微积分基本定理(一)教学设计北师大版选修2—

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2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理教案

2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分与微积分基本定理教案1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1nb －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。

2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。

3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)。

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x 。

(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。

4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S 。

(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x 。

(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x 。

(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x 。

(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。

5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )。

4.2微积分基本定理教案(高中数学选修2-2 北师大版)

§2 微积分基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现S＝S(t)与v＝v(t)在[a，b]上的位移的关系，推导出微积分基本定理；(2)简单运用微积分基本定理解答求定积分的问题．2．过程与方法通过对变速直线运动物体位移问题的探究，发现微积分基本定理这一过程，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力，体会用联系的观点认识问题．3．情感、态度与价值观(1)通过对微积分基本定理的探究学习，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识．(2)通过本节的运用和实践，体会导数与定积分的关系，以及数学的应用价值．●重点难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单定积分．难点：微积分基本定理的含义．教学时，引导学生分别用物体运动规律S＝S(t)和速度函数v＝v(t)表示出变速直线运动b 物体在时间段[a，b]上的位移S.然后从导数及定积分两个方面分析S(t)与v(t)的关系及S与⎠⎛a v(t)d t的关系，从而引导学生发现定理，突破难点．通过微积分基本定理求定积分，让学生在应用过程中，更深入地了解定理，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在定积分的概念之后，是对定积分的应用；同时，也是对导数与定积分的关系的探究与延伸．这一过程中，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观了解了微积分基本定理的含义．因此本节课宜采取发现式课堂教学模式．即在教师精心设计的问题的引导下，通过学生的作答、交流、探究，发现定理、应用定理．●教学流程创设情境，引出问题：从两个角度求物体走过的路程.⇒引导学生结合导数、定积分的定义求解，通过观察、比较、分析得出规律.⇒通过引导学生回答所提问题，将规律推广，得到定理.⇒运用定理解答例1及其变式训练.⇒通过例2及其互动探究的解答巩固定理，提高性质的运用能力.⇒探究定理的逆向应用，并应用其解决参数的计算问题，完成例3及变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解微积分基本定理的含义．(难点) 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．(重点)微积分基本定理1．物体走过的路程S 与时间t 的函数为S (t )＝t 2，试求物体从t ＝1到t ＝2走过的路程S .【提示】 S ＝S (2)－S (1)＝3.2．求该物体在t 时刻的瞬时速度v (t )，计算v (t )在[1,2]上的定积分并说明其物理意义．【提示】 v (t )＝S ′(t )＝2t ，⎠⎛12v (t )d t ＝3，表示物体从t ＝1到t ＝2走过的路程．3．比较1、2中所得的结论，你能发现什么规律？并加以推广．【提示】 ⎛12v (t )＝S (2)－S (1)，⎛ab v (t )d t ＝S (b )－S (a ).定理内容符号表示作用如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，定理中的式子称为牛顿－莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a ) (1)建立了积分与导数间的密切联系(2)提供了计算定积分的一种有效方法利用微积分基本定理求定积分(1)⎠⎛054x d x ；(2)⎠⎛05(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛12(x －1x )d x ；(4)⎠⎛121x2d x .【思路探究】先确定被积函数的一个原函数，然后利用微积分基本定理求出定积分．【自主解答】 (1)由于2x 2的导函数是4x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛054x d x ＝2x 2|50＝2×52－2×02＝50.