高中数学必修二课件：2.2.1 圆的方程(1)
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
【课标要求】 1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程． 3．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径． 【核心扫描】 1．掌握圆的标准方程的形式．(重点) 2．利用待定系数法求圆的标准方程．(难点) 3．准确把握方程与曲线间的对应关系．(疑点)
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
题型二
判断点与圆的位置关系
【例 2】 已知两点 P1(3,8)和 P2(5,4)，求以线段 P1P2 为直径的 圆的方程，并判断点 M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆 内，还是在圆外？ [思路探索] 求出圆的标准方程，将点 M、N、P 的坐标代入方 程左侧与 r2 相比较即可．
(2)在求圆的标准方程时， 尽量利用圆的几何性质， 可以大大地 减少计算量． 一般地，圆心的三个重要几何性质为： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
题型一
求圆的标准方程
【例 1】 直线 3x－y－2＝0 过已知圆的圆心，点 A(3,1)，B(－ 1,3)均在这个圆上，求此圆的方程． [思路探索] 利用待定系数法，设圆的标准方程，建立关于圆心 坐标，半径的方程组求解，也可借助几何性质确定圆心坐标及 半径来解决．
高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课件新人教A版选择性必修第一册
错解分析：错误的根本原因是误认为b是边长或是距离，只能取正 值，混淆截距的概念，没有真正理解截距的定义实质．
正解：由题意，设直线的方程为y＝3x＋b． 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－3b． 由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6， 故12×|b|×－3b＝6，解得b＝±6． 所以直线的方程为y＝3x＋6或y＝3x－6．
(4)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式，点斜式的形式不 唯一，而斜截式的形式是唯一的．
(5)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别和联系 ①斜截式方程中，k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b 不是一次函数． ②一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程．
()
(2)y 轴所在直线的方程为 y＝0．
()
(3)过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． ( ) 【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)点(x0，y0)不满足yx－－yx00＝k，所以yx－ －yx00＝k 不能表示过点(x0， y0)斜率为 k 的直线．
(2)y 轴所在直线方程为 x＝0． (3)过点(1,1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来．
由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2．
【例题迁移1】 (变换条件)若将本例中“直线l与l1平行”改为“直 线l与l1垂直”，其他条件不变，又如何求解？
解：由斜截式方程知直线 l1 的斜率 k1＝－2． 又因为 l⊥l1，所以 l 的斜率 k＝－k11＝21． 由题意知 l2 在 y 轴上的截距为－2， 所以 l 在 y 轴上的截距 b＝－2． 由斜截式方程可得直线 l 的方程为 y＝12x－2．
【预习自测】
1．一条直线的方程为y＝－2x－3，则该直线在y轴上的截距等于 ________．
人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的一般方程》ppt参考课件1
2019/8/11
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谢谢欣赏！
2019/8/11
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方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0在什么条件下表示圆? 由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F 所以D2+E2-4F>0时,方程(1)表示一个圆. 圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2．
由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F ① D2+E2-4F＞0时，方程(1)表示圆心在
(－—２ Ｄ,－—Ｅ２),半径为 —D2—+的2—E圆2—-4. F ② D2+E2-4F＝0时，方程(1)表示点 (－—２ Ｄ,－—Ｅ２). ③ D2+E2-4F＜0时，方程(1)不表示任何图形.
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形? 配方可得: (x-1)2+(y+2)2=4 方程表示一个以(1，-2)为圆心，半径长为2的圆．
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
配方可得: (x-1)2+(y-2)2=-1
方程不表示任何图形．
高一数学圆的方程1
北师大版高中数学必修二课件2.2圆的一般方程
1 D2 + E2 - 4F 为半径的圆. 2
（ 2 ） 当 D2 + E2 - 4F = 0 时 ， 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解
x = - D , y = - E ，所以方程 (*) 表示一个点 (- D ,- E ) .
2
2
22
（3）当 D2 + E2 - 4F < 0时，方程 (*) 没有实数解，所以方程 (*) 不
1.掌握圆的一般方程，会由圆的一般方程确定圆的 圆心、半径．（重点） 2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准 方程,会用待定系数法求圆的方程.（重点、难点）
探究点圆的一般方程
将圆的标准方程 (x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 展开得 x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
表示任何图形.
圆的一般方程
方程 x2 y 2 Dx Ey F 0 (D 2 E 2 4F 0)
称为圆的一般方程.
圆心为,半(径D ,为 E )
22
1 D2 E2 4F. 2
思考:圆的一般方程与圆的标准方程的不同与特点?
