系，，
…………(8分)
单位化即得，；
…………(10分)
当时，解方程。
，
得基础解系，单位化即得； …………(12分)
于是正交变换为，
且其标准型为.
…………(13分) …………(15分)
八、证明（本题13分）
1、设A、B都是n阶矩阵，且A为对称阵，证明也是对称阵。
得分
（本小题7分）
证明：由于，
A是n次对称阵，故有。
…………(3分)
于是
即是对称阵，故也是对称阵。 …………(7分)
2、设，证明：A的特征值只能取1或2。
（本题6分）
得分
证明：设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则
…………(2分)
A） ACB B）ABC C）BAC D）CBA
3、设矩阵A =，则 D 。
A）8 B） -8 C）-16 D）16
4、设三元非齐次程组AX=B的两个解分别为，且系数矩阵A的秩为2，
则对任意常数方程组的通解可表为 C 。
A）
B）
C） D）
5、矩阵A=非零特征值是 B 。
A）4 B）3 C）2
D）1
二、填空题：（每题2分共10分）
…………(6分)
当时，解方程。，
得基础解系，故的全部特征向量为…………(8分) 当时，解方程。，
得基础解系，故的全部特征向量为…………(10分) 当时，解方程。，
得基础解系，故的全部特征向量为………(12分)

(答案)-08级《线性代数与概率论》(A)期末考试试题

08级《线性代数与概率统计》期末考试试题（A 卷）2009学年（1）学期《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。

”姓名：___________________学号：____________________分数：____________________（答案一律写在答题纸上）一、是非题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”）（共10分）1、设A 是m ×n 矩阵，若m <n ，则A X=0有无穷多个解。

（ √ ）2、对于随机变量X 、Y ，若ρXY ≠0，则X 与Y 必定不相互独立。

（ √ ）3、基础解系中的解向量一定线性无关。

（ √ ）4、已知()(),A B A B A B A B C ++++++=则C =B 。

（ √ ）5、交换行列式的某两行，行列式的值变为相反数。

（ √ ）6、将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币均匀是合理。

（ × ）7、包含有θ向量的任意一个向量组一定线性相关。

（ √ ） 8、对于事件A 、B 、C ，必定有A +（B -C ）=A +B -C 成立。

（ × ） 9、[1]是单位矩阵，但不是初等矩阵。

（ × ）10、在样本空间S 中存在两个事件A 、B 满足()()()A B P AB P A P B φ⋂==且（ √ ）二、选择题（20分）1、已知A 、B 、C 为某随机试验中的事件，则下列各式一定正确的是（ D ）（A ）();A B B A -+= （B ）()();A B C A B C +-=+- （C ）;A C B C A B +=+⇒= （D ）以上答案都不一定正确2、设ξ～f （x ），如果恒有0≤f （x ）≤1，则（ D ）（A ）1N(,);25ξμ（B ）2N(1,);ξσ（C ）21N(,);25ξσ（D ）N(,2)ξμ3、设向量组123,,ααα线性无关，向量β1可由123,,ααα线性表出，而向量β2不能由123,,ααα线性表出，则对于任意常k ，必有（ A ）。

线性代数2007-2008第二学期试卷A答案

n 4, 有唯一解 III)a 2且a 1时，r r
综上，a 2且b 1时，方程组无解。
1 0 (2)a 2, b 1时，A 0 0
1 0 a 1时，A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0
3、设 A, B 均为 3 阶方阵，且满足 A 2, B 3 ，则 ( AB ) 6 ； ( AB ) ＝ 36 。

1 1 1 1 1 1 2 3 的秩为 4、矩阵 3 1 5 1 1 3 4 2
4
1 0 ，它的行最简形是 0 0
1
1 3 6 0 0 1 和 2 。 3 6 1 1 3 6
6,3,2
8、设三阶方阵 A 、B 相似，A 的特征值为 1、 2、 3，则 B* 的特征值为
。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）得分
1 3 0
2 3 2 ( 1) 3
3 1 2 1 0 1 1 0 1 A E 5 2 3 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 0 0 1 ( A E ) x 0的基础解系为 1 ， 1 A只有一个线性无关的特征向量，因此A不能对角化。
3310分分设为一向量组12341131151?21893??????317?????????????????????????????????????????????????????????????????1
浙江工业大学
《线性代数》试卷 (A)

