学案2 一元二次不等式及其解法

3
②8x-1≤16x2. （2）解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1＜0.
(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)＜0,
当a=0时,不等式的解为x＞1,
1 当a≠0时，不等式变为a(x- )(x-1)＜0, a 1 若a＜0,则(x- )(x-1)＞0, a 1 1 ∴x＜ 或x＞1.若a＞0,则(x- )(x-1)＜0, a a 1 ∴当a＞1时,解为 ＜x＜1; a
3,0).
1.解一元二次不等式时，首先要将一元二次不等式化 成标准型，即ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的形式，其 中a＞0.如解不等式6-x2＞5x时首先化为x2+5x-6＜0. 2.一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0的形式 （其中a＞0）与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系. （1）知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根会写出对应不 等式的解集.
因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.① 由方程f（x）+6a=0，得 ax2-（2+4a）x+9a=0. 因为方程②有两个相等的根， ②
所以Δ=［-(2+4a)］2-4a· 9a=0，
即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=由于a＜0,舍去a=1.
1 . 5
1 1 6 3 2将a=- 5 代入①得f（x）的解析式f（x）=- 5 x 5 x- 5 .
求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方
程根的讨论.
【解析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2， 此二次函数图象的对称轴为x=a. ①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f（x）在［1,+∞）上单调递增，f（x）min=f(-1)=2a+3,
要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a,
1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大 于零的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞ 0). (2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与 x轴的交点 确定一元二 次不等式的解集. 2.一元二次不等式的解集
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根
从而方程cx2+bx+a=0有两个根为x1=
cx2-bx+a=0的两个根为x1=-
1 1 ,x2=- . n m
1 1 ,x2= ,则方程 n m
∵n<m<0,∴- 1 <- 1 .
n
m
故不等式cx2-bx+a>0的解集为｛x|x>-
1 1 或x<- ｝. m n
【评析】 (1)解一元二次不等式应熟记它的解的结构,
当a=1时,解集为;

当0＜a＜1时,解为1＜x＜ 1 .
a
1 综上,当a＜0时,不等式的解集为﹛ x|x＜ 或x＞1 ﹜; a
当a=0时,不等式的解集为{x|x＞1};
1 当0＜a＜1时,不等式的解集为﹛ x|1＜x＜ ﹜; a
当a=1时，不等式的解集为;

1 当a＞1时，不等式的解集为﹛ x︱ ＜x＜1 ﹜. a
【解析】 (1)∵Δ=42-4〓2〓3<0,
∴方程2x2+4x+3=0没有实根，
二次函数y=2x2+4x+3的图象开口向上，与x轴没有交点， 2x2+4x+3>0恒成立，
∴不等式2x2+4x+3>0的解集为R.
(2)由12x2-ax-a2>0(4x+a)(3x-a)>0
a a x x 0 , 4 a a 3 a a ①a>0时，< ,解集为｛x|x<- 或x> ｝;
即当Δ>0,a>0时,ax2+bx+c>0x>x2或x<x1(x2>x1)(即
大于大根或小于小根);ax2+bx+c<0x1<x<x2(即夹在 两根之间).
(2)解不等式的逆向问题是我们的薄弱点,是命题的
亮点,是高考注重逆向思维考查的落脚点,因此我们应熟 练掌握由一元二次不等式解的结构逆向推出不等式满 足的条件的方法.
{
Δ＞0
a＜-1
f(-1)≥0,
解得-3≤a≤1.
【评析】解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想 或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或
判别式的方法求解.
当a _________ 时，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解 集是全体实数. 【解析】①当a2-1=0,即a=〒1时,
学案2
一元二次不等式及其解法
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不 等式模型.
一元二次 不等式的 解法
(2)通过函数图象了解一元二次不等式 与相应的二次函数、一元二次方程的 联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元
二次不等式,会设计求解的程序框图.
从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形
式考查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等 式的分式不等式的解法，或已知二次函数零点的分布 以小题形式考查相应一元二次方程中未知参数的取值 范围，或以解答题形式出现单独考查含参数的一元二 次不等式的解法，也可能与函数相结合考查参数的取 值范围等.
(2)在y=kx的条件下,z= (10 x)(10 kx) ,整理可得
100
2 1 25(1 k )2 5(1 k ) z 100 k x 100 k k
(10 x)(10 y ) 100
.
5(1 k ) 由于0<k<1,所以 >0, k 5(1 k ) 所以使z值最大的x值是x= . k 2 (3)当y= x时, 3 2 (10 x)(10 x) z= , 3 100
即2a+3≥a,解得a≥-3,
又a＜-1,
∴-3≤a＜-1;
②当a∈［-1,+∞)时，f（x）min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,
又a≥-1,∴-1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.
解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，
即Δ=4a2-4（2-a）≤0 或
要使每月售货总金额有所增加,即z>1, 应有(10+x)(10 2 x)>100,即x(x-5)<0,
3
所以0<x<5,所以所求x的范围是(0,5).
【评析】 (1)实际应用问题是新课标下考查的重点,突出 了应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型出现, 如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要 理清题意,准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解. (2)不等式应用题一般可按如下四步进行:
（2）由f（x）=ax2-2（1+2a）x+3a=a ( x - 1 + 2a ) 2 a a 2 + 4a + 1 及a＜0,
a a 2 + 4a + 1 可得f（x）的最大值为 . a 2 a + 4a + 1 ＞0, a 由 解得a＜-2- 3 或-2+ 3 ＜a＜0. a＜0,
{
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围 是（-∞,-2）∪(-2+ 3
①阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找 准不等关系.
②引进数学符号,用不等式表示不等关系. ③解不等式. ④回归实际问题.
某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车 速x km/h有如下关系:s=
1 1 2 x x ，在一次交通事 20 180
故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆
【分析】三个“二次”（二次函数、二次方程、二
次不等式）把初中数学与高中数学紧密地联系在一起， 因而也是高考命题的热点，解决三个“二次”问题的关
键在于数形结合思想的运算，也就是要利用图象来分析、
解决问题. (1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,
∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
有两相异实 有两相等实根 根x2x2(x1<x2) x1=x2= b
2a
没有实根
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
b { x|x≠ } 2a
R
{x|x1<x<x2}


