高考数学100个热点问题(二)：第42炼 利用函数性质与图像比较大小
论如何用图像来理解高考数学中的各种函数
论如何用图像来理解高考数学中的各种函数在高考数学中，函数是一个非常重要的概念，它是数学中的一个基础性概念，涉及到关于数的运算、变化、数量之间的关系等方面。
在高考数学中，常见的函数类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
要想真正理解这些函数，我们可以利用图像来进行解析和具体化。
1. 一次函数一次函数是指函数的自变量的最高次数为一的函数，通常可以用直线来表示。
一般的一次函数的一般式为y = kx + b，其中k代表斜率，b代表截距。
当k>0时，表示函数单调递增；当k<0时，表示函数单调递减；当k=0时，表示函数为常数函数。
对于一次函数，我们可以通过以下几种方法来理解它：1）根据函数的一般式y = kx + b，我们可以通过选取不同的x 值，绘制出对应的y坐标，来得到一条直线。
通过观察这个直线的斜率和截距，我们可以得到一些直线的性质和规律，帮助我们更好地理解一次函数。
2）我们可以通过对一次函数图像的观察，来得到一些几何上的性质。
比如，当一次函数的斜率大于0时，直线从左下方向右上方倾斜；当一次函数的斜率小于0时，直线从左上方向右下方倾斜；当一次函数的斜率等于0时，直线平行于x轴。
这些性质可以帮助我们更好地掌握一次函数的变化规律。
3）我们可以通过对一次函数的导数的分析，来更深入地理解一次函数。
一次函数的导数恒为常数，这意味着一次函数的变化是匀速变化，这一点可以通过一次函数图像的直线形态得到证明。
2. 二次函数二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数。
它通常可以用一条抛物线来表示。
一般的二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c，其中a>0。
二次函数的图像通常具有开口向上或者开口向下的形态。
对于二次函数，我们可以通过以下几种方法来理解它：1）我们可以通过图像来得到一些关于二次函数的性质和规律。
比如，当二次函数的系数a>0时，函数图像开口向上；当二次函数的系数a<0时，函数图像开口向下。
高考数学100个热点题型秒解技巧之巧用耐克函数求解函数与不等式问题
化 难 为 易 化 繁 为 简四大特色助快速解题◎ 100个秒解技巧 ◎ 80个精妙二级结论 ◎ 10年高考真题为例◎ 700个例题深入剖析2019年4月版秒解高考数学100招—— 选择、填空篇 ——◆ 例（2016山东理7）函数)cos sin 3()(x x x f +=)sin cos 3(x x -的最小正周期是( )A.2πB.πC.23π D.π2 【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知x x cos sin 3+以及x x sin cos 3-的周期均为π2,则)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f -+=的周期为π,选B .目录 CONTENTS1、集合⇒利用特值逆代法速解集合运算题 (2)2、集合⇒利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………3、集合⇒运用补集运算公式简化集合计算………………………………………4、简易逻辑⇒利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………5、简易逻辑⇒借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………6、复数⇒利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………7、复数⇒利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………8、复数⇒利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………9、复数⇒利用公式快速解决一类复数问题………………………………………10、三视图⇒柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………11、三视图⇒利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………12、不等式⇒利用逆代法巧解求不等式解集问题………………………………13、不等式⇒利用特值法速解比较大小问题……………………………………14、不等式⇒利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………15、不等式⇒用代入法速解f型不等式选择题…………………………………16、不等式⇒利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………17、不等式⇒利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………18、不等式⇒利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………19、不等式⇒利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………20、不等式⇒利用柯西不等式速解最值问题……………………………………21、线性规划⇒利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………22、线性规划⇒高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………23、程序框图⇒程序框图高效格式化解题模式…………………………………24、排列组合⇒排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………25、排列组合⇒利用公式法速解相间涂色问题…………………………………26、排列组合⇒速解排列组合之最短路径技巧…………………………………27、二项式定理⇒二项式定理常见题型大汇总…………………………………28、二项式定理⇒利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………29、平面向量⇒特殊化法速解平面向量问题……………………………………30、平面向量⇒利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………31、平面向量⇒三点共线定理及其推论的妙用…………………………………32、平面向量⇒平面向量等和线定理的妙用……………………………………33、平面向量⇒向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………34、平面向量⇒三角形四心的向量表示及妙用…………………………………35、平面向量⇒利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………36、空间几何⇒利用折叠角公式速求线线角……………………………………37、空间几何⇒求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………38、空间几何⇒空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…39、空间几何⇒利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………40、空间几何⇒利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………41、函数⇒用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………42、函数⇒数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………43、函数⇒数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………44、函数⇒函数的周期性的重要结论的运用……………………………………45、函数⇒利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………46、函数⇒通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………47、函数⇒利用结论速解“奇函数＋C”模型问题……………………………48、函数⇒利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………49、函数⇒巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………50、函数⇒利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………51、函数⇒巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………52、函数⇒构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………53、导数⇒特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………54、导数⇒极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………55、导数⇒用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………56、导数⇒隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………57、三角函数⇒利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………58、三角函数⇒利用结论速求三角函数周期问题………………………………59、三角函数⇒巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………60、三角函数⇒海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………61、三角函数⇒借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………62、三角函数⇒特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………63、三角函数⇒齐次式中弦切互化技巧…………………………………………64、三角函数⇒利用射影定理秒解解三角形问题………………………………65、三角函数⇒三角形角平分线定理的妙用……………………………………66、三角函数⇒三角形角平分线长公式的妙用…………………………………67、三角函数⇒三角形中线定理及其推论的妙用………………………………68、三角函数⇒利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………69、三角函数⇒利用公式法速解三角函数平移问题……………………………70、数列⇒利用公式法速解等差数列n a与nS……………………………………71、数列⇒利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………72、数列⇒用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………73、数列⇒等差数列性质及其推论的妙用………………………………………74、数列⇒观察法速解一类数列求和选择题……………………………………75、数列⇒巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………76、数列⇒代入法速解数列选项含n型选择题…………………………………77、数列⇒一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………78、统计与概率⇒估算法速解几何概型选择题…………………………………79、直线与圆⇒利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………80、直线与圆⇒利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………81、直线与圆⇒利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………82、圆锥曲线⇒利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………83、圆锥曲线⇒用点差法速解有关中点弦问题…………………………………84、圆锥曲线⇒用垂径定理速解中点弦问题……………………………………85、圆锥曲线⇒用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………86、圆锥曲线⇒焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………87、圆锥曲线⇒利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……88、圆锥曲线⇒用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………89、圆锥曲线⇒巧用通径公式速解离心率等问题………………………………90、圆锥曲线⇒巧用三角形关系速求离心率……………………………………91、圆锥曲线⇒构造相似三角形速解离心率……………………………………92、圆锥曲线⇒用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………93、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………94、圆锥曲线⇒利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………95、圆锥曲线⇒椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………96、圆锥曲线⇒双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………)2b ()2ab (97、圆锥曲线 ⇒ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用………………………… 98、圆锥曲线 ⇒ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………99、圆锥曲线 ⇒ 用特值法巧解圆锥曲线选填题………………………………… 100、圆锥曲线 ⇒ 用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………49、函数 ⇒ 巧用耐克函数求解函数与不等式问题耐克函数是一种类似于反比例函数的一般函数.所谓的耐克函数,是形如xbax x f +=)(的函数,是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数,所以更加要注意和学习.耐克函数图像形似两个中心对称的对勾,故名对号函数、（对）勾函数,也叫均值函数.（1）【基本】耐克函数的一般形式是：)0()(>+=b xbx x f定义域: (值 域：),2[]2,(+∞--∞b b最 值：时;b b f x f 2)()(min ==时b b f x f 2)()(max -=-=.奇偶性：奇函数,图像关于原点)0,0(中心对称;单调性：①在区间),[],(+∞--∞b b 和上单调递增; ②在区间],0()0,[b b 和-上单调递减.