提示：(1)形式不同：(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0） (2)圆的一般方程的特点: (a)x2,y2的系数为1 (b)没有xy项 (c)D2+E2-4F＞0
不是圆
是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
总结：
方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹
人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)
(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
[研一题] [例3] 求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5，
2)和点B(3，－2)的圆的方程．
[自主解答] 法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 2a－b－3＝0， 2 2 2 5－a ＋2－b ＝r ， 3－a2＋－2－b2＝r2， a＝2， 解得b＝1， r＝ 10.
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例1] 写出下列各圆的标准方程．
高中数学必修2-圆方程1
快乐课堂学数学-高中数学必修2-多余老师趣讲“圆方程”一、先说几句多余的话解析几何是用代数的方法研究几何问题。
1、“解析”和“解析式”不要混淆。
图像经“解析”后，其代数表达式没有任何限制；而“解析式”只是“解析”结果中的一种，特指函数式。
2、函数解析式，是方程的一种类型。
即“方程”包括“函数解析式”。
要学好解析几何，1、要掌握好“数”与“形”的对应，这其实就是数学的解析思想。
2、要紧抓住“图形的要素”，就是控制或表达图形的重要参数。
总之，掌握好了“解析”和“要素”，解析学就好了，而且会感觉到特别简单。
特别提醒文科生一句：解析几何学好了，高考数学及格没问题。
二、从方程说起我们已经知道：一元一次方程、常数代数式，都可以用“直直线”来展示。
二元一次方程、一元一次代数式，都可以用“斜直线”来展示。
那么，二次方程或者一元二次代数式，可以用什么图形来展示呢？在初中，我们就已经学习过了二次函数。
我们都知道，二次函数y=ax2+bx+c（a不等于0）的图像是一条抛物线。
观察二次函数解析式，它是二元二次方程，但只有一个二次项（x2项）。
解析式右边的代数式，它是一元二次代数式。
这说明：二次项只有一个平方项的二元二次方程，可以用抛物线来展示。
一元二次代数式，可以用抛物线来展示。
另外，在初中我们还学过反比例函数。
反比例函数y=k/x（k不等于0）的图像是双曲线。
将反比例函数解析式，去掉分母，改写成方程，就是xy=k（k不等于0）。
它是一个二元二次方程，但也是只有一个二次项（xy项）。
这说明：只有xy二次项和常数项（常数项不为0）两项的二元二次方程，可以用双曲线来展示。
以上说明，二元二次方程所对应的图像是多样的。
这是因为：二元二次方程的完整形式为：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0。
即二元二次方程最多有3个二次项，再加2个一次项，1个常数项，最多共有6项。
虽然，二元二次方程的图像是多样的，但从以上也能看出具有共性。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1圆的方程课件 苏教版必修2
知新益能 1．圆的标准方程 ．
思考感悟 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一 ．方程 － － ， ， ∈ 表示一 个圆吗？为什么？ 个圆吗？为什么？ 提示：未必表示圆． ≠ 时 表示圆心为(a， 提示：未必表示圆．当r≠0时，表示圆心为 ，b), 半径为|r|的圆； ＝ 时 表示一个点(a， ． 半径为 的圆；当r＝0时，表示一个点 ，b)． 的圆
1 D2＋E2－4F 2 为半径的圆； 心， _______________为半径的圆； 为半径的圆
D ②当 D ＋E －4F＝0 时，方程只有实数解 x＝－ ， ＝ ＝－ 2 D E E － ，－ 2； y＝－ ，即只表示一个点 2 即只表示一个点__________； ＝－ 2 方程没有实数解， ③当 D2＋E2－4F＜0 时，方程没有实数解，因而它 ＜ 不表示任何图形． 不表示任何图形． (2)圆的一般方程的特点 圆的一般方程的特点 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半 而一般方程突出了方程形式上的特点： 径，而一般方程突出了方程形式上的特点： 的系数______， ① x2 和 y2 的系数 相等 ，且不等于 0； ； 没有_____这样的二次项 这样的二次项． ②没有 xy 这样的二次项．
圆的方程的综合应用 灵活选择圆的两种方程， 灵活选择圆的两种方程 ， 同时结合数形结合的思 想能有效找到解题的捷径． 想能有效找到解题的捷径．
例3 已 知 圆 C ： (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 1 ， 点 A( －
1 PB2 的最 ， 在圆上运动， 在圆上运动 ＝ 值及相应的点P的坐标． 值及相应的点 的坐标． 的坐标
，
.
