第五章 定积分的经济应用

C ( x ) = ∫ (0.4 x + 20)dx = 0.2 x 2 + 2 x + C (0),
设收益函数为R(x), 则 R(x) = 18x, 于是 利润函数 于是, 设收益函数为
L(x) = R(x) − C(x) = 18x − (0.2x2 + 2x + 20) = −0.2x2 + 16x − 20, L′(x) = −0.4x + 16. ′ ′′(x) 令L′(x) = 0, 得 x = 40. 又L′′ = − 0.4x < 0, ′ ′′ 所以, 每天生产40单位时 获得最大利润, 单位时, 所以 每天生产 单位时 获得最大利润 即 Lmax(40) = 300(元). 元
R( x) = ∫ R′(t )dt
0 x
（4）利润函数
L( x) = R( x) − C ( x) = ∫ [ R′(t ) − C ′(t )]dt − C0
0
x
= ∫ L′(t )dt − C0
0
x
二、由边际函数求最优问题 设某种商品每天生产x 单位时固定成本为20元 例3 设某种商品每天生产 单位时固定成本为 元, 边际成本函数为 C′(x) = 0.4x + 2 (元/单位 ′ 元 单位) 求总成本C(x). 如果这种商品规定的销售单价为 元, 且 如果这种商品规定的销售单价为18元 求总成本 产品可以全部出售, 求总利润函数L(x), 并问每天生产多 产品可以全部出售 求总利润函数 少单位时才能获得最大利润. 少单位时才能获得最大利润 解 注意到 C(0) = 20, 故
第七节 定积分在经济管理方面的应用
上面一节我们介绍了定积分应用的微元法， 引 上面一节我们介绍了定积分应用的微元法，并 且我们知道，导数与微分在经济方面的应用， 且我们知道，导数与微分在经济方面的应用，那么 定积分在经济方面有哪些应用呢？ 定积分在经济方面有哪些应用呢？
一、由边际函数求原函数 利用N-L公式
Q( P) = ∫ Q′(t )dt + Q0
0 P
一般的，价格P=0时，需求量最大。
例1、已知对某商品的需求量是价格P的函数，且 已知对某商品的需求量是价格P的函数， 边际需求为该商品的最大需求量为80 80， 边际需求为-4，该商品的最大需求量为80，求需 求量与价格的函数关系。 求量与价格的函数关系。
已知某公司的边际收益（万元/ 例4 已知某公司的边际收益（万元/年）为
R′(t ) = 9 − t ，而边际成本为 C ′(t ) = 1 + 3t , 试判断
1 3
1 3
该公司应连续生产多少年， 该公司应连续生产多少年，并求停止开发时该公司 获得总利润是多少? 获得总利润是多少?
) 时的时间为最佳终止时间， 解 当 C ′(t ) = R′(t时的时间为最佳终止时间，即
即投资为无限期时的纯收入的现值为30000万元. 即投资为无限期时的纯收入的现值为30000万元. 30000万元
假设某工厂准备采购一台机器，其使用寿命为10 例5 假设某工厂准备采购一台机器，其使用寿命为10 购置此机器需资金8.5万元； 8.5万元 年，购置此机器需资金8.5万元；而如果租用此机器 每月需付租金为1000 1000元 若资金的年利率为6% 6%， 每月需付租金为1000元.若资金的年利率为6%，按连 续复利计算，请你为该工厂做决策： 续复利计算，请你为该工厂做决策：购进机器与租用 机器哪种方式更合算？ 机器哪种方式更合算？ 10年租金总值的现值与购进费用相比较 年租金总值的现值与购进费用相比较， 解 将10年租金总值的现值与购进费用相比较，即可 做出选择. 做出选择. 由于每月租金为1000元 所以每年租金为12000元 由于每月租金为1000元，所以每年租金为12000元， 1000 12000 ， 故 f (t ) = 12000 于是租金流总量的现值为
1 + 3t = 9 − t
1 3 1 3
8 = 4t
1 3
即该公司应连续生产8 求得 t = 8，即该公司应连续生产8年.当 t = 8 时， 公司的总利润为 （万元） L(t ) = ∫ [ R′(t ) − C ′(t )]dt = ∫ [9 − t − 1 − 3t ]dt = 16 万元）
.
（2）总成本函数 ） 已知某产品的边际成本，固定成本， 已知某产品的边际成本，固定成本，则总成本 函数为
C ( x) = ∫ C ′(t )dt + C0
0 x
C ′(q) = 25 + 30q − 9q 2 ，固定成 例2、已知边际成本
本为55，求总成本，平均成本，可变成本。
（3）总收益函数 ） 已知边际收益，且产量为 时总收益为 时总收益为0， 已知边际收益，且产量为0时总收益为 ，则 总收益函数为
[0, T内得到的总收入现值为 ]
y = ∫ f (t )e− rt dt
0
T
.
有一个大型投资项目， 例4 有一个大型投资项目，投资成本为 A = 10000 万元），投资年利率为5% ），投资年利率为5%， （万元），投资年利率为5%，每年的均匀收入率 f (t ) = 2000万元），求该投资为无限期时的纯收入 ），求该投资为无限期时的纯收入 （万元）， 的现值. 的现值. 解 无限期的投资的总收入的现值为
y = ∫ f (t )e dt = ∫ 12000e−0.06t dt
0 0
10
− rt
10
12000 −0.06t 10 =− e = 200000(1 − e −0.06 ) 0 0.06
（元）， = 90238 因此与购进费用8.5万元相比，购进机器比较合算. 因此与购进费用8.5万元相比，购进机器比较合算. 8.5万元相比
∫
x
0
F ′( x)dx = F ( x) − F (0)
求得原经济函数
F ( x) = ∫ F ′( x)dx + F (0)
0
x
则原经济函数从a到b的变动值（或增量）
F = F (b) − F (a) = ∫ F ′( x)dx
a
b
（1）需求函数 若已知边际需求为 Q′( P ) 则总需求函数为
y=∫
+∞ 0
f (t )e dt = ∫ 2000e
0
− rt
+→+∞ b →+∞ 0
∫
b
2000e −0.05t dt
2000 = lim [1 − e −0.05b ] b →+∞ 0.05
= 40000万元） （万元）
从而投资为无限期时的纯收入的现值为
R = y − A = 40000 − 10000 = 30000 万元） （万元）
0 0 8 8 1 3 1 3
二、投资问题 对于一个正常运营的企业而言， 对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支 出往往是分散地在一定时期上发生的， 出往往是分散地在一定时期上发生的，特别是对大型 企业，其收入和支出更是频繁的进行. 企业，其收入和支出更是频繁的进行.在实际分析过 程中为了计算的方便， 程中为了计算的方便，我们将它近似的看作是连续发 生的，并称之为资金流. 生的，并称之为资金流.
t时刻的单位时间收入为 f (t ), 称此为收入率， 计算， 称此为收入率，若按年率为 r 计算，则在小时间区间
内 设在时间区间 [0, T ]
[t , t + dt内的收入为 ]
， f (t ) dt 相应收入的现值为
f (t )e − rt dt按照定积分的微元分析思路，则在时间区间 .按照定积分的微元分析思路，