(2)由于13x 3－x 2的导函数是x 2－2x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛05(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|50＝(13×53－52)－(13×03－02)＝503. (3)由于12x 2－ln x 的导函数是x －1x ，根据微积分基本定理可得⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )|21＝(12×22－ln 2)－(12×12－ln 1)＝32－ln 2. (4)由于－1x 的导函数是1x 2，根据微积分基本定理可得⎠⎛121x2d x ＝－1x |21＝－(12－11)＝12.1．本题的关键是寻求函数f (x )的一个原函数F (x )．2．应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数．求下列定积分的值．(1)⎠⎛01(2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛1－2(1－t 3)d t ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x ；(4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x . 【解】 (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴⎠⎛01(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪1＝1＋3＝4. (2)∵(t －t 44)′＝1－t 3，∴⎠⎛1－2(1－t 3)d t ＝(t －t 44)⎪⎪⎪1－2＝1－14－[－2－(－2)44]＝7－14＝274.(3)∵(tx ＋2x )′＝t ＋2，∴⎠⎛12(t ＋2)d x ＝(tx ＋2x )⎪⎪⎪21＝(2t ＋4)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)⎠⎛0－π(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛0－πcos x d x ＋⎠⎛0－πe x d x＝sin x ⎪⎪0－＋e x ⎪⎪－＝1－1e π.(1)∫π20sin 2 x2d x ；(2)⎠⎛49x (1＋x )d x .【思路探究】化简被积函数→转化为基本函数的积分→求原函数→求定积分【自主解答】 (1)原式＝∫π2012(1－cos x )d x ＝12∫π20(1－cos x )d x ＝12∫π201d x －12∫π20cos x d x ＝x 2|π20－sin x 2|π20 ＝π－24.(2)原式＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎠⎛49x 12d x ＋⎠⎛49x d x＝23x 32|94＋12x 2|94＝2716.1．本题(1)(2)中的f (x )较为复杂，直接求其原函数不易，故而先化简f (x )再求定积分． 2．求函数f (x )在某个区间上的定积分，要正确运用导数运算求原函数，另外要灵活运用定积分的性质，这样会使计算简便．将本例(1)中“sin 2x 2”改为“(cos x 2－sin x 2)2”，即求∫π20(cos x 2－sin x2)2d x .【解】 ∫π20(cos x 2－sin x 2)2d x ＝∫π20(1－sin x )d x＝∫π201d x ＋∫π20(－sin x )d x ＝π2＋cos x |π20＝π2＋(cos π－cos 0)＝π－1.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛0＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x＝1，求f (x )的解析式．【思路探究】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解．【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)． ∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝(k 2x 2＋bx )|10＝k 2＋b ，∴k2＋b ＝1.② 由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．本题利用函数的性质与微积分基本定理转化为方程求解参数．2．利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，其次要注意积分下限小于积分上限．已知⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k0＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B. 【答案】 B数形结合思想在定积分计算中的应用(12分)已知函数f (x )为偶函数，且x ≥0时，f (x )＝4x －x 2，求⎠⎛4－4f (x )d x .【思路点拨】画出f (x )的图像，利用定积分的几何意义求解．【规范解答】当x ≥0时，函数y ＝4x －x 2可化为y 2＝4x －x 2，即(x －2)2＋y 2＝4(y ≥0).2分它表示以点(2,0)为圆心，2为半径的在x 轴及其上方的圆，4分其面积为2π，即⎠⎛04f (x )d x ＝2π.6分又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛0－4f (x )d x ＝⎠⎛04f (x )d x .8分∴⎠⎛4－4f (x )d x ＝⎠⎛0－4f (x )d x ＋⎠⎛04f (x )d x＝2⎠⎛04f (x )d x ＝4π.12分求函数的定积分一般有两种方法：一是当被积函数的原函数容易求出时，可求出原函数，用微积分基本定理求解；二是当被积函数的原函数不易被求出时，可考虑画出被积函数的图像，用定积分的几何意义求解，有时可结合定积分的运算性质．1．用微积分基本定理求定积分⎠⎛ab f (x )d x ，要将f (x )看作导函数，还原得到其原函数F (x )．2．对于复合函数求定积分，如分段函数、带绝对值函数、复杂的三角函数等，要先运用相关公式化简，再用积分性质分解为常见函数求定积分．1．下列式子正确的是( ) A.⎠⎛ab f(x)d x ＝f(b)－f(a)B .⎠⎛ab f (x )d x ＝f (b )－f (a )＋c。