（2）【拓展1】xbax x f +=)(（0,0>>b a ）定义域: ),0()0,(+∞-∞值 域：),2[]2,(+∞--∞ab ab 最 值：时;ab abf x f 2)()(min == ),0(+∞∈x )0(，-∞∈x ),0(+∞∈x)2时ab abf x f 2)()(max -=-=. 奇偶性：奇函数,图像关于原点)0,0(中心对称; 单调性:①在区间),[],(+∞--∞ab a b 和上单调递增.; ②在区间],0()0,[ab a b 和-上单调递减.（3）【拓展2】xbax x f +=)(（0,0<>b a ）定义域: ),0()0,(+∞-∞ 值 域：R 最 值：无奇偶性：奇函数,图像关于原点)0,0(中心对称; 单调性：在区间),0))0,(+∞-∞和上单调递增.◆ 例1 已知函数]2,1[,2)(∈+=x xx x f ,则)(x f 的值域为 . 【秒解】xx x f 2)(+=为耐克函数,如图所示：xx x f 2)(+=在]2,1[上单调递减,在]2,2(上单调递增.22)2(,3)2(,3)1(===f f f , )(x f ∴的值域为]3,22[.◆ 例2 已知函数xx x f +=1)(,则)(x f 的值域为 .)0(，-∞∈x)22()2【秒解】)(x f 定义域为),0(+∞,xx xx x f 11)(+=+=.令t x =,则)0(1)(>+=t t t x g ,由耐克函数图像可知：)0(1)(>+=t tt x g 的值域为),2[+∞◆ 例3 216+x ,则)(x f 的值域为 .【秒解】216102)(2+++=x x x x f22)2()2(22+++++⨯=x x x ]122)2[(2++++⨯=x x令u u u g x u 2)(,2+=+=由图可知),22[]22,()(+∞--∞∈ u g 则]122)2[(2++++⨯x x ),242[]242,(+∞+--∞∈ 则)(x f 的值域为),242[]242,(+∞+--∞ .◆ 例4 函数)223(521)(2≤≤+--=x x x x x f 的最大值为 ,最大值为 .【秒解】4)1(1521)(22+--=+--=x x x x x x f 14)1(1-+-=x x 令u u u g x u 4)(,1+=-=1211121223≤≤⇒≤-≤⇒≤≤u x x)4,由图可知)217,5()(∈u g ,]51,172[)(114)1(1∈=-+-u g x x172)(,51)(min max ==∴x f x f◆ 例5 2211x x y x x -+=++在11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域为 .【秒解】由已知得222(1)221,11x x x xy x x x x ++-==-++++101,,00,2x y ⎡⎫⎛⎤==∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦1时，当x -时，221,11y x x=-++令其分母为1()1g x x x =++,它在[)1,0-上是减函数,且在(]0,1上是减函数,而1,00,2⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦1x -，2则37()()22g x g x ≤-≥或,因此127,00,()23g x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,则244,00,()73g x -⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,则2371,01,()73y g x ⎡⎫⎛⎤=-∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,综合得：37,73y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.◆ 练1 函数45)(22++=x x x f 的最小值为 .【答案】41445)(2222+++=++=x x x x x f ,答案25.◆ 练2 函数x x x f 22sin 4sin )(+=的最小值为 .【答案】5.◆ 练3 若关于x 的方程0322=+-a ax x 在区间]1,1[-上有实数根,则实数a 的取值范围是 .【答案】提示：]0,1[23432169432-∈+-+-=x x a◆ 练4 当)2,0(∈x 时,不等式042<++mx x 恒成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】提示：5,54,4-≤->----<m xx x x m◆ 练5 当)2,0(∈x 时,不等式042<++mx x 恒成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】提示：5,54,4-≤->----<m x x x x m◆ 练6 已知不等式004363222<>++---a xx ax x 对于任意]2,1[∈x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【答案】3)2(max =+>xx a。
高考函数图像知识点总结
高考函数图像知识点总结函数图像是高考数学中的重要内容，掌握函数图像的知识点对于解题和分析函数的性质非常重要。
在高考中，对于函数的图像，常常需要求出函数的极值、最值、交点等信息，因此掌握函数图像的形态及特点是非常必要的。
本文将对高考函数图像的知识点进行总结，并且分析函数图像的性质。
函数的线性变化是函数图像的重要特点之一。
如果函数y=f(x)的图像经过点（a,f(a)），而a和f(a)是常数，那么如果将函数y=f(x)的每个y值都增加或减少一个常数k，那么图像将上下平移k个单位。
如果将函数y=f(x)的每个x值都增加或减少一个常数k，那么图像将左右平移k个单位。
同时，如果将函数y=f(x)的每个y值都增加或减少一个常数k，那么函数的图像将整体上下平移k个单位，图像的形态不会发生变化。
二次函数的图像形态主要受到二次项系数（a）的影响。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为抛物线；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
同时，二次函数的图像与抛物线的对称轴有关，对称轴的表达式为x=-b/2a，对称轴与图像的交点被称为抛物线的顶点。
指数函数是一类常见的函数，它的图像形态有着明显的特点。
指数函数的图像一般从左下方向上右上方逼近x轴，并且在x轴上有一个一个水平渐近线。
如果指数函数的底数大于1，那么指数函数的图像在x轴右侧呈现上升趋势；如果底数小于1，那么指数函数的图像在x轴右侧呈现下降趋势。
对数函数是指数函数的反函数，其图像形态与指数函数有一定的关联。
当对数函数的底数大于1时，对数函数的图像在x轴右侧呈现上升趋势；当底数小于1时，对数函数的图像在x轴右侧呈现下降趋势。
与指数函数相反，对数函数的图像一般从右上方逼近x轴。
三角函数是高考中经常涉及到的一类函数，在图像形态上有着独特的特点。
正弦函数的图像在[0，2π]的区间内呈现周期性变化，才时间折返并且在图像最高点和最低点与x轴相切。
余弦函数的图像与正弦函数的形态相似，但是相位不同。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
高考数学热点问题专题练习——函数的图像知识归纳及典型例题分析
函数的图像一、基础知识1、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。
在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点（1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点（2）二次函数：()2y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。
函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1y x=,其定义域为()(),00,-∞+∞，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。
渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。
（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常数C ，则称直线y C =为函数()f x 的水平渐近线例如：2x y = 当x →+∞时，y →+∞，故在x 轴正方向不存在渐近线 当x →-∞时，0y →，故在x 轴负方向存在渐近线0y = （3）竖直渐近线的判定：首先()f x 在x a =处无定义，且当x a →时，()f x →+∞（或-∞），那么称x a =为()f x 的竖直渐近线例如：2log y x =在0x =处无定义，当0x →时，()f x →-∞，所以0x =为2log y x =的一条渐近线。
数学-指对幂比较大小6大题型(学生版)
指对幂比较大小6大题型命题趋势函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
满分技巧比较大小的常见方法1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3.中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4.估值法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值；5.构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6.放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩；(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些)，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
热点题型解读【题型1利用单调性比较大小】【例1】(2022秋·福建宁德·高三统考期中)设a =0.30.3,b =0.30.5,c =0.50.3,d =0.50.5，则a ,b ,c ,d 的大小关系为()A.b >d >a >cB.b >a >d >cC.c >a >d >bD.c >d >a >b【变式1-1】(2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习)若a =0.40.5,b =0.50.4,c =log 324，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.c <a <b【变式1-2】(2022·陕西宝鸡·统考一模)已知实数a ,b ,c 满足e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2，则()A.a >b >cB.a <b <cC.b >a >cD.c >a >b【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知a =0.30.5,b =0.30.6，c =2512，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.c <b <a【变式1-4】(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)已知f x =-x 2-cos x ，若a =f e -34，b =f ln45，c =f -14 ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <aB.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b【变式1-5】(2022·全国·高三专题练习)(多选)下列大小关系中正确的是()A.91.5>32.7B.3747<4737C.log 1213<log 312 D.1.70.2>0.92.1【题型2作差作商法比较大小】【例2】(2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知a =e 13，b =ln2，c =log 32，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a【变式2-1】(2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习)若a=sin4，b=log53，c=lg6，d=e0.01，则()．A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.b<c<d<aD.a<d<b<c【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)已知m5=4，n8=9，0.9p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为( )A.p>m>nB.m>n>pC.m>p>nD.p>n>m【变式2-3】(2022·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知a=log45，b=54，c=log56，则a、b、c这三个数的大小关系为()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【变式2-4】(2022秋·四川内江·高三校考阶段练习)已知a=30.2,b=log67,c=log56，则()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b【题型3中间值/估值法比较大小】【例3】(2023·全国·模拟预测)已知a=0.54，b=log50.4，c=log0.50.4，则a，b，c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c【变式3-1】(2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知a=log23，b=20.4，c=13-13，则a，b，c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a【变式3-2】(2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习)已知a=4e，b=log34lnπ，c=131.7，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a【变式3-3】(2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习)设a=20.2，b=0.50.5，c=log0.50.2，则( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c【变式3-4】(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a=22，b=e，c=22.5，则a，b，c的大小关系是()(参考数据：ln2≈0.693)A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【变式3-5】(2022·全国·高三专题练习)已知a=ln40.25，b=4ln0.25，c=0.250.25，则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c【变式3-6】(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知a=log2x，b=2x，c=3x，其中x∈1,2，则下列结论正确的是()A.a>log