故圆的方程为 x2＋y2－4x－2y－20＝0. － － ＝
高中数学必修课件第二章圆的标准方程
圆心、半径、弧、弦等。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆的表示方法
通常用圆心坐标和半径长度来表示一个圆，如 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
圆的性质与定理
性质
圆是中心对称图形，也是轴对称图形 ；同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等；垂直于 弦的直径平分这条弦等。
定理
垂径定理、切线长定理、割线定理、 相交弦定理等。
确定圆心坐标和半径
在平面直角坐标系中，圆心坐标为$(a,b)$， 半径为$r$。
列出距离公式
根据两点间距离公式，圆上任一点$P(x,y)$ 到圆心$O(a,b)$的距离为$sqrt{(xa)^{2}+(y-b)^{2}}$。
列出等式并化简
由于点$P$在圆上，其到圆心的距离等于半 径$r$，因此有$sqrt{(x-a)^{2}+(yb)^{2}}=r$，平方后得到圆的标准方程$(xa)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$。
例如，对于圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$ 和点$P(2,3)$，因为$(2-1)^2+(32)^2=2<4$，所以点$P$在圆内。
若$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$，则 点$P$在圆内。
求解与圆有关的最值问题
利用圆心到直线的距离公式求解最值问题。 例如，求圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$上的点到 直线$3x+4y-10=0$的距离的最大值和最小 值。
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
点在圆内、点在圆上、点在圆外。
直线与圆的位置关系
直线与圆相交、直线与圆相切、直线与圆相离。
圆的方程(第一课时)
§2.2.1 圆的方程（第一课时）教材：江苏教育出版社单墫主编《普通高中课程标准实验教科书·数学2（必修）》课型：新授课内容分析：本课是在学生掌握圆的定义和了解赵州桥这一古老建筑的基础上，通过坐标法求出圆拱所在的圆的方程，进而推出圆的圆的标准方程.然后通过几个具体的例题的讲解，使学生更加深刻地体会到要求圆的标准方程，关键是如何求出圆心的坐标和圆的半径.地位及作用：本课继续渗透坐标法及“曲线的方程”和“方程的曲线”的思想，在平面解析几何中对直线和圆锥曲线这两章起承上启下的作用.学情分析：授课对象：高一年级中等程度班级的学生.学生概况：学生具有一般的认知、分析、推理和解决能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。
在学习过程中，大部分学生只重视定理的内容、公式的结论，而不重视其形成过程.教学目标：1、知识掌握目标：掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；会选择适当的坐标解决与圆有关的实际问题.2、基本技能和一般能力培养目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力.3、创新素质和创新人格的培养目标：培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识.4、德育目标：让学生感受“形”与“数”的对立和统一，渗透相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，通过对圆对称美的感知，激发学生对美好事物的追求，提高学生的数学素养.教学重点、难点、关键：教学重点：⑴圆的标准方程及其运用⑵根据方程写出圆心的坐标和圆的半径教学难点：⑴求圆的标准方程的条件的确定⑵坐标法及“曲线的方程”和“方程的曲线”思想教学关键：通过创设赵州桥这个熟悉的情景，调动学生解决问题的兴趣，使用坐标法求桥的圆拱符合的方程，从而得到圆的标准方程，让学生对圆的标准方程从感性认识逐渐上升到理性认识，并能够准确把握其两个元素：圆心坐标和圆的半径.教学方法和手段：1、在介绍赵州桥和解决其圆拱所在的圆的方程时，让学生讨论并使用多媒体课件图示赵州桥；推导圆的标准方程和讲解例题时，需要严格作图．□『设计意图』：创设情景，充分调动学生的积极性！严格作图给学生一个示范，这样才能够要求学生认真画图．2、在求赵州桥圆拱所在的圆的方程时，按照圆的定义和坐标法进行讲解和运算，将几何问题代数化；例题的讲解需要严格的分析和计算．□『设计意图』：帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．－－《普通高中数学课程标准（实验）》3、教具准备：直尺、圆规、多媒体课件教学过程：一、创设情景，引入新课如果把直线放 在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程.那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？下面我们先看一个实例河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥.赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约为7.2m ，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？□『设计意图』：通过熟悉的图形调动学生解决问题的兴趣！要求圆的方程，需建立适当的直角坐标系，并求出圆上任意一点P （x ，y ）所满足的关系式. 第一步 以圆拱所对的弦所在的直线为x 轴，弦的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系.根据平面几何知识知道，圆拱所在圆的圆心O 1必在y 轴上，故可设O 1（0，b ）.第二步 设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点P （x ，y ）应满足O 1P =r ，得即222(0)()x y b r -+-= . （*）因此，只需确定b 和r 的值，就能写出圆的方程.第三步 将点B （18.7，0），C （0，7.2）分别代入（*），得222222(18.70)(0),(00)(7.2),b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得20.7,27.9b r ≈-≈.故赵州桥圆拱所在的圆的方程为222(20.7)27.9.x y ++=□『设计意图』：严格的推导计算过程培养学生的缜密的数学素养！一般地，设点(,)P x y 是以C (,)a b 为圆心，r 为半径的圆上的任意一点，则CP r =.由两点间的距离公式得r =即222()()x a y b r -+-= （1）反过来，若点1P 的坐标11(,)x y 是方程（1）的解，则22211()(),x a y b r -+-=即有r =这说明1P 11(,)x y 在以C (,)a b 为圆心，r 为半径的圆上. □『设计意图』：说清“曲线的方程”和“方程的曲线”.