4.2.1 微积分基本定理课件(北师大版选修2-2)

0 �� ( �� )�� -��
=
0 -��
0 -��
�� -
�� = �� -1.
3
B.F(x)=x
1
3
C.F(x)=3 x +1
3 2
3
D.F(x)=3 x +c(c 为常数)
3
3
【解析】因为(x )'=3x ,所以 F(x)=x 不正确.
2
1 -1
��|��等于( C ).
1
A. B. C. D.
-1 1 -1 0 -1 0
�� +
【解析】
�� ( 2��-1)��=6,则 0
2
t=
��
2
3
.
�� ( 2��-1)�� 0
= (�� -��) =t -t=6,解得
0
t=3(t=-2 舍去).
4
计算定积分:
1 3
1 2 ( �� -1
微积分基本定理
导.学. 固. 思
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
导.学. 固. 思
1664年秋,牛顿开始研究微积分问题,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对

数学北师大版高中选修2-2微积分基本定理

试题试卷参考学习一、学习目标1.了解连续函数，原函数的概念． 2．理解微积分基本定理的推导过程． 3．能够利用微积分基本定理求简单的定积分．二、自学导引1、如果函数y ＝f (x )的图像是不间断的，称函数y ＝f (x )是( ).A.导函数B.原函数C.连续函数D.分段函数 2、如果)()(x f x F ='，函数)(x F y =称为f (x ) 的( )A.导函数B.原函数C.连续函数D.幂函数3、下列函数不是连续函数的为( ) A.2x y = B.xy 2= C.x y sin =D.]0,1(,0]1,0(,10122-∈=∈⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x x y 4、写出下列函数的一个原函数： ①c y =（c 为常数）的一个原函数为：________________.②)1(-≠=ααx y 的一个原函数为：________________.③xy 1=的一个原函数为：________________.④xe y =的一个原函数为：________________.⑤x a y =（10≠>a a 且）的一个原函数为：____________.⑥xy sin =的一个原函数为：________________.⑦xy cos =的一个原函数为：________________.⑧xy 2cos 1=的一个原函数为：________________.5、如果)(x F y =是y ＝f (x )的原函数，下列函数中不是f (x )的原函数的是( ) A. 2)(+=x F y B. 2)(-=x F y C. )(2x F y =D. c x F y +=)( 6、若物体走过的路程S 是时间t 的函数)(t S S =，走此路程的速度V 是时间t 的函数)(t V V =。

①)(t V 与)(t S 的关系_________.② 与⎰ba dt t V )(表示的意义不符合的选项是（）A. 1S 的面积B. 2S 的面积C.])()()([lim 1100t t V t t V t t V n t ∆++∆+∆-→∆D.)]()([)]()([)]()([1121--++-+-n t S b S t S t S a S t S ③)()(__________)(a S b S dt dt t V b aba ba -===⎰⎰§4.2微积分基本定理7、速度的积分等于____________，线密度的积分是__________.8、微积分基本定理，如果)()(x f x F ='，则⎰=badx x f )(( )A.)()(a f b f - B.)()(b F a F - C.)()(a F b F - D.)()(a F b F '-' 三、双基训练 1、计算下列定积分： ①=⎰dx x 212（）A ．1 B.2 C.3 D. 4 ②=⎰-dx x 112（）A ．0 B.31C.331x D. 32③=⎰-dx x 22cos ππ（）A ．1 B.2 C.π D.0 ④=⎰dx e x 10_______________2、若==⎰⎰dx x f A dx x f a b b a )()(，则_________四、典例剖析例1 求定积分：（1）dx x ⎰103 （2）dx xe ⎰11跟踪训练：求定积分：（1）dx x⎰11 =_________（2）dx xae⎰1=__________ 例2 （1）求定积分dx x ⎰π0cos ，并解释其意义。

高二年级新课程教案数学选修2-2：16微积分基本定理第2课时

函数 f (x) 的图象以及直线 x a, x b 之间各部分面积
的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．
布置作业
1． P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（2）（4） 2． P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（2）（4） 3． P62 习题 1. 6 B 组第 3 题
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
aT
T
6.设 f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数，证明对任何实数 a ，有 a f (x)dx 0 f (x)dx
证明：∵ f (x) 为 R 上以 T 为周期的连续函数
∴ f (x T ) f (x), x R
设 F '(x) f (x) ，则有 F '(x T ) f (x T )
容易误为 F(x) F(x)
∴ F(x) F(x)
∴
a a
f
(x)dx
F ( x)
a a
F (a)
F (a)
F(a)
F (a)
0
∴原式得证
师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使
用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数
是偶函数这个性质．
再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数 F(x)
f (x) dx
c
f (x)dx
d f (x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
d
c
d
b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
c
d
例题 3：已知 f (x) 在 a,a 上连续，若 f (x) 是奇函数，