b cB.a b>b cC.a b<b cD.log a b<log b c【题型4含变量比较大小】【例4】(2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习)已知x∈π4,π2,a=12 sin-x ,b=2cos-x ,c=2tan x，则()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b【变式4-1】(2022·全国·高三专题练习)设0<θ<π2，a=sin2θ，b=2sinθ，c=log2sinθ，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b【变式4-2】(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x，当0<x<π2，a=cos x，b=lncos x，c=e cos x，试比较f a ，f b ，f c 的大小关系()A.f a <f c <f bB.f b <f c <f aC.f c <f a <f bD.f b <f a <f c【变式4-3】(2023·全国·高三专题练习)已知x∈π4,π2且a=2sin2x+1e2sin2x，b=cos x+1e cos x，c=sin x+1e sin x，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b【题型5构造函数比较大小】【例5】(2023·广西桂林·统考一模)已知a、b、c∈1,+∞，2e a ln3=9a，3e b ln2=8b，2e c-2=c，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b【变式5-1】(2022秋·广东广州·高三校考期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+xf(x)>0(其中f (x)是f(x)的导函数)，若a=30.3⋅f(30.3)，b=logπ3⋅f(logπ3)，c=ln19⋅f ln19，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【变式5-2】(2022秋·四川成都·高三校考阶段练习)已知a=2022，b=2121，c=2220，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.7e0.4,b=e ln1.4,c=0.98，则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【变式5-4】(2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习)设a=12×106+1102，b=e0.01-1，c=ln1.02，则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【变式5-5】(2022·全国·高三专题)设a=110,b=e111-1,c=1110ln1110，则a，b，c大小关系是_____．【题型6数形结合法比较大小】【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知y=x-mx-n+2022(m<n)，且α,β(α<β)是方程y=0的两根，则α,β,m,n的大小关系是()A.α<m<n<βB.m<α<n<βC.m<α<β<nD.α<m<β<n【变式6-1】(2023秋·陕西西安·高三统考期末)已知a=log32，b=log43，c=log54，则a，b，c的大小关系为()A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a【变式6-2】(2022秋·江苏扬州·高三期末)已知正实数a，b，c满足e c+e-2a=e a+e-c，b=log23+ log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【变式6-3】(2023·全国·高三专题)已知a=eπ,b=πe,c=2eπ，则这三个数的大小关系为()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022·全国·高三专题练习)log 23，log 812，lg15的大小关系为()A.log 23<log 812<lg15B.log 812<lg15<log 23C.log 23>log 812>lg15D.log 812<log 23<lg152.(2022·四川资阳·统考二模)设a =1.02，b =e 0.025，c =0.9+20.06sin ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =log 32,b =52log ,c =3a ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a4.(2022·全国·高三专题练习)设a =log 23，b =0.50.2log ，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c5.(2022·全国·高三专题练习)已知a =0.50.6，b =0.60.5，c =log 65，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a6.(2022·全国·高三)已知定义在R 上的函数f x =x ⋅2x ,a =f 53log ,b =f 72ln,c =-f 512log，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.c >b >a7.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知a =1012，b =1111，c =1210，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c8.(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若a =e 0.1,b = 1.2,c =-0.9ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()．A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a9.(2022·四川南充·统考一模)设定义R 在上的函数y =f x ，满足任意x ∈R ，都有f x +4 =f x ，且x ∈0,4 时，xf x >f x ，则f 2021 ，f 2022 2，f 2023 3的大小关系是()A.f 2021 <f 2022 2<f 20233B.f 2022 2<f 2021 <f 20233C.f 2023 3<f 20222<f 2021 D.f 2023 3<f 2021 <f 2022210.(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)若a =2 1.01ln ln ,b =3πln2ln ,c =232ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.b <c <a11.(2022秋·江苏徐州·高三学业考试)设a =0.23,b =30.2,c =22log ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c12.(2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习)已知x =0.52log ,y =0.90.5log ,z =0.50.9，则x ,y ,z 的大小关系是()A.z >y >xB.x >z >yC.y >x >zD.y >z >x13.(2022秋·广东·高三校联考阶段练习)已知实数a =23log ，b =π4cos ，c =32log ，则这三个数的大小关系正确的是()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.a >c >b14.(2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习)设a =38log ,b =21.1,c =0.81.1，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <a <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <c <b15.(2022·陕西渭南·统考一模)已知a =22，b =πln ，c =1360sin ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a16.(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a =312,b =23log ,c =23，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c17.(2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知a =1.11.2，b =1.21.1，c = 1.21.1log ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >b >a18.(2022秋·四川成都·高三校考期中)已知函数f x =e -x -e x 2，且a =-f 1π1πln ，b =f 1e ，c =f πe x，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c19.(2022·四川宜宾·统考模拟预测)已知a=2.525，b=75 57，c=313，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a20.(2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中)若a=26ln4，b=2ln3ln，c=22πln4，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c。
高考数学知识点：函数比较大小(解析版)
函数比较大小专项突破一指数式、对数式，幂式比较大小1.已知a=log2e，b=ln2，c=1e，其中e为自然对数的底数，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】∵log2e>log22=1=ln e>ln2>ln2=12>1e，∴a>b>c.故选：A.2.设a=325，b=25 3，c=log325，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知a=325>30=1，0<b=253<250=1，c=log325<log31=0，∴a>b>c，故选：A.3.已知a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，则( )A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d【解析】因为a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，所以a=1,b=log32<1，故a>b，c=12 2=14,d=13 2=19，所以c>d.故选：D.4.若a=50.3，b=0.35，c=ln sin22020，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b【解析】a=50.3>1，b=0.35∈0,1，0<sin22020<1，所以c=ln sin22020<0，所以a>b>c 故选：A5.已知a=12 13，b=53 12，c=log2352，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】a=1213<12 0=1，b=53 12>53 0=1，c=log2352<log231=0，∴b>1>a>0>c.故选：C.6.已知a=30.5，b=log32，c=tan56π，则( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】∵30.5>30=1=log33>log32>log31=0>-33=tan5π6，∴a>b>c.故选：A.7.已知幂函数f x 的图象经过点A3,27与点B t,64，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则( ) A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a 【解析】设幂函数f x =xα，因为点A3,27在f x 的图象上，所以27=3α，α=3，即f x =x3，又点B t,64在f x 的图象上，所以64=t3，则t=4，所以a=log0.14<0，0<b=0.24<1，c=40.1>1，所以a<b<c，故选：B8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0(x1≠x2)，a=f log 1312，b =f log 213 ，c =f 512，则( )A.a >b >c B.c >a >b C.b >a >c D.c >b >a【解析】因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )=f (-x )因为log 1312=log 32，又0=log 31<log 32<log 33=1所以log 1312∈0,1 ，又1=log 22<log 23<log 24=2，512=5>2所以0<log 1312<log 23<512，所以f log 1312 <f log 23 =f -log 23 =f log 213 <f 512 所以c >b >a .故选：D .9.已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =xe x ，则下面结论正确的是( )A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =xe x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6 ，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<ln e 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .10.已知定义在R 上的函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，且函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，a =0.23，b =30.2，c =log 0.20.3，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A.f (a )>f (b )>f (c )B.f (c )>f (a )>f (b )C.f (b )>f (c )>f (a )D.f (c )>f (b )>f (a )【解析】因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以y =f (x )的图象关于点(0，0)对称,即函数y =f (x )为奇函数，所以a =0.23=0.008，b =30.2>30=1，c =log 0.20.3=log 0.20.09>log 0.20.2=12，故b >c >a >0，又函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (b )>f (c )>f (a )，故选：C .11.