方程222()()x a y b r -+-=（r ＞0）叫做以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程.特别地，当圆心为原点O (0,0)时，圆的方程为222x y r +=『设计意图』：归纳圆的标准方程时，讲透要表示圆的标准方程，必须将圆心坐标和圆的半径算出来.二、强化结论，例题讲解例1 求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程.解 因为圆C 经过坐标原点，所以圆C 的半径是r ==因此，所求圆的方程是22(2)(3)13x y -++=例2 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为2216(0).x y y +=≥将 2.7x =代入，得y ==＜3.即在离中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.思考：假设货车的最大宽度为a 米，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？ 『设计意图』：例1强化要得到的圆的标准方程的两个条件；例2设计一个应用型问题，增加学生解决问题的兴趣.例3 求过两点A （0，4）、B （4，6），且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程. 分析一 由圆的标准方程知，要确定圆的标准方程，只需确定a,b,r 三个量，可用待定系数法. 解法一 设圆心坐标为(,)a b ，圆半径为r .则圆方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆心在直线220x y --=上，∴220a b --= ①又∵圆过两点A （0，4）、B （4，6），∴222(0)(4)a b r -+-= ②且222(4)(6)a b r -+-= ③由①②③得4,1,5,a b r ===∴圆方程为22(4)(1)25x y -+-=.分析二 由垂径定理知圆心在弦AB 的垂直平分线上，又由已知条件知圆心在直线220x y --=上，因此，圆心是这两条直线的交点.解法二 线段AB 的中点坐标为（2，5），直线AB 的斜率为641402-=-， ∴线段AB 的垂直平分线方程为52(2)y x -=--，即290x y +-=.解方程组220,290,x y x y --=⎧⎨+-=⎩得圆心O 的坐标为（4，1）.半径5OA ==∴圆方程为22(4)(1)25x y -+-=例4 已知两点A （4，9）、B （6，3），求以AB 为直径的圆的方程，并且判断点M （6，9）、N （3，3）、Q （5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？分析 线段AB 的中点即为圆心，AB 长即为直径.判断点与圆的位置关系只需判断点到圆心的距离与半径的大小关系.解 线段AB 中点为O （5，6），即为圆心，圆半径为12AB == ∴以AB 为直径的圆的方程为22(5)(6)10.x y -+-=∵3OM ON OP =>=<∴点M 在圆上，点N 在圆外，点P 在圆内。
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4
圆 ， 则 圆 心 (1 ， 3 ) 到 直 线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的 距 离 为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝ 当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等 问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中 ，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值． 解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)． 设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)， 则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．
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数学应用
思考：1．方程x－1＝ 1－y 2 表示的曲线是什么？ y
O
x
2．方程y＝ 1－( x 1) 2表示的曲线是什么？
数学应用
2．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，及点M1(5，－7)，M2(－5，－1)， M3(3，1)则过此三点是否存在圆的切线？若存在有几条？ 3．圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
小结
圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
小结
课本111页习题2.2（1）1，2，3题.
称该方程表示的圆为单位圆．
数学应用
例1．求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点和圆的标准方程．
(1)经过点(0，4)，(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；
(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x－3y＋5＝0上； (3)经过点A(3，5)和B(－3，7)，且圆心在x轴上．
(4)过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线y＝x－1被该圆所截得的
弦长为 2 2 ．
数学应用
例2．已知两点A(6，9)和B(6，3)，求以AB为直径的圆的标准方程， 并且判断点M(9，6)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在 圆外?
数学应用
例3．已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一 侧行驶，一辆宽为2. 7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
高中数学 必修2
问题情境
圆是最完美的曲线．它是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合．定点就是圆心，定长就是半径 ．
r
如何建立圆的方程？ 如何利用圆的方程研究圆的性质？
数学建构
圆的，r为半径的圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2＝r2 特别地，x2＋y2＝r2 表示以原点为圆心， r为半径的圆；其中当r＝1，即x2＋y2＝1时， O O M(a，b) x x y y P(x，y) r