高中数学第4章定积分2微积分基本定理学案北师大版选修2_2

§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛abf (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.] 2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛π2sin 2x2d x .思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛－πcos x d x －⎠⎛－πe xd x＝sin x ⎪⎪⎪－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1eπ－1． (3)2x 2＋x ＋1x＝2x ＋1＋1x，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x.∴⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛π2(1－cos x )d x＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x2⎪⎪⎪⎪π2－sin x 2⎪⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________.ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． [解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ，∴k2＋b ＝1． ②由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ①f ′(1)＝2a ＋b ＝1， ②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316. ③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积． (2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论 (1)⎠⎛a bf (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x .(2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛ax 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x nbf (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a b f (x )d x ≤⎠⎛abg(x )d x .推论2：|⎠⎛a b f (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )； (5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0. (3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数． [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。

高中数学选修2-2 北师大版 4.2.1微积分基本定理学案

学习目标：1.直观了解微积分基本定理的含义，能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

2.通过学习微分与积分的关系，体会数学的博大精深，为进一步学好微积分打好基础。

学习重点：微积分基本定理的理解；学习难点：运用微积分基本定理计算简单的定积分一、预学部分【自主学习】新课知识1、微积分基本定理：如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即，那么ʃb a f (x )d x ＝． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f (x )d x ＝，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝ .3、定积分公式：（1）=⎰bacdx （2）=⎰bandx x （3）=⎰baxdx cos（4）=⎰ba xdx sin （5）)0(___________1>=⎰x dx xba（6）=⎰bax dx e （7）=⎰n mx dx a4、定积分性质（1）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(（k 为常数（2）⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()()]()([（3）,)()()(⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f二、导学模块【合作探究】计算下列定积分1、ʃ31(2x －1x2)d x ； 2、ʃ0－π(cos x －e x)d x .3、ʃ31(x ＋1x)26x d x . 4、⎰-32|4|dx x5、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x ；6、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【拓展延伸】高（中）考对接1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D ．－23三、固学提高【课堂检测】1． (1＋cos x )d x 等于 ( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋22．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是 ( )A ．5B ．4C ．3D ．23．dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1-4．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________.5.计算⎰-11)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,)(23x x x x x f课后反思。

高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第四章 §2 微积分基本定理

§微积分基本定理已知函数()＝，()＝.问题：() 和()有何关系？提示：′()＝()．问题：利用定积分的几何意义求的值．提示：＝.问题：求()－()的值．提示：()－()＝×－×＝.问题：你得出什么结论？提示：()＝()－()，且′()＝()．问题：由()与()－()之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：()＝()－()，其中′()＝()．微积分基本定理如果连续函数()是函数()的导函数，即()＝′()，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称()是()的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号()来表示()－()，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作()＝()＝()－()．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[例]计算下列各定积分：()(＋)；()( ＋)；().[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析]()∵(＋)′＝＋，∴(＋)＝(＋)＝＋＝.()∵( ＋)′＝＋，∴( ＋)＝( ＋)＝－－π.()∵′＝－，∴＝＝＋＝.[一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数()的导函数′()＝()为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．＝.解析：＝－＝.答案：．求下列函数的定积分：()(＋＋)；()( － )；().解：()(＋＋)＝＋＋＝＋＋＝.()( － )＝－＝(－ )－＝.()＝＋＝＋＝×－×＋－＝＋ .．求下列定积分：()；() (－)·(－).解：()＝)，。

