第十四周检测题

甘谷一中2010-2011学年度第二学期第十四周检测
数学试题（理科）
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
A =6|
1,1x x R x ⎧⎫
≥∈⎨⎬+⎩⎭
，B ={x |x 2-2x -3<0}，那么A ∩
(C R B )为 （ D ） A ．(-1，5) B ．(-1，3)
C ．(-∞，-1) ∪[3，+∞)
D ．[3，5]
2．将函数)
2,2(2sin π
==x y 的图象按向量平移后得到的图象对应的函数解析式是 D
A ．22cos +=x y
B ．22cos +-=x y
C ．22sin +=x y
D ．22sin +-=x y
3．已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且抛物线12-+=x x y 的顶点坐标为（b,c ），则a ·d 等
于 （ A ）
A ．85
B ．－85
C ．47
D ．－47
4．与函数lg(1)
10x y -=的图象相同的函数是 （ D ）
A. y = x -1
B. y = 112+-x x
C. y = |x -1|
D. y =2
)1
1(
--x x 5．若2
()2f x x ax =-+与1
)(+=
x a
x g 在区间（1，2）上都是减函数，则实数a 的取值范围是
（ D ）
A ．(1,0)(0,1)-
B ．(1,0)(0,1]-
C ．（0，1）
D ．]1,0(
6．对任意实数x ，若不等式|1||2|x x k +-->在R 上恒成立，则k 的取值范围是（ B ）
A. 3k <
B. 3k <-
C.3k ≤-
D. 3k ≤ ７．曲线轴有四个交点与x a x x y +-=2，则实数a 的取值范围是（ B ）
Ａ．]41,0[ Ｂ．)41,0( Ｃ．)45,1( Ｄ．]4
5,1[ 8．函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）
9．已知函数)(,1)(,12)(2x F x x g x f x 构造函数-=-=，定义如下：当)(|)(|x g x f ≥叶，
)(),()(,)(|)(||;)(|)(x F x g x F x g x f x f x F 那么时当-=<=（C ）
A 有最大值1，无最小值
B ．有最小值0，无最大值
C ．有最小值—1，无最大值
D ．无最小值，也无最大值
10．若不等式012
≥++ax x 对于一切⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈21,
0x 成立，则a 的最小值是（ C ） A ．0 B.–2 C.2
5
-
D.-3 11．一元二次方程ax 2+2x +1=0（a ≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件（ C ） A ．a <0 B ．a >0 C ．a <-1 D ．a >1 12．若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，则a 的取值范围是 （ C ）
A ．)1,4
1[
B ．),4
9(+∞
C ．)1,43[
D ．)4
9,1(
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，3每小题5分，共计20分） 13．已知R x b bx x y 在3)2(3
123
++++=
上不是单调函数，则b 的取值范围是 )1,(),2(--∞⋃+∞
14．已知数列{n a }的前n 项和25n
n S =+（*
n N ∈），那么数列{n a }的通项n a =
1*
7(1)
2(2,)
n n n n N -=⎧⎨≥∈⎩． 15．已知函数f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的奇函数，函数F （x ） = a f （x ）+bg （x ）
+2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F （x ）在（－∞，0）上的最小值是 -1 ． 16．若关于x 的不等式2－2
x >|x －a | 至少有一个负数解，则实数a 的取值范围
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
是 ．9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.
17．（10分）已知△ABC 的角A 、B 、C ，所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m
=（a,b ）,
n =(sinB,sinA),p
=(b-2,a-2)。

（1）m ∥n
，求证：△ABC 为等腰三角形。

（2）若m ⊥p
，c=2, C=3
π，求△ABC 的面积。

17（10分）解：（Ⅰ）因为m ∥n
，所以asinA=bsinB ，即a ∙R a 2= b ∙R
b
2,故a = b,所以△ABC 为等腰三角形。

（2）由题意可知m ∙p
= 0，即a ( b-2) +b (a -2) =0,所以 a +b = ab,由余弦定理可知 4=a 2+b 2–ab=(a +b) 2-3ab,即（ab ）2 – 3ab -4 =0 , ab =4 ( 舍去ab = -1), S △ABC=
21absinC=21*4*sin 3
π
=3。

18．（12分）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S 3=13
3。

（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π
=
处取得最大值，且最大值
为a 3，求函数f （x ）的解析式。

解：（I ）由313(13)1313
3,,
3133a q S -===-得 解得
11
.
3a = 所以121
33.
3n n n a --=⨯=
（II ）由（I ）可知2
33, 3.n n
a a -==所以
因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3。

