高等数学复习题及答案

高等数学复习题及答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

1.下列函数中为奇函数的是（ B ） A.()2x x

e e

f x -+= B.()2

x x e e f x --= C.3()cos f x x x =- D.5()sin f x x x =

答案：B

知识点：函数奇偶性 解：()()2x x e e f x f x -+-==故()2x x e e f x -+=为偶函数()()2

x x

e e

f x f x ---==-，故()2

x x e e f x --=为奇函数()()33()cos cos f x x x x x -=---=--，故3()cos f x x x =-为非奇非偶函数

()()5

5()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，故5()sin f x x x =为偶函数 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ C ） A.1e x

x sin 1x D.1sin x x 答案：C

知识点： 无穷小量 解：

1

0lim e x x +→=+∞

3.设函数f (x )=2ln(1), 0

,, 0x x x

x +≥⎧⎨<⎩则f (x )在点x =0处（ C ）

A.左导数存在，右导数不存在

B.左导数不存在，右导数存在

C.左、右导数都存在

D.左、右导数都不存在

答案：C

知识点：导数的定义

解：2ln(1), 0

(),, 0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩

4.曲线y

x =1处的切线方程为（ A ）

3y 4=0 3y +4=0 C.x +3y 2=0 +3y +2=0

答案：A

知识点：曲线的切线方程 解：()2

3111

'233x y x -==-=所求切线斜率为：

5.函数f (x )=x 2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ=（ D ）

B.65

C.54

D.32

答案：D

知识点：拉格朗日中值公式 解：根据拉格朗日中值公式ξ'2121

f(x )-f(x )f ()=x -x 得 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.函数f (x

_________. 答案：[]14-，

知识点：函数定义域 解：[]2

3210,145x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭

根据题意得解得原函数定义域为-， 7.设函数f (x )=2(1), 0cos , 0x x x a x x ⎧⎪+>⎨⎪≤⎩在点x =0处连续，则a =_________.

答案：2e

知识点：函数的连续性

解：

0lim cos x a x a -→=

8.微分d (e -2)=_________.

2

知识点：函数微分

解： d (e -2)= d (e -2)+ d )=0+2sec d 2

9.函数f (x )=x 2cos x 在区间[0,2

π]上的最小值是_________. 答案：2

知识点：函数最值

'()12sin 0,()02f x x f x π⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦

解：由得在，单调递增 10.曲线y =22231

x x x ---的铅直渐近线为_________. 答案：1x =

知识点：曲线的渐近线

11.无穷限反常积分402d 1x x x +∞+⎰

=_________. 答案：2

π 知识点：无穷限反常积分

解：224400021d d arctan 112

x x x x x x π+∞

+∞+∞===++⎰⎰ 14.已知函数f (x )连续，若Φ(x )=x 1x ⎰

f (t )d t ，则Φ′(x )=_________.

答案：1()()x f t dt xf x +⎰ 知识点：变限积分的导数

解：()1

'()()x x f t dt xf x Φ=+⎰ 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

15.求数列极限221

lim(62)sin .31n n n →∞++

答案：2

知识点：数列极限 解：221

:lim(62)sin 31n n n →∞++法一 (当n →∞时,2211sin 3131n n ++ )

22221:lim(62)sin 31

1sin 312lim 1

31

2

n n n n n n →∞→∞+++=+=法二 (0sin lim 1x x x →

= ) 16.设函数f (x

arctan x ln(x

)，求导数f ′(1).

知识点：函数导数

17.

求极限0x →. 答案：13

知识点：洛必达法则

解：2

01cos lim x x x →→-= 18.求不定积分3ln d x x x ⎰.

答案： 4

41ln 416

x x x C -+ 知识点：不定积分的分部积分法 解：4

3

44341111ln d ln d ln d ln 444416x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰ 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分)

19.确定常数a,b 的值，使得点(1,

12)为曲线y =32114x ax bx +++的拐点. 答案：304

a b =-=， 知识点：曲线拐点

20.计算定积分I

=.x 答案：23