高中数学选修2-2 北师大版 §2微积分基本定理(第1课时)学案

§2 微积分基本定理（第1课时）【学习目标】1.了解微积分基本定理的含义，并了解其推导过程；2.能够利用微积分基本定理求简单的定积分.【重点难点】重点：利用微积分基本定理求简单的定积分难点：微积分基本定理的推导过程【导学流程】一、知识链接1.定积分的定义若函数y=f(x)在给定区间[a ，b]上，满足以下条件：①将区间[a ，b]n 等分，分点为：a=x 0<x 1<x 2<...<x n-1<x n =b ，第i 个小区间为[x i-1，x i ]，其长度为△i .②在第i 个小区间[x i-1，x i ]上任取一点ξi ，求和：S '=f(ξ1)△x 1+f(ξ2)△2+...+f(ξi )△x i +...+f(ξn )△n .③最大的小区间的长度趋于0，S '趋于常数A ，则称A 是函数y=f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作()⎰ba dx x f ，即()⎰ba dx x f =A. 2.定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义：当f(x)≥0时，()⎰b a dx x f 表示的是y=f(x)与x=a ，x=b 和x 轴所围曲边梯形的面积；定积分的物理意义：当f(x)表示速度关于时间x 的函数时，()⎰b a dx x f 表示的是运动物体从x=a 到x=b 时所走过的路程.3.定积分的性质性质1 a b dx b a-=⎰1；性质2 ()()⎰⎰=b ab a dx x f k dx x kf ；性质3()()[]()()⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f ；性质4 ()()()⎰⎰⎰+=bc c a ba dx x f dx x f dx x f . 二、课前预习1.阅读课本第82页“实例分析”了解微积分基本定理的推导过程.2.阅读课本第82页“抽象概括”内容，理解微积分的基本定理，了解积分与导数的联系，完成：（1）如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)=()x F '，则有______________________. 该式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)是F(x)的_______.（2）f(x)的原函数是唯一的吗？____________________________________________.（3）x 的一个原函数是__________，x 2的原函数是_________，e x 的一个原函数是_________，（4）课本第85页练习2.3.认真分析例1、例2、例3，完成：第85页练习1，3.同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容二、课堂探究1.填写： ⎰ab cdx =______________，⎰a b n dx x =______________，⎰a b dx x1=________________， ⎰a b x dx e =_____________，⎰a b x dx a =______________，⎰a b xdx cos =_______________， ⎰a b xdx sin =_____________，⎰a dx xb 2cos 1=______________.【课堂小结】目标达成_______________________________________________________；收获新知_______________________________________________________；我的困惑_______________________________________________________.【达标检测】（限时20分钟）1.若()03202=-⎰k dx x x ，则k=（） A.0 B.1 C.0或1 D.以上都不对2.设f(x)=()()⎩⎨⎧≤<-<≤,212,102x x x x 则()⎰20dx x f 等于（） A.43 B.54 C.65 D.不存在 3.课本第85页习题4-2A 组6（2），（4），（6），（8），（10）.。

微积分基本定理教案

微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。

2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。

三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。

四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。

2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。

五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。

3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。

六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。

高中数学 4.2 微积分基本定理课件北师大版选修22

数．
2．(1)0的原函数＝__c__； (2)1的原函数＝___x_＋__c__；
xα＋1 (3)xα的原函数＝___α_＋__1_____＋c(α≠－1，x>0)
(4)1x的原函数＝____ln_|_x_|＋__c____(x≠0)； (5)ex 的原函数＝__e_x_＋__c____；
(6)ax 的原函数＝_lan_xa_＋__c____； (7)cosx 的原函数＝___si_n_x_＋__c___； (8)sinx 的原函数＝__－__co_s_x_＋__c___.
变力做功问题．本节重点：微积分基本定理．本节难点：微积分基本定理的应用．
知能自主梳理
1．微积分基本定理：如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函
数，即f(x)＝F′(x)，则有
b

f(x)dx＝__F_(_b_)－__F__(a_)___．定理中的

a
式子称为牛顿－莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函
[点评] 牛顿－莱布尼茨公式揭示了导数和定积分的内在联系，从而把被积函数为连续函数的定积分计算问题化成了求被积函数的原函数问题，这就要求熟练掌握导数的计算公式，学会逆运算．
(1)1(ex＋2x)dx等于( 0
A．1 C．e
[答案] C
)
B.e－1 D.e＋1
[解析] ∵被积函数ex＝2x的原函数为ex＋x2. ∴1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|10＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.
等．
(2)在解决上述问题时，可利用数形结合的方法，作出y＝
f(x)的草图后再求解．
如若f(x)<0，则
b