已知a =ln12，b =ln lg2 ，c =lg ln2 则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >c >a【解析】先比较a ,b ，易知lg2<12,故ln (lg2)<ln 12，即b <a ，又e <10，故x >1时ln x >lg x ，0<x <1时ln x <lg x ，故lg 12>ln 12， 而ln2>12，故lg (ln2)>lg 12>ln 12，有c >a ，故选：A ，12.已知x ∈1,2 ，则下列说法正确的是( )A.ln22x>2ln2x >x 2ln2 B.x 2ln2>ln22x>2ln2x C.2ln2x >x 2ln2>ln22xD.2ln2x >ln22x>x 2ln2【解析】∵x 2ln2=ln2x 2，2ln2x =ln 2x 2，∴比较2x 2，2x 2，22x的大小关系即可．1、当x ∈1,2 时，x 2<2x ，x 2<2x ，故2x 2<22x，2x 2<2x 2，故x 2ln2<ln22x，x 2ln2<2ln2x ．2、令2x =t ∈2,4 ，则2x 2=t 2，22x =2t ．由2t <t 2，即22x <2x 2，则2ln2x >ln22x．综上，2ln2x >ln22x>x 2ln2.故选：D ．13.(多选)已知a ,b ,c ∈R ，且ln a =e b =1-c ，则下列关系式中可能成立的是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设ln a =e b =1-c =t ,t >0，则a =e t ,b =ln t ,c =1-t ，在同一直角坐标系中分别画出函数y =e x ,y =ln x ,y =1-x 的图像，当0<t <1时，a >c >b ，当t =1时，a >c =b ，当t >1时，a >b >c ，故AB 正确.14.(多选)若b >c >32，13<a <12，则( )A.b log c a <c log b aB.bc a <cb aC.b a >c aD.log b a <log c a【解析】对于A 选项，因为b >c >32，13<a <12，则log c a <0，log b a <0，b b >b c >c c >1，b log c a c log b a =b lg a lg c ⋅lg b c lg a =lg b blg c c>1，所以，b log c a <c log b a ，A 对；对于B 选项，bc a cba =bc ⋅b c -a =b c 1-a >b c 0=1，则bc a >cb a ，B 错；对于C 选项，b a >c a ，C 对；对于D 选项，log b a log c a =lg a lg b ⋅lg c lg a =lg clg b<1，所以，log b a >log c a ，D 错.故选：AC .15.已知a =2-13，b =log 213，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为___________.【解析】因为y =2x 在R 上为增函数，且-13<0，所以0<2-13<20=1，即0<a <1，c =log 1213=log 23因为y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数，且0<13<1<2<3，所以log 213<log 21<log 22<log 23，即log 213<0<1<log 23，即b <0<1<c ，所以b <a <c ，16.若a =log 23，b =log 48，c =log 58，则a ,b ,c 的从大到小顺序为______________.【解析】由于b =log 48=12log 28=log 28<log 29=a ，即a >b .由b =log 48=1log 84>1log 85=c ，即b >c .所以a >b >c .17.已知a =35 25，b =25 35，c =2525，则a ，b ，c 的大小关系为____.(用“<”连接)【解析】由于函数y =25 x 在R 上是减函数，且35>25，∴c =25 25>b =2535，由于函数y =x 25在0,+∞ 上是增函数，且35>25，∴a =35 25>c =2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <c <a .18.1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是________.【解析】因为y =1.1x 单调递增，所以1.10.9>1.10=1；因为y =log 1.1x 在0,+∞ 上单调递增，所以log 1.10.9<log 1.11=0；因为y =log 0.7x 在0,+∞ 上单调递减，所以0=log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7=1；所以1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.19.已知a >b >0，且a +b =1，x =1a b ，y =log ab 1a +1b ，z =log b 1a，则x ，y ，z 从大到小为__________.【解析】∵a >b >0，a +b =1，∴1>a >12>b >0，∴1<1a <1b，∴x =1a b >1a 0=1，y =log (ab )1a +1b =log (ab )1ab =-1，z =log b 1a >log b 1b=-1.∴x >z >y .20.已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则a ，b ，c 的大小关系是______.(用“<”连接)【解析】由题意，知a ,b ,c ∈0,1 .因为a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg5 2=lg24lg25 2<1，所以a <b ，由b =log 85，得8b =5；由55<84，得85b <84，所以5b <4，可得b <45，由c =log 138，得13c =8；由134<85，得134<135c ，所以5c >4，可得c >45，综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a <b <c .21.已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大)_______.【解析】因为18x=19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918，z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z22.设a ,b ,c 均为正数，且2a =log 12a ,12b =log 12b ,12 c=log 2c ，则a ,b ,c 的大小关系为______________．【解析】a ,b ,c 分别是函数y =2x ,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log 2x 的交点，做出三函数图像，由图像可知a <b <c 23.比较下列各组数中两个数的大小：(1)25 0.3与13 0.3；(2)-23 -1与-35 -1；(3)25 0.3与0.325.【解析】(1)∵0<0.3<1，∴y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数.又25>13，∴25 0.3>130.3；(2)∵y =x -1在-∞，0 上是减函数，又-23<-35，∴-23 -1>-35 -1；(3)∵y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数，∴由25>0.3，可得250.3>0.30.3，①又y=0.3x在(-∞,+∞)上为减函数，∴0.30.3>0.325，②由①②知250.3>0.325.24.比较下列几组值的大小：(1)(-2.5)23和(-2.5)45；(2)25 -12和(0.4)-32；(3)13 -12和32 -12；(4)0.4-2.5，2-0.2，2.51.6．【解析】(1)由于(-2.5)23=2.523，(-2.5)45=2.545．∵y=2.5x在R上为增函数，且45>23，∴2.545>2.523，即(-2.5)45>(-2.5)23；(2)由于(0.4)-32=25 -32．∵y=25 x在R上为减函数，且-12>-32，∴25 -12<(0.4)-32；(3)∵y=13 x在R上为减函数，y=32 x在R上为增函数，且-12<0，∴13 -12>1，32 -12<1，∴13 -12>32 -12；(4)∵0.4-2.5=2.52.5，y=2.5x在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2∴2.52.5>2.51.6>1>2.5-0.2，∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2．25.已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．(1)求证：1z-1x=12y；(2)比较3x,4y,6z的大小．【解析】(1)证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x=log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z-1x=log m6-log m3=log m2=12y.(2)3x<4y<6z，证明：因为正实数x，y，z，∴3x>0,4y>0,6z>0，∴3x4y=3log3m4log4m=3lg mlg34lg mlg4=34×lg4lg3=34log34=log3464又464<3，∴log3464<1，∴3x<4y∴4y6z=4log4m6log6m=4lg mlg46lg mlg6=23×lg6lg4=23log46=log236又36<2，∴log236<1，∴4y<6z，∴3x<4y<6z．专项突破二构造函数比较大小1.已知f (x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf (x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是( )A.f(1)>f(2)2 B.f(1)2>f(2) C.f(1)<f(2)2 D.f(1)2<f(2)【解析】令F x =xf x ，则F x =xf (x)+f(x)>0，故F x 为R上的增函数，所以F2 >F1 即2f2 >f1 ，故选：D.2.若a=ln33，b=e-1，c=5ln2010(e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为( )A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】令f(x)=ln xx，则f (x)=1-ln xx2，故当x∈(0,e)时，f(x)>0；当x∈(e,+∞)时，f (x)<0；而a=ln33=ln33=f(3)，b=e-1=ln ee=f(e)，c=5ln2010=ln2525=f25，而e<3<25，故b>a>c，故选：B3.已知a=ln33，b=1e，c=ln55，则以下不等式正确的是( )A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a【解析】令f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当0<x<e时,f x >0,f x 单调递增,当x>e时,f x <0,f x 单调递减,因为e<3<5,所以f e >f3 >f5 ,所以b>a>c，故选:C 4.设a=3e2ln e23，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小顺序为( )A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【解析】令f x =ln xx x>0，则f (x)=1-ln xx2，当x>e时，f (x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f (x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得最大值f e =1 e，因为a=3e2ln e23=f e23，c=ln22=f2 ，b=1e=f e ，∵2<e23<e，当0<x<e时，函数f x 单调递增，可得f2 <fe23<f e ，即c<a<b．故选：B．5.已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【解析】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D6.已知实数a，b满足a=log23+log86，5a+12a=13b，则下列判断正确的是( )A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2【解析】a=log23+log86=log23+13log22×3=43log23+13>43log222+13=43×32+13=73>2，所以a>2；由5a+12a=13b且a>2，所以5a+12a>25+144=169，所以b>2，令f x =5x+12x-13x，x>2，令t=x-2>0，则x=t+2，则f x =5x+12x-13x，x>2等价于g t =25×5t+144×12t-169×13t，t>0；又g t =25×5t+144×12t-169×13t<169×12t-169×13t<0，所以当x>2时，f x =5x+12x-13x<0，故5a+12a=13b<13a，所以a>b>2.故选：D.7.设a=20202022，b=20212021，c=20222020，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【解析】∵ln a ln b =2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，f x =x +1-x ln x x x +1 2，令g x =x +1-x ln x ，则gx =-ln x <0，∴g x 在e 2,+∞ 上单减，∴g x ≤g e 2 =1-e 2<0，故f x <0，∴f x 在e 2,+∞ 上单减，∴f 2020 >f 2021 >0，∴ln aln b =f 2020 f 2021>1∴ln a >ln b .∴a >b ，同理可得ln b >ln c ，b >c ，故a >b >c ，故选：A 8.设a =23e1.5，b =23(4-ln2)，c =e 33，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.b <c <aB.c <b <aC.b <a <cD.a <b <c【解析】①先比较a ,c ：a =23e1.5=e3232，c =e 33，设函数f (x )=e xx 2，则f (x )=e x (x -2)x 3<0，得函数f (x )在(0,2)单调递减，f(x )=e x (x -2)x 3>0得函数f (x )在(2,+∞)单调递增 所以f (3)<f 32即c <a ；②再比较b ,c ：由①知f min (x )=f (2)=e 24<f (3)=c ，而b =2232-12ln2 =232+ln 12 12， 设h (x )=23(ln x +2)x ，h (x )=-23(ln x +1)x 2当0<x <1e ，h (x )>0，h (x )单调递增，当x >1e，h(x )<0，h (x )单调递减，所以b =h 12 <h max (x )=h 1e =23e ，而23e <e 4.e =e 24<f (3)=c ，所以b <c ，故选：A9.