线性代数考试样卷及解答

2007 — 2008学年第一学期《线性代数Ⅰ》课程考试A 卷试题解答一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设行列式1112132122233132333 ，　=a a a a a a a a a 则111213313233212223333333333 等于 a a a a a a a a a 【 A 】（A ）–81 ;（B ）–9 ; （C ） 9;（D ）81 .2、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为【 A 】（A ）-4；（B ）4；（C ）-1；（D ）1。

3、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 C 】（A ）A E =；（B ）A E =-；（C ）1A A -=；（D ）1A =。

4、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则【 D 】 (A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； (C) 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示。

5、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=【 B 】 (A ） 2；（B ） 1； (C ） 0；（D ） -1。

6、设A 是实对称矩阵，则【 A 】（A ）A 一定有n 个线性无关的特征向量；（C ）A 的特征值一定是非零的；（B ）A 的任意两个不同的特征向量一定是正交的；（D ）A 一定有n 个不同的特征值。

7、设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列不正确．．．的是【 C 】 (A ）Ax =2x ；（B ）A -1x =21x ； (C ）A -1x =2x ；（D ） A 2x =4x 。

8、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于【 C 】（A ）-12；（B ）43-；（C ）1627-；（D ）432-。

2007-2008第一学期线代试卷A及标答

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、23-； 2、E ； 3、-15； 4、5t ≠； 5、 2 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、C 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分）1、 121000121000(1)2121000121121n n n x xn x n xn n D x x n n x x n nn n-+-++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--………………（4分） (1)12(1)(1)2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………（8分） 2、由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………（4分）又BX A =，即(1,2)A E X A =，所以1(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………（8分） 3、记1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1111200A A A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………………（2分）又*11211,10A A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故112110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ …………………………………………………………（4分）*21211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故122131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………………………………………………（6分）所以12100100000210031A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。

…………………………………………………………………（8分） 4、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：1211241012213631A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～121100320000000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭～11203201300000000⎛⎫-⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭…………………（4分）()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组；………………………（6分）且212αα=，4131233ααα=--。

2008级线性代数试题和答案 A卷

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是_____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B 2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是（）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （）（A ）合同且相似（B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似（D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线性无关的充分必要条件是（）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nn n n d b d b d b a a a a D 00000022112101=+.解分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====nk n kkk nn nk k k k c c d d d d b a a d d d a a a d b a a D jjd jb 1210212110;)(0000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i ic cd d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？解在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100021********21)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵.证由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。

线性代数2007-2008第一学期试卷A

浙江工业大学《线性代数》试卷 (A)(2007—2008学年第一学期) 2008.6一、填空(每空2分,共24分)1、在四阶行列式中，乘积项43213412a a a a 的符号为号。

2、设,B C 为n 阶可逆方阵，00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，则T A = ；1A -= 。

3、设,A B 均为n 阶方阵，且满足2,3A B ==，则()AB *= 。

4、设 100010b A ac ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当,,a b c 分别为时，A 为对称阵；A 的伴随阵为；当,,a b c 满足条件时，A 为正交阵。

5、向量组⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭141、k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14、⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭120为3R 的一组基, 则k 必须满足的条件是。

6、线性方程组AX β=有无穷多解的充要条件是。

7向量TT)0,1,0,1,0(,)1,0,1,0,1(==βα8、设二阶方阵A 、B 相似，A 的特征值为2、3，则1-B 的特征值为，而*B 的特征值为。

二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、以下结论正确的是（）。

A 、若2=A 0，则A =0；B 、若方阵A 的行列式0=A ，则A =0；C 、若=A B 0，则A =0或B =0；D 、若方阵A 对称，则2A 也对称。

2、下列四项中，向量组T 线性相关的充分必要条件是（）。

A 、向量组T 中至少有一个是零向量；B 、向量组T 中至少有两个向量的分量成比例；C 、向量组T 中至少有一个向量能由其余向量线性表示；D 、向量组T 中至少有一个部分向量组线性相关。

3、下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

A 、100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ； B 、001010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C 、100015001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D 、001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

4、若n 阶方阵A 可逆，则下列各项中不是A 可逆的充分必要条件的是（）。