考点1 一元二次不等式解法
解下列不等式： （1）① -x2+2x- 2 ＞0;
考点4 三个“二次”的关系问题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1),B(t2,y2) 两点，且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0. （1）证明：y1=-a或y2=-a; （2）证明：函数f(x)的图象必与x轴有两个交点； （3）若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或 x<n,n<m<0}，解关于x的不等式cx2-bx+a>0.
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f(x)＞ -2x的解集为（1，3）.
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围.
(1)因为f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0.
（2）反过来，知道一元二次不等式ax2+bx+c＞0或
ax2+bx+c＜0的解集也会写出对应方程的根.
1.关于一元二次不等式的求解,主要是研究当二次项 的系数为正值时的一种情形(当二次项的系数为负值时, 可先化为正值来解决).对于一元二次不等式的解集,有的 学生因为理解不够而死记硬背,常常将对应的一元二次不 等式应该是空集还是全集混淆,要解决这个问题,最好的 办法就是将一元二次不等式与对应的一元二次方程、一 元二次函数的图象真正的联系起来，时刻注意数形结合，
3
【分析】用所给出的已知量表示出定价、卖出数 量、售货总金额，列出关系式，正确地将不等关系转
化成不等式问题来求解.
【解析】 (1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为
p(1+
y x )元,每月卖出数量为n(1- 10 10
)件,
每月售货总金额是npz元, 因而npz=p(1+ 所以z=
x y )· n(1- ), 10 10
(2)当a>0时,二次函数f(x)的图象开口向上,图象上的
点A,B的纵坐标至少有一个为-a且小于零,
∴图象与x轴有两个交点.
当a<0时,二次函数f(x)的图象开口向下,图象上的点A,B
的纵坐标至少有一个为-a且大于零, ∴图象与x轴有两个交点. 故二次函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点. (3)∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n,n<m<0},
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立.
若a=-1,则原不等式为2x-1<0,
1 即x< ,不符合题目要求,舍去. 2
②当a2-1≠0,即a≠〒1时,原不等式的解集为R的条件是 a2-1<0
Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0.
3 <a<1. 5 3 综上所述,当- <a≤1时,原不等式的解集为全体实数. 5
【评析】 解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨
论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项
系数的符号进行讨论；其次根据根是否存在，即Δ的符 号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论.
解下列不等式：
（1）不等式2x2+4x+3>0的解集为________;
（2）不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集为________;
解之得-
考点3
一元二次不等式的实际应用
某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每
月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.
(1)用x和y表示z; (2)设x与y满足y=kx(0<k<1),利用k表示当每月售货总金 额最大时x的值; (3)若y= 2 x，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.
汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h)
【解析】设这辆汽车刹车前的车速为x km/h,
根据题意，有
1 1 2 x x >39.5, 20 180
移项整理，得x2+9x-7 110>0, 显然Δ>0，方程x2+9x-7 110=0有两个实数根， 即x1=-88.94,x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x<-88.94或x>79.94}. 在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的速度 至少为79.94 km/h.
4 3 4 3 ②a=0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}; a a ③a<0时，- > , 4 3 a a 解集为｛x|x< 或x>- ｝. 3 4
考点2
含参数的一元二次不等式恒成立问题
已知f（x）=x2-2ax+2，当x∈［-1,+∞)时，f（x）≥a恒 成立，求a的取值范围. 【分析】 可以从函数的角度进行考虑，转化为函数