已知a ,b ,c ∈(0,1)，且a 2-2ln a +1=e ，b 2-2ln b +2=e 2，c 2-2ln c +3=e 3，其中e 是自然对数的底数，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设f x =x 2-2ln x ,g x =e x -x ，则f a =g 1 ,f b =g 2 ,f c =g 3 ，又g x =e x -1>0x >0 ，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g 3 >g 2 >g 1 ，即f c >f b >f a ，因为fx =2x -2x =2x 2-1 x<0x ∈0,1 ，所以f x 在0,1 上单调递减，所以a >b >c ，故选：A 10.设a =e 1.3-27,b =4 1.1-4,c =2ln1.1，则( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b【解析】∵e 1.3 2=e 2.6<e 3<33，(27)2=28>33，∴e 1.3<27，∴a <0；b -c =4 1.1-4-2ln1.1=22 1.1-2-ln1.1 ，令f x =2x -2-ln x ，∴f x =1x-1x =x -1x ，∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；∴f (x )min =f 1 =0，∴f 1.1 >0，即2 1.1-2-ln1.1>0，∴c <b ，又c =2ln1.1>2ln1=0，∴a <c <b ．故选：B ．11.已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =xe x ，则下面结论正确的是( )A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =xe x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6 ，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<ln e 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .12.设a =10099，b =e 0.01，c = 1.02，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b【解析】令f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，所以当x <0时f x <0，当x >0时f x >0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，所以f x ≥f 0 =0，即e x -x +1 ≥0恒成立，即e x ≥x +1(当x =0时取等号)，所以e 0.02>1+0.02⇒e 0.01> 1.02，∴b >c ，又e -x ≥1-x (当x =0时取等号)，所以当x <1且x ≠0时，有1e x >1-x ⇒e x <11-x ，∴e 0.01<11-0.01=10099，∴a >b ．故选：A13.已知a =e 0.1-1，b =sin0.1，c =ln1.1，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.c <b <a【解析】令f x =e x -1-sin x ，∴f x =e x -cos x ，当x >0时，e x >1，∴e x -cos x >0，∴f x >0，f x 单调递增，∴f 0.1 >f 0 ，即e 0.1-1-sin0.1>0，∴e 0.1-1>sin0.1，即a >b ，令g x =ln x +1 -sin x ，∴g x =1x +1-cos x =1-x +1 cos x x +1=1-x cos x -cos xx +1，令h x =1-x cos x -cos x ，∴h x =x +1 sin x -cos x 令φx =x +1 sin x -cos x ，∴φ x =2sin x +x +1 cos x ，当0<x <π6时，φ x >0，∴h x 单调递增，∴h x <h π6 =π6+1 sin π6-cos π6=π+61-3 12<0∴h x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴h x <h 0 =0，∴g x <0，∴g x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴g 0.1 <g 0 =0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c <b 综上：c <b <a .故选：D .14.(多选)f x 是定义在非零实数集上的函数，f x 为其导函数，且x >0时，xf x -f x <0，记a =f 20.2 20.2，b =f 0.22 0.22，c =f log 25log 25，则错误的有( )A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a【解析】令g x =f x x ，得gx =xf x -f x x 2，由x >0时，xf x -f x <0，得g x <0，g x 在0,+∞ 上单调递减，又log 25>log 24=2，1<20.2<2，0<0.22=0.04<1，可得log 25>20.2>0.22，故g log 25 <g 20.2 <g 0.22 ，故c <a <b ，故选：ABD 15.(多选)若正实数a ,b 满足13 a +log 13a =19 b+2log 19b ，则下列结论正确的有( )A.a >bB.a ≤bC.a <2bD.a ≥2b【解析】设f x =13x+log 13x ，则f x 在0,+∞ 为减函数，因为13 a +log 13a =19 b +2log 19b =19 b +log 13b ,所以f a -f b =13 a +log 13a -13 b+log 13b =19 b +log 13b -13 b +log 13b =19 b -13 b =13 2b -13 b ，因为2b >b >0,所以13 2b <13 b ，所以13 2b -13b<0，即f a <f b ，从而a >b ,所以A 正确，B 错误；而f a -f 2b =13 a +log 13a -13 2b +log 132b =13 2b +log 13b -13 2b +log 132b =log 13b -log 132b >0,所以f a >f 2b ,所以a <2b ，所以C 正确，D 错误.故选：AC .16.(多选)已知定义在0,π2上的函数f (x )的导函数为f (x )，且f (0)=0，f (x )⋅cos x +f (x )sin x <0，则下列选项中正确的是( )A.f π6<62f π4B.f π3>0 C.f π6>3f π3D.f π4>2f π3【解析】令g (x )=f (x )cos x ，x ∈0,π2 ，则g(x )=f(x )cos x +f (x )sin x cos 2x.因为f (x )cos x +f (x )sin x <0，所以g(x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x<0在0,π2 上恒成立，所以函数g (x )=f (x )cos x 在0,π2 上单调递减，所以g π6 >g π4 ，即f π6 cos π6>f π4 cos π4，f π6 >62f π4，故A 错误；又f (0)=0，所以g (0)=f (0)cos0=0，所以g (x )=f (x )cos x≤0在0,π2 上恒成立，因为π3∈0,π2，所以f π3 ≤0，故B 错误；又g π6 >g π3 ，所以f π6 cos π6>f π3cosπ3，即f π6 >3f π3 ，故C 正确；又g π4 >g π3 ，所以f π4 cos π4>f π3cosπ3，即f π4 >2f π3 ，故D 正确.故选：CD .17.若a =2ln (ln1.01),b =ln ln3π 2,c =23ln2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【解析】因为b =ln ln 3π 2=2ln ln 3π =2ln ln π3 ，c =23ln2=2ln213，所以构造函数f x =2ln x ，由对数函数的性质知，f x 在0,+∞ 上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln π3，213的大小，由于1.01×3=3.03<π，故π3>1.01,所以ln1.01<lnπ3<1<213,所以a=2ln(ln1.01)<b=2ln ln π3<2ln213=23ln2=c,故答案为：a<b<c18.已知f x 是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f x1-x1f x2x1-x2<0，记a=f4.10.24.10.2，b=f0.42.10.42.1，c=f log0.24.1log0.24.1，则a，b，c的大小关系__________．【解析】设0<x1<x2，因为x2f x1-x1f x2x1-x2<0，则x2f x1-x1f x2>0，即f x1x1>f x2x2，所以函数g x =f xx在0,+∞上单调递减．因为f x 是定义在R上的奇函数，所以g-x=f-x-x=-f x-x=f xx=g x ，所以g x 是定义在-∞,0∪0,+∞上的偶函数，因此a=f4.10.24.10.2=g4.10.2<g1 ，b=f0.42.10.42.1=g0.42.1>g0.42>g0.5，c=f log0.24.1log0.24.1=g log0.24.1=g log54.1∈g1 ,g12，即a<c<b．。
高考数学总复习 利用函数性质与图像比较大小
利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：()()'0f x f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。
压轴题型04-比大小问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题04比大小问题函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
○热○点○题○型1比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
一、单选题1．已知函数()f x 满足()()1ln 0f x x f x x'+<（其中()f x '是()f x 的导数），若12e a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，13e bf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列选项中正确的是（）A ．643a b c <<B ．634a c b<<C ．463b a c<<D ．436b c a<<2．已知0.01a =，0.1e 1b =-，1ln 0.01c =+，则（）．A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c b a>>D ．b a c>>A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c<a<bD ．b<c<a4．已知2()cos f x x x =+，若3441e ,ln ,54a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a c b<<5．已知ln 20.69≈，设ln 8 3.527 3.536,132a b c e ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c>>6．已知函数()31sin 2f x x x =-，若π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos a fθθ=，()()sin sin b f θθ=，12c f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．c a b>>R ，当0x >时，，f x 为其导函数，且满足()()f x f x '<恒成立，若01a <<，则()30f ，()f a ，()1af 三者的大小关系为（）A ．()()()130af f a f >>B ．()()()301f f a af >>C ．()()()301f af f a >>D ．()()()301f a f af >>8．已知a ，b ，()1,c ∈+∞，且ln 2a a -=，ln 2ln 22b b -=+，sin1ln tan1c c -=+，其中e 是自然对数的底数，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<aA ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b<<利用单调性即可判断,,a b c 的大小关系.10．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a<<【答案】A【分析】由1.10.410.5+=+考虑构造函数()()1.5e xf x x =-，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较,,a b c 的大小.【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e xf x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于观察数的结构特征，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性函数的单调性比较大小.11．设130121,sin ,e 124330a b c ===-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．a c b>>D ．c a b>>12．已知0.1e a =，1110b =，c =，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b>>A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．a b c<<A．c b a<<B．c<a<b C．b<c<a D．a c b<<15．已知函数()ex x b f x =，且e ln ba c ==，则（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a <<【答案】B【分析】由指对数图象判断c b >，且0a >，1c >，构造()e 1xg x x =--并研究其最值得c a ≥，结合e e a b c a =>=，得到1c a b b >>+>，求导得()f x '，然后由函数单调性即可得到其大小关系.