f(x)dx<0，此时其相反数才是其平面图形

第四章定积分微积分基本定理第一课时课件北师大版选修2-2课件

2
(3)1 ( x 1)dx
(4)
3(3x2
1
-
1 x2
)dx
0
4 25 33
76
3

(5)0 cos xdx
0
0
(6) sin xdx
-2
2.求下列定积分,并说明它几何意义:
(1)0 sin xdx
2
(2)2 sin xdx
-2
(3)02 sin xdx
0
练习：
②近似代替：取点i xi1 , xi ；
③求和：
n i 1
ba n
f (i ) ；
④取极限：
b
n
f ( x)dx lim f
a
n i1
i
ba n
（一）、引入
1. 由定积分的定义可以计算 1 x2dx 1 , 但比
较麻烦(四步曲),有没有更加简便有0 效的方法3 求定积
分呢?
探究:如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s’(t).设这个物体在时间段[a,b]内的位移为S,你能分别用s(t),v(t)表示S吗?

s(b)

s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = __9____ -1
(4) 2 (ex 1)dx = _e_2_-_e_+_1 1
计算下列定积分:
⑴
5
4 xdx
0

高中数学第四章定积分2微积分基本定理教学案北师大版选修2-2(new)

§2微积分基本定理错误!已知函数f（x)＝x，F（x)＝错误!x2.问题1：f(x）和F（x)有何关系?提示：F′（x)＝f(x)．问题2：利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!.问题3：求F（2）－F(1)的值．提示：F（2）－F(1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4:你得出什么结论？提示：错误!f(x）d x＝F（2)－F（1)，且F′（x）＝f(x）．问题5：由错误!f（x）d x与F（2）－F（1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a)，其中F′(x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x）是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x）,则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x）的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F（x)错误!错误!来表示F（b）－F(a），于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作错误!错误!f(x)d x＝F（x)错误!错误!＝F(b）－F(a）．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．错误!求简单函数的定积分［例1] 计算下列各定积分：(1）错误!错误!（2x＋3）d x；(2)错误!错误!(cos x＋e x)d x；(3)错误!错误!错误!d x。

［思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析］（1)∵（x2＋3x）′＝2x＋3，∴∫错误!(2x＋3）d x＝（x2＋3x)错误!错误!＝1＋3＝4.（2）∵(sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误!错误!（cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x)错误!错误!＝1－e－π。

（3)∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!错误!d x＝错误!错误!错误!＝7＋错误!＝错误!.[一点通］应用微积分基本定理求定积分时,首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型,然后求导数进行验证,在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f（x）为止(一般情况下忽略常数），然后再利用微积分基本定理求出结果．1错误!.错误!d x＝________.解析:错误!错误!d x＝ln e－ln 1＝1。

微积分基本定理课件1北师大选修(2)

x4）|10
1 4
14
1 4
04
1 4
公式公式2一: ：
b xndx
a
=
x n
n+1
+1
|ab
4
例2 计算下列定积分
1、 2 x2dx 1
2、 2 x1dx 1
22
3、 (1 )dx
1
x
解1、（ x1）'
x2
2 x2dx
1
（ x1）|12 （ 2）1 （1）1
1 2
解2、（lnx）' x1
式三：
11
• Sds绝对是假的
例3 计算下列定积分
2、 2 cos xdx 0
1、 2 sin xdx 0
3、 2 cos2 xdx 0
解1、（sin x）' cosx
2 0
c os xdx
(sin x) |02
sin
2
sin 0
1
解2、（ cosx）' sin x
2 0
sin
xdx
( cosx) |02
2、 1 x2dx 0
3、 1 x3dx 0
解：1、（1 x2）' x 2
1
x
0
dx
（1 2
x2）|10
1 12 2
1 02 2
1 2
解：2、（1 3
x3）'
x2
1 0
x2dx
（1 3
x3）|10
1 13 3
1 03 3
1 3
解：3、（1 x4）' x3 4
1 0
x3dx
（1 4