因为当
6x π
=
时()f x 取得最大值，
所以
sin(2) 1.
6
π
ϕ⨯
+=
又
0,.
6π
ϕπϕ<<=
故
所以函数()f x 的解析式为
()3sin(2)
6f x x π
=+
19．（本题12分）解关于x 的不等式：2
2log (2)1log ()a a x x x a
-->+- （a ＞0，a ≠1）． 19．（本题12分）
解：原不等式等价于)2(log )2(log 2
->--ax x x a a ……① ……………1分
①
当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪
⎨⎧->-->->--22,02,
0222ax x x ax x x
即 ⎪⎩
⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 亦即
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+><>10,
2a x x a x 或
∴ x > a +1 ………………5分
②当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪
⎨⎧-<-->->--2
2,02,022
2ax x x ax x x
即 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--2
2,0222ax x x x x 亦即⎩⎨⎧+<<>-<102
1a x x x 或
∴∈x ∅ ………………9分
综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；
当10<<a 时，原不等式的解集为∅． ．………………10分
20 (本小题满分12分)
已知函数)(x f 对一切实数)12()()(,++=-+y x x y f y x f y x 均有成立，且.0)1(=f （1）求)0(f 的值； （2）求)(x f 的解析式；
（3）若函数])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=在区间（—1，2）上是减函数，求实数a 的取值范围。

20．（本小题满分12分）
解：（1）令2)0(0)1(,2)0()1(0,1-=⇒=∴=-⇒==f f f f y x …………2分 （2）令2)1()0()(02-+=++=⇒=x x x x f x f y …………4分 （3）])1([)()1()(x x f a x f x x g -+-+=
上恒成立
在即上恒成立在上是减函数即在)2,1(0)21()2(23)2,1(0)()2,1()()21()2(23)(2
)21()2(222]2)1()1[()2)(1(22
23222322-≤+--+-≤'-+--+='----+=---++-+=--+++--++=a x a x x g x g a x a x x g x a x a x ax ax x x x x x x x x a x x x
令619
2148120214230)2(0)1(≥⇒⎩⎨⎧≤---+≤---+⇒⎩⎨
⎧≤≤-⇔a a a a a g g …………12分
21．（本题12分）已知数列{a n }中，a 1=0，a 2 =4，且a n +2-3a n +1+2a n = 2n +1（*
N n ∈），数列{b n }满足b n =a n +1-2a n ． （Ⅰ）求证:数列{1n b +-n b }是等比数列； （Ⅱ）求数列{n a }的通项公式；
（Ⅲ）求2lim
(32)n
n n
n a n b →∞⋅+⋅．
21．（本题12分）
解：（Ⅰ）由 a n +2-3a n +1+2a n = 2n +1 得 （a n +2-2a n +1）-（ a n +1-2a n ）= 2n +1； 即 b n +1-b n = 2n +1，而 b 1=a 2-2a 1=4， b 2 =b 1+22=8； ∴ { b n +1-b n }是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ），b n +1-b n = 2n +1， b 1=4， ∴ b n = （b n -b n -1）+ （b n -1-b n -2）+···+（b 2-b 1） + b 1 =2n + 2n -1 +···+22 +4 = 2n +1． ………………………6分
即 a n +1-2a n =2n +1，∴ 11
122
n n
n n a a ++-=； ∴ {
2n
n a }是首项为0，公差为1的等差数列， 则 12
n n a
n =-，∴(1)2n n a n =-⋅． ………………………9分 （Ⅲ） ∵ 2212
(1)2(1)
(32)(32)264
n n n n n a n n n n n b n n +⋅-⋅-==+⋅+⋅+，
∴22(1)1lim lim (32)646n n n n
n a n n n b n →∞→∞⋅-==+⋅+
22．（本小题满分12分）
已知函数ln 1
a
f x x a x =+∈+R ()()． （Ⅰ）当9
2
a =
时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；
（Ⅲ）求证：1111
ln 135721
n n +>++++
+ ()n ∈*N ()． 22．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）当29=
a 时，)
1(29
ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 2
2)1(2)
2)(12()1(291)(+--=+-=
'x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得2
1
=
x 或2=x ． …2分 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，
∴函数
1
()(0,)
2f x 在、(2,)+∞上单调递增，在1(,2)2上单调递减． ……………5分 )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 2
3
)2(+=f ．
当0+→x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 2
3
+<
k ．………6分 （Ⅱ）当2=a 时，12
ln )(++
=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令11
2
ln 1)()(-++
=-=x x x f x h ， 0)
1(1
)1(21)(2
22>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………9分 ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；
②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；
③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………12分 （Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即1
1
ln +->x x x ． 令k k x 1+=
，则有1
21
1ln +>+k k k ，
∑
∑==+>+∴n k n
k k k k 11121
1ln ． ……………12分 ∑=+=+n
k k
k n 11
ln
)1ln( ， 1
215131)1ln(++++>
+∴n n ． …………………………14分 （法二）当1n =时，ln(1)ln 2n +=．
3ln 2ln 81=> ，
1
ln 23∴>
，即1n =时命题成立． ……………………10分
设当n k =时，命题成立，即
111
ln(1)3521k k +>+++
+ ． 1n k ∴=+时，
2ln(1)ln(2)ln(1)ln
1k n k k k ++=+=+++1112
ln 35211k k k +>++++++ ．
根据（Ⅱ）的结论，当1>x 时，11
2
ln >++x x ， 即1
1
ln +->
x x x ． 令
21k x k +=
+，则有21
ln 123k k k +>
++，
则有
1111
ln(2)352123k k k +>++++
++ ， 即1n k =+时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ……………………………14分。