【详解】由e ln b a c ==，则,b c 是y a =是e ,ln x y y x ==的交点横坐标，如下图示，由图易知：c b >，且0a >，1c >，构造()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，令()00g x x '=⇒=，当0x <时，()0g x '<，则()g x 递减；当0x >时，()0g x '>，则()g x 递增；所以当0x =时，()()min 00g x g ==，所以()()0g x g ≥,即e 1x x ≥+，16．若 1.1ln1.1a =，0.10.1e b =，10c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b<<17．已知12,ln3e 3a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．a c b <<D ．b a c<<为（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．y x z>>【答案】B19．已知7a =，ln1.4b =，0.2e 1c =-，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<20．设1111ln ,tan ,101011a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c<a<b二、多选题21．已知函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',若()f x 满足:[](1)()()0x f x f x -'->,()()222exf x f x --=,则下列判断一定不正确的是()A ．(1)(0)f f <B ．()()22e 0f f >C ．33e 0f f >()()D ．()()44e 0f f <22．已知函数，其中a ，b ，0,c ∈+∞，20f =，则下列结论正确的是（）A ．102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()30f <C ．()f x 在R 上单调递减D ．()()11f f -最大值为4-23．若ln1.1a =，111b =，sin 0.1c =，21220d =，则（）．A ．a b <B ．b c <C ．a d<D ．c d<A ．c b >B ．0.013ab<C ．b c>D ．0.013ab>【答案】AB【分析】考虑 2.99 2.983.01,3.02类似于()33xx -+的函数形式，因此构造函数()()33xf x x -=+，运用函数的单调性求解.A ．()ππsin *n nn>∈N B ．2log 3>C ．3e ln 3<D ．e ln 9>26．已知当关于x 的不等式2e 0x λλ-≥在()1,+∞上恒成立时，正数λ的取值范围为集合D ，则下列式子的值是集合D 的元素的是（）A ．ln 2ln 3B ．5131log log 53-C ．3π2tan 5e D ．22cos 1sin 1-27．已知定义域为R 的函数在1,0-上单调递增，11f x f x +=-，且图像关于2,0对称，则()f x （）A ．()()02f f =B ．周期2T =C ．在(]1,2单调递减D ．满足()()()202120222023f f f >>【答案】ACD【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B 选项，周期再结合已知单调性判断C 选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.【详解】由()()11f x f x +=-知()f x 的对称轴为1x =，所以()()02,f f =故A 正确;由()()11f x f x +=-知：()()2f x f x +=-，又图像关于()2,0对称，即()()22f x f x +=--，故()()4f x f x +=--，所以()()24f x f x -+=+，即()()2f x f x -=+，所以()()()4,f x f x f x =+的周期为4，故B 错误;因为()f x 在(]1,0-上单调递增，且4T =，所以()f x 在(]3,4上单调递增，又图像关于()2,0对称，所以()f x 在(]0,1上单调递增，因为关于1x =对称，所以()f x 在(]1,2上单调递减，故C 正确；根据周期性，()()()()()()20211,20222,20233f f f f f f ===，因为关于1x =对称，所以()()20f f =，因为周期4T =，所以()()31f f =-；结合()f x 在(1,2]上单调递减，且(]1,0-上单调递增，故()()()()()31021f f f f f =-<=<，即()()()202120222023f f f >>，故D 正确.故选:ACD.三、填空题28．已知sin13a =，b =π9c =，则,,a b c 的大小关系是___________.29．设191e10a=，19b=，32ln2c=，则____>______>______(填a，b，c)．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据数据之间的联系，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小.四、解答题30．已知函数()y f x =的定义域为D ，区间M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()y f x =为M 上的t -增长函数．(1)已知()f x x =，判断函数()y f x =是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知0n >，设()2g x x =，且函数()y g x =是区间[]4,2--上的n -增长函数，求实数n 的取值范围；(3)如果函数()y h x =是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22h x x a a =--，且函数()y h x =为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．④当)22,x a a ⎡∈-⎣时，则22443x a a +≥-+>，注意到()h x 在)22,a a ⎡-⎣上单调递减，在()2,a +∞上单调递增，可得()()()()2234h x h a h a h x ≤-=<+；⑤当)2,x a ⎡∈+∞⎣时，则24x x a +>≥，且()h x 在)2,a ⎡+∞⎣上单调递增，可得()()4h x h x <+；综上所述：当()1,1a ∈-时，对x ∀∈R ，均有()()4h x h x <+.故实数a 的取值范围为()1,1-.【点睛】关键点点睛：根据()h x 的单调性，取特值2x a =-，先求出实数a 的取值范围，再证明其充分性.。
函数中的“大小比较”问题
【当堂检测】 当堂检测】
3、已知点A（-4, y1）、 （-3, y2）、 （1, y3） 、已知点 （ ）、B（ ）、C（ 是二次函数y=x2+4x-5的图象上的三个点，则y1,y2,y3的 的图象上的三个点， 是二次函数 的图象上的三个点 大小关系是（ 大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 ． ． C．y3＜y1＜y2 ． D．y1＜y3＜y2 ． 4、一次函数ｙ1=ｘ－ 与反比例函数ｙ2=2/x的图 ｘ－1与反比例函数 、一次函数ｙ ｘ－ 与反比例函数ｙ 的图 像交于点A(2,1)，B(－1,－2)，则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取 像交于点 ， － － ，则使ｙ 值范围是（ 值范围是（ ） A．ｘ＞ ．ｘ＞2 B．ｘ＞ 或－1＜ｘ＜ ．ｘ＞2 ＜ｘ＜0 ．ｘ＞ ．ｘ＞ ＜ｘ＜ C．－ ＜ｘ＜ ．－1＜ｘ＜ D．ｘ＞ 或ｘ＜－ ．ｘ＞2 ｘ＜－1 ．－ ＜ｘ＜2 ．ｘ＞
y -1 -2
．
y=k2x x
y=k1x+b
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
3、（2010年潍坊中考）已知函数y1 = x2与函数 1 y2 = - 2 x+3的图象大致如图，若y1 < y2，则自变量 的x的取值范围是（ ） 3 3 y A. - 〈x〈2 B. x 〉 2或x 〈2 2 C. 3 D. 3
y 2 y2 A y 1 1 x O 1 2
(A）0 1 2
(B) 0 1 2
(C) 0 1 2
(D) 0 1 2
【课内探究】 课内探究】
考点二：两个函数中的“大小比较”问题 考点二：两个函数中的“大小比较”
2、直线L1：y=k1x+b与直线 2：y=k2x在同一平面直 、直线 与直线L 与直线 在同一平面直 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式k 角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式 1x+b＞k2x 的解为（ ) 的解为（ A. x＞-1 B. x＜-1 ＞ ＜ C. x＜-2 D. 无法确定 ＜
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第42炼 利用函数性质与图像比较大小
第42炼 利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。
2020高考数学冲刺---函数的图像问题
2020年高考函数的图像问题一、知识方法梳理：1、函数图像是函数概念、性质的直观、集中体现，所以考查图像就是考函数的概念与性质。
2、考图像经常涉及到的函数概念与性质：定义域、值域、解析式，对称性（奇偶性）、周期性。
当然有些性质需要研究函数解析式后得到，比如极值点，最值等。
3、具体视图问题解答时，要注意利用特殊值法、排除法、极限法的应用。
二、题目荟萃（选自近几年的高考试题）1.（2019全国卷Ⅰ）函数f (x )=在的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】： 因为，，所以， 所以为上的奇函数，因此排除A ； 又，因此排除B ，C ； 故选D ．点评：通过观察图像研究函数的奇偶性，排除A ，然后利用特殊值法求解。
另解：本题也可以利用极限法，因为sinx,cosx 都是有界函数，所以当x 趋近于正无穷大时，函数值为正，且分母中x 的次数比分子的高，所以函数值最终从正方向趋近于0.再结合奇偶性，也可以求解。
2sin cos ++x xx x[,]-ππ()2sin cos x xf x x x+=+π[]πx ∈-，()()()22sin sin cos cos x x x xf x f x x x x x--+-===--++()f x [ππ]-，()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+2.（2019全国卷Ⅲ）函数在的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 因为， 所以是上的奇函数，因此排除C ，又，因此排除A ，D ．故选B ． 点评：奇偶性结合特殊值法求解，类似于第一题。
另解：本题也可以完全利用特殊值结合排除法迅速解决，，122)4(811+-=-f ，观察图像选B.3.（2019浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =，y =log a (x +)，(a >0且a ≠1)的图像可能是（ ）3222x xx y -=+[]6,6-332()2()()2222xx x xx x f x f x ----==-=-++()f x []6,6-1182(4)721f =>+1182(4)721f =>+1x a 12A. B.C. D.【答案】D 【解析】由函数，，单调性相反，且函数图像恒过可各满足要求的图象为D .故选D ．点评：本题综合考查了指数与对数函数的性质，最明显的特征是单调性，所以先从单调性入手，再结合函数图像过定点解决问题。
高考数学小题常考知识点
高考数学小题常考知识点在高中数学的学习过程中，高考数学小题是学生们经常遇到和解答的题目类型。
这些题目种类繁多，却又与日常生活息息相关。
熟悉和掌握高考数学小题的常考知识点，对于高中生们备考高考具有重要意义。
以下将对高考数学小题中常考的知识点进行讨论。
一、函数的性质在高考数学中，函数是一个重要的知识点。
了解函数的性质可以帮助学生们更好地理解和解答与函数相关的小题。
常见的函数性质包括函数的奇偶性、单调性和最值等。
奇偶性是指函数在坐标系中是否对称于原点。
单调性是指函数的增减趋势。
最值是指函数取得的最大值或最小值。
掌握这些函数性质可以帮助学生们解答各类函数题目。
二、三角函数三角函数是高考数学中另一个重要的知识点。
学生们需要了解三角函数的定义和性质，以及如何运用三角函数解答实际问题。
常考的三角函数知识点包括正弦定理、余弦定理和正弦余弦积和公式。
正弦定理和余弦定理是求解三角形的边长或角度的重要工具，而正弦余弦积和公式则常用于求解三角形的面积。
三、平面向量平面向量是高考数学中的另一重要知识点。
平面向量的加法、减法、数量积和向量积都是学生们需要熟练掌握的。
在解答与平面向量相关的小题时，学生们需要注意向量的方向和模，以及如何运用向量的性质进行计算。
熟练掌握平面向量的知识可以帮助学生们解答与平面几何相关的题目。
四、数列与数列的求和数列是高中数学中常见的一种序列。
数列的基本概念包括公差、首项、末项和通项等。
数列的求和是数列知识中的一个重要部分。
可以通过求和公式或等差数列的特点来求解数列的和。
对于等比数列，学生们需要掌握其通项公式和求和公式，以便在实际问题中灵活运用。
五、概率与统计概率与统计是高考数学中的另一个重要知识点。
在概率与统计中，学生们需要了解事件与概率、频率与概率、条件概率、独立事件等概念。
掌握概率的计算方法可以帮助学生们解答排列组合、生日悖论和彩票概率等实际问题。
而统计部分则主要涉及数据的收集、整理、描述和分析等内容。
新高考数学高考基础题有哪些
新高考数学高考基础题有哪些高考数学基础题有哪些1、二次函数。
二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)。
零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
辨明两个易误点：对于函数y=ax2+bx+c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a=0和a≠0两种情况。
幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内粗明;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
2、复合函数。
设函数Y=f(u)的定义域为D，函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f(φ(x))。
x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。
如等都是复合函数。
就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。
由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。
高考数学必备技巧1、三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。
2、做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。
3、一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。