北师大版数学高二-第二节微积分基本定理第一课时学案

第二节微积分基本定理第一课时 ★ 学习目标1．理解并记住牛顿—莱布尼茨公式，即微积分基本定理；2．会用求导公式和导数运算法则，反方向求使()()/F x f x =的()F x （即()f x 的原函数），并运用牛顿—莱布尼茨公式求()f x 的定积分。

★ 学法指导在学习了上两节定积分的概念之后，我们会发现，用定积分的定义求值，往往比较复杂，特别是在求和和取极限两个步骤中。

而用积分的几何意义求定积分的值有很大的局限性。

因此有没有一种运算不需要经过这些复杂的过程，直接求得定积分的值就成了亟待解决的问题。

本节我们可以通过实例：路程关于时间的函数的导数为速度关于时间的函数，而运用积分定义又发现，积分正好使之“逆向返回”，从而引出微积分基本定理——牛顿—莱布尼茨公式。

它揭示了导数与积分间的关系。

解决了我们求定积分计算上的难题，这就是牛顿—莱布尼茨公式的魅力所在。

★ 知识点归纳1．如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()/F x = ，那么()ba f x dx =⎰= 。

★ 重难点剖析重点：对正向求导公式熟悉掌握，并会逆向运用它们求一些简单函数的原函数。

难点：逆向运用求导公式求原函数。

剖析：要想灵活运用微积分基本定理求定积分，就要对求导公式非常熟悉，进而能逆用求导公式求原函数。

★ 典例分析例1．求下列定积分：（1）⎰--+22212dx x x )(；（2）⎰-+31221dx xx x ))((；变式练习1求下列定积分（1）⎰-+21213dx x x)(；（2）⎰-3122dx x x x ；例2：求下列定积分：（1）()2sin cos x x dx π-⎰；（2）()0cos 2xx e x dx π-+-⎰ 变式练习2求下列定积分：（1）()0cos sin x x dx π-+⎰ ；（2）()50sin xex dx π-⎰。

★ 基础训练1．若()/22Fx x =，则下面的解析式不正确的是（）A .()323F x x = B .()323003F x x =+ C . ()313F x x =D .()323F x x c =+ 2．计算220sin cos 22x x dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰等于（）A .2π B .12π+ C . 2π- D .03．若()1022x k dx k +=-⎰，则定值k 为（）A . 1B .12C . 12- D .04．()a af x dx =⎰ ；()b af x dx =⎰ ()abf x dx ⎰；5．设()()20f x ax bx c a =++≠，若已知()()()1114,11,36f f f x dx '===⎰，求()f x 的表达式。

42微积分基本定理课件1北师大选修2-296958培训教材

ss(b)s(a)
则有：abv(t)dts(b)s(a) s'(t) v(t)
b
b
Sav(t)d tas'(t)d ts(b ) s(a )
b
b
Sav(t)d tas'(t)d ts(b ) s(a )
一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且
F’ (x)=f(x)，那么
b
a f(x)dxF(b)F(a)
b
c
a
o x s dx (s
i n ） ' xx 1 1 2x 1 d （ xln x ） |1 2 ln 2 l1 n ln 2
解3、
12(12 x)d x121d x122 xd x121dx2
2 1
1d x
x
x|122(lnx)|12（ 2 1 ）（ 2 l2 n l1 ） n 1 2 l2 n
3.3 微积分基本定理
【一、微积分基本定理】
一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t)
在t时刻时物体的速度为v(t) v(t)≥0,则汽车在时间间隔［a, b]内经过的位移可用速度表示为
b
s a v(t)dt
另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t) 在［a,b]上的增量s(b) –s(a) 来表达，即
这个结论叫微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼兹公式。
为了方便起见，还常用 F ( x ) |ba 表示 F(b)F(a)
a bf(x)dxF (x)|b aF (b)F (a)
例2 计算下列定积分
1、 2 x 2dx 1
2、 2 x 1dx 1
3、 2 (1 2)dx
1
x
解1、（ x 1 ） ' x 2 1 2x 2 d （ x x 1 ） |1 2 （ 2 ） 1 （ 1 ） 1 1 2