4、学习概念的最终目的是能运用概念来中裂解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有卖凳闭关的数学问题。
5、要掌握各种题型的解题方法，在练习中有意识的地去总结，慢慢地培养适合自己的分析习惯。
6、要主动提高综合分析问题的能力，借助文字阅读去分析理解。
7、在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。
8、要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。
9、将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。
高考数学 热门考点与解题技巧 考点3 函数的图象与性质
考点3 函数的图象与性质函数的奇偶性题型1 函数的单调性（单调区间） 例1 判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1. 因为y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数，所以y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数， 所以y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 【解题技巧】判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.变式1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xx y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.例2. 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．变式1. 已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，①因为f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， 所以x －2<1－x ，解得x <32.②由①②得，1≤x <32. 所以满足题设条件的x 的取值范围为[1，32)．题型2函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性.3|3|36)(2-+-=x x x f ； 11)(22-+-=x x x f ； )1(log )(22++=x x x f ；2|2|)1(log )(22---=x x x f ； ⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x xx x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数.当<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.【解题技巧】判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.题型3函数的奇偶性和单调性的综合题型3 单调性与奇偶性的综合应用【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]变式1..（2017江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．变式2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数B.奇函数，且在()0,1上是减函数C.偶函数，且在()0,1上是增函数 D.偶函数，且在()0,1上是减函数题型4 函数的周期性例 5 已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则(2018)f =________. 解析1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以11(2018)(0)(1)8f f f ===.题型5 识图(知式选图、知图选式) 例6 函数22xy x =-的图像大致是（）分析观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.解析解法一：当0x ≤时，函数2xy =单调递增，同时函数2y x =-单调递增，故函数()f x 在(],0-∞上单调递增，排除,C D ；当0x >时，()f x 存在两个零点122,4x x ==，所以排除选项B .故选A .解法二：如图2-22所示，有图像可知，函数2xy =与函数2y x =的交点有3个，说明函数22x y x =-的零点有3个，故排除选项,B C ；当0x x <时，22x x >成立，即220x y x =-<，故排除选项D ，故选A .【解题技巧】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型6 函数图像的应用例7 函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为（ ）.1A.2B.3C.4D【解题技巧】利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.例8.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_______.12-12)41)2-1()y f =-xO【解题技巧】利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案变式1. 设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞+∞.(,1)(1,)D -∞-+∞分析作出函数()y f x =与1y =的图像，由图像得不等式的解集.解析作出函数()y f x =与1y =的图像，如图所示，得0()1f x >所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞，故选D .【高考真题链接】1.（2014 天津理4）函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）.A.()0,+¥B.(),0-¥C.()2,+?D.(),2-?解析：选D.2.（2014 北京理 2）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ）.A.y =()21y x =- C.2x y -= D.()0.5log 1y x =+解析：选A3.（2014 陕西理 7）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）.A.()12f x x = B.()3f x x = C. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()3x f x =解析：选D.5.(2015四川理9)如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+厖在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）.A. 16B. 18C. 25D.812292m n+剟，所以812mn….由2n m=且218m n+=，得92m=>，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有()2182,8m n m n+=<>.所以()()1821828816mn n n=-<-⨯⨯=.所以最大值为18.故选B.6.（2015北京理5）已知,x y∈R，且0x y>>，则（）.A.11x y-> B.sin sin0x y-> C.1122x y⎛⎫⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ln0x y+>选项C正确：由指数函数1()2tf t⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，可得110022x yx y⎛⎫⎛⎫>>⇒<<⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122x y⎛⎫⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；选项D错误：举一个反例如，ex=，1ey=.,x y满足0x y>>，但ln ln0x y+=.故选C.7.（2015安徽理2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）.A.cosy x= B.siny x= C.lny x= D.21y x=+解析 对于选项A ，cos y x =是偶函数，且由cos 0x =得2x k π=+π，k ∈Z ， 故A 正确；对于选项B ，sin y x =是奇函数，故B 错误；对于选项C ，ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故C 错误；对于选项D ，21y x =+是偶函数，但210x +=在实数范围内无解，即21y x =+不存在零点，故D 错误．故选A ．8.（2015福建理2）下列函数为奇函数的是（ ）.A ．y =．sin y x = C ．cos y x = D ．e e x x y -=-解析 函数y =sin y x =和cos y x =是偶函数；e e x x y -=-是奇函数．故选D ．9.（2015广东理3）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.A ．y =．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．e x y x =+ 解析 令()e xf x x =+，则()11e f =+，()111e f --=-+，即()()11f f ≠-，()()11f f -≠-，所以e xy x =+既不是奇函数也不是偶函数，而A,B,C 依次是偶函数、奇函数、偶函数．故选D ．10.（2015全国I 理13）若函数()(ln =f x x x 为偶函数，则=a .解析 由题意可知函数(ln y x =是奇函数，所以(ln x +(ln 0x -=，即 ()22ln ln 0a x x a +-==，解得1a =．11.（2016全国丙理15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()13-，处的切线方程是______________.解析：210x y ++=解法二：由函数性质来求切线方程.因为()f x 为偶函数，所以若()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为y kx b =+，则()f x 在点()()00,x f x --处的切线方程为y kx b =-+.因此，先求出()y f x =在点()1,3--处的切线方程.又()()'130f x x x=+<，得()'12f -=，所以()f x 在点()1,3--处的切线方程为21y x =-， 所以()f x 在点3（1，-）处的切线方程为21y x =--，即210x y ++=. 12.（2014 新课标 2 理 15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =. 若()10f x ->，则x 的取值范围是 .解析：(1,3)-13.（2014 福建理7）已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是（ ）.A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是增函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 的值域为[)+∞-,114.（201 4 湖北理10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，()()2221232f x x a x a a =-+--.若()(),1x f x f x ∀∈-R …，则实数a 的取值范围为（ ）.A.11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.,66⎡-⎢⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.33⎡-⎢⎣⎦15.（2014 湖南理3）已知()f x ，()g x 分别是定义在N 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ）.A.3-B.1-C. 1D. 316.（2014 湖南理10）已知函数()21e 2x f x x =+-()0x <与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）.A.⎛-∞ ⎝B.(-∞C.⎛ ⎝D. ⎛⎝17.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<18.(2017北京理5)已知函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数解析 由题知()133x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A.19.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3] 解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟. 故选D.20.（2016浙江理5）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）. A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与c 无关，但与c 有关21.（2016江苏11）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-<⎧⎪=⎨-<⎪⎩……，其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 .25- 解析 由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得35a =，则()()()531f a f f ==-215a =-+=-. 22.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．从而10nmqp =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．23.(2015安徽理9)函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）.A.0a >，0b >，0c <B.0a <，0b >，0c >C.0a <，0b >，0c <D.0a <，0b <，0c <24.（2016全国乙理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A. B. C. D. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设()22exf x x =-，由()228e f =-∈()0,1，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<， 所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 25.(2013重庆理6）若a b c<<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a=--+--+--的两个零点分别位于区间（）. A. ()a b ，和()b c ，内 B. ()a -∞，和()a b ，内 C. ()b c ，和()c +∞，内 D. ()a -∞，和()c +∞，内 解析：A26.（2014 山东理 8）已知函数()21f x x =-+,()kxx g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()1,2 D.()2+∞，解析：B27.（2014 江苏理 13）已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ． 解析：102⎛⎫ ⎪⎝⎭，28.（2014 天津理 14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰 有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 解析：(0,1)(9,)+?29.（2014 浙江理 15）设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-⎪⎩…，若()()2f f a …，则实数a 的取值范围是______.解析：(-?30.（2015湖南理15）已知()32,,x x af x x x a⎧=⎨>⎩…，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是.图（1） 图（2） 图（3）31.（2015天津理8）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… ，函数()()2g x b f x =-- ， 其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）. A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭即2220()(2)202582x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩，，，剟 ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图像的4个公共点，由图像可知724b <<.32.（2015山东理10）设函数311()21xx x f x x -<⎧=⎨⎩≥，，,则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是( ). A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]01，C ．23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[)1+∞，.解析 因为()()()2=f af f a ，所以()1f a ?．①当1a <时，()311=-f a a …， 解得213a <…；②当1a …时，()21=a f a …，解得1a …．综上所述，23a …．故选C ．33.（2015全国I 理12）设函数()()e 21x f x x ax a=--+，其中1a <，若存在唯一的整数x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）.A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭则()()1010f f -⎧⎪⎨⎪⎩……，即13e 20e 0a -⎧-+⎨⎩……，解得32e a …，又1a <，所以a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选D. 34.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=.当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y mx =-与y m =的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21y mx =-与y m =有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；解法二：若m =，则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。
【高中数学函数题型总结】高中数学函数必考性质总结
【高中数学函数题型总结】高中数学函数必考性质总结高中数学函数必考性质总结一次函数一、定义与定义式：自变量某和因变量y有如下关系：y=k某+b则此时称y是某的一次函数。
特别地，当b=0时，y是某的正比例函数。
即：y=k某 (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的某的变化值成正比例，比值为k即：y=k某+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当某=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与某轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(某，y)，都满足等式：y=k某+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与某轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随某的增大而增大;当k0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线只通过一、三象限;当k0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与某轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与某轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac0时，y=a(某-h)^2的图象可由抛物线y=a某^2向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=a某^2向右平行移动h个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(某-h)^2+k的图象;当h>0,k0;当a<0时，图象落在某轴的下方，某为任何实数时，都有y0(a0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
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第42炼 利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：()()'0f x f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减 （2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。
抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小 三、例题精析：例1：对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()'20xf x -≤，则必有（ ） A.()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +> D. ()()()1322f f f +≥ 欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：由()'20xf x -≤可按各项符号判断出()2x -与()'fx 异号，即2x <时，()'0f x <,2x >时，()'0f x > ()f x ∴在(),2-∞单调递减，在()2,+∞上单调递增()()min 2f x f ∴=，进而()()()()12,32f f f f >> ∴()()()1322f f f +>答案：C小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。
这样做可以简化表达式的运算。
例2： 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若()()11,22,ln 2ln 222a f b f c f ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. b a c >> B. a c b >> C. c b a >> D. b c a >> 欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的,,a b c 的结构均为()xf x 的形式，故与不等式找到联系。
当0x >时，()()''0()()0f x fx xf x f x x+>⇒+>，即()()'0x f x >，令()()g x xf x =，由此可得()g x 在()0,+∞上单调递增。
()f x 为奇函数，可判定出()g x 为偶函数，关于y 轴对称。
()()1,2,ln 22a g b g c g ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，作图观察距离y 轴近的函数值小，ln 2 与12可作差比较大小：()1114ln 22ln 21ln 0222e-=-=> 进而可得：b c a >> 答案：D例3：函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()'1()0x f x -<，设1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. c a b >> 欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：由()(2)f x f x =-可判断出()f x 关于1x =轴对称，再由()'1()0x f x -<，可得1x <时，()'0fx >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，由轴对称的特点可知：()f x 在()1,+∞单调递减。
作出草图可得：距离1x =越近的点，函数值越大。
所以只需比较自变量距离1x =的远近即可判断出b a c >> 答案：B例4：已知()f x 是周期为2的偶函数，且在区间[]0,1上是增函数，则()()()5.5,1,0f f f --的大小关系是（ ）A. ()()()5.501f f f -<<-B. ()()()1 5.50f f f -<-<C. ()()()0 5.51f f f <-<-D. ()()()10 5.5f f f -<<- 欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：()f x 的周期为2，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：()()5.50.5f f -=，而由()f x 偶函数及[]0,1单调递增，作图可知在区间[]1,1-中，距离y 轴近的函数值小，所以有()()()()00.5 5.51f f f f <=-<- 答案：C小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。
从而代替原来的自变量。
例5：已知函数()1f x +为偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()sin fx x x =-，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()3,0b f c f ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C.b c a <<D. b a c << 欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析()f x 的性质，由()1f x +为偶函数可得：()()11f x f x -+=+，从而()f x 关于1x =轴对称，当()1,x ∈+∞，可计算()'cos 10fx x =-≤，所以()f x 在()1,+∞单调递减，结合对称性可得距离对称轴1x =越近，函数值越大，所以()()1302f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭答案：D小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对()sin f x x x =-的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。
所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。
例6：已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,+∞上是增函数，令2sin7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，55cos ,tan 77b f c f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 大小关系为________ 欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：由()f x 为偶函数且在()0,+∞单调递增可得距离y 轴越近，函数值越小。
所以需比较,,a b c 自变量与y 轴距离：522522cos=cos =cos ,tan =tan =tan777777ππππππ，则需比较222sin ,cos ,tan 777πππ的大小，因为274ππ>，所以222tan 1sin cos 777πππ>>>，所以c a b >> 答案：c a b >>小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。
在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现,,a b c 涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用好“桥梁”，比较的关键之处在与4π这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与1大小的分界线，而正余弦不大于1，所以27π的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界线，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα<；而,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos αα>。
例7：已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>欢迎关注微信公众号（QQ 群）：兰老师高中数学研究会557619246：本题具备同构特点()()2l o